§ 38: 38.9-38.10

38.9 Знайдіть таку точку графіка функції f, що проведена в цій

точці дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут α,

якщо:

1) f(x) = 2x – 7. Оскільки дотична в шуканій точці x₀ утворює з додатним напрямком осі абсцис кут 45°, то її кутовий коефіцієнт k = tg45° = 1. Але кутовий коефіцієнт дотичної в точці з абсцисою x₀ дорівнює f’(x₀); 2x₀ – 7 = 1; 2x₀ = 8; x₀ = 4.

f(4) = 4² – 7 • 4 + 3 = 16 – 28 + 3 = –9.

Відповідь: (4; –9).

2) f’(x) = –6x + 23, k = tg60° = 3; f’(x₀) = 3; –6x₀ + 23 = 3;

–6x₀ = –3; x₀ = 36.

f(x₀) = f(36) = –3 • (36)² + 2 • 36 • 3 – 2 = –3 • 336 + 2 • 36 – 2 = –14 – 1 = –54.

Відповідь: (36; –54).

3) f’(x) = 123x+2 • (3x+2)’ = 123x+2, k = tg45° = 1.

f’(x₀) = 1; 323x0+2 = 1; 23x0+1 = 3; 3x0+2 = 32;

3x₀ + 2 = 94; 3x₀ = 14; x₀ = 112.

f(x₀) = f(112) = 3• 112+2 = 14+ 2 = 94 = 32.

Відповідь: (112; 32).

4) f’(x) = x+7'x-2-(x+7)(x-2)'(x-2)2 = x-2- x-7(x-2)2 = -9(x-2)2,

k = tg135° = –1; f’(x₀) = –1.

–9(x0 -2)2 = –1; (x₀ – 2)² = 9; x₀ – 2 = ±3; x₀ = 5 або x₀ = –1.

Якщо x₀ = 5, то f(x₀) = 5+75-2 = 123 = 4.

Якщо x₀ = –1, то f(x₀) = -1+7-1-2 = 123 = –2.

Відповідь: (5; 4); (–1; –2).

38.10 Знайдіть таку точку графіка функції f, що проведена в цій

точці дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут α,

якщо:

1) f’(x) = 3 – x²; k = tg60° = 3; f’(x₀) = 3; 3 – x02 = 3;

x02 = 0; x₀ = 0; f(0) = 0 • 3 – 023 = 0.

Відповідь: (0; 0).

2) f’(x) = 3x² – 4x + 1, k = tg45° = 1.

f’(x₀) = 1; 3x02 – 4x₀ + 1 = 1; 3x02 – 4x₀ = 0; x₀(8x – 4) = 0; x₀ = 0

або х₀ = 43.

Якщо х₀ = 0, то f(x₀) = 0² + 0 – 1 = –1.

Якщо х₀ = 43, то f'(х₀) = (43)² – 2 • (43)² + 43 – 1 = 6427 – 329 + 43 – 1 =

= 64-96+36-2727 = –2327.

Відповідь: (0; –1); (43; –2327).