Вправи: 1206

1206. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n, яке не кратне 5, значення виразу n⁴ – 1 ділиться націло на 5.

n⁴ – 1 = (n² – 1)(n² + 1) = (n – 1)(n + 1)(n² + 1).

Натуральне число и, яке не кратне 5 можна записати n = 5m ± 1 або n = 5m ± 2.

Якщо n = 5m + 1, то для множника n – 1 матимемо: n – 1 = (5m + 1) – 1 = 5m — кратне 5. Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n² + 1) кратне 5.

Якщо b = 5m – 1, то для множника n + 1 матимемо: n + 1 = (5m – 1) + 1 = 5m — кратне 5. Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n² + 1) кратне 5.

Якщо n = 5m + 2, то для множника n² + 1 матимемо:

n² + 1 = (5m + 2)² + 1 = 25m² + 20m + 4 + 1 = 25m² + 20m + 5 = 5(5m² + 4m + 1) — кратне 5. Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n² + 1) кратне 5.

Якщо n = 5m – 2, то для множника n² + 1 матимемо:

n² + 1 = (5m – 2)² + 1 = 25m² – 20m + 4 + 1 = 25m² – 20m + 5 = 5(5m² – 4m + 1) — кратне 5. Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n² + 1) кратне 5.