Відповіді на вправи підручника: 936

936. Вершина В рівнобедреного трикутника АВС при симетрії відносно прямої, що містить основу АС, переходить у точку D. Доведіть, що чотирикутник АВСD — ромб.

Дано: ∆ABC, AB = BC; AC –вісь симетрії, D – точка, симетрична В відносно AC.

Довести: ABCD – ромб.

Доведення: проведемо через середину AC – точку О – BO $\perp$ AC. На продовженні відкладемо OD = OB. D – симетрична B. У ∆BAD AO $\perp$ BD, BO = OD, отже, ∆BAD – рівнобедрений. BA = AD.

Аналогічно BC = CD. $\angle$BAO = $\angle$DAO, $\angle$BCO = $\angle$DCO, а оскільки ∆BAD і ∆BCD рівні, то $\angle$BАО = $\angle$DСО. CD $\parallel$ BA, оскільки рівні внутрішні різносторонні кути при CD і AB і їх січній AC. У чотирикутника ABCD CD $\parallel$ AB і CD = AB, то ABCD – паралелограм, у якого AB = BC = CD = AD, а отже, ABCD – ромб.