Відповіді до § 1 - 5: 3.41

3.41. Доведіть, що трикутник KLM з вершинами в точках K(6; –1), L(9; –4) і М (12; 5) – прямокутний. Знайдіть гострі кути трикутника.

KL = $\sqrt{{(9-6)}^2+{(-4-(-1\left)\right)}^2}$ = $\sqrt{9+9}$ = 3$\sqrt{2}$;

LM = $\sqrt{{(12-9)}^2+{(-5\mp (-4\left)\right)}^2}$ = $\sqrt{9+81}$ = $\sqrt{90}$;

KM = $\sqrt{{(12-6)}^2+{(5-(-1\left)\right)}^2}$ = $\sqrt{36+36}$ = $\sqrt{72}$;

($\sqrt{90}$)² = ($\sqrt{72}$)² + (3$\sqrt{2}$)².

Отже, LM² = KL² + KM².

Отже, ∆KLM – прямокутний, $\angle$K = 90°, $\angle$L і $\angle$M – гострі.

sin $\angle$L = $\frac{\mathrm{KM}}{\mathrm{LM}}$ = $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{90}}$ = $\sqrt{\frac{8}{10}}$ = $\sqrt{\frac{8}{10}}$ = $\sqrt{\mathrm{0,8}}$ $\approx$ 0,8944; $\angle$L = 63°26’ (знаходимо за таблицею).

$\angle$M = 90° – $\angle$L = 90° – 63°26’ = 26°34’.