§ 24: 24.7

24.7 Доведіть тотожність:

1) cos2(π3+ α)ctg2(π2- π6- α) + sin²(π3 + α) • ctg²(π2 – (π6 – α)) = cos2(π3+ α)ctg2 π3+ α + sin²(π3 + α) • ctg²(π3 + α) = cos2(π3+ α)1 : cos2(π3+ α)sin2 π3+ α + sin2(π3+ α)1 • cos2(π3+ α)sin2 π3+ α = sin²(π3 + α) + cos²(π3 + α) = 1;

2) cos4αsin4α+ cos4α-1 = cos4αsin4α-(1- cos4α) = cos4αsin4α-1- cos2α(1- cos2α) = cos4αsin4α-sin2α(1+ cos2α) = cos4αsin4α- sin2α-sin2α cos2α = cos4α-sin2α1- sin2α- sin2α cos2α = cos4α-sin2α cos2α- sin2α cos2α = cos4α-2sin2α cos2α = –12 • cos2αsin2α = –12ctg²α.

3) sin²(3π2 – α) • (tg²α – 1) • ctg(α – 5π4) • sin^–2(5π4 + α) = 2.

Л. ч. = cos²α • (tg²α – 1) • (–ctg(5π4 – α)) • sin^–2(5π4 – α) = –cos²α • (tg²α – 1) • ctg(π4 + (3π4 + α)) • sin^–2(π4 + (3π4 + α)) = –cos²α • (tg²α – 1) • (–tg(4π4 – α)) • cos^–2(3π4 + α) = cos²α • (tg²α – 1) • tg3π4- tgα1+tgα • tg3π4 • 1cos2(3π4+ α) = cos²α • (tgα – 1)(tgα + 1) • -1-tgα1-tgα • 1(cos3π4 • cosα-sin3π4 • sinα)2 = cos²α(tgα – 1)(tgα + 1) • tgα+1tgα-1 • 1(-22 • cosα-22 • sinα) = cos²α(tgα + 1)² • 1(22)2(cosα+sinα)2 =

= cos²α(tg²α + 1 + 2tgα) • 2cos2α+ sin2α+2sinα • cosα = cos²α• (1cos2α + 2tgα) • 21+2sinα • cosα = (1 + 2tgα • cos²α) • 21+2sinα • cosα = (1 + 2 • sinαcosα • cos²α) • 21+2sinα • cosα = (1 + 2 sinα • cosα) • 21+2sinα • cosα = 2 = ІІ ч.

Тотожність доведена.