Вправи: 752

752. Нехай x₁, x₂, ..., x₂₅ — деякий набір натуральних чисел, а набір y₁, y₂, ..., y₂₅ отримано з нього в результаті перестановки деяких чисел. Доведіть, що значення виразу (x₁ – y₁) × (x₂ – y₂) ... (x₂₅ – y₂₅) є парним числом.

Щоб добуток (x₁ – у₁)(х₂ – у₂) … (х₂₅ – y₂₅) був непарним числом потрібно, щоб числа у кожному його множнику були різної парності, тобто потрібно, щоб серед чисел x₁, х₂, .., x₂₅ непарних чисел було стільки, скільки парних серед чисел у₁, у₂, ...,y₂₅, і навпаки. Але числа у₁, у₂, ..., y₂₅ утворені перестановкою чисел х₁, х₂,…,х₂₅, а серед 25 чисел не може бути однакової кількості парних і непарних чисел. Отже, значення виразу (х₁ – у₁)(х₂ – у₂) ... (x₂₅ – y₂₅) є парним числом.

Завдання № 5 «Перевір себе» в тестовій формі

1. Подайте у вигляді многочлена вираз

(х – 6)(х² + 6х + 36) = х³ – 6³ = х³ – 216.

Відповідь: В).

2. Знайдіть многочлен M, якщо y³ – 64 = (y – 4) ∙ M.

y³ – 64 = (у – 4)(у² + 4х + 16). Отже, М = y² + 4х + 16.

Відповідь: Г).

3. Спростіть вираз

(а² + 2b³)(а⁴ – 2a²b³ + 4b⁶) = (a²)³ + (2b³)³ = a⁶ + 8b⁹.

Відповідь: Г).

4. Розкладіть на множники многочлен

Зс² – 48 = 3(с² – 16) = 3(с – 4)(с + 4).

Відповідь: Б).

5. Розкладіть на множники вираз

7а² – 42а + 63 = 7(а² – 6а + 9) = 7(а – З)².

Відповідь: Б).

6. Розкладіть на множники многочлен

а⁸ – а⁶ = a⁶(a² – 1) = a⁶(a – 1)(а + 1).

Відповідь: Б).

7. Розкладіть на множники вираз

m² + n² + m + n = (m – n)(m + n) + m + n = (m + n)(m – n + 1).

Відповідь: А).

8. Подайте у вигляді добутку вираз

x² – y² + 14у – 49 = х² – (у² – 14у + 49) = х² – (у – 7)² = (х – у +

+ 7)(х + у – 1).

Відповідь: В).

9. Розкладіть на множники многочлен

81а⁴ – 1 = (9а²)² – 1 = (9а² – 1)(9а² + 1) = (За – 1)(3а + 1)(9a² + 1).

Відповідь: А).

10. Розв’яжіть рівняння

49х – х² = 0; х(49 – х) = 0; х = 0 або 49 – х = 0; х=0 або х = 49.

Відповідь: В).

11. Розв’яжіть рівняння

х³ + Зх² – х – 3 = 0; х²(х + 3) – (х + 3) = 0; (х² – 1)(х + 3) = 0; (х – 1)(х + 1)(х + 3) = 0; х – 1 = 0, або х + 1 = 0, або х + 3 = 0;

х = 1, або х = –1, або х = –3.

Відповідь: Г).

12. Подайте у вигляді добутку вираз

(х² – 2)² – 4(х² – 2) + 4 = ((х² – 2) – 2)² = (х² – 4)² = (х – 2)²(х +

+ 2)².

Відповідь: Б).