Вправи: 1325

1325. У двох бідонах ємністю 20 л і 15 л вже є певна кількість

молока. Якщо більший бідон долити до краю молоком з меншого, то в меншому залишиться половина початкової кількості. Якщо ж долити менший бідон до краю молоком з більшого, то в більшому залишиться 23 від початкової кількості. По скільки літрів молока в кожному бідоні?

Нехай у меншому бідоні х л молока, а у більшому — у л молока. У більший бідон з меншого долили молока 12л, у менший бідон з більшого (1 – 23)y = 13y л молока. Система:

12x + y = 20│∙2, x + 2y = 40, x + 13y = 15│∙(–6)

–6 – 2y = – 90; –5x = –50; х = 10.

З першого рівняння останньої системи отримаємо: 10 + 2y = 40;

2y = 30; y = 15.

Відповідь: У меншому бідоні 10 л молока, а у більшому — 15 л молока.

Завдання для перевірки знань за курс алгебри 7 класу

1. Перевірте, чи є число 7 коренем рівняння:

1) х = 7; 7 – 2 = 5; 5 = 5 — число 7 є коренем рівняння х – 2 = 5;

2) х = 7; 56 : 7 ≠ 6; 8 ≠ 6 — число 7 є коренем рівняння 56 : х = 6.

2. Виконайте дії:

1) р⁴р³ = р⁴⁺³ = р⁷; 2) t⁹ : t⁵ = t^9–5 = t⁴.

3. Чи проходить графік рівняння х – у = 5 через точку:

1) х – y = 5; М(6; 2); 6 – 2 ≠ 5; 4 ≠ 5 — графік рівняння не проходить через точку М;

2) х – у = 5; N(4; –1); 4 – (–1) = 5; 5 = 5 — графік рівняння проходить через точку N.

4. Спростіть вираз:

1) (х – 3)(х + 3) – х(х – 5) = х² – 9 – х² + 5х = 5х – 9;

2) (а + 2)² + (а – 7)(а + 3) = a² + 4а + 4 + а² – 7а + За – 21 = 2а² –

17.

5. Розкладіть на множники:

1) 14р³ – 21р²m = 7р²(2р – Зm);

2) 3а² – 12b² = 3(а² – 4b²) = 3(а – 2b)(а + 2b).

6. Розв’яжіть рівняння

5(х – 3) – 3(х + 2) = 3 – х;

5х – 15 – 3х – 6 = 3 – х;

5х – Зх + х = 3 + 15 + 6;

Зх = 24;

х = 8.

Відповідь: 8.

7. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = 3х – 4 і

y = 5 та знайдіть координати точки їх перетину.

Графік функції y = 5 — пряма, яка проходить через точку (0; 5) паралельно до осі х.

y = 3x – 4
x	0	2
y	–4	2

Точка перетину графіків функції у = 5 і у – Зх – 4 — (3; 5).

8. Розв’яжіть систему рівнянь:

3x + 2y = 5,│∙(–3) –9x–6y = –15, –17x = 17,

–4x + 3y = 16,│∙2 –8x + 6y = 32; –8x + 6y = 32;

x = –1, x = –1, x = –1, x = –1,

–8 ∙(–1) + 6y = 32; 6y = 32 – 8; 6y = 24; y = 4.

Відповідь: (–1; 4).

9. З пункту А до пункту В вирушив пішохід. Через 1 год назустріч йому з пункту В виїхав велосипедист. Відстань між пунктами A i B дорівнює 58 км, а швидкість велосипедиста на 10 км/год більша за швидкість пішохода. Знайдіть швидкість велосипедиста і швидкість пішохода, якщо вони зустрілися через 4 год після виходу пішохода.

Нехай х км/год — швидкість пішохода, у км/год — швидкість велосипедиста. Перше рівняння: у – х = 10. За 4 год пішохід пройшов 4x км, а велосипедист за 4 – 1 = 3 (год) проїхав 3у км. Разом вони подолали 58 км. Друге рівняння: 4x + 3y = 58. Система:

y – x = 10,│∙4 4y – 4x = 40, y – x = 10, 14 – x = 10, x = 4,

4x + 3y = 58; 4x + 3y = 58; 7y = 98; y = 14; y = 14.

Отже, швидкість велосипедиста дорівнює 14 км/год, а швидкість пішохода — 4 км/год.

Відповідь: 14 км/год, 4 км/год.

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ

1. Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння (а + 2)х = 8 є натуральним числом.

(а + 2)х = 8. Оскільки, х = 8 : (а + 2), то натуральний корінь даного рівняння можна шукати лише серед значень 1, 2, 4, 8.

Якщо х = 1, то (a + 2) ∙ 1 = 8; а + 2 = 8; a = 6; якщо х = 2, то

(a + 2) ∙ 2 = 8; а + 2 = 4; а = 2; якщо х = 4, то (а + 2) ∙ 4 = 8; а + 2 = 2; а = 0; якщо х = 8, то (а + 2) ∙ 8 = 8; а + 2 = 1, а = –1.

Відповідь: –1, 0, 2, 6.

2. Перша цифра чотирицифрового числа дорівнює 7. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то одержимо число, менше від початкового на 1746. Знайдіть початкове число.

Нехай початкове число дорівнює 7abc = 7000 + abc, тоді змінене — abc7 = 10abc + 7 і позначимо abc = х. Рівняння: 7000 + х – 10x – 7 = 1746; 9х = 5247; х = 583. Початкове число 7583.

Відповідь: 7583.

3. He розв’язуючи рівняння 5(2024х + 2025) = 13, доведіть,

що його корінь не є цілим числом.

Припустимо, що корінь рівняння 5(2024х + 2025) = 13 є цілим числом, тоді 2024х + 2025 також ціле число. Отже, число 13 є добутком цілого числа і числа 5, що неможливо, оскільки 13 — просте число.

4. Розв’яжіть рівняння:

1) |х| + |х – 2| = 0;|х| = 0 і |х – 2| = 0;х = 0 і х – 2 = 0;х = 0 і х = 2 — не має розв’язку.Відповідь: He має розв’язку;

2) |х – 3| + |6 – 2х| = 0;|х – 3| = 0 і |6 – 2х| = 0;х – 3 = 0 і 6 – 2х = 0;х = 3 і х = 3.Відповідь: 3.

5. Скільки розв’язків залежно від числа а (кажуть: параметра

а) має рівняння: 1) ах = 2; 2) ах = 0?

1) ах = 2. Якщо а = 0, то 0 ∙ х = 2 — рівняння не має розв’язку; якщо а ≠ 0, то х = 2 : а.

Відповідь: Якщо а = 0, то рівняння не має розв’язку; якщо а ≠ 0, то рівняння має єдиний корінь;

2) ах = 0. Якщо a = 0, то 0 ∙ х = 0 — рівняння має безліч розв’язків; якщо а ≠ 0, то x = 0a = 0 — рівняння має єдинии корінь.

Відповідь: Якщо а = 0, то рівняння має безліч розв’язків; якщо а ≠ 0

то — єдиний корінь.

6. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння

відносно змінної х:

1) 2х – а = 15; 2х = 15 + а; х = 15 + a2 — для всіх значень а.

Відповідь: х = 15 + a2 — для всіх значень а;

2) 7х – а = 2х + 4а – 9; 7х – 2х = 4а – 9 + а; 5x = 5a – 9; x = 5a - 95 — для всіх значень а.

Відповідь: х = 5a - 95 — для всіх значень а;

3) (а – 3)х = 7. Якщо а ≠ 3, то х = 7a - 3; якщо а = 3, то

0 ∙ х = 7 — рівняння не має а – З коренів.

Відповідь: Якщо а ≠ 3, то х = 7a - 3; якщо а = 3, то коренів немає;

4) ах = а. Якщо а = 0, то 0 ∙ х = 0, де х — будь–яке число; якщо

а ≠ 0, то х = aa ; х = 1.

Відповідь: Якщо а = 0, то х — будь–яке число; якщо а ≠ 0, то х = 1;

5) ах + 1 = x + а; ax – х = а – 1; х(а – 1) = а – 1. Якщо а = 1, то

х ∙ 0 = 0 — будь–яке число; якщо а ≠ 1, то х = a - 1a - 1; х = 1.

Відповідь: Якщо а ≠ 1, то х = 1; якщо а = 1, то х — будь–яке число;

6) а(х – 2) = х(а + 3); ах – 2а = ах + Зх; ах – ах – Зх = 2а; – Зх =

= 2а; х = –2a3 — для всіх значень а.

Відповідь: х = –2a3 для всіх значень а.

