§ 26: 26.16 (1)

26.16 Доведіть, що коли α + β + γ = π, то має місце тотожність:

α + β + γ = π ⇔ γ = π – (α + β); γ2 = π2 – α + β 2.

1) sinα + sinβ + sinγ = 4cosα2 • cosβ2 • cosγ2 • 2sinα + β 2 • cosα- β 2 + sinγ = 2sinα + β 2 • cosα- β 2 + sin(π – (α + β)) = 2sinα + β 2 • cosα- β 2 + sin (α + β) = 2sinα + β 2 • cosα- β 2 + 2sinα + β 2 • cosα+ β 2 = 2sinα + β 2(cosα + β 2 + cosα- β 2) = 4sinα + β 2 • cosα 2 • cosβ 2 = оскільки γ = π – (α + β), то γ2 = π2 – α+ β2 = 4сos(π2 – α+ β2) • cosα 2 • cosβ 1 = 4сosγ2 • cosα 2 • cosβ 2 = П.ч.Тотожність доведена.

2) sin2α + sin2β + sin2γ = 4sinα • sinβ • sinγ.

Л.ч. = sin2α + sin2β + sin2γ = 2sin2α+2β2 • cos2α-2β2 + sin2γ = 2sin(α + β) • cos(α – β) + sin2γ = sin(α + β) • cos(α – β) + sin(2π – 2((α + β)) = 2sin(α + β) • (α – β) – sin2(α + β) = 2sin

(α + β) • cos(α – β) – sin2(α + β) = 2sin(α + β) • cos(α – β) – 2sin(α + β) • cos(α + β) = 2sin(α + β) • (cos(α – β) – cos(α + β)) = –4sin(α + β) • sinα • sin(–β) = 4sin(π –(α + β)) • sinα • sinβ = 4sinγ • sinα • sinβ = П.ч. Тотожність доведено

3) сosα + cosβ + cosγ = 1 + 4sinα2 • sinβ2 • sinγ2.

Л.ч. = сosα + cosβ + cosγ = сosα + cosβ + cosγ –1 + 1 = 2cosα+β 2 • cosα-β 2 – 2sin²(π2 – α+β 2) + 1 = 2cosα+β 2 • cosα-β 2 – 2cos²α+β 2 + 1 = 2cosα+β 2 (cosα-β 2 – cosα+β 2) + 1 = –4cosα+β 2 • sinα 2 • sin(–β 1) + 1 = 4cos(π 2 – γ 2) • sinα 2 • sinβ 2 + 1 = 4sinγ 2 • sinα 2 • sinβ 2 + 1 = П. ч. Тотожність доведена.

4) cos2α + cos2β + cos2γ = –1 – 4 cosα • cosβ • cosγ.

Л. ч. = cos2α + cos2β + cos2γ = cos2α + cos2β + cos2γ + 1 – 1 = 2cos2α+2β2 • cos2α-2β2 + 2cos2γ – 1 = 2cos(α + β) • cos(α – β) + 2cos²(π –(α + β)) – 1 = 2cos(α + β) • cos(α – β) + 2cos²(α + β) – 1 = 2cos(α + β) • (cos(α = β) + cos(α + β)) = 4cos(α + β) • cosα • cosβ – 1 = –4cosα • cosβ • cosγ – 1 = П. ч. Тотожність доведена.

5) sin²α + sin²β – sin²γ = 2sinα • sinβ • cosγ.

Л. ч. = sin²α + (sinβ – sinγ)(sinβ + sinγ) = sin²α + 2sinβ- γ2 • cosβ- γ2 • 2sinγ+ β2 • cosβ- γ2 = sin²α + sin(β – γ) • sin(β + γ) = sinα • 2sinα+ β- γ2 • cosα- β+ γ2 = Оскільки α + β + γ = π, то β + γ = π – α; sin2α + sin(β– γ) • sin(π – α) = sin2α + sin(β – γ) • sin = sinα(sinα – sin(β – γ)) = sinα • 2sinα+ β- γ2 • cosα- β+ γ2 = Оскільки α + β + γ = π, то α+ β- γ2 = π2 – γ; α + γ – α = π2 – β

= 2sinα • sin(π2 – γ) • cos(π2 – β) = 2sinα • cosγ • sinβ = П. ч. Тотожність доведена.