§ 6: 6.14

6.14 Розв’яжіть рівняння:

1) x³ + 9x² + 23x + 15 = 0; P(x) = x³ + 9х² + 23x + 15.

Дільники 15: ±3; ±5; ±15; ±1. Р(3) ≠ 0;

Р(5) ≠ 0; Р(15) ≠ 0; Р(–3) = –27 + 81 – 69 + 15 = 0; Р(–5) = –125 +

225 – 115 + 15 = 0;

Р(–1) = –1 + 9 – 23 + 15 = 0; Р(1) ≠ 0 ⇒ х = –1; х = –3; x = –5 – корені рівняння.

Відповідь: x = –1; х = –3; x = –5.

2) 2х³ – x² – 5x – 2 = 0; Р(х) = 2x³ – x² – 5x – 2.

Дільники –2: ±1; ±2. P(1) = 2 – 1 – 5 – 2 ≠ 0;

P(–1) = – 2 – 1 + 5 – 2 = 0; P(2)= 16 – 4 – 10 – 2 = 0; P(–2) =–16 – 4 + 10 – 2 ≠ 0= ⇒ x = –2 і x = 2 – корені рівняння.

Оскільки х = –1 є коренем, то Р(х) ⋮ (х – 2) = Р(х) ⋮ (х + 1)(х – 2), тобто Р(х) ⋮ (х² – х –2).

_2x³ – x² – 5x – 2 x² – x – 2

2x³ – 2x² – 4x 2x – 1

_x² – x – 2

x² – x – 2

0

Тобто Р(х) = (х + 1) • (х – 2) • (2x – 1) ⇒ х = 12 – третій корінь.

Відповідь: х = –1; x = 2; х = 12.

3) 3x⁴ + 5х³ – x² – 5х – 2 = 0; Р(х) = Зх⁴ + 5х³ – х² – 5х – 2.

Дільники –2; ±1; ±2

P(1) = 3 + 5 – 2 – 5 – 2 = 0; Р(–1) = 3 – 5 – 1 + 5 – 2 = 0; Р(2) = 48 + 40 – 4 – 10 + 2 ≠ 0;

Р (–2) = 48 – 40 – 4 + 10 – 2 ≠ 0 ⇒ х = ±1 – корені рівняння. Оскільки х = 1 – корінь, то Р(х) ⋮ (х – 1). Оскільки х = –1 – корінь,

то Р(х) ⋮ (х + 1) ⇒ Р(х) ⋮ (х – 1) • (х + 1), тобто Р(х) ⋮ (х² – 1).

_3x⁴ + 5x³ – x² – 5x – 2 x² – 1

3x⁴ – 3x² 3x² + 5x + 2

_5x³ + 2x² – 5x

5x³ – 5x

_2x² – 2

2x² + 2

0

Тобто Р(х) = (х – 1)(х + 1)(3х² + 5х + 2).

Знайдемокорені рівняння Зх² + 5х + 2 = 0;

D = 25 – 24 = 1; x₁ = -5+16 = –46 = –23; x₂ = -5-16 = –1.

Маємо:

Р(х) = 3(х – 1)(х + 1)(x + 23)(х +1) ⇒ х = ±1; х = –23 – корені.

Відповідь: х = ±1; х = –23.

4) 5х⁴ + 9х³ – 2х² – 4х – 8 = 0; Р(х) = 5х⁴ + 9х³ – 2х² – 4х – 8.

Дільники –8: ±1; ±2; ±4; ±8.

P(1) = 5 + 9 – 2 – 4 – 8 = 0; Р(–1) = 5 – 9 – 2 + 4 – 8 ≠ 0;

Р(2) = 80 + 72 – 8 – 8 – 8 ≠ 0;

Р(–2) = 80 – 72 – 8 + 8 – 8 = 0 ⇒ х = 1 та х = –2 – корені рівняння.

Оскільки х = 1 – корінь, то Р(х) (х – 1) х

х (х + 2), тобто Р(х) і (х² + х – 2).

_5x⁴ + 9x³ – 2x² – 4x – 8 x² + x – 2

5x⁴ + 5x² – 10x² 5x² + 4x + 4

_4x³ + 8x² – 4x

4x³ + 4x² – 8x

_4x² + 4x – 8

4x² + 4x – 8

0

Тобто Р(х) = (х – 1)(х + 2)(5х² + 4х + 4). Тричлен 5x² + 4х + 4 не має коренів ⇒ х = 1; х = –2 – корені рівняння.

Відповідь: х = 1; х = –2.