Відповіді до § 13 - 17: 17.20

17.20. Знайдіть кути трикутника, вершинами якого є точки А(–3; 0), B(0; 4) і С(4; 1). З’ясуйте вид трикутника.

∠A утворюють $\overline{\mathrm{АВ}}$ і $\overline{\mathrm{АС}}$. $\overline{\mathrm{АВ}}$ (3; 4), $\overline{\mathrm{АС}}$(7; 1).

cos ∠А = $\frac{\overline{\mathrm{AB}}•\overline{\mathrm{АС}}}{\left|\overline{\mathrm{AB}}\right|•\left|\overline{\mathrm{AC}}\right|}$ = $\frac{3•7+4•1}{\sqrt{3^2+4^2}•\sqrt{7^2+1^2}}$ = $\frac{25}{5•\sqrt{50}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Отже, ∠А = 45°.

∠В утворюють $\overline{\mathrm{ВА}}$ і $\overline{\mathrm{ВС}}$. $\overline{\mathrm{ВА}}$ (–3; –4), $\overline{\mathrm{ВС}}$(4; –3).

cos ∠В = $\frac{\overline{\mathrm{ВА}}•\overline{\mathrm{ВС}}}{\left|\overline{\mathrm{ВА}}\right|•\left|\overline{\mathrm{ВС}}\right|}$ = $\frac{-11+12}{\sqrt{{(-3)}^2+{(-4)}^2}•\sqrt{4^2+{(-3)}^2}}$ = $\frac{0}{5•5}$ = 0.

Отже, ∠В = 90°. Тоді ∠С = 180° – (90° + 45°) = 45°.

∆АВС – рівнобедрений прямокутний.