Відповіді до підручника: Стр.31

§ 4. Досліджуємо силу тяжіння і вільне падіння

1

З якою силою притягуються одна до одної дві книжки масою 0,2 кг кожна, що перебувають на відстані 1 м одна від одної?

Дано: m₁ = m₂ = 0,2 кг; r = 1 м; G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².

F = G·m₁·m₂ / r² = 6,67·10⁻¹¹ · 0,2 · 0,2 / 1² = 6,67·10⁻¹¹ · 0,04 ≈ 2,7·10⁻¹² Н.

Відповідь: F ≈ 2,7·10⁻¹² Н.

2

Визнач силу гравітаційної взаємодії Землі і Місяця, якщо маса Землі становить 5,98·10²⁴ кг, маса Місяця 7,35·10²² кг, а середня відстань між ними дорівнює 3,84·10⁸ м.

Дано: m₁ = 5,98·10²⁴ кг; m₂ = 7,35·10²² кг; r = 3,84·10⁸ м; G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².

F = G·m₁·m₂ / r².

m₁·m₂ ≈ 5,98·10²⁴ · 7,35·10²² ≈ 4,4·10⁴⁷ кг².

r² = (3,84·10⁸)² ≈ 1,47·10¹⁷ м².

F ≈ 6,67·10⁻¹¹ · 4,4·10⁴⁷ / 1,47·10¹⁷ ≈ 2,0·10²⁰ Н.

Відповідь: F ≈ 2·10²⁰ Н.

3

У скільки разів зменшується сила притягання до Землі космічної ракети під час її віддалення від поверхні Землі на відстань, що дорівнює радіусу Землі? П’ятьом радіусам Землі?

Сила тяжіння F ∝ 1/r², де r — відстань від центра Землі.

1. На поверхні: r₁ = R. На висоті, що дорівнює одному радіусу: r₂ = R + R = 2R.

F₂/F₁ = (R²)/(2R)² = 1/4. Сила зменшиться у 4 рази.

1. На висоті п’яти радіусів: r₃ = R + 5R = 6R.

F₃/F₁ = (R²)/(6R)² = 1/36. Сила зменшиться у 36 разів.

Відповідь: у 4 рази і у 36 разів відповідно.

4

Середня відстань між центрами Землі і Місяця дорівнює 60 земним радіусам, а маса Місяця у 81 раз менша від маси Землі. У якій точці на прямій, що з’єднує їх центри, тіло притягатиметься до Землі і до Місяця з однаковими силами?

Позначимо відстань від центра Землі до точки рівноваги через x. Тоді відстань до Місяця: 60R – x.

Умовa Fₑ = Fₘ:
G·Mₑ·m / x² = G·Mₘ·m / (60R – x)².

Mₘ = Mₑ/81, скорочуємо G і m:
Mₑ/x² = (Mₑ/81)/(60R – x)² ⇒ 1/x² = 1/[81(60R – x)²].

(60R – x)² = 81x² ⇒ 60R – x = 9x ⇒ 60R = 10x ⇒ x = 6R.

Відповідь: у точці, що розташована на відстані 6 радіусів Землі від її центру (і 54R від центра Місяця).

5

Яке прискорення вільного падіння на висоті, що дорівнює половині радіуса Землі?

Формула: g(h) = g₀·R² / (R + h)², де g₀ — прискорення на поверхні, R — радіус Землі.

h = 0,5R ⇒ R + h = 1,5R.

g(h) = g₀·R² / (1,5R)² = g₀ / 2,25 = (4/9)g₀.

Якщо g₀ ≈ 9,8 м/с², то g(h) ≈ (4/9)·9,8 ≈ 4,4 м/с².

Відповідь: g ≈ 4,4 м/с² (або g = 4/9·g₀).

6

Тіло вільно падає зі стану спокою з висоти 39,2 м. За який час тіло пройде перший метр свого шляху?

Вільне падіння зі спокою: s = g·t²/2.

Для першого метра: s₁ = 1 м.

1 = g·t₁²/2 ⇒ t₁² = 2/g.

За g = 9,8 м/с²: t₁² = 2 / 9,8 ≈ 0,204 ⇒ t₁ ≈ 0,45 с.

Відповідь: приблизно 0,45 с.

7

Дівчинка кинула вертикально вгору м’яч і впіймала його через 2 с. На яку висоту піднявся м’яч і яка його початкова швидкість?

Повний час польоту T = 2 с, рух симетричний, тому час підйому t₁ = T/2 = 1 с.

Початкова швидкість: v₀ = g·t₁ ≈ 10 м/с (беремо g = 10 м/с²).

Максимальна висота: hₘₐₓ = v₀² / (2g) = 10² / (2·10) = 5 м.

