Вправи: 267

267. Чотири футбольні збірні зіграли матчі групового турніру. Кожні дві команди зіграли між собою один раз, жодний матч не закінчився внічию і жодна з команд не програла усі матчі. Доведіть, що знайдуться такі три команди, що перша перемогла другу, друга перемогла третю, а третя перемогла першу.

Нехай команда А програла найбільшу кількість матчів. За умовою

жодний матч не закінчився внічию і жодна команда не програла усі матчі, тобто команда А перемогла деяку команду В, але програла командам C i D. Команда В, відповідно до умови задачі, перемогла деяку команду С, причому команда C не може перемогли команду В (зустріч команд — одна), але команда C не може перемогти і команду D (бо у команди D не буде перемог, що за умовою неможливо). Отже, команда C перемогла команду А. Таким чином, існує три команди такі, що перша перемогла другу, друга перемогла третю, а третя перемогла першу.