§ 4: 4.11

4.11 Нехай g – функція, обернена до функції f (x) = x⁵ + 6x³.

1) Знайдіть g (7). 2) Розв’яжіть рівняння g (x) = –1. 3) Скільки коренів має рівняння g (x) = c залежно від значення параметра c?

f(x) = x⁵ + 6x³; у = g(x) – обернена до f(x), у = x⁵ та у = х³ – зростаючі (доведено у № 116) ⇒ f(x) = х⁵ + 6x³ – зростає (теорема

6.2). Оскільки f(х) та g(х) – взаємно обернені, отже для будь–якого x₀ ∈ D(f) з рівності f(x₀) = y₀ випливає, що g(y₀) = x₀.

1) g(7) = x₀ ⇒ у₀ = 7, тоді f(x₀) = 7. Маємо рівняння відносно х₀ :

: x05 + 6x03 =7. у = f(x) – є зростаючою ⇒ за теоремою 6.3 рівняння

f(x₀) = 7 має єдиний корінь, цей коріньx = 1. Тобто g(7) = 1.

Відповідь: 1.

2) g(x) = 1. Оскільки g(y₀) = х₀, то x₀ = 1. Оскільки f(х₀) = у₀, то

у₀ = x05 + 6x03 = –(1 + 6) = –7, тобто х = –7.

Відповідь: х = –7.

3) у = f(х) – є зростаючою ⇒ у = g(х) – є зростаючою (теорема 10.3) ⇒ рівняння g(x) = с має єдиний корінь при будь–якому с (теорема 6.3).

Відповідь: один корінь.