Відповідь: hₘₐₓ ≈ 5 м, v₀ ≈ 10 м/с.

8

На деякій ділянці шляху швидкість тіла, що вільно падає, збільшилася від 7 м/с до 21 м/с. Знайди час, протягом якого відбулася зміна швидкості, і шлях, пройдений тілом за цей час.

Дано: v₁ = 7 м/с, v₂ = 21 м/с, g ≈ 10 м/с².

1. Час зміни швидкості:

Δv = v₂ – v₁ = 14 м/с.

a = g ⇒ Δt = Δv / g = 14 / 10 = 1,4 с.

1. Шлях за цей час:

Використаємо співвідношення v₂² – v₁² = 2g·s.

s = (v₂² – v₁²) / (2g) = (21² – 7²) / (2·10) = (441 – 49) / 20 = 392 / 20 = 19,6 м.

Відповідь: Δt = 1,4 с, s ≈ 19,6 м.

9

За останню секунду вільного падіння тіло пройшло половину свого шляху. З якої висоти і скільки часу падало тіло?

Нехай загальний час падіння T, початкова швидкість нульова.

Загальний шлях: S = g·T²/2.

Шлях за останню секунду: Sₗ = S(T) – S(T–1) = g·T²/2 – g·(T–1)²/2 = g·(2T – 1)/2 = g·(T – 0,5).

За умовою Sₗ = S/2 ⇒ g·(T – 0,5) = (1/2)·g·T²/2 = g·T²/4.

Скорочуємо g: T – 0,5 = T²/4 ⇒ 4T – 2 = T² ⇒ T² – 4T + 2 = 0.

T = [4 ± √(16 – 8)]/2 = [4 ± √8]/2 = 2 ± √2. Підходить T = 2 + √2 ≈ 3,4 с (T > 1 с).

Висота: S = g·T²/2 ≈ 10·(2 + √2)² / 2 = 10·(6 + 4√2)/2 ≈ 10·5,83 ≈ 58 м.

Відповідь: тіло падало приблизно 3,4 с з висоти ≈ 58 м.

10

Тіло кинуто вертикально вгору зі швидкістю 30 м/с. Знайди, через який час тіло буде на висоті 25 м; максимальну висоту підняття; час піднімання і час падіння.

Дано: v₀ = 30 м/с, g ≈ 10 м/с².

1. Час, коли h = 25 м. Рівняння руху (вгору додатний напрям):

h = v₀t – g·t²/2 ⇒ 25 = 30t – 5t².

Переносимо: 5t² – 30t + 25 = 0 ⇒ t² – 6t + 5 = 0 ⇒ (t – 1)(t – 5) = 0.

t₁ = 1 с (на шляху вгору), t₂ = 5 с (на шляху вниз).

1. Максимальна висота:

hₘₐₓ = v₀² / (2g) = 30² / (2·10) = 900 / 20 = 45 м.

1. Час піднімання: tₚ = v₀ / g = 30 / 10 = 3 с.

Час падіння від найвищої точки до початкового рівня такий самий: tₚₐд = 3 с.

Відповідь: тіло буде на висоті 25 м через 1 с і 5 с; hₘₐₓ = 45 м; час піднімання 3 с, час падіння 3 с.

11

Виконай завдання за симуляцією 4.2 в е-додатку.

Опрацюй інформацію

Обери 5–7 різних небесних тіл у Сонячній системі й побудуй: стовпчасту діаграму прискорення вільного падіння (або ваги) на кожному з них; кругову діаграму відносних мас планет (без Сонця); графік залежності прискорення вільного падіння від маси планети або від її радіуса.

Приклад результату (обрано 6 небесних тіл; маси та g — орієнтовні довідкові значення):

Тіло	Маса, у масах Землі	g, м/с²	Радіус, у радіусах Землі
Меркурій	0,055	3,7	0,38
Венера	0,815	8,9	0,95
Земля	1,00	9,8	1,00
Марс	0,107	3,7	0,53
Юпітер	317,8	24,8	11,2
Сатурн	95,2	10,4	9,45

1. Стовпчаста діаграма g: по осі x — назви тіл, по осі y — g (м/с²); для кожного тіла побудуй стовпчик висотою, що відповідає значенню g з таблиці.

1. Кругова діаграма мас: візьми маси планет із таблиці (стовпець «Маса, у масах Землі»), обчисли суму й побудуй кругову діаграму, де сектор кожної планети пропорційний її масі.

1. Графік залежності g від маси планети: по осі x відкладається маса (у масах Землі), по осі y — g (м/с²); нанеси на координатну площину шість точок з координатами (маса; g) для кожного обраного тіла та з’єднай їх відрізками або залиш у вигляді окремих точок.