§ 3: 3.19 (1-2)

3.19 Розв’яжіть систему рівнянь:

1) у – 7х = 3, у = 3 + 7х (1),

х² + 6ху – у2 = 9; х² + 6х(3 + 7х) – (3 + 7х)² = 9 (2).

Розв’яжемо рівняння (2):

х² + 18х + 42х² – 9 – 42х – 49х² = 9; –6х² – 24х – 18 = 0;

х² + 4х + 3 = 0; х = –З або х = –1.

Якщо х = –3, то у = 3 – 21 = –18.

Якщо х = –1 , то у = 3 – 7 = –4.

Відповідь: (–3; –18); (–1; –4).

2) х² + у² – 2ху = 100, (х – у)² = 100,

у + х = 8; у + х = 8;

х – у = 10, 2х = 18, х = 9,

х + у = 8; 2у = –2; у = –1;

х – у = –10, 2у = –2, х –1,

х + у = 8; 2у = 18; у = 9.

Відповідь: (9; –1); (–1; 9).

3) х + у + ху = –15, х + у + ху = –15,

х²у + ху² = –54; ху(х + у) = –54 Нехай х + у = а, ху = b.

a + b = –15, a = –15 – b, (1)

ba = –54; b(–15 – b) = –54 (2).

Розв’яжемо рівняння (2):

–15b – b² = –54; b² + 15b – 54 = 0; D = 225 – 4 • 1 • (–54) = 225 +

+ 216 = 441;

b₁ = -15+212 = 62 = 3; b₂ = -15-212 = -362 = –18.

Якщо b₁ = 3, то a₁ = –15 – 3 = –18; якщо b₂ = –18, то а₂ = –15 + 8 = 3.

1) x + y = –18, x = –18 – y, (3)

xy = 3; (–18 – y)y = 3 (4). Розв’яжемо рівняння (4):

–18у – у² = 3; у² + 18у + 3 = 0; D4 = 81 – 3 = 78; y₁ = – 9 – 78;

у₂ = –9 + 78, тоді х₁ = –18 – (–9 – 78) = –9 + 78; x₂ = –18 – (–9 + 78) = –9 – 78.

Отже, (–9 + 78; – 9 – 78), (–9 – 78; –9 + 78).

2) x + y = 3, x = 3 – y, (5)

xy = –18; (3 – y)y = –18 (6) Розвяжемо рівняння (6):

Зу – у² = –18; у² – 3y – 18 = 0; D = 9 – 4 • (–18) = 9 + 72 = 81;

у₁ = 3+92 = 122 = 6; у₂ = 3-92 = -62 = –3, тоді х₁ = 3 – 6 = –З,

х₂ = 3 – (–3) = 3 + 3 = 6.

Отже, (–8; 9), (6; –3).

Відповідь: (–3; 6), (в; –3); (–9 + 78; – 9 – 78), (–9 – 78; – 9 + 78).