Вправи: 222 (1)

222. Установіть взаємне розміщення кола і прямої, заданих рівняннями:

Розв’язання

a) x² + y² = 25, 3x + y - 15 = 0.

3x + y - 15 = 0 y = 15 - 3x

x² + y² = 25 x² + (15 - 3x)² = 25

x² + 225 - 90x + 9x² - 25 = 0

10x² - 90x + 200 = 0|: 10

x² - 9x + 20 = 0

D = (-9)² - 4 • 1 • 20 = 81 - 80 = 1 > 0.

Система має 2 розв’язки.

Отже, коло і пряма перетинаються.

б) (x - 5)² + (y - 5)² = 8, 2x + y = 6.

2x + y = 6

(x - 5)² + (y - 5)² = 8

y = 6 - 2x

(x - 5)² + (6 - 2x - 5)² = 8

x² - 10x + 25 + (1 - 2x)² = 8

x² - 10x + 25 + x - 4x + 4x² - 8 = 0

5x² - 14x + 18 = 0

D = (-14)² - 4 • 5 • 18 = 196 - 360 = -164 < 0.

Система не має розв’язків.

Отже, коло і пряма не перетинаються.

в) x² + y² + 4x - 2y - 14 = 0, x - y + 2 = 0

x - y + 2 = 0

x² + y² + 4x - 2y - 14 = 0

x = y - 2

(y - 2)² + y² + 4(y - 2) - 2y - 14 = 0

2y² - 2y - 18 = 0|: 2

y² - y - 9 = 0

D = (-1)² - 4 • 1 • (-9) = 1 + 36 = 37 > 0.

Система має 2 розв’язки.

Отже, коло і пряма перетинаються.

г) x² + y² - 6x - 8y + 17 = 0, x - y + 3 = 0

x - y + 3 = 0

x² + y² - 6x - 8y + 17 = 0

x = y - 3

(y - 3)² + y² - 6 • (y - 3) - 8y + 17 = 0

y² - 6y + 9 + y² - 6y + 18 - 8y + 17 = 0

2y² - 20y + 44 = 0|: 2

y² - 10y + 22 = 0

D = (-10)² - 4 • 1 • 22 = 100 - 88 = 12 > 0.

Система має 2 розв’язки.

Отже, коло і пряма перетинаються.