§ 2: 2.25

2.25 Знайдіть область значень функції:

1) у = 5х² – х + 1.

Нехай а ∈ Е(у). Тоді задача зводиться до знаходження всіх значень а, при яких рівняння 5х² – х + 1 = а має розв’язки.

5х² – х + 1– а = 0 має розв’язки за умови, що D ≥ 0.

D = 1 – 4 • 5(1 – а) = 1 – 20 + 20а = –19 + 20а ≥ 0; 20а ≥ 19;

а ≥ 1920.

Відповідь: Е(у) = [1920; +∞).

2) y = 2x-15x+4.

Нехай а є Е(у). Тоді задача зводиться до знаходження всіх значень а, при яких рівняння 2x-15x+4 = а має розв’язки. Це рівняння рівносильне системі:

2x – 1 = a(5x + 4); ⟺ 5x + 4 ≠ 0;	2x – 1 = 5ax + 4a; 5x ≠ –4;
⟺ 2x – 1 = 5ax + 4a; ⟺ 5x ≠ –4;	⟺ 2x – 5ax = 4a + 1; ⟺ x ≠ –45;
⟺ x(2 – 5a) = 4a + 1; x = 4a+12-5a; ⟺ 4a+12-5a ≠ –45 ⟺ x ≠ –45; x ≠ –45;
⟺ (4a + 1) • 5 ≠ –4(2 – 5a); 2 – 5a ≠ 0;	20a + 5 ≠ –8 + 20a; 0 ≠ –13; 5a ≠ 2; a ≠ 25.

Отже, єдине звуження для а, це а ≠ 25.

Відповідь: Е(у) = (–∞; 25) ∪ (25; +∞).

3) у = 4х + 1х.

Нехай а ∈ Е(у). Тоді задача зводиться до знаходження всіх значень а, при яких рівняння 4х + 1х = а має розв'язки. Це рівняння рівносильне системі:

4х² + 1 = ах; 4х² – ах + 1 = 0;

х ≠ 0; х ≠ 0.

Рівняння 4х² – ах + 1=0 має розв’язки за умови, що D ≥ 0.

D = а² – 4 • 4 • 1 = а² – 16 = (а – 4)(а + 4) ≥ 0.

При а ∈ (–∞; –4] ∪ [4; +∞) рівняння має розв'язки х = а ± а2- 168. Але

х ≠ 0, тобто а ± а2- 168 ≠ 0; а ± а2- 16 ≠ 0;

а ≠ ± а2- 16 |² ⇒ a² ≠ a² – 16 ⇒ 0 ≠ 16.

Отже, при а ∈ (–∞; –4] ∪ [4; +∞) рівняння має розв’язки.

Відповідь: Е(у) = (–∞; –4] ∪ [4; +∞).