Вправи: 440 (1)

440. Один із кутів рівнобедреного трикутника з основою 221 см дорівнює 120°. Знайдіть медіани трикутника.

Дано: ∆АВС - рівнобедрений;

АС = 221 см; ∠В = 120°.

AM, BD, CK - медіани

Знайти: AM, BD, CK.

Розв’язання

Нехай АВ = ВС = х см.

За теоремою косинусів:

AC² = AB² + BC² - 2 • AB • BC • cos B

x² + x² - 2 • x • x • cos 120° = (221)²

2x² + 2x² • cos 60° = 84

2x² + 2x² • 12 = 84

3x² = 84

x² = 28

x = 28 AB = BC = 28 (см).

За властивістю діагоналей паралелограма:

(2AM)² + BC² = 2(AB² + AC²)

4AM² + 28 = 2(28 + 84)

4AM² + 28 = 2 • 11²

4AM² = 224 - 28

4AM² = 196

AM² = 49

AM = 4 (см) CK = AM = 4 см

За властивістю діагоналей паралелограма:

(2BD)² + AC² = 2(AB² + BC²)

4BD² + 84 = 2(28 + 28)

4BD² + 84 = 112

4BD² = 112 - 84

4BD² = 28

BD² = 7; BD = 7 (см)

Відповідь: 4 см; 7 см; 4 см.