7. Для якого значення параметра а є рівносильними рівняння:

1) 7х + а = 5(х – а); 7х + а = 5х – 5а; 7х – 5х = – 5а – а;

2х = –6а; х = –За.

7(х + а) = 4(10 – а); 7х + 7а = 40 – 4а; 7х = 40 – 4а – 7а;

7х = 40 – 11а; х = 40-11a7.

– За = 40 - 11a7 │∙ 7; –21а = 40 – 11а; –21а + 11а = 40; –10а = 40;

а = –4. Отже, рівняння 7х + а = 5(х – а) і 7(х + а) = 4(10 – а) — рівносильні, якщо а = –4.

Відповідь: Якщо а = –4;

2) (а + 7)х = 18 — рівняння не має коренів, якщо а = –7;

|х| = –1 — рівняння не має коренів. Отже, рівняння (а + 7)х= 18 і

|х| = –1 — рівносильні, якщо а = –7.

Відповідь: Якщо а = –7.

8. Потяг проїжджає повз нерухомого пасажира за 7 с, а уздовж платформи завдовжки 378 м – за 25 с. Знайдіть швидкість і довжину потяга.

Нехай швидкість потяга х м/с, тоді довжина потяга дорівнює: а) 7х м — як шлях, пройдений потягом повз нерухомого пасажира; б) (25х – 378) м — як шлях, пройдений потягом уздовж платформи без довжини платформи. Рівняння:

7х = 25x – 378; 18х = 378; х = 21.

Довжина потяга дорівнює 7 ∙ 21 = 147 (м).

Відповідь: 21 м/с; 147 м.

9. Потяг проїжджає по мосту, довжина якого 171 м, за 27 с, а повз пішохода, який рухається зі швидкістю 1 м/с назустріч потягу, – за 9 с. Знайдіть швидкість і довжину потяга.

Нехай швидкість потяга х м/с, тоді довжина потяга дорівнює: а) (27х – 171) м — як шлях, який проходить потяг мостом без довжини мосту; б) (9х + 9) м — як шлях, пройдений потягом повз пішохода, який йде назустріч. Рівняння: 27х – 171 = 9х + 9; 18х = 180; х = 10.

Довжина потяга дорівнює 9 ∙ 10 + 9 = 99 (м).

Відповідь: 10 м/с; 99 м.

10. Через першу трубу басейн заповнюється водою за половину

того часу, що потрібний другій трубі для заповнення 23 цього басейну. Через другу трубу окремо басейн заповнюється на 4 год довше, ніж через першу трубу. За який час заповнює басейн кожна труба окремо?

Нехай час, за який наповнюється басейн через другу трубу дорівнює х год, тоді час, за який наповнюється 23 цього басейну — 23 х год, а час, за який наповнюється басейн через першу трубу — 23х ∙ 12 = 13х

(год). Рівняння: х – 13х – 4 | ∙ 3; Зх – х = 12; 2x = 12; х = 6.

Через першу трубу басейн наповнюється за 13 ∙ 6 = 2 (год).

Відповідь: 6 год; 2 год.

11. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них складає 25 % від другого.

1) Нехай кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює х°, а кути при основі — по (0,25х)°. Рівняння:

х + 0,25х + 0,25х = 180; 1,5х = 180; х = 120. Кути при основі дорівнюють (180 – 120)° : 2 = 30°;

2) нехай кути при основі рівнобедреного трикутника дорівнюють по х°, тоді кут при вершині — 0,25х°. Рівняння: х + х + 0,25х = 180; 2,25х = 180; х = 80. Третій кут рівнобедреного трикутника дорівнює 180° – (2 ∙ 80)° = 20°.

Відповідь: 120°, 30°, 30° або 80°, 80°, 20°.

12. Для ремонту двох кімнат придбали шпалери. На ремонт

першої кімнати використали на 2 рулони більше, ніж половина

придбаного, а на ремонт другої кімнати – 23 від кількості рулонів, що була використана на ремонт першої кімнати.Скільки рулонів шпалер було придбано, якщо після ремонтуобох кімнат залишився невикористаним один рулон?

Нехай купили х рулонів шпалер. На обклеювання першої кімнати пішло (2 + 0,5х) рулонів, а другої — 23(0,5x + 2) рулонів. Рівняння:

(0,5х + 2) + 23 (0,5х + 2) + 1 = х; 12х + 2 + 13х + 43 + 1 = х |∙6;

Зх +12 + 2х + 8 + 6 = 6х; х = 26.

Відповідь: 26 рулонів.

13. Сплав міді й цинку містить на 320 г більше міді, ніж цинку. Після того як від сплаву відокремили 67 тієї маси міді й 60% тієї маси цинку, що в ньому містилися, маса сплаву стала дорівнювати 100 г. Якою була початкова маса сплаву?

Нехай у сплаві міститься х г цинку, тоді міді — (х + 320) г. Після того, як зі сплаву виділили 67 міді, то її залишилося — 17 (х + 320) г, а коли виділили 60% = 0,6 цинку, то його залишилося — 0,4х г.

Рівняння: 17 (х + 320) + 0,4х = 100│∙ 7; х + 320 + 2,8х = 700;

3,8х = 380; х = 100. Початкова маса сплаву дорівнює

х + 320 + х = 2х + 320 = 2 ∙ 100 + 320 = 520 (г).

Відповідь: 520 г.

14. Рівність (І + В + А + H)⁴ = ІВАН є правильною. Знайдіть

число ІВАН, якщо різним буквам відповідають різні цифри.

Цифри І, В, A, H можуть набувати значень 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, бо сума з цифрою 7 в комбінації з іншими, навіть з найменшими дорівнює : 7 + 0 + 1 + 2 = 10, а 10⁴ = 100000 є п’ятизначне число, що суперечить умові. Найменше сума цифр може дорівнювати

0 + 1 + 2 + 3 = 6. Отже, 6 ≤ І + В + А + Н < 10. Маємо: 6⁴ = 1296 — не підходить, бо є цифра 9; 7⁴ = 2401; 8⁴ = 4096 – не підходить, бо є цифра 9; 9⁴ = 6561 — не підходить, бо є дві однакових цифри. Шуканим числом є 2401.

Відповідь: 2401.

15. На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його довжину збільшити на 15 %, а ширину – на 20%?

Нехай довжина прямокутника х см, а ширина — y см, тоді площа дорівнює ху см². Після змін довжина становить х + 0,15х =

= 1,15х (см), ширина — y + 0,2y = 1,2y(см), а площа— 1,15х ∙

∙ 1,2/= 1,38xy (см²). Площа прямокутника збільшилася на (1,38хy–

– хy): ху = 0,38 = 38%.

Відповідь: На 38%.

16. Що більше:

1015 + 11016 + 1 = (1015+ 1)(1017+ 1)(1016 + 1)(1017+ 1); 1016 + 11017 + 1 = (1016 + 1)(1016 + 1)(1017 + 1)(1016 + 1).

(10¹⁵ + 1)(10¹⁷ + 1) = 10³² + 10¹⁵ + 10¹⁷ + 1 = 10¹⁵(10¹⁷ + 10² + 1) + 1 = 10¹⁵(10¹⁷+ 101)+ 1;

(10¹⁶ + 1)(10¹⁶ + 1) = 10³² + 2 ∙ 10¹⁶ + 1 = 10¹⁵(10¹⁷ + 2 ∙ 10) + 1 = 10¹⁵(10¹⁷ + 20) + 1;

10¹⁵(10¹⁷ + 101) + 1 > 10¹⁵(10¹⁷ + 20) + 1. Отже, 1015 + 11016 + 1 > 1016 + 11017 + 1

17. Доведіть, що число 2017 ∙ 2019 + 1 є квадратом деякого

натурального числа. Якого саме?

Нехай шукане натуральне число дорівнює n. Якщо n² =2007∙ 2009 +

+1, то n2 – 1 = 2007 ∙ 2009; (n – 1)(n + 1) = 2007 ∙ 2009, де n – 1 і

n + 1 — суміжні до 2008. Отже, n = 2008.

18. Доведіть, що значення виразу 8n3 – 8n при будь–якому

натуральному значенні n кратне числу 24.

8n³ – 8n = 8n(n² – 1) = 8n(n – 1)(n + 1) — кратне 24, бо серед трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n, n + 1 існує число, кратне 3.

19. Подайте вираз 2m² + 2n² у вигляді суми двох квадратів.

2m² + 2n² = m² + m² + 2mn – 2mn + n² + n² = m² + 2mn +

+ n² + m² – 2mn + n² = (m + n)² + (m – n)².

