§ 6: 6.15 (1)

6.15 Розв’яжіть рівняння:

1) x³ + x² – 4х + 2 = 0; Р(х) = х³ + х² – 4х + 2.

Дільники 2: ±1; ±2. Р(1) = 1 + 1 – 4 + 2 = 0; Р(–1)= –1 + 1 + 4 + 2 ≠ 0; Р(2) = 8 + 4 – 8 + 2 ≠ 0; Р(–2) = –8 + 4 + 8 + 2 ≠ 0 ⇒ х = 1 – корінь рівняння ⇒ P(x) ⋮ (х – 1).

_x³ + x² – 4x + 2 x – 1

x³ – x² x² + 2x + 1

_2x² – 4x

2x² – 2x

_–2x + 2

–2x + 2

0

Тобто Р(х) = (х – 1) • (х² + 2х – 2). Знайдемо корені рівняння x² + 2х – 2 = 0. D₁ = 1 + 2 = 3; х₁ = –1 + 3; x₂ = – 1 – 3 ⇒ х = 1; х = –1 ± 3 – корені рівняння Р(х) = 0.

Відповідь: х – 1; х = –1 ± 3.

2) х³ – х² – 8х + 12 = 0; Р(х) = х³ – х² – 8х + 12.

Дільники 12: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12. Р(1)= 1 – 1 – 8 + 12 ≠ 0;

Р(–1) = –1 – 1 + 8 + 12 ≠ 0; Р(2) = 8 – 4 – 16 + 12 = 0 ⇒ х = 2 –

корінь рівняння ⇒ Р(х) ⋮ (х – 2).

_x³ – x² – 8x + 12 x – 2

x³ – 2x² x² + x – 6

_x² – 8x

x² – 2x

–6x + 12

Тобто Р(х) = (х – 2) • (х² + х – 6) = (х – 2) • (х – 2)(х + 3) ⇒ х = 2;

х = 3 – корені рівняння Р(х) = 0.

Відповідь: х = 2; х = 3.

3) x³ + 4x² + 5x + 2 = 0; Р(х) = х³ + 4х² + 5х + 2.

Дільники 2: ±1; ±2. Р(1) ≠ 0; Р(2) ≠ 0; Р(–1) = –1 + 4 – 5 + 2 = 0 ⇒ х = –1 – корінь ⇒ P (x) ⋮ (x + 1).

_x³ + 4x² + 5x + 2 x + 1

x³ + x² x² + 3x + 2

_3x² + 5x

3x² + 3x

_2x + 2

2x + 2

0

Тоді Р(х) = (х + 1)(х² + Зх + 2) = (х + 1) • (х + 1)(х + 2) ⇒ x = –1;

х = –2 – корені рівняння Р(х) = 0.

Відповідь: х = –1; х = –2 .

4) х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1 = 0; Р(х) = х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1.

Дільники 1: ±1. Р(1) = 1 + 4 – 2 – 4 + 1= 0;

Р(–1) = 1 – 4 – 2 + 4 + 1 = 0 ⇒ х = ±1 –корені рівняння ⇒ Р(х) ⋮ (х – 1) і Р(х) ⋮ (х + 1).

Тоді Р(х) ⋮ (х – 1) • (х + 1), тобто Р(х) ⋮ ((x² – 1).

_x⁴ + 4x³ – 2x² – 4x + 1 x² – 1

x⁴ – x² x² + 4x – 1

_4x³ – x² – 4x

4x³ – 4x

_–x² + 1

–x² + 1

0

Тоді Р(х) = (х – 1)(х + 1)(х² + 4х – 1). Знайдемо корені рівняння

x² + 4х – 1 = 0. D₁ = 4 + 1 = 5; х₁ = –4 + 5; x₂ = –4 – 5 ⇒ х = 1; –1; –4 ± 5 –корені рівняння Р(х) = 0.

Відповідь: ±1; –4 ± 5.