Вправи: 297

297. У чемпіонаті міста з футболу беруть участь 11 команд. Кожна команда грає з іншими по одному матчу. Доведіть, що в будь–який момент змагань знайдеться команда, яка проведе до цього моменту парну кількість матчів або не провела ще жодного.

Припустимо протилежне, тобто що кожна команда провела непарну кількість матчів. Оскільки є усього 11 команд, то сума 11 непарних чисел буде непарним числом. Але при цьому ми враховували кожну зустріч двічі (перша команда зіграла з другою і друга зіграла з першою), тому загальна кількість матчів має ділитися на 2, тобто бути парним числом. Прийшли до суперечності. Отже, існує команда, яка провела парну кількість матчів або не провела жодного.