20. Який многочлен треба записати замість зірочки, щоб одержати тотожність:

1) (х + 1)(х – 5) = x² – 5х + х – 5 = x² – 4х – 5;

2) (x² – х + 1)(х + 3) = x³ + Зх² – x² – Зх + х + З = х³ + 2x² – 2х + 3.

21. Розкладіть на множники:

1) а²b² – 2аb² + b² + а⁴ – 2a² + 1 = (ab – b)² + (а² – 1)² = (b(а – 1))² + ((а – 1)(a + 1))² = b²(а – 1)² + (а – 1)²(а + 1)² = (а – 1)²(b² + (а + 1)²) = (a – 1)²(b² + a² + 2a + 1);

2) 1 –3t + 3t² – t³ = (1 – t³) – (3t – 3t²) = (1 – t)(1 + t + t²) – 3t (1 –

– t) = (1 – t)(1 + t + t² – 3t) = (1 – t)(1 – 2t + t²) = (1 – t)(1 – t)² =

= (1 – t³);

3) x⁶ – Зх⁴ + 6х² – 4 = x⁶ + 8 – 3х⁴ + 6х² – 12 = (х⁶ + 8) – 3(х⁴ –2x² + 4) =(х² + 2)(х⁴ – 2х² + 4) – 3(х⁴ – 2х² + 4) = (х⁴ – 2х² +4)(х² + 2 – 3) = (х⁴ – 2х² + 4) ∙ (х² – 1) = (х⁴ – 2х² + 4)(х – 1)(х + 1);

4) 2(m + 3n) + (m – n)(m + n) – 8 = 2m + 6n + m² – n² – 8 = (m² +

+ 2m + 1) – (n² – 6n + 9) = (m + 1)² – (n – З)² = (m + 1 – n + 3) ∙ (m + 1 + n – 3) = (m – n + 4) ∙ (m + n – 2);

5) a³ + a² – b³ – b² = a³ – b³ + a² – b² = (a – b)(a² + ab + b²) + (a –

– b)(a + b) = (a – b)(a² + ab + b² + a + b);

6) 8x³ + 4x² – 2 = (8x³ – 1) + (4x² – 1) = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) + (2x – 1)(2x + 1) = (2x – 1)(4x² + 2x + 1 + 2x + 1) = (2x – 1)(4x² + 4x + 2) = 2(2x – 1)(2x² + 2x + 1).

22. Чи може сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел бути квадратом натурального числа?

Нехай n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2 — послідовні натуральні числа, тоді сума їх квадратів дорівнює: (n – 2)² + (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = n² – 4n + 4 + n² – 2n + 1 + n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 = 5n² + 10 = 5(n² + 2). Запис числа n² не може закінчуватися цифрами 3 або 8, тому запис числа n² + 2 не може закінчуватися цифрами 5 або 0, а значить число n² + 2 не ділиться на 5. Число 5(n² + 2) ділиться на 5, але не ділиться на 25, а тому не може дорівнювати квадрату натурального числа.

23. Спростіть вираз:

(2 + 1)(2² + 1)(2⁴+ 1)(2⁸+ 1)(2¹⁶+ 1)(2³² + 1)(2⁶⁴ + 1) = (2 – 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1)(2⁶⁴ +1) = (2² – 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1)(2⁶⁴ + 1) = (2⁴ – 1) (2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1)(2⁶⁴ + 1) = (2⁸ –1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1)(2⁶⁴ + 1) = (2¹⁶ – 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1)(2⁶⁴ + 1) = (2³² – 1)(2³² + 1)(2⁶⁴ + 1) = (2⁶⁴ – 1)(2⁶⁴ + 1) = 2¹²⁸ – 1.

24. Число b є середнім арифметичним чисел а і с. Доведіть, що а² + ас + с² є середнім арифметичним чисел а² + ab + b² і b² + bс + с².

Якщо число b є середнім арифметичним чисел а і с, то b = a + c2. Маємо: (a2 + ab + b2) + (b2 + bc + c2)2 = a2 ab + 2b2 bc + c22 =

= a2 + 2b2 + c2 + b(a + c)2 = a2 + 2(a + c2)2 + c2 + a + c2 •(a + c)2 =

= a2 + (a + c)22 + c2 + (a + c)222 = a2 + (a + c)2 + c22 = a2 + a2 + 2ac + c2+ c22 = 2(a2 + ac + c2)2 = a² + ac + c². Отже, число а² + ас + с² є середнім арифметичним чисел a² + ab + b² і b² + bс + c².

25. Задача Лагранжа. Доведіть тотожність

(x² + y² + z²)(m²+ n²+р²) – (xm + yn + zp)² = x²m² + x²n² + х²р² + y²m² + y²n² + у²р² + z²m² + z²n² + z²p² – x²m² –y²n² – z²p² – 2xmyn – 2xmzp – 2ynzp = (x²n² – 2xmyn + z²m²) + (z²p² – 2xmzp +

+ z²m²) + (z²n² – 2ynzp + y²p²) =(xn –ym)² + (xp – zm)² + (yp – zn)². Тотожність (x² + у² + z²)(m² + n² + p²) – (xm + yn + zp)² = (xn – ym)² +(xp – zm)² + (yp – zn)² — доведена.

26. Доведіть, що число аbсаbс є кратним числам 7, 11 і 13.

аbсаbс = 1000^{abc + abc} = 1001^abc = 7 ∙ 11 13^abc — кратне 7, 11, 13.

27. Доведіть, що значення виразу 555⁷⁷⁷ + 777⁵⁵⁵ є кратним

числу 37.

555⁷⁷⁷ + 777⁵⁵⁵ = (111 ∙ 5)⁷⁷⁷ + (111 ∙ 7)⁵⁵⁵ = 111⁷⁷⁷ ∙ 5⁷⁷⁷ + 111⁵⁵⁵ ∙ 7⁵⁵⁵ = 111⁵⁵⁵(111²²² ∙ 5⁷⁷⁷ + 7⁵⁵⁵) = (37 ∙3)⁵⁵⁵(111²²² ∙

∙ 5⁷⁷⁷ + 7⁵⁵⁵) — кратне 37.

28. Яке трицифрове число є і квадратом двоцифрового числа,

і кубом одноцифрового числа?

Нехай трицифрове число abc таке, що abc = (ху)² і abc = z³. З останньої рівності випливає, що тільки 5, 6, 7, 8 і 9, піднесені до третього степеня, можуть бути трицифровим числом: 5³ = 125;

6³ = 216; 7³ = 343 ; 8³ = 512; 9³ = 729. З поданих чисел лише 729 є квадратом числа 27. Отже, 729 = 9³ і 729 = 27².

29. Доведіть, що значення виразу 191⁶ + 734⁶ – 593³ ділиться

на 10.

Число 191⁶ закінчується цифрою 1, 734⁶ — цифрою 6, а 593³ — цифрою 7. Тоді значення виразу 191⁶ + 734⁶ – 593³ = ...1 + ...6 –

– 7 = ...0 — кратне 10.

30. Доведіть, що значення виразу Зⁿ⁺² – 2ⁿ⁺² + Зⁿ – 2ⁿ при

будь–якому натуральному значенні п є кратним числу 10.

Зⁿ⁺² – 2ⁿ⁺² + 3ⁿ – 2ⁿ = (3ⁿ ∙ З² + 3ⁿ) – (2ⁿ ∙ 2² + 2ⁿ) = 3ⁿ(3² + 1) – 2ⁿ(2² + 1) = Зⁿ ∙10 – 2ⁿ ∙ 5. Значення виразів 3ⁿ ∙ 10 і 2ⁿ ∙ 5 закінчуються цифрою 0, тому значення виразу 3ⁿ ∙ 10 – 2ⁿ ∙ 5 теж закінчується цифрою 0 і кратне 10.

31. Подайте вираз у вигляді суми кубів двох многочленів.

2х(х² + 3y²) = 2x³ + 6ху² = х³ + х³ + 3ху² + Зxу² = х³ + Зxу² + Зх²у + у³ + х³ + Зхy² – Зx²у – у³ = (х + у)³ + x³ – Зх²у + 3ху² – у³ = (х + у)³ + (х – у)³.

32. Доведіть тотожність:

1) (x² – x – 1)² = (x² – x – 1)(х² – х – 1) = x⁴ – x³ – x² – x³ + х² + х – x² + x + 1 = x⁴ – 2x³ – x² + 2х + 1 = х³(х – 2) – х(х – 2) + 1 = (х –2)(х³ – x) + 1 = (х – 2)(х² – 1)+ 1 = (х – 2)(х – 1)х(х + 1) + 1 — тотожність доведена;

2) (x² + Зх + 1)² = (х² + Зх + 1)(x² + Зх + 1) = x⁴ + Зх³ + x² + Зх³ + 9x² + Зх + x² + Зх + 1 = x⁴ + Зх³ + Зх³ + 9x² + 2x² + 6х + 1 =x³(x + 3) + Зх²(х + 3) + 2х(х + 3) + 1 = (х + 3)(х³ + Зх² + 2х) + 1 = (х + 3) x(x² + Зх + 2) + 1 = (х + 3)x(x² + 2х + х + 2) + 1 = (х + 3)x(x(х + 2) + (х + 2)) + 1 = х(х + З)(х + 2)(х + 1)+ 1 — тотожність доведена.

33. Використовуючи результат попередньої задачі, доведіть,

що число 2017 ∙ 2018 ∙ 2019 ∙ 2020 + 1 є квадратом деякого натурального числа у. Знайдіть у.

З попередньої задачі маємо: у(у + 1)(у + 2)(у + 3) + 1 = (у² + Зу + 1)². Тоді: 2017 ∙ 2018 ∙ 2019 ∙ 2020 + 1 = 2017 ∙ (2017 + 1)(2017 + 2)(2017 + 3) + 1 = (2017² + 3 ∙ 2017 + 1)² = (4 068 289 + 6051 + 1)² = 4 074 341². Отже, у = 4 074 341.

34. Доведіть, що різниця кубів двох послідовних натуральних

парних чисел при діленні на 48 дає в остачі 8.

(2n + 2)³ – (2n)³ = (2n + 2 – 2n)((2n + 2)² + 2n(2n + 2) + (2n)²) = 2(4n² + 8n + 4 + 4n² + 4n + 4n²) = 2(12n² + 12n + 4) = 24n² + 24n + 8 = 24(n² + n) + 8 = 24n(n + 1) + 8 ділиться на 48 з остачею 8.

35. Розкладіть на множники:

1) у⁵ + у + 1 = (у⁵ – у²) + (у² + у + 1) = y²(y³ – 1) + (y² + у + 1) = y²(y – 1)(y² + y + 1) + (y² + y + 1) = (y² + y + 1)(y²(y – 1) + 1) = (y² + у + 1)(y³ – y² + 1);

2) m⁴ + m² + 1 = (m⁴ + 2m² + 1) – m² = (m² + 1)² – m² = (m² + 1 – m)(m² + 1 + m);

3) x⁴ + 5x² + 9 = (х⁴ + 6х² + 9) – x² = (х² + З)² – x² = (х² + 3 – х)(х² + 3 + х);

4) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) – 4n² = (n² + 2)² – 4n² = (n² + 2 – 2n) ∙ (n² + 2 + 2n);

5) x⁴ + 2a²x² – 4a²b² – 4b⁴ = (х⁴ + 2а²x² + а⁴) – (а⁴ + 4а²b² + 4b⁴) = (х² + а²)² – (а² + 2b²)² = (х² + а² – а² – 2b²)(х² + а² + а² + 2b²) = (х² – 2b²)(х² + 2а² + 2b²);

6) m³ – 2m – 1 = m³ + m² – (m² + 2m + 1) = m²(m + 1) – (m + 1)² = (m + 1) (m² – m – 1);

7) m³ – 5m – 2 = (m³ + 8) – (5m + 10) = (m + 2)(m² – 2m + 4) – 5(m + 2) = (m + 2)(m² – 2m + 4 – 5) = (m + 2)(m² – 2m – 1);

8) x⁴ – 2х³у – 6х²у² – 4ху³ – у⁴ = (х⁴ – у⁴) – (2х³у + 2x²y²) –

– (4x²y² + 4ху³) = (х² – у²)(х² + у²) – 2х²у(х + у) – 4xy²(х + у) =

= (х – у)(х + у)(х² + у²) – 2х²у(х + у) – 4хy²(х + у) = (х + у)((х – у)

∙ (x² + y²) – 2x²y – 4xy²) =(x +y)(x³ + xy² – ух² – y³ – 2х²у – 4xy²) =

=(х + у)(х³ – Зху² – Зх²у – у³).

36. Порівняйте 5¹⁵ і З²³.

5¹⁵ = 5 ∙ (5²)⁷ = 5 ∙ 25⁷; З²³ = З² ∙ З²¹ = 9 ∙ (З³)⁷ = 9 ∙ 27⁷; 9 ∙ 27⁷ > 5 ∙ 25⁷. Отже, З²³ > 5¹⁵.

37. Побудуйте графік функції:

1) y = 2│x│+x; y =y = 2(–x) + x, якщо x < 0, –x, якщо x < 0,

2x + x, якщо x ≥ 0, 3x, якщо x ≥ 0.

y = –x, x < 0x–1–3y13

y = 3x, x ≥ 0x01y03

y =2) y =│x│– 4x; y = –x – 4x, якщо x < 0, –5x, якщо x < 0,

x – 4x, якщо x ≥ 0, –3x, якщо x ≥ 0.

y = –5x, x < 0x–1–2y510

y = –3x, x ≥ 0x01y0–3

3) y=│2x│+2x–1; y =y = –2x + 2x–1, якщо x < 0, –1, якщо x < 0,

2x + 2x, якщо x ≥ 0, 4x–1,якщо x ≥ 0

y = –1, x < 0x–1–3y–1–1

y = 4x–1, x ≥ 0x01y–13

4) y=3x–│4x│+3; y= = 3x –(–4x)+3,якщо x < 0, 7x+3,якщо x< 0,

3x –4x+3,якщо x ≥ 0; –x+3, якщо x ≥ 0

y = 7x + 3, x<0x–1–0,5y–4–0,5

y =y = –x + 3, x ≥ 0x03y30

38. Точка А(а; b), де а ≠ 0, b ≠ 0, належить графіку функції

у = х². Чи належить цьому графіку точка:

Якщо точка А(а; b), де а ≠ 0, b ≠ 0 належить графіку функції у = х², то b = a².

1) Точка В(–а; b) належить графіку функції у = х², бо

b = (–а)² = а²;

2) точка С(a; –b) не належить графіку функції у = х², бо

–b = а²; b = –а²; а² ≠ –а²;

3) точка D(–a; –b) не належить графіку функції у = х², бо

–b = (–а)² = а²; b = –а²; а² ≠ –а².

39. Точка М(m; n), де m ≠ 0, n ≠ 0, належить графіку функції

у = х³. Чи належить цьому графіку точка:

Якщо точка М(m; n), де m ≠ 0, n ≠ 0 належить графіку функції у = х³, то n = m³.

1) Точка N(–m; n) не належить графіку функції у = х³, бо

n = (–m)³ = –m³; m³ ≠ –m³;

2) точка К(m; –n) не належить графіку функції у = x³, бо n = m³;

n = –m₃; m³ ≠ –m³;

3) точка Р(–m; –n) належить графіку функції у = х³, бо –n = (–m)³ =

= –m³; n = m³.

40. Знайдіть точки перетину графіків функцій

y = –4│x│+3; y = 4x + x, якщо x ≤ 0,

–4x + 3, якщо x > 0.

Щоб знайти точки перетину графіків функцій у= 2x+1, якщо x ≤ 0

–3x+3, якщо x > 0.

y = 4x + x, якщо x ≤ 0,

–4x + 3, якщо x > 0. досить розв’язати системи:

a) y = 2x + 1,

y = 4x + 3, якщо х ≤ 0; 2х + 1 = 4х + 3; 2х – 4х = 3 – 1;

–2х = 2; х = –1. Підставимо у перше рівняння системи значення

х = –1 : у = 2 ∙ (–1) + 1 = – 1. Шукана точка (–1; –1);

б) y = –3x + 1,

y = –4x + 3, якщо х > 0; –Зх + 1 = –4х + 3; –Зх + 4х = 3 – 1;

х = 2. Підставимо у перше рівняння системи значення x = 2;

у = –3 ∙ 2 + 1 = –5. Шукана точка (2; –5).

Відповідь: Графіки перетинаються у точках з координатами (–1; –1) і (2; –5).

41. Оля може придбати без решти 7 рогаликів і 3 вертути або 3 рогалики і 4 вертути. Який відсоток складає ціна рогалика від ціни вертути?

Нехай рогалик коштує x грн, а вертута— у грн. Рівняння:

7х + Зу = Зх + 4у; 4х = у; х = y4 = 0,25у; 0,25 = 25%; х = 25% від у.

Відповідь: 25%.

