Відповіді до § 22 - 25: 25.34

25.34. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R, а два його кути – $\alpha$ і $\beta$. Знайдіть площу трикутника.

У ∆ABC $\angle$А = $\alpha$, $\angle$В = $\beta$, тоді $\angle$С = 180° – ($\alpha$ + $\beta$).

За узагальненою теоремою синусів

R = $\frac{a}{2\sin \alpha }$ = $\frac{b}{2\sin \beta }$ = $\frac{c}{2\sin \gamma }$, де а, b, с — сторони трикутника, $\gamma$ = 180° – ($\alpha$ + $\beta$).

Отже, ВС = 2R sin $\alpha$, АС = 2R sin $\gamma$,

АВ = 2R sin(180° – ($\alpha$ + $\beta$)) = 2R sin($\alpha$ + $\beta$).

S = $\frac{\mathrm{AC}•\mathrm{AB}•\mathrm{BC}}{4R}$ = $\frac{2R\sin \alpha •2R\sin \beta •2R\sin (\alpha +\beta )}{4R}$= 2R² sin $\alpha$ sin $\beta$ sin($\alpha$ + $\beta$).

Відповідь: 2R² sin $\alpha$ sin $\beta$ sin($\alpha$ + $\beta$).