Завдання 1001 - 1100 » 1019

Знайди всі двоцифрові натуральні числа, як і кратні добутку своїх цифр. Нехай двозначне число складене з двох цифр a і b, причому a ≠ 0 і b ≠ 0. Тоді число можна представити у вигляді суми ab = 10a + b. Перевіримо випадок a = b: (10а + а)/(а • а) = 11/а. Так як число 11 – просте (дільники 1 і 11), число 11 буде кратне 1 • 1. Інші двозначні числа не підходять під умову. Число кратне добутку цифр ab. (10a + b)/(a • b) = k. kab = 10a + b | :b ka = (2 • 5 • a)/b + 1; Так як числа ka і 1 – цілі, значить, дріб повинна теж стати цілим числом. Знаменник b має дорівнювати 1 або скоротитися. 1) b = 1; a = b/(kb - 10) = 1/(k - 10); k = 11; a = 1; 2) b = 2; (10a + 2)/2a = 5 + 1/a; а = 1; 3) b = 5; (10a + 5)/5a = 2 + 1/a; а = 1; 4) Число a або число 2a повинні бути кратні цифрі b. Можливі пари, крім розглянутих: (2; 4), (3; 6), (4; 8), (6; 3), (8; 4), (9; 3) а = 2; b = 4; (10a + b)/ab = (20 + 4)/(2 • 4) = 4; a = 3; b = 6; (30 + 6)/(3 • 6) = 2; Решта варіантів не підходить a = 4; b = 8; (40 + 8)/(4 • 8) = 3/2; a = 6; b = 3; (60 + 3)/(6 • 3) = 7/2; a = 8; b = 4; (80 + 4)/(8 • 4) = 21/8; a = 9; b = 3; (90 + 3)/(9 • 3) = 31/9; Відповідь: 11, 12, 15, 24, 36.