42. Чи має розв’язки рівняння з двома змінними:

1) Рівняння x² + y² = –1 не має розв’язків, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу;

2) розв’язком рівняння |у| + х = 0 є, наприклад, пара чисел (0; 0);

3) розв’язком рівняння x² – |у| = 5 є, наприклад, пара чисел (3; 4);

4) розв’язком рівняння 5x² + у⁸ + |х| = 0 є, наприклад, пара чисел (0; 0).

43. У рівнянні ах + by = 43 коефіцієнти а і и – цілі числа. Чи може розв’язком цього рівняння бути пара чисел (5; 10)?

Нехай пара чисел (5; 10) є розв’язком рівняння ах + by =43. Маємо: 5a + 10b = 43; 5(а + 2b) = 43 — рівність не може виконуватись, якщо a і b — цілі числа, бо ліва частина рівності ділиться на 5, а права — не ділиться. Отже, пара чисел (5; 10) не може бути розв’язком рівняння ах + by = 43.

44. Скільки розв’язків має рівняння?

1) (х + 1)² + y² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю: х + 1 = 0;

х = –1 і у = 0. Отже, розв’язком рівняння є пара чисел (–1; 0).

Відповідь: Один розв’язок;

2) x² + у² + (у – 2)² = 0. Сума квадратів трьох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю: х = 0 і у = 0, i у = 2. Змінна у не може одночасно набувати двох значень 2 та 0, отже, рівняння не має розв’язків.

Відповідь: Жодного розв’язку;

3) |х| + (у + 1)² = 0. Сума невід’ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю:

|х| = 0 і (у + 1)² = 0, тоді х = 0 і у = –1. Отже, розв’язком рівняння є пара чисел (0; –1).

Відповідь: Один розв’язок;

4) х((х – З)² + (у + 4)²) = 0. Добуток двох невід’ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли один з виразів дорівнює нулю:

х = 0 або (х – З)² + (у + 4)² = 0. Якщо х = 0, то у може набувати будь–яких значень. Отже, рівняння має безліч розв’язків.

Відповідь: Безліч розв’язків.

45. Сергій придбав кілька зошитів по 10 грн і кілька ручок

по 12 грн 50 коп., заплативши за всю покупку 150 грн. Скільки

зошитів придбав Сергій?

Нехай Сергій придбав х зошитів і у олівців. Рівняння:

10х + 12,5у = 150; 10х = 150 – 12,5у;

х = 15 – 1,25у. Оскільки х — натуральне число, то у = 4 або 8. Тоді х = 15 – 1,25 ∙ 4 = 10 або х = 15 – 1,25 ∙ 8 = 5.

Відповідь: 5 або 10 зошитів.

46. Побудуйте графік рівняння:

1) (х + 1)(х – 2у) = 0; х + 1 = 0 або х – 2у = 0; х = –1 або

у = 0,5х. Будуємо графіки прямих х = –1 і у = 0,5х.

x = –1x–1–1y13

y = 0,5xx02y01

2) х² – ху = 0; x(x – у) = 0; x = 0 або у = х. Будуємо графіки прямих x = 0 і у = x.

x = 0x00y13

y = xx02y02

3) (x² – 4)(y² + 4) = 0; х² – 4 = 0 або y² + 4 = 0 — не має розв’язків; х² = 4; х = 2 або х = –2 . Будуємо графіки прямих

х = 2 і х = –2.

x = 2x22y13

x = –2x–2–2y02

4) (|x| + 1)( |у| – 3) = 0; |x| + 1 = 0 — не має розв’язків або

|у| – 3 = 0; |у| = 3; у = 3 i у = –3. Будуємо графіки прямих у = 3 і

у = –3.

x = 3x24y33

x = –3x–21y–3–3

5) │х│+ х = у. Якщо х < 0, то рівняння матиме вигляд: –х + х = у;

у = 0, а якщо x ≥ 0, то: x + x = y; y = 2x. Будуємо графік функції:

у = 0, якщо x < 0,

2х, якщо х ≥ 0.

y = 0, x < 0x–1–3y00

y = 2x, x ≥ 0x02y04

6) х = у│х│. Якщо х < 0, то: х = –ху, х + ху = 0; х(1 +у) = 0;

х = 0 — не підходить або 1 + у = 0; у = – 1. Якщо х ≥ 0, то: х = ху;

х – ху = 0; х(1 – у) = 0; х = 0 або у = 1. Будуємо графік функції:

у = –1, якщо х < 0,

1 або х = 0, якщо х ≥ 0.

y = –1, x < 0x–1–3y–1–1

y = 1, x ≥ 0x13y11

x = 0, x ≥ 0x00y12

47. Доведіть, що рівняння х² – у² = 26 не має розв’язків у цілих числах (тобто розв’язками рівняння не можуть бути цілі числа).

x² – у² = 26; (х –у)(х+ у) = 26. Якщо числа х і у одної парності, то значення виразу (х – у)(x + у) — кратне 4, якщо числа x і у різної парності, то — (х – у)(х + у) — непарне. 26 — некратне 4 і парне, тому рівняння не має розв’язків у цілих числах.

48. Чи перетинає графік рівняння у + x² = 4 вісь х; вісь у?

Якщо так, то вкажіть координати точок перетину.

у + x² = 4.

1) у = 0, якщо: x² = 4; х = 2 або х = –2. Отже, графік рівняння

у + x² = 4 перетинає вісь х в точках (–2; 0) і (2; 0);

2) якщо х = 0, то у = 4. Отже, графік рівняння у + x² = 4 перетинає вісь у в точці (0; 4).

49. Знайдіть усі пари натуральних чисел, що задовольняють

рівняння 11x + 8у = 104.

11x + 8y = 104; 11x = 104 – 8у; 11x = 8(13 – у) — кратне 8, тому х може приймати значення лише 8. Якщо х = 8, то 88 + 8у = 104;

8у = 16; у = 2. Отже, рівняння 11x + 8у = 104

задовольняє лише пара натуральних чисел (8; 2).

50. He виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину

графіка рівняння (x – 3)(у + 5) = 0: 1) з віссю х; 2) з віссю у.

(х – 3)(у + 5) = 0.

1) у = 0, якщо: 5(х – 3) = 0; х – 3 = 0; х = 3. Отже, графік рівняння (х – 3)(у + 5) = 0 перетинає вісь х в точці (3; 0);

2) якщо х = 0, то – 3(у + 5) = 0; у + 5 = 0; у = –5. Отже, графік рівняння (х – 3)(у + 5) = 0 перетинає вісь у в точці (0; –5).

51. Яна загадала два двоцифрових числа, кожне з яких починається цифрою 6, причому інші цифри кожного із чисел відмінні від числа 6. Якщо переставити місцями цифри в кожному із загаданих чисел, то значення їх добутку не зміниться. Які числа загадала Яна?

Нехай Яна загадала два двоцифрових числа: 6х і 6у. Маємо:

6х ∙ 6у = х6 ∙ у6; (60 + х)(60 + у) = (10х + 6)(10у + 6); 3600 + 60у + 60х + ху = 100xy + 60х + 60у + 36; 60у + 60х + ху – 100xy – 60х – 60у = 36 – 3600; 99ху = 3564; ху = 36. Останню рівність можуть задовольняти числа: х = 9 і у = 4 або х = 4 і у = 9. Отже, шукані числа: 69 і 64.

Відповідь: 69 і 64.

52. Олесь народився у XX столітті. У 2009 році йому було стільки років, якою є сума цифр його року народження. У якому році народився Олесь?

Нехай Олесь народився у 19ху році. Тоді в 2009 році йому виповнилося 2009 – 19xу років.

Рівняння: 2009 – 19ху = 1 + 9 + х + у; 1999 – 19ху = х + у; 1999 – (1900 + 10x + у) = х + у; 99 – (10х + у) = х + у; –10х – у – х – у = –99; –11х – 2у = –99; 11х + 2у = 99; 2у = 99 – 11x; 2у = 11(9 – х) — кратне 11. Для даного рівняння у може набувати лише значення 0. Якщо у = 0, то 11x + 0 = 99; х = 9. Отже, розв’язком рівняння

11x + 2у = 99 є пара цілих невід’ємних чисел (9; 0) і шукане число 1990.

Відповідь: У 1990 році.

53. При якому значенні а прямі Зх + 4у = 5 і 2х + 8у = а

перетинаються в точці, що лежить на осі у?

Знайдемо координати точки перетину прямої Зх + 4у = 5 з віссю у:

3 ∙ 0 + 4у = 5; 4у = 5; у = 1,25. Пряма 2х + 8y = а теж повинна перетинати вісь у в точці (0; 1,25). Маємо: 2 ∙ 0 + 8 ∙ 1,25 = а; а = 10.

