Вправи: 1009

1009. Доведіть, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел

ділиться націло на 3.

Нехай середнє число дорівнює n, тоді найменше дорівнює n – 1, а найбільше — n + 1. Сума кубів цих чисел дорівнює n³ + (n – 1)³ + (n + 1)³ = n³ + (n – 1 + n + 1)((n – 1)² – (n – 1)(n + 1) + (n + 1)²) = n³ + 2n(n² – 2n + 1 – n² + 1 + n² + 2n + 1) = n³ + 2n(n² + 3) = n³ + 2n³ + 6n = –Зn³ + 6n = 3(n³ + 2n) — ділиться націло на 3.