§ 41: 41.3 (1)

41.3 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вка–

заному відрізку:

1) f(x) = 100- x2; f’(x) = 12100- x2 • (100 – x²)’ = –1100- x2.

f’(x) = 0; x100- x2 = 0 при х = 0.

f’(x) не існує, якщо 100 – х³ = 0, тобто при х = ± 10.

До проміжку [–6; 8] належить тільки критична точка х = 0.

f(–6) = 100-62 = 100-36 = 64 = 8;

f(0) = 100-0 = 100 = 10;

f(8) = 100-82 = 100-64 = 36 = 6;

maxf(x) = f(0) = 10; minf(x) = f(8) = 6.

^{[–6; 8] [–6; 8]}

2) f(x) = 0,5x2+ 3x+5;

f’(x) = 120,5x2+ 3x+5 • (0,5x2 + 3x + 5)’ = x+320,5x2+ 3x+5.

f’(x) = 0 при х = –3. Оскільки 0,5х2 + 3х + 5 >0 при всіх х, то критична точка тільки одна: х = –3, але вона не входить до проміжку [2; 4].

f(2) = 0,5 • 22+ 3 •2+5 = 2+6+5 = 13;

f(4) = 0,5 • 42+ 3 •4+5 = 8+12+5 = 25 = 5;

maxf(x) = f(4) = 5; minf(x) = f(2) = 13.

^{[2; 4] [2; 4]}

3) f(x) = (x + 1)²(x – 2)²;

f’(x) = 2(x + 1)(x – 2)² + (x + 1)² • 2(x – 2) = 2(x + 1)(x – 2)(x – 2 + x + 1) = 2(x – 2)(x – 2)(2x – 1).

f’(x) = 0 при х = 1, х = 2, х = 12. Це критичні точки і всі вони належать відрізку [–2; 4].

f(–2) = (–2 + 1)² • (–2 – 2)² = 1 • 16 = 16;

f(4) = (4 + 1)² • (4 – 2)² = 25 • 4 = 100;

f(1) = (1 + 1)² • (1 – 2)² = 4 • 1 = 4;

f(2) = (2 + 1)² • (2 – 2)² = 0; f(12) = (12 + 2)² • (12 – 2)² = 94 • 94 = 8116;

maxf(x) = f(4) = 100; minf(x) = f(2) = 0.

^{[–2; 4] [–2; 4]}

4) f(x) = 2x + x2; f‘(x) = –2x2 + 12 = -4+ x22x2 = x-2(x+2)2x2

f’(x) = 0 при х = 2 або х = –2. f’(x) не існує при х = 0. До проміжку

[4; –1] належить тільки критична точка х = –2.

f(–4) = 2-4 + -42 = –12 – 2 = –212; f(–1) = 2-1 + -12 = –2 – 12 = –212;

f(–2) = 2-2 + -22 = –1 + (–1) = –2;

maxf(x) = f(–2) = –2; minf(x) = f(–1) = f(–4) = –212.

^{[–4; –1] [–4; –1]}