Вправи: 223 (1)

223. На малюнку 48 зображено три антени M, N, P, їх координати та області обслуговування. У математиці розбиття скінченної кількості точок площини, при якому кожна область розбиття (клітинка) утворює множину точок, найближчих до одного з елементів множини, називають діаграмою Вороного. Ребра клітинок на діаграмі Вороного будуються як серединні перпендикуляри до відрізків MN, NP і MP. Запишіть рівняння ребер діаграми Вороного і координати точки O — вершини діаграми Вороного для областей обслуговування антен M, N, P.

Дано: M(-3; 3), N(5; 5),

P(1; -3), OA, OK, OE -

серединні перпендмкуляри

Знайти: рівняння прямих

ОА, ОК, ОЕ; координати точки О.

Розв’язання

1) Серединний перпендикуляр ОА

ОА ⊥ MP

Пряма МР: y = kx + b

k • (-3) + b = 3

k • 1 + b = -3

-3k + b = 3 + -3k + b = 3

k + b = -3| • (-1) -k - 6 = 3

-4k = 6

k = -32

b = -3 + 32 = -32.

Пряма МР: y = -32x - 32.

Пряма ОА: y = k₁x + b₁.

k • k₁ = -1; k₁ = -1k = 23; y = 23x + b₁.

A - середина МР: А(-3 + 12; 3 - 32) = A(-1; 0)

A(-1; 0): 23 • (-1) + b₁ = 0

-23 + b₁ = 0

b₁ = 23

Рівняння прямої ОА: y = 23x + 23.

2) Серединний перпендикуляр ОK.

ОK ⊥ MN

Пряма МN: y = kx + b

k • (-3) + b = 3

k • 5 + b = 5

-3k + b = -3| • (-1) + 3k - b = -3

5k + b = 5 5k + b = 5

8k = 2

k = 14

b = 5 - 5 • 14 = 5 - 54 = 154.

Пряма МN: y = 14x + 154.

Пряма ОK: y = k₁x + b₁.

k • k₁ = -1; k₁ = -1k = -4; y = -4x + b₁.

K - середина МN: K(-3 + 52; 3 + 52) = K(1; 4)

K(1; 4): -4 • 1 + b₁ = 4

-4 + b₁ = 4

b₁ = 8

Рівняння прямої ОK: y = -4x + 8.

3) Серединний перпендикуляр ОE.

ОE ⊥ NP

Пряма NP: y = kx + b

k • 5 + b = 5

k • 1 + b = -3

5k + b = 5| • (-1) + -5k - b = -5

k + b = -3 k + b = -3

-4k = -8

k = 2

b = -3 -2 = -5.

Пряма NР: y = -2x - 5.

Пряма ОE: y = k₁x + b₁.

k • k₁ = -1; k₁ = -1k = -12; y = -12x + b₁.

E - середина NР: E(5 + 12; 5 - 32) = E(3; 1)

E(3; 1): -12 •3 + b₁ = 1

-32 + b₁ = 1

b₁ = 52

Рівняння прямої ОE: y = -12x + 52.

4) OA X OK в точці О(х; у):

y = 23x + 23| • 6 6y - 4x = 4

y = -4x + 8 y + 4x = 8

7y = 12

y = 127

y = 127 y = 127

4x = 8 - 127 x = 117

Отже, О(117; 127).

Відповідь: y = 23x + 23; y = -4x + 8; y = -12x + 52; О(117; 127).