Відповідь: а = 10.

54 Доберіть, якщо це можливо, таке значення m, при якому

система рівнянь має єдиний розв’язок; не має розв’язків; має безліч розв’язків:

1) Система 2x – y = 7, 2x – y = 7,

mx – y = 5; 2x – y = 5 не має розв’язку,

якщо m = 2 і має єдиний розв’язок, якщо m ≠ 2;

2) система 3x + 2y = 6, 3x + 2y = 6,

1,5x + y = m│∙ 2; 3x + 2y = 2m

має безліч розв’язків, якщо 2m = 6; m = 3 і не має розв’язку, якщо

m ≠ 3;

3) система mx – 2y = 1│∙4, 4mx – 8y = 4,

4x – 8y = 4; 4x – 8y = 4, m = 1 і має єдиний розв’язок, якщо m ≠ 1.

55. При якому значенні а система рівнянь має розв’язок?

4x – 3y = 10,

2x + 5y = –8,

a(x + y) = 7.

Розв’яжемо систему, утворену з першого і другого рівнянь. Maємо:

4x – 3y = 10, 4x – 3y = 10,

2x + 5y = –8│∙(–2); –4x – 10y = 16;

–13y = 26; у = –2. Підставимо значення y = –2 у перше рівняння системи й одержимо: 4х + 6 = 10; х = 1. Підставимо значення

х = 1 i у = –2 у третє рівняння вихідної системи і отримаємо:

а ∙ (1 – 2) = 7; а = –7. Отже, задана система має розв’язок при

а = –7.

Відповідь: а = –7.

56. 1) Розв’яжіть систему рівнянь:

x – y = 2,

y – z = 3,

z + x = 5.

Додамо почленно перше, друге і третє рівняння системи й одержимо: x – y + y – z + z + x = 10; 2x = 10; х = 5.

З першого рівняння отримаємо: 5 – y = 2; y = 3. 3 другого рівняння отримаємо: 3 – z = 3; z = 0.

Відповідь: х = 5, y = 3, z = 0;

2) x + y = 7,

y + z = 5,

z + x = –4.

Додамо почленно перше, друге і третє рівняння системи й одержимо: 2х + 2y + 2z = 8; х + y + z = 4. Віднімемо від цього рівняння почергово перше, друге і третє рівняння системи і отримаємо: z = –3; x = –1; y = 8.

Відповідь: х = –1, y = 8, z = –3.

57. У результаті множення многочлена 4x³ – 2x² + Зх – 8 на многочлен ах² + bx + 1 одержали многочлен, який не містить ані х⁴, ані х³. Знайдіть коефіцієнти а і b та многочлен, який одержали в добутку.

(4х³ – 2х² + Зх – 8)(aх² + bх+ 1) = 4ах⁵ + 4bx⁴ + 4х³ – 2ах⁴ – 2bх³ – 2х² + Зах³ + Зbх² + Зх – 8ах² – 8bx – 8 = 4ах⁵ + х⁴(4b – 2a) + х³(4 – 2b + 3а) + х²(–2 + Зb – 8а) + х(3 – 8b) – 8. Якщо многочлен не містить ні х⁴, ні х³, то

а) 4b – 2а = 0; 4b = 2а; а = 2b;

б) 4 – 2b + За = 0; 4 – а + За = 0; 4 + 2а = 0; 2а = –4; а = –2.

Підставимо значення а = –2 у рівність а = 2b і одержимо: 2b = –2;

b = –1. Шуканий многочлен буде мати вигляд: 4aх⁵ + х⁴(4b – 2а) +

+ х³(4 –2b + За) + х²(–2 + Зb – 8а) + х(3 – 8b) – 8 = –8х⁵ + х²(–2 –

– 3 + 16) + х(3 + 8) – 8 = –8х⁵ + 11x² + 11x – 8.

58. 1) Розв’яжіть систему рівнянь:

(x – 1)(y – 4x) = 0, x – 1 = 0 або y – 4x = 0

x + y = 3; x + y = 3.

Розв’язування системи зводиться до розв’язування двох систем:

a) x – 1 = 0, x = 1, б) y – 4x = 0, y = 4x, y = 4x, y = 2,4.

x + y = 3; y = 2; x + y = 3; x + 4x = 3; 5x = 3; x = 0,6.

Відповідь: (1; 2); (0,6; 2,4);

2) (x – y)(x + 1) = 0, x – y = 0 або x + 1 = 0,

(y – 2)(x + y – 6) = 0; y – 2 = 0 або x + y – 6 = 0.

Розв’язування системи зводиться до розв’язування чотирьох систем:

a) x – y = 0, x = 2, б) x – y = 0, x = y, y = 3,

y – 2 = 0; y = 2; x + y – 6 = 0; 2x – 6 = 0; x = 3;

в) x + 1 = 0, x = –1; г) x + 1 = 0, x = –1

y – 2 = 0; y = 2; x + y – 6 = 0; y = 7.

Відповідь: (2; 2); (3; 3); (–1 ; 2); (–1 ; 7);

3) x² – y² = 0, (x – y)(x + y) = 0, x – y = 0 або x + y = 0,

3x – y = 4; 3x – y = 4. 3x – y = 4.

Розв’язування системи зводиться до розв’язування двох систем:

a) x – y = 0, x = y, x = 2, б) x + y = 0, x = –4, x = 1,

3x – y = 4; 3x – x = 4; y = 2; 3x – y = 4; 3x + x = 4; y=–1.

Відповідь: (2; 2); (1; –1).

4) x² + 2xy + y² – 1 = 0, (x + y)² = 1, x + y = 1 або x + y = –1,

3x – y = 3; 3x – y = 3; 3x – y = 3;

Розв’язування системи зводиться до розв’язування двох систем:

a) x + y = 1, x = 1, б) x + y = –1, x = 0,5,

3x – y = 3; y = 0; 3x – y = 3; y = –1,5.

Відповідь: (1; 0); (0,5; –1,5).

59. Розв’яжіть рівняння з двома змінними:

1) (х – 2)² + (Зх – у)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює

нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже,

розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x – 2 = 0, x = 2,

3x – y = 0; y = 6.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (2; 6).

Відповідь: (2; 6);

2) (2х – у)² + x² + 8х + 16 = 0; (2х – у)² + (х + 4)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

2x – y = 0, x = –4,

x + 4 = 0; y = –8.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (–4; –8).

Відповідь: (–4 ; –8);

3) (1х + у – 3)² + х² + 2ху + у² = 0; (7х + у – З)² + (х + у)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: 7x + y – 3 = 0 –7y + y – 3 = 0, –6y = 3,

x + y = 0; x = –y; x = 0,5.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (0,5; –0,5).

Відповідь: (0,5; –0,5);

4) |х – у + 5| + x² – 4ху + 4у² = 0; |х – у + 5| + (х – 2у)² = 0. Сума двох невід’ємних ; виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x – y + 5 = 0, x – y + 5 = 0,

x – 2y = 0│∙(–1); –x + 2y = 0; y + 5 = 0; y = –5.

Підставимо у перше рівняння системи значення у = –5 й отримаємо: х + 5 + 5 = 0; х = –10. Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (–10; –5).

Відповідь: (–10; –5);

5) x² + y² – 4х + 2у + 5 = 0; (х² – 4х + 4) + (у² + 2у + 1) = 0;

(х – 2)² + (у + 1)² = 0.

Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x – 2 = 0, x = 2,

y + 1 = 0; y = –1.

Розв язком системи і рівняння є пара чисел (2; –1).

Відповідь: (2; –1);

6) x² – 2ху + 2у² + 6у + 9 = 0; (х² – 2xу + y²) + (у² + 6у + 9) = 0;

(х – у)² + (у + З)² = 0.

Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: x – y = 0, y = –3,

y + 3 = 0; x = –3.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (–3; –3).

Відповідь: (–3; –3);

60. Число b на 10 % більше за число а і на 30 % більше за

число с. Знайдіть числа а, b і с, якщо а на 8 більше за с.

Нехай а, b і с — числа, для яких виконуються умови: а – с =

= 8; b = 1,1a; b = 1,3с; 1,1а = 1,3с. Система рівнянь:

a – c = 8, a = c + 8, a = c + 8, a = c + 8

1,1a = 1,3c 1,1(c + 8) = 1,3c; 1,1c + 8,8 – 1,3c = 0; 0,2c = 8,8;

a = 52,

c = 44. Далі маємо: b = 1,1 a = 1,1 ∙ 52 = 57,2. Отже, шукані числа: а =52; b = 57,2; с = 44.

