Вправи: 1048

1048. Доведіть тотожність:

а) у(b - х) + х(b + у) = b(х + у).

Виконаємо перетворення лівої частини рівності:

у(b - х) + х(b + у) = by - xy + xb + xy = b(у + х).

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведена.

б) (-m + n)(m - n) = -(n - m)². Перетворимо ліву частину рівності:

(-m + n)(m - n) = (n - m) • (-(n - m)) = -(n - m)².

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведена.

в) (а + b + с + d)² - (а + b)² - (с + d)² = 2(а + b)(с + d).

Перетворимо ліву частину рівності:

(а + b + с + d)² - (а + b)²- (с + d)² = (a + b + с + d - a - b)(а + b +

+ с + d + а + b) - (с + d)² = (с + d)(2a + 2b + с + d) - (с + d)² =

= (с + d)(2a + 2b + c + d - c - d) = (c + d) • 2(a + b) = 2(a + b)(c +

+ d).

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведена.

г) (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7) + 7 = (n² + 8n + 8)(n² + 8n + 14).

Перетворимо ліву частину рівності:

(n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7) + 7 = (n² + 7n + n + 7)(n² + 5n + Зn + 15) + 7 = (n² + 8n + 7)(n² + 8n + 15) + 7 = (n² + 8n)² + 15 • (n² + 8n) + 7 • (n² + 8n) + 7 • 15 + 7 = (n² + 8n)² + 14(n² + 8n) + 8(n² + 8n) + 7 • 16 = (n² + 8n)(n² + 8n + 14) + 8(n² + 8n + 14) = (n² + 8n + 14)(n² + 8n + 8).

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведена.