§ 44: 44.86 (1)

44.86 Розв’яжіть нерівність:

1) 4cos • cos(x + π6) > 3;

4 • 12(cos(x + x + π6) + cos(x – x – π6)) > 3;

2(cos(2x + π6) + cos(–π6)) > 3;

cos(2x + π6) + 32 > 32;

cos(2x + π6) > 0;

–π2 + 2πn < 2x + π6 < π2 + 2πn, n ∈ Z;

–π2 – π6 + 2πn < 2x < π2 – π6 + 2πn, n ∈ Z;

–4π6 + 2πn < 2x < 2π6 + 2πn, n ∈ Z;

–π3 + πn < x < π6 + πn, n ∈ Z.

2) 2sin(x + π3) • cosx < 3;

2 • 12(sin(x + π3 + x) + sin(x + π3 – x)) < 3;

sin(2x + π3) + sinπ3 < 3;

sin(2x + π3) + 32 < 3;

sin(2x + π3) < 3 – 32;

sin(2x + π3) < 32;

–4π3 + 2πn < 2x + π3 < π3 + 2πn, n ∈ Z;

–5π3 + 2πn < 2x < 2πn, n ∈ Z;

–5π6 + πn x < πn, n ∈ Z.

3) 3 + 2sin3x • sinx > 3cos2x;

3 + 2 • 12(cos2x – cos4x) – 3cos2x > 0;

3 + cos2x – cos4x – 3cos2x > 0;

3 – 2cos2x – cos4x > 0;

cos4x + 2cos2x – 3 < 0;

2cos²2x – 1 – 2cos2x – 3 < 0;

2cos²2x – 2cos2x – 4 < 0 | • 2;

cos²2x – cos2x – 2 < 0; cos2x = t;

t² – t – 2 < 0; t₁ = –1, t₂ = 2;

–1 < t < 2; –1 < cos2x < 2;

|cos2x| ≤ 1, тому cos 2x ≠ –1;

2x ≠ π + 2πn; x ≠ π2 + πn, n ∈ Z.

4) cos(x + π4)cos(x – π4) ≥ –34;

12(cos(х + π4 + x – π4) + cos(x + π4 – x + π4)) ≥ –34;

cos(2x) + cos π2 ≥ –32;

cos2x + 0 ≥ –32;

cos2x ≥ –32;

–5π6 + 2πn ≤ 2x ≤ 5π6 + 2πn, n ∈ Z;

–5π12 + πn ≤ x ≤ 5π12 + πn, n ∈ Z.