§ 2: 2.24

2.24 Знайдіть область значень функції:

1) y = –2x² + 3x – 4;

–2x² + 3x – 4 = –2(x² – 32x + 2) = –2((x² – 2 • 34x + 916) – 916 + 2) =

–2((x – 34)² + 1716) = –2(x – 34)² – 278. Найбільше значення виразу

–2(х – 34)² – число 0, виразу –2(х – 34)² – 278 – число –278.

Отже, Е(у) = (–∞; –278].

2) y = 3x+12x+3, 3x+12x+3 = 3(x+ 13)2(x+ 32) = 1,5 • x+1,5-1,5+ 13x+1,5 = 1,5 – 74x+6.

E(y) = (–∞; 1,5) ∪ (1,5 +∞).

4) y = xx2- 1.

Нехай а ∈ Е(у). Тоді задача зводиться до знаходження всіх значень а, при яких рівняння xx2- 1 = а має розв’язки. Це рівняння рівносильне системі:

x = a(x² – 1); 2x² – x – a = 0; ax² – x – a = 0;

x² – 1 ≠ 0; x² ≠ 1; x ≠ ± 1.

Рівняння ах2 – х – а = 0 має розв’язки, якщо: а = 0, то x = 0; якщо

а ≠ 0, то рівняння має розв’язки при умові, що D ≥ 0.

D = 1 – 4 • а • (–а) = 1 + 4а² ≥ 0 – при будь–якому значенні а.

Але x ≠ ± 1, отже x = 1 ± 1-4a22a ≠ ± 1;

⟺ 1 ± 1-4a2 ≠ ± 2a; a ≠ 0;	± 1-4a2 ≠ ± 2a – 1; ⟺ a ≠ 0;
± 1-4a2 ≠ ± 2a – 1; ⟺ a ≠ 0;	± 1-4a2 ≠ 2a – 1|2; a ≠ 0; ± 1-4a2 ≠ – 2a – 1|2; a ≠ 0;
1 + 4a2 ≠ 4a2 – 4a + 1; a ≠ 0; 1 + 4a2 ≠ 4a2 + 4a + 1; a ≠ 0;	a ≠ 0; –4a ≠ 0;⟺ тобто а ≠ 0. a ≠ 0; 4a ≠ 0;

Але при а = 0 х = 0 ⇒ а може бути будь–яким.

Відповідь: Е(у) = (–∞; +∞).