Вправи: 213

213. Знайдіть значення виразу:

а) (3x²y)³ • у³ = 27х⁶у³ • у³ = 27(xy)⁶.

Якщо х = 2; у = 0,5, то 27 • (2 • 0,5)⁶ = 27 • 1 = 27;

б) (а²bс)² • 5аbс³ = а⁴b²с² • 5abc³ = 5а⁵b³с⁵ = 5(ас)⁵b³.

Якщо а = 116 = 76; b = - 4; с = 67; то 5 • (76 • 67)⁵ • (-4)³ =5 • 1•(-64) =

= -320.

214*. Спростіть вираз:

a) (a⁴)²ⁿ • (a⁴aⁿ⁺²)² = a⁸ⁿ • a⁸ • a²ⁿ⁺⁴ = a¹⁰ⁿ⁺¹²;

б) (-2y^k)⁸ • (-y³)⁵ = 256y^8k • (-y)¹⁵ = -256y^8k+15;

в) 2²ⁿ • 3ⁿ • (112)ⁿ = (4 • 3 • 112)ⁿ = 1;

r) (2 • (-1)ⁿ)³ • (2 • (-1)ⁿ⁺²)⁵ = 8 • (-1)³ⁿ•2⁵ • (-1)⁵ⁿ⁺¹⁰ = 256 •

• (-1)⁸ⁿ⁺¹⁰ = 256.

215*. Знайдіть останню цифру числа 3⁸¹.

3⁸¹ = 3⁸⁰ • 3 — число закінчується цифрою 3. Порівняємо за модулем 10: 3¹ ≡ 3; З² ≡ 9; З³ ≡ 7; З⁴ ≡ 1; З⁵ ≡ 3; З⁶ = 9; З⁷ закінчується цифрою 7 і З⁸ закінчується цифрою 1, тобто степінь числа 3 може закінчуватися або З, або 9, або 7, або 1. Число 80 кратне 4, тому З⁸⁰ закінчується цифрою 1, а число З⁸⁰ • 3 закінчується цифрою 3.

216*. Що більше: 80²⁰ чи 9⁴⁰?

8²⁰ < 9⁴⁰ = (9²)²⁰ = 81²⁰. Отже, 80²⁰ < 9⁴⁰.

217*. Розв’яжіть рівняння:

а) (2x)² + (256x)⁸ = 0. Кожен доданок повинен дорівнювати нулю, щоб сума невід’ємних доданків дорівнювала нулю. Це можливо, якщо x = 0.

б) (х - 2)² + (x + 2)² = 0. Дана рівність виконується, якщо х - 2 = 0 і х + 2 = 0, тобто х = 2 і х = -2, що одночасно неможливо. Отже, дане рівняння не має розв’язків.

в) x⁶ + |3х| = 0. Рівність виконується, якщо обидва доданки одночасно дорівнюють нулю, це можливо за умови x = 0.

6. Установіть відповідність між виразом і записом виразу у вигляді степеня з основою х:

а → 2); б → 1); в → 3).

7. Обчисліть:

а) 4 • 3³ - 4³ = 4 • (27 - 16)= 4 • 11 = 44;

б) (2⁵ • 4²) • 5 = (32 - 16) • 5 = 16 • 5 = 80;

в) (З² + 1)³ = 10³ = 1000.

8. Подайте одночлен у стандартному вигляді:

а) 2а⁴ • За = 6а⁵; б) -0,Заb³ • 5а⁴b² = -1,5а⁵b⁵;

в) (2ас³)⁴ = 16а⁴с¹².

9. Знайдіть значення виразу:

а) (2хy)³ = 8х³у³.

Якщо х = 2; у = 0,25, то 8 • (2 • 0,25)³ = 8 • 0,5³ = 8 • 0,125 = 1;

б) (а²b)² • ab² = а⁴b² • аb² = а⁵b⁴.

Якщо а = 2; b = 5, то 2⁵ • 5⁴ = (2 • 5)⁴ • 2 = 10⁴ • 2 = 20 000.