Відповідь: а = 52; b = 57,2; с = 44.

61. Через 4 роки відношення віку брата до віку сестри дорівнюватиме 7 : 5. Скільки років нині кожному з них, якщо 2 роки тому брат був удвічі старший за сестру?

Нехай сестра має х років, а брат — у років. Система:

y-2x-2 = 2, y – 2 = 2(x – 2), y – 2 = 2x – 4, y–2x= –2│∙(–5)

y+4x+4 = 75, 5(y + 4) = 7(x + 4); 5y + 20 = 7x + 28; 5y – 7x = 8;

–5y + 10x = 10,

5y – 7x = 8;

Зх = 18; х = 6. Підставимо у друге рівняння останньої системи значення х = 6 й отримаємо: 5y – 42 = 8; у = 10. Отже, сестра має 6 років, а брат — 10 років.

Відповідь: Сестра має 6 років, а брат — 10 років.

62. Загадали деяке двоцифове число. Якщо це число поділити на суму його цифр, одержимо неповну частку, що дорівнює 4, та 6 в остачі. Якщо ж від цього числа відняти потроєну суму його цифр, то одержимо 16. Яке число загадали?

Нехай задумане двоцифрове число дорівнює ху = 10х+у. Система:

10x + y = 4(x + y) + 6, 10x + y = 4x + 4y + 6,

10x + y – 3(x + y) = 16; 10x + y – 3x – 3y = 16;

6x – 3y = 6│∙2, 12x – 6y = 12,

7x – 2y = 16│∙(–3); –21x + 6y = –48; –9х = –36; х = 4. Підставимо у перше рівняння передостанньої системи значення

х = 4 й отримаємо: 24 – Зу = 6; Зу = 18; у = 6. Отже, задумане

двоцифрове число — 46.

Відповідь: 46.

63. Кількість десятків деякого трицифрового числа вдвічі більша

за кількість одиниць. Сума цифр цього числа дорівнює 13. Якщо поміняти місцями цифри сотень і одиниць, то одержимо число, яке на 495 менше від даного. Знайдіть дане число.

Нехай задумане трицифрове число дорівнює xyz = 100x + 10y + z, тоді змінене число буде мати вигляд: zyx= 100z + 10y + х. Система:

y = 2z, y = 2z,

x + y + z = 13, x + y + z = 13,

xyz – zyx = 495; 100x + 10y + z – 100z – 10y – x = 495;

y = 2z, y = 2z, y = 2z,

x + y + z = 13, x + y + x = 13, x + 3z = 13,

99x – 99z = 495│: 99; x – z = 5; x – z = 5│∙3

y = 2z, y = 2z, y = 2x, y = 4,

x + 3z = 13, x + 3z = 13, 4x = 28, x = 7,

x – z = 5│∙3; 3x – 3z = 15; x – z = 5; x = 2.

Отже, шукане число — 742.

Відповідь: 742.

64. Якщо перше з двох даних чисел збільшити на 10 %, а друге – на 15 %, то їх сума збільшиться на 13 %. Якщо перше 3 даних чисел зменшити на 5 %, а друге – на 10 %, то сума чисел зменшиться на 48. Знайдіть дані числа.

Нехай перше число дорівнює х, а друге число — у. Система:

1,1x + 1,15y = 1,13(x + y)│∙100, 110x + 115y = 113(x + y),

0,95x + 0,9y = x + y – 48│∙100; 95x + 90y =100x +100y –4800

110x + 115y – 113x – 113y = 0, –3x + 2y = 0,

95x + 90y – 100x – 100y = –4800; –5x –10y= –4800;

–3x + 2y = 0,

–x–2y=–960;

–4x = –960, x = 240, x = 240, x = 240,

x + 2y = 960; 240 + 2y = 960; 2y = 720; y = 360.

Відповідь: 240; 360.

65. Для проведення ремонту придбали пісок і цемент. Першого

дня використали 15 від маси придбаного піску і 14 від маси придбаного цементу, що разом склало 205 кг. Другого дня використали чверть тієї маси піску, яка залишилася, що на 37 кг більше за масу п’ятої частини цементу, яка залишилася після першого дня. Скільки піску і скільки цементу було придбано для ремонту?

Нехай купили х кг піску, а цементу — у кг. За перший день використали 15х кг піску, а цементу — 14y кг. Перше рівняння: 15х + 14y = 205│∙ 20; 4x + 5y = 4100. За другий день використали 14 ∙ (x – 15x) = 14 ∙ 45 x = 15x(кг) піску, а цементу— 15 ∙ (у – 14у) = 15 ∙ 14у = 320y (кг) – Друге рівняння: 15x – 320y = 37. Система:

14x – 320y = 37│∙20, 4x – 3y = 740,

4x + 5y = 4100; 4x + 5y = 4100; 8y = 3360; у = 420.

З другого рівняння останньої системи отримаємо: 4х + 2100 = 4100; 4х = 2000; х = 500.

Відповідь: 500 кг піску і 420 кг цементу.

66. Одна сторона трикутника утричі більша за другу. Периметр

трикутника на 22 см більший за їх півсуму і на 27 см більший за їх піврізницю. Знайдіть сторони трикутника.

Нехай друга сторона трикутника дорівнює х см, тоді перша сторона — Зх см, а третя сторона — y см. Отже, периметр — х + 3х + у = (4х + у) (см). Півсума двох перших сторін трикутника становить:

3x + x2 = 2x (см), а їх піврвзниця – 3х - х2 = х (см).

Система: 4x + y – 2x = 22, 2x + y = 22│∙(–1), –2x – y = –22,

4x + y – x = 27; 3x + y = 27; 3x + y = 27;

x = 5. З другого рівняння системи одержимо: 15 + y = 27; y = 12.

Друга сторона трикутника дорівнює 3 ∙ 5 = 15 (см). Отже, сторони трикутника, відповідно, дорівнюють 5 см; 15 см і 12 см.

Відповідь: 5 см; 15 см і 12 см.

67. Якщо довжину прямокутника збільшити на 3 см, а ширину

– на 2 см, то його площа збільшиться на 37 см2. Якщо ж кожну сторону прямокутника зменшити на 1 см, то його площа зменшиться на 12 см². Знайдіть периметр даного прямокутника.

Нехай початкова довжина прямокутника дорівнює х см, ширина — y см, тоді площа — ху (см²). Після першої зміни розмірів довжина прямокутника дорівнюватиме (х + 3) см, ширина — (у + 2) см, а площа — (х + 3)(у + 2) (см²). Перше рівняння: (х + 3)(y + 2) – xу = 37; xy + 2х + 3y + 6 – хy = 37; 2х + 3y = 31. Після другої зміни розмірів довжина прямокутника дорівнюватиме (х – 1)см, ширина — (у – 1)см, а площа — (х – 1)(y – 1)(см²). Друге рівняння: ху – (х – 1)(у – 1)= 12; ху –ху + х + у – 1 = 12; х + y =13.

Система: 2x + 3y = 31, 2x + 3y = 31,

x + y = 13│∙(–2); –2x – 2y = –26; y = 5.

З першого рівняння системи отримаємо: 2х + 15 = 31; 2х = 16; х = 8. Периметр початкового прямокутника дорівнює: 2 ∙ (8 + 5)=26 (см).

Відповідь: 26 см.

68. Зливок складається з двох металів, маси яких відносяться

як 3 : 4. Інший зливок містить ті самі метали, але у відношенні 1 : 2. По скільки кілограмів від кожного зливку треба взяти, щоб одержати зливок масою 10 кг, у якому маси тих самих металів відносяться як 2 : З?

У 10 кг зливку міститься 10 : (2 + 3) ∙ 2 = 4 кг одного металу, а іншого — 10 – 4 = 6 (кг). Нехай маса першого зливку дорівнює а кг, а другого — b кг. У першому зливку одного металу є 37а (кг), а іншого – 47а (кг). У другому зливку одного металу є 13b (кг), а іншого – 23b (кг).

Система: 37a + 13b = 4│∙21,

47a + 23b = 6│∙21;

9a + 7b = 84│∙ (–2), –18a – 14b = –168,

12a + 14b = 126; 12a + 14b = 126; –6a = –42; a = 7.

3 першого рівняння передостанньої системи одержимо:

63 + 7b = 84; 7b = 21; b = 3. Отже, від першого зливку треба взяти 7 кг, а від другого — 3 кг.

Відповідь: 7 кг від першого зливку і 3 кг від другого зливку.

