Вправи для повторення розділу 1: 21

21. Доведіть тригонометричну тотожність.

($\frac{1}{\sin \alpha }$ + $\frac{1}{\cos \alpha }$)² – (tg $\alpha$ + $\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$)² = $\frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha }$;

($\frac{1}{\sin \alpha }$ + $\frac{1}{\cos \alpha }$)² – (tg $\alpha$ + $\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$)² = ($\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }$)² – ($\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ + $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$)² = $\frac{{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$ – $\frac{({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2}{{\sin }^2\alpha •{\cos }^2\alpha }$ = $\frac{1+2\sin \alpha \cos \alpha -1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$ = $\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$ = $\frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha }$.

$\frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha }$ = $\frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha }$. Отже, дана рівність — тотожність.