Вправи для повторення розділу 5: 50

50. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 4 см, а його площа – З$\sqrt{3}$ см². Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Hexaй а, b і с — сторони трикутника, а = 3 см, b = 4 см, α — кут

між сторонами a і b.

S = $\frac{1}{2}$ab sin α, звідки sin α = $\frac{2S}{\mathrm{ab}}$. За умовою S = 3$\sqrt{3}$ см², тоді

sin α = $\frac{2•3\sqrt{3}}{3•4}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, α = 60° або α = 180° – 60° = 120°.

Якщо α = 60°, то с² = а² + b² – 2ab cos 60° = 3² + 4² – 2 • 3 • 4 • $\frac{1}{2}$ = 9 + 16 – 12 = 13, c = $\sqrt{13}$ см.

Якщо α = 120°, то с² = а² + b² –2аb cos120° = а² + b² + 2аb cos60° = З² + 4² + 2 • 3 • 4 • $\frac{1}{2}$ = 9 + 16 + 12 = 37; с = $\sqrt{37}$ см.

Відповідь: $\sqrt{13}$ см або $\sqrt{37}$ см.