Вправи: 738

738. Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу (2n −1)³ − 4n² + 2n +1 ділиться націло на 16.

(2n – 1)³ – 4n² + 2n + 1=(2n – 1)(2n – 1)² – 4n² + 2n + 1 = (2n – 1)(4n² – 4n + 1) – 4n² + 2n + 1 =8n³ – 8n² + 2n – 4n² + 4n – 1 –

– 4n² + 2n + 1 = 8n³ – 16n² + 8n = 8n(n² – 2n + 1) = 8n(n – 1)² — ділиться націло на 16, бо крім того, що значення виразу 8n(n – 1)²

ділиться на 8, із його двох послідовних натуральних множників n і

n – 1 один завжди ділиться на 2.