§ 44: 44.71 (1)

44.71 Розв’яжіть рівняння:

1) cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2;

1+ cos2x2 + 1+ cos4x2 + 1+ cos6x2 + 1+ cos8x2 – 2 = 0;

12cos2x + 12cos4x + 12cos6x + 12cos8x = 0;

cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = 0;

2cos5x cos3x + 2cos5xcosx = 0;

2cos5x (cos3x + cosx) = 0;

2cos5x • 2cos2xcosx = 0;

cos5x = 0 або cos2x = 0 або cosx = 0;

5x = π2 + πn; 2x = π2 + πn; x = π2 + πn;

x = π10 + πn5, n ∈ Z; x = π4 + πn2, n ∈ Z;

Як бачимо остання серія розв'язків x = π2 + πn входить в першу

x = π10 + πn5.

Відповідь: π4 + πn2, π10 + πn5, n ∈ Z.

2) cos9x = 2sin(3π2 – 3x);

cos9x = –2cos3x;

cos9x + 2cos3x = 0;

4cos³3x – 3cos3x + 2cos3x = 0;

4cos³3x – cos3x = 0;

4cos3x (4cos² 3x – 1) = 0;

cos3x(2cos3x – 1)(2cos3 + 1) = 0;

cos3x = 0; 3x = π2 + πn; x = π6 + πn3, n ∈ Z;

cos 3x = 12; 3x =± π3 + 2πn, n ∈ Z; x = ± π9 + 2πn3, n ∈ Z;

cos 3x = –12; 3x = ± 2π3 + 2πn; x = ± 2π9 + 2πn3.

x = ± π9 + πn3;

Відповідь: π6 + πn3; ± π9 + πn3.