Задачі підвищеної складності: 59 (1-2)

59. Розв’яжіть рівняння з двома змінними:

1) (х – 2)² + (Зх – у)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює

нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже,

розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x – 2 = 0, x = 2,

3x – y = 0; y = 6.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (2; 6).

Відповідь: (2; 6);

2) (2х – у)² + x² + 8х + 16 = 0; (2х – у)² + (х + 4)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

2x – y = 0, x = –4,

x + 4 = 0; y = –8.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (–4; –8).

Відповідь: (–4 ; –8);

3) (1х + у – 3)² + х² + 2ху + у² = 0; (7х + у – З)² + (х + у)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: 7x + y – 3 = 0 –7y + y – 3 = 0, –6y = 3,

x + y = 0; x = –y; x = 0,5.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (0,5; –0,5).

Відповідь: (0,5; –0,5);

4) |х – у + 5| + x² – 4ху + 4у² = 0; |х – у + 5| + (х – 2у)² = 0. Сума двох невід’ємних ; виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x – y + 5 = 0, x – y + 5 = 0,

x – 2y = 0│∙(–1); –x + 2y = 0; y + 5 = 0; y = –5.

Підставимо у перше рівняння системи значення у = –5 й отримаємо: х + 5 + 5 = 0; х = –10. Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (–10; –5).

Відповідь: (–10; –5);

5) x² + y² – 4х + 2у + 5 = 0; (х² – 4х + 4) + (у² + 2у + 1) = 0;

(х – 2)² + (у + 1)² = 0.

Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x – 2 = 0, x = 2,

y + 1 = 0; y = –1.

Розв язком системи і рівняння є пара чисел (2; –1).

Відповідь: (2; –1);

6) x² – 2ху + 2у² + 6у + 9 = 0; (х² – 2xу + y²) + (у² + 6у + 9) = 0;

(х – у)² + (у + З)² = 0.

Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: x – y = 0, y = –3,

y + 3 = 0; x = –3.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (–3; –3).

Відповідь: (–3; –3);