§ 19: 19.8

19.8 Знайдіть головний період функції:

Доведемо: sin²α + cos²α = 1 для будь–якого α.

Рівняння даного кола x² + y²= 1. Оскільки P₂ належить колу, то її координати задовольняють рівнянню кола, тобто sin²α + cos² α = 1 для будь–якого α. Застосуємо цю формулу:

f(x) = 1- 1cos2x = cos2x-1cos2x

= cos2x- sin2x- cos2xcos2x = -sin2xcos2x = -tg2x.

D(f): –tg²x ≥ 0; tg²х ≤ 0 ⇒ tg х= 0 ⇒ x = πn. Тобто D(f) = {πn, n ∈ Z}; E(f) = {0}. Головний період для функції у = tg • T = π. Доведемо, що Т = π– головний період функції f(x) = -tg2x. Якщо x ∈ D(f), то х + π ∈ D(f) i x – π ∈ D(f).

Розглянемо f(x ± π) = -tg2(x± π) = tg(x± π)•tg(x± π) = -tgx •tg x = -tg2x = 0 = f(x). Тобто T = π – період функції, він найменший ⇒ T = π – головний період для f(x) = 1- 1cos2x.