§ 6: 6.12

6.12 При яких значеннях параметрів a, b і c многочлен x³ + ax² +

bx + c ділиться націло на двочлени x – 1 і x + 2, а при діленні на двочлен x + 1 дає в остачі 10?

A(x) = х³ + ах² + bх + с; А(х) ⋮ (х – 1); А(х) ⋮ (х + 2); А(х)=(х + 1) • Q(x) + 10.

Оскільки A(x) ⋮ (x – 1), то R₁(x) = 0. За теоремою Безу R₁(x) = A(1), маємо рівняння: 0 = 1 + a + b + c; a + b + c = –1.

Оскільки А(х) ⋮ (х + 2), то R₂(x) = 0. За теоремою Безу R₂(x) = А(–2), маємо рівняння: –8 + 4а – 2b + с = 0; 4а – 2b + с = 8.

Оскільки А(х) не ділиться на (х + 1) і остача при діленні 10, то R₃(х) = 10. За теоремою Безу R₃(х) = А(–1), маємо рівняння:

–1 + a – b + c = 10; a – b + c = 11.

Отримаємо систему:

a + b + c = –1; 2a + 2c = 10;

4a – 2b + c = 8; 4a – 2b + c = 8;

a – b + c = 11; a – b + c = 11;

a + c = 5| • (–1): –a – c = –5;

4a – 2b + c = 8; 4a – 2b + c = 8;

a – b + c = 11; a – b + c = 11;

–b = 6; b = –6; b = –6;

–a – c = –5; –a – c = –5; a = –3;

4a – 12 + c = 8; 3a = –9; c = 8.

Відповідь: а = –3; b = –6; с = 8.