Вправи: 881

881. Сашко і Марійка живуть в одному під’їзді на одному поверсі і навчаються в одній школі. Сашко пішки витрачає на дорогу до школи 12 хвилин, а Марійка – 18 хв. Через 3 хвилини після виходу Марійки до школи вирушив і Сашко. Через який час після свого виходу він наздожене Марійку?

За 12 хв свого ходу Сашко ліквідовує 18 – 12 = 6 (хв) відставання від Марійки. Оскільки Сашко вирушив до школи через 3 хв після Марійки, то йому слід ліквідувати лише 3 хв відставання. Тоді трихвилинне відставання він ліквідує у 6 : 3 = 2 (рази) швидше, ніж шестихвилинне, тобто за 12 : 2 = 6 (хв).

Домашня самостійна робота № 4

1. Якому многочлену тотожно дорівнює вираз (m – n)²?

(m – n)² = m² – 2mn + n².

Відповідь: Г).

2. Знайдіть добуток

(а – х)(а + х) = а² – х².

Відповідь: Б).

3. Подайте вираз х² + 2ху + у² у вигляді квадрата двочлена.

x² + 2ху + y² = (х + у)².

Відповідь: Г).

4. Перетворіть вираз (5x – 1)² на многочлен.

(5х – 1)² = 25x² – 10x + 1.

Відповідь: В).

5. Розкладіть двочлен –16 + 9а² на множники.

–16 + 9а² = 9а² – 16 = (3а + 4)(3а – 4).

Відповідь: В).

6. Подайте вираз m³ + 64 у вигляді добутку.

m³ + 64 = m³ + 4³ = (m + 4)(m² – 4m + 16).

Відповідь: А).

7. Розв’яжіть рівняння: х(х + 2) – (х – З)² = 7.

х(х + 2) – (х – 3)² = 7; x² + 2х – x² + 6х – 9 = 7; 2х + 6х = 7 + 9; 8х = 16; х = 2.

Відповідь: Г).

8. Спростіть вираз:

(m² + 2р)(m⁴ – 2m²р + 4p²) = (m²)³ + (2р)³ = m⁶ + 8p³.

Відповідь: Б).

9. Розкладіть многочлен на множники.

3аb – 3b + 6а – 6 = 3b(а – 1) + 6(а – 1) = (3b + 6)(а – 1) = 3(6 + 2)(а – 1).

Відповідь: Г).

10. Якого найменшого значення набуває вираз?

x² + 4х + 3 = x² + 4х + 4 – 1 = (х + 2)² – 1. Вираз (х + 2)² –невід’ємний, тому найменше значення виразу (х + 2)² – 1 дорівнює –1.

Відповідь: В).

11. Розв’яжіть рівняння

x³ + 2х² – х – 2 = 0; x²(х + 2) – (х + 2) = 0; (x2 – 1)(х + 2) = 0; (х – 1)(х+ 1)(х + 2) = 0; х – 1 = 0 або х + 1 = 0 або х + 2 = 0; х = 1 або х = –1 або х = –2.

Відповідь: А).

12. Розкладіть вираз на множники.

(b – 2)³ – b³ = (b – 2 – 6)((b – 2)² + b(b – 2) + b²) = –2(b² – 4b + 4 + b² – 2b + b²) = –2(3b² – 6b + 4).

Відповідь: В).

13. Установіть відповідність між виразом (1–3) та його значенням, якщо х = 1,4 (А–Г).

1. 25х² – 70х + 49 = (5х – 7)² = (5 • 1,4 – 7)² = (7 – 7)² = 0.

2. (5х – 1)(25х² + 5х + 1) – 125х³ = 125х³ + 1 – 125х³ = 1.

3. 72 – 120х + 50х² = 2(25х² – 60х + 36) = 2(5х – 6)² = 2(7 – 6)² = 2.

1 – Б; 2 – В; 3 – Г.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО § 16 – § 21

1. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (р + а)² = р² + 2ра + а²; 2) (с – m)(с + m) = с² – m².

2. Розкладіть на множники:

1) t² – 2tb + b² = (t – b)²; 2) d² – n² = (d – n)(d + n).

3. Які з рівностей є тотожностями:

1) (р – а)² = р² – 2ра + a² ≠ p² – ра + а² — не тотожність;

2) р³ + q³ = (p + q)(p² – pq + q²) — тотожність;

3) m² – c² = (m – с)(m + с) — тотожність;

4) d³ – t³ = (d – t)(d² + dt + t²) ≠ (d – t)(d² + 2dt + t²) — не тотожність.

4. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 5)² = 9a²– 30а + 25; 2) (7 + 2b)(2b – 7) = 4b²– 49.

5. Розкладіть многочлен на множники:

1) а² + 6а + 9 = (а + З)²;

2) – 25 + 36х² = (6х – 5)(6х + 5);

3) b³ + 64 = (b + 4)(b² – 4b + 16);

4) 7c² – 7d² = 7(с – d)(c + d).

6. Спростіть вираз та знайдіть його значення.

(2х + З)² + (7 – 2х)(7 + 2х) = 4x² + 12x + 9 + 49 – 4x² = 12х + 58.

Якщо х = –112 , то 12х + 58 = 12 ∙ (–112) + 58 = –1 + 58 = 57.

7. Розв’яжіть рівняння:

1) 2x3 – 50x = 0;2х(х2 – 25) = 0;2х(х – 5)(х + 5) = 0;х = 0 або х – 5 = 0 або х + 5= 0;х = 0 або x = 5 або х = –5;Відповідь: –5; 0; 5;

2) x3 – 10x2 + 25x = 0;x(x2 – 10x + 25) = 0;х(х – 5)2 = 0;х = 0 або х – 5 = 0;х = 0 або х = 5.Відповідь: 0; 5.

8. Спростіть вираз:

1) (–4а + 3b)² + (–4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb = 9b² – 24аb + 16а² + 25b² – 16а² + 24аb = 34b²;

2) (а – 2)(а² + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3) = а³ – 8 – а(а² – 9) = а³ – 8 – а³ + 9а = 9а – 8.

9. Доведіть, що при будь–якому значенні змінної х вираз x² + 8х + 17

набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває

цей вираз і при якому значенні х?

x² + 8x + 17 = x² + 8х + 16 + 1 = (х + 4)² + 1. (х + 4)² ≥ 0,1 > 0, тому (х + 4)² + 1 ≥ 1.

Отже, вираз набуває лише додатних значень. Найменшого значення 1 вираз (х + 4)² + 1 набуває, якщо х + 4 = 0; х = –4.

10. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (а + 3)³ = (а + 3)²(а + 3) = (а² + 6а + 9)(а + 3) = a³ + 3а² + 6а² + 18а + 9а + 27 = а³ + 9а² + 27а + 27;

2) (2m – 5)³ = (2m – 5)²(2m – 5) = (4m² – 20m + 25)(2m – 5) = 8m³ – 20m² – 40m² + 100m + 50m – 125 = 8m³ – 60m² + 150m – 125.

11. Знайдіть дві останні цифри числа 293³ – 93³.

293³ – 93³ = (293 – 93)(293² + 293 ∙ 93 + 93²) = 2 ∙ 100 ∙ (293² + 293 ∙ 93 + 93²).

Оскільки серед множників є число 100, то дві останні цифри числа — 0 і 0.

12. Розкладіть тричлен на множники.

х² + 6х – 7 = х² + 6х + 9 – 9 – 7 = (х +3 )² – 16 = (х + 3 – 4) ∙ (х + 3 + 4) = (x – 1)(х + 7).