§ 2: 2.12 (1-2)

2.12 Доведіть, що функція є непарною:

1) g(x) = 2-х – 2+х,

g(–x) = 2-(-х) – 2+(-х) = 2+х – 2-х= –(–2+х + 2-х) = f(x).

Отже, g(x) є непарною функцією на множині [–2; 2], симетричній відносно точки 0.

2) g(x) = x23-x- 3+x, x ∈ (–3; 3);

g(–x) = (-x)23+x- 3-x = x2-(3-x- 3+x) = x23-x- 3+x = –g(x).

Отже, g(x) є непарною функцією на симетричній множині (–3; 3) відносно нуля.

3) g(x) = 4x-1- |4x+1|x4- 1, x ≠ 1, x ≠ –1;

g(–x) = -4x-1- |-4x+1|(x)4- 1 = 4x + 1 - |4x -1|x4- 1 = –4x- 1 - |4x+1|x4- 1 = –g(x).

Отже, g(x) є непарною функцією на симетричній множині (–∞; – 1) ∪ (–1; 1) ∪ (1; +∞).

4) g(x) = 3x+2x2- x+1 + 3x+2x2+ x + 1,

g(–x) = -3x+2x2+ x + 1 + -3x-2x2- x + 1 = –3x- 2x2+ x+1 – 3x+2x2- x + 1 = –(3x-2x2- x+1 + 3x+2x2- x + 1) = –f(x).

g(х) є непарною функцією на множині (–∞; +∞), симетричній відносно точки 0.