10. Запишіть вираз у вигляді степеня:

а) (6³ • 6⁴)⁵ • 6 = 6³⁵ • 6 = 6³⁶;

б) (З⁵ • З)³ • (З⁴)⁷ = (3⁶)³ • З²⁸ = З¹⁸ • З²⁸ = З⁴⁶;

в) 2⁸ • 4⁴ • 16² = 2⁸ • 2⁸ • 2⁸ = 2²⁴.

11. Спростіть вираз:

а) 3,6х²у² • (-5х⁴y⁵) • (-2х²у) = З6x⁸y⁸;

б) 213 а²с³ • (3a²b⁴c³)³ = 73a²c³ • 27 • a⁶b¹²c⁹ = 63a⁸b¹²c¹²;

в) (-m⁷n⁸)⁵ • (-0,2m³n⁵)⁴ = -m³⁵n⁴⁰•(0,0016m¹²n²⁰) = -0,0016m⁴⁷n⁶⁰;

г) (-23a³x⁴) • (-53ax²)² • (-32a²x)³ = -23 • 259 • (-278) • a³ • x⁴ • a² • x⁴ •

• a⁶ • x³ = 254a¹¹x¹¹ = 6,25a¹¹x¹¹.

12. Подайте одночлен 64a¹²b¹⁸ у вигляді:

а) добутку трьох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є –4a⁵b⁸;

в) куба одночлена стандартного вигляду.

a) 64a¹²b¹⁸ = 4ab⁹ • 16a⁷ • a⁴b⁹; б) 64a¹²b¹⁸ = -4a⁵b⁸ • (-16) a⁷b¹⁰; в) 64a¹²b¹⁸ = (4a⁴b⁶)³.

13. Знайдіть значення виразу:

a) (a⁴c²)² • c⁴ = a⁸c⁴c⁴ = a⁸c⁸ = (ac)⁸.

Якщо a = 4; c = -0,5, тo (4 • (-0,5))⁸ = (-2)⁸ = 256;

6) 2(x²yz³)² • x²y² = 2x⁴y²z⁶ • x²y² = 2x⁶y⁴z⁶ = 2y⁴(xz)⁶.

Якщо x = 223 = 83; y = -2; z = 38, тo 2 • (-2)⁴ • (83 • 38)⁶ = 32.

14. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою 2:

a) 2²ⁿ • 4ⁿ⁺¹ • (-16)² = 2²ⁿ • 2²ⁿ⁺² • (-2⁴)² = 2⁴ⁿ⁺² • 2⁸ = = 2⁴ⁿ⁺¹⁰;

б) (8 • 2ⁿ⁺³)³ • (4ⁿ • 2ⁿ⁺²)² = (2³ • 2ⁿ⁺³)³ • (2²ⁿ • 2ⁿ⁺²)² =

= (2ⁿ⁺⁶)³ • (2³ⁿ⁺²)² = 2³ⁿ⁺¹⁸ • 2⁶ⁿ⁺⁴ = 2⁹ⁿ⁺²².

15. Знайдіть значення виразу:

а) (8m³n²)² • n² = 64m⁶n⁶ = (2mn)⁶.

Якщо m = 20; n = -0,025, то (-2 • 20 • 0,025)⁶ = 1;

б) (3^k+1a^k)² • (3аb)^k • (b^k)² = 3^2k+2a^2k • 3^ka^kb^3k = 3^3k+2 • а3^k • b^3k =

= (Зab)^3k • 9.

Якщо a = 23; b = 12; k = 18, то (3 • 23 • 12)⁵⁴ • 9 = 1 • 9 = 9.

16. Знайдіть останню цифру числа 4⁴⁵.

4⁴⁵, це число закінчується цифрою 4, бо непарна степінь числа 4 закінчується цифрою 4, а парне степінь закінчується цифрою 6, число 45 (показник степеня) є непарне число.

17. Розв’яжіть рівняння:

а) (4x)⁴ + (-8аx)⁸ = 0. Сума невід’ємних чисел дорівнює нулю, якщо кожен доданок дорівнює одночасно нулю, тобто x = 0.

б) x² + |2x - 1| = 0. Маємо x² ≥ 0, |2х - 1| ≥ 0. Сума невід’ємних чисел дорівнює нулю, якщо кожен доданок дорівнює одночасно нулю. У данному випадку це неможливо, тому дане рівняння не має

коренів.