69. Дорога від села до міста спочатку пролягає горизонтально,

а потім угору. Турист проїхав на велосипеді горизонтальну

її частину зі швидкістю 10 км/год, а вгору йшов пішки зі швидкістю 3 км/год і прибув до міста через 1 год 40 хв після виїзду із села. У зворотному напрямку шлях униз турист проїхав зі швидкістю 15 км/год, а горизонтальну ділянку – зі швидкістю 12 км/год і прибув до села через 58 хв після виїзду з міста. Знайдіть відстань між містом і селом.

Нехай довжина горизонтальної частини шляху дорівнює х км, тоді час, затрачений на подолання цієї ділянки — x10 год. Частина шляху, що йде вгору, нехай дорівнює y км, тоді час, затрачений на подолання цієї ділянки — y3 год.

1 год 40 хв =14060 = 123 = 53 (год). Перше рівняння: x10 + y3 = 53│∙30;

Зх + 10y = 50. У зворотному напрямку на шлях, що йде з гори, турист витратив y15 год, а на горизонтальну частину шляху — x12 год 58 хв = 5860 год. Друге рівняння: y15 + x12 = 5860│∙ 60; 4у+ 5х + 58.

Система: 3x + 10y = 50│∙(–5), –15x – 50y = –250,

5x + 4y = 58│∙3; 15x + 12y = 174;

–38y = –76; y = 2. З другого рівняння першої системи отримаємо: 5х + 8 = 58; 5x = 50; х = 10. Отже, від села до міста — 2 + 10 = 12 (км).

Відповідь: 12 км.

70. В одному резервуарі 490 л води, а в іншому 560 л. Якщо

долити перший резервуар до країв водою з другого, то другий

резервуар виявиться заповненим тільки наполовину. Якщо другий резервуар до країв долити водою з першого, то перший буде заповнений водою тільки на третину. Визначте ємність кожного з резервуарів.

Нехай об’єм першого резервуара х л, а другого — y л. В обох резервуарах знаходиться 490 + 560 = 1050 (л) води. Якщо долити перший резервуар доверху водою з другого, то другий резервуар виявиться наповненим тільки наполовину. Перше рівняння: х + 0,5y = 1050. Якщо другий резервуар долити доверху водою з першого, то перший буде наповнений водою тільки на третину.

Друге рівняння: 13x + y = 1050. Система:

x + 0,5y = 1050, x + 0,5y = 1050,

13x + y = 1050│∙ (–3); –x – 3y = –3150; –2,5y = –2100;

y = 840. З першого рівняння першої системи одержимо:

х + 420 = 1050; х = 630.

Відповідь: Об’єм першого резервуара 630 л, а другого — 840 л.

71. Автобус і маршрутне таксі, які за розкладом вирушають

назустріч один одному о 8 год з пунктів A i В, зазвичай зустрічаються о 8 год 12 хв. Але одного разу маршрутне таксі вирушило в рейс о 8 год 8 хв і зустрілося з автобусом о 8 год 17 хв. Знайдіть швидкість автобуса і швидкість маршрутного таксі, якщо відстань між A i B дорівнює 24 км.

Нехай швидкість автобуса дорівнює х км/год, а маршрутного таксі — у км/год. Якщо виїзд відбувся за розкладом, то до зустрічі автобус проїжджає відстань 1260х км, а маршрутне таксі 1260у км. Перше рівняння: 1260х + 1260y = 24. При порушенні часу виїзду автобус проїхав відстань 1760х км, а маршрутне таксі 960 у км. Друге рівняння:

1760 х + 960y = 24. Система:

1260x + 1260y = 24│∙5, x + y = 120│∙(–9), –9x – 9y = –1080,

1760x + 960y = 24│∙60, 17x + 9y = 1440; 17x + 9y = 1440;

8х = 360; х = 45. 3 першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 45 +y = 120; y = 75.

Відповідь: Швидкість автобуса 45 км/год, маршрутного таксі — 75 км/год.

72. З пункту M до пункту N о 7 год і о 7 год 30 хв виїхали

два автобуси з однією і тією самою швидкістю. O 7 год 10 хв

з пункту N до пункту M виїхав велосипедист. Він зустрів перший

автобус о 7 год 40 хв, а другий – о 8 год 01 хв. Знайдіть

швидкості велосипедиста та кожного з автобусів, якщо відстань

між пунктами M i N дорівнює 37 км.

Нехай швидкість кожного автобуса дорівнює х км/год, а велосипедиста — y км/год. До зустрічі перший автобус проїхав–

х(74060 – 7) = 23х (км), а велосипедист — y (74060 – 71060) = 12y (км). Перше рівняння: 23х + 12у = 37. Другий автобус до зустрічі проїхав – x(8160 – 73060) = 3160x (км), а велосипедист — y(8160 – 71060) = 5160y (км), Друге рівняння: 3160х + 5160у = 37. Система:

23х + 12у = 37│∙6, 4x + 3y = 222│∙(–17), –68x – 51y = –3774,

3160х + 5160у = 37│∙60; 31x + 51y = 2220; 31x + 51y = 2220;

–37x = –1544; х = 42. З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 168 + 3y = 222; Зу = 54; у = 18.

Відповідь: Швидкість кожного автобуса 42 км/год, велосипедиста — 18 км/год.

73. З міста в село, відстань між якими 24 км, вирушив турист.

Через 1 год 20 хв услід за ним виїхав велосипедист, який через півгодини наздогнав туриста. Після прибуття в село велосипедист, не зупиняючись, повернув назад і зустрівся з туристом через півтори години після першої зустрічі. Знайдіть швидкість туриста і швидкість велосипедиста.

Нехай швидкість туриста х км/год, а велосипедиста — y км/год. 1 год 20 хв = 126год; 0,5 год = 36год. До першої зустрічі турист пройшов 126х + 36x = 156х (км.), а велосипедист 12y км. Перше рівняння: 156х = 12 y. До другої зустрічі велосипедист проїхав 12y + 112y = 2y (км), а турист пройшов 156х + 136х = 313х(км). Друге рівняння: 313х + 2y= 48. Система:

156x = 12y│∙ 6, 11x – 3y = 0, 11x – 3y = 0,

313х + 2y= 48│∙3; 10x + 6y = 144│:2; 5x + 3y = 72; 16x = 72;

x = 4,5. З другого рівняння останньої системи отримаємо:

22,5 + Зу = 72; Зу = 49,5; у = 16,5.

Відповідь: Швидкість туриста 4,5 км/год, велосипедиста — 16,5 км/год.

74. З міста А в місто В о 9 год виїхали два автобуси. У той самий час з міста В в місто А виїхав велосипедист. Один автобус трапився на його шляху о 10 год 20 хв, а другий – об 11 год. Знайдіть швидкості велосипедиста та кожного з автобусів, якщо швидкість одного автобуса становить 712 від швидкості другого, а відстань між містами – 120 км.

Нехай швидкість велосипедиста х км/год, швидкість першого автобуса у км/год, а другого — 712 у км/год. Велосипедист до зустрічі з першим автобусом проїхав х(102060 – 9 ) = 113 х ( км), автобус — 113у (км). Перше рівняння: 113 x + 113y = 120.

До зустрічі з другим автобусом велосипедист проїхав у(11 – 9 ) = 2у (км), а автобус— 712у (11 – 9) = 76 у (км). Друге рівняння:

2х + 76у = 120. Система: 113 x + 113y = 120│∙ 3, 4x +4y = 360│∙(–3)

2х + 76у = 120│∙6; 12x + 7y = 720;

–12x – 12y = –1080,

12x + 7y = 720; –5y = –360;

у = 72. З другого рівняння системи одержимо: 12х + 504 = 720;

12х = 216; х = 18.

Швидкість другого автобуса дорівнює 72 ∙ 712 = 42 (км).

Відповідь: Швидкість велосипедиста 18 км/год, а автобусів —

42 км/год і 72 км/год.

75. По колу, довжина якого 500 м, рухаються дві точки. Вони зустрічаються через кожні 10 с, якщо рухаються у протилежних

напрямках, і через кожні 50 с, якщо в одному. Знайдіть швидкість кожної з точок.

Нехай швидкість першої точки х м/с, а швидкість другої — у м/с. Система: 50x – 50y = 500│:5, 10x – 10y = 100,

10x + 10y = 500; 10x + 10y = 500;

20x = 600; x = 30. З другого рівняння першої системи отримаємо: 300 + 10y = 500; 10y = 200; у = 20.

Відповідь: Швидкість першої точки 30 м/с, швидкість другої — 20 м/с.