§ 38: 38.17-38.18

38.17 Установіть, чи є пряма y = 12x – 10 дотичною до графіка

функції f(x) = 4x³. У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису

точки дотику.

Складемо рівняння дотичної до графіка функції у = 4x³ в загальному вигляді в точці з абсцисою х₀.

f’(x) = 4 • 3x² = 12x²; f’(x₀) = 12x02; f(x₀) = 4x03.

y = 12x02(x – x₀) + 4x03; y = 12x02x – 12 x03 + 4x03;

y = 12x02 – 8x03.

Якщо пряма у = 12х – 10 є дотичною до графіка даної функції, то

2x02x = 12, x02 = 1,

–8x03 = –10; x03 = 54.

Система розв’язків не має.

Відповідь: ні.

38.18 Установіть, чи є пряма y = x дотичною до графіка функції

y = sin x. У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису точки дотику.

Див. №38.17 y’(sinx)’ = cosx; y’(x₀) = cosx₀; y(x₀) = sinx₀.

Рівняння дотичної: y = cosx₀(x – x₀) + sinx₀; y = cosx₀ • x + sinx₀ – x₀ cosx₀;

cosx₀ = 1, x₀ = 0, x₀ = 0,

sinx₀ – x₀ cos x₀ = 0, sinx0cosx0 – x0cosx0cosx0 = 0; tgx₀ = x0;

x₀ = 0, x₀ = 0.

x₀ = 0;

Відповідь: так.