§ 41: 41.2 (1)

41.2 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вка–

заному відрізку:

1) f'(x) = 13 • 3x² – 4 = х² – 4 = (х – 2)(х + 2); f’(x) = 0;

(x – 2)(х + 2) = 0; х = 2, х = –2 .

З двох критичних точок відрізку [0; 3] належить тільки х = 2.

f(0) = 0; f(2) = 13 • 2³ – 4 • 2 = 83 – 8 = 223 – 8 = –513;

f(3) = 13 • 3³ – 4 • З = 273 – 12 = 9 – 12 = –3; maxf(x)= f(0) = 0;

^{[0; 3]}

minf(x) = f(2) = –513.

^[0;3]

2) f’(х) = 1 – 3х² – 2х; –3х² – 2х + 1 = 0; Зх² + 2х – 1 = 0;

D = 4 – 4 • 3 • (–1) = 4 + 12 = 16; x = -2+46 = 23 або х = -2-46 = –1.

Відрізку [–2; 0] належить критична точка х = – 1.

f(–1) = – 1 – 1 – (–1)³ – (–1)² = –1 – 1 + 1 – 1 = –2;

f(–2) = –2 – 1 – (–2)³ – (–2)² = – 2 – 1 + 8 – 4 – 1;

f(0) = 0 – 1 – 0 – 0 = –1;

maxf(x) = f(–2) = 1; minf(x) = f(–1) = –2.

^{[–2; 0] [–2; 0]}

3) f(x) = 2 • 4x³ – 8 = 8x³ – 8 = 8(x³ – 1) = 8(x – 1)(x² + x + 1).

f’(x) = 0, якщо (x – 1)(x² + x + 1) = 0, тобто при x = 1, бо x² + x + 1 не дорівнює нулю ні за якого значення х.

f(–2) = 2 • (–2)⁴ – 8 • (–2) = 32 + 16 = 48;

f(1) = 2 • 1⁴ – 8 • 1 = 2 – 8 = –6;

maxf(x) = f(–2) = 48; minf(x) = f(1) = –6.

^{[–2; 1] [–2; 1]}

4) f’(x) = x³ – 16x; f’(x) = 0, якщо x³ – 16x = 0; x(x² – 16) = 0;

x(x – 4)(x + 4) = 0; x = 0 або x = 4 або x = –4.

Заданому відрізку [–1 ; 2] належить тільки критична точка х = 0.

f(1) = (-1)44 – 8 • (–1)² = 14 – 8 = –734; f’(0) = 0;

f(2) = 244 – 8 • 2² = 4 – 32 = –28; maxf(x) = f(0) = 0;

minf(x) = f(2) = –28. ^{[–1; 2]}

^{[–1; 2]}