§ 31: 31.9 (1)

31.9 Розв’яжіть рівняння:

1) 2sin2x = sinxcosx + cosxsinx; x = πn2; 2sin2x = sin2x+ cos2xcosxsinx;

2sin2x = 2sin2x; sin²2x = 1;

sin2x = –1; 2x = –π2 + πn, n ∈ Z; x = –π4 + πn2, n ∈ Z; або sin2x = 1; 2x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π4 + πk2, k ∈ Z.

Відповідь: π4 + πk2, k ∈ Z.

2) 3cosx – 2sinx⁡cosx = 0; ОДЗ: cosx ≠ 0; x ≠ π2 + πn, n ∈ Z; 3cos2x+ 2sin2xcos x = 0;

3(1 – sin²x) + 2sinx = 0;

–3sin²x + 2sinx – 3 = 0;

3sin² x – 2sin x – 3 = 0.

Заміна: sinx = t; 3t² – 2t – 3 = 0; D₁ = (–1)² – 3 • (–3) = 10;

D1 = 10; t₁ = 1+ 103; t₂ = 1- 103.

Обернена заміна:

sinx = 1+ 103, коренів немає;

sinx = 1- 103; x = (–1)ⁿ arcsin1- 103 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: (–1)ⁿ arcsin1- 103 + πn, n ∈ Z.

3) 3 + 5сosx = –(cos²x – sin²x)(cos²x + sin²x);

3 + 5cosx = –(2cos²x – 1);

2cos²x + 5cosx + 2 = 0.

Заміна: cosx = t; 2t² + 5t + 2 = 0;

D = 52 – 4 • 2 • 2 = 9; D = 3; t₁ = -5-32 • 2 = –4; t₂ = -5+32 • 2 = –12.

Обернена заміна:

cosx = –4; коренів немає;

cosx = –12; x = ± (π – arccos12) + 2πn, n ∈ Z; x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z.

4) 2cos²x – 1 – 9cosx + 6 = 4 • 1-cosx2;

2cos²x – 1 – 9cosx + 6 – 2 + 2cosx = 0;

2cos²x – 7cosx + 3 = 0.

Заміна: cosx = t; 2t² – 7t + 3 = 0;

D = (–7)² – 4 • 2 • 3 = 25; D = 5; t₁ = 7+54 = 3; t₂ = 7-54 = 12.

Обернена заміна: cosx = 3; коренів немає;

cosx = 12; x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: ± π3 + 2πn, n ∈ Z.