Вправи: 415 (1-4)

415. Знайдіть координати точок перетину з осями координат

параболи.

1) y = x² – 9x;

y = 0: x² – 9x = 0; x(x – 9) = 0;

x = 0, x = 9; (0; 0), (9; 0).

x = 0: y = 0; (0; 0).

2) y = x² – 64;

y = 0: x² – 64 = 0;

x² = 64; x = ±8; (–8; 0), (8; 0).

x = 0: y = –64; (0; –64).

3) y = x² + 2;

y = 0: x² + 2 = 0; x = ± 2; (–2; 0), (2; 0).

x = 0: y = 2; (0; 2).

4) y = 4x² – 16;

y = 0: 4x² – 16 = 0; 4x² = 16; x² = 4; x = ±2;

(–2; 0), (2; 0).

x = 0: y = –16; (0; –16).

5) y = x² – 8х + 16;

y = 0: x² – 8х + 16 = 0;

D = 64 – 4 • 16 = 64 – 64 = 0;

х_1,2 = 8± 02 = 4; (4; 0).

x = 0: y = 16; (0; 16).

6) y = x² + 25x + 100;

y = 0: x² + 25x + 100 = 0;

D = 25² – 4 • 100 = 625 – 400 = 225;

х_1,2 = -25± 152; x₁ = 5; x₂ = –20; (5; 0), (–20; 0).

x = 0: y = 100; (0; 100).

7) y = 2x² – 5x + 3;

y = 0: 2x² – 5x + 3 = 0;

D = 25 – 4 • 3 • 2 = 25 – 24 = 1;

х_1,2 = 5± 14; x₁ = 64 = 32 = 112; x₂ = 1; (112; 0), (1; 0).

x = 0: y = 3; (0; 3).

8) y = –3x² + 19x – 6;

y = 0: –3x² + 19x – 6 = 0;

D = 19² – 4 • (–3) • (–6) = 361 – (–12)(–6) = 361 – 72 = 289;

289 = ±17; х_1,2 = +19 ± 172•3 = 8 ± 48;

x₁ = 366 = 6; x₂ = 26 = 13; (6; 0), (13; 0).

x = 0: y = –6; (0; –6).

416. На малюнках 117–120 зображено графіки функцій y = ax² + bx + c. Для кожної з них визначте знаки коефіцієнта а і дискримінанта D.

Малюнок 117:

a < 0 вітки направлені вниз;

D > 0 – дві точки перетину з Ох.

Малюнок 119:

a < 0 вітки направлені вниз;

D = 0 – одна точка перетину з Ох.

Малюнок 120:

a > 0 вітки направлені вгору.

D > 0 – дві точки перетину з Ох.

417. Який вигляд має графік функцій y = ax² + bx + c, за умови, що:

1) a = 2, D = 18. 2) a = –3, D = 0.

3) a = 7, D = –8. 4) a = 5, D = 0.

5) a = 7, D = 49. 6) a = –8, D = –1.

419. На малюнках 121, 122 визначте: 1) координати вершини параболи; 2) область значень функцій; 3) координати точок перетину параболи з осями координат.

За малюнком 121:

1) (2; 1) – координати вершини параболи;

2) y < 0, (–∞; 1) ∪ (3; +∞); y > 0, (1; 3).

3) (1; 0), (3; 0) точки перетину з віссю Ox;

(0; –3) – точка перетину з віссю Oy.

За малюнком 122:

1) (–2; 8) – вершина параболи;

2) y > 0 (–∞; –4] ∪ [0; +∞); y < 0 [–4; 0].

3) (–4; 0), (0; 0) точки перетину з Ox;

(0; 0) точка перетину з Oy.

420. На малюнках 123, 124 визначте: 1) координати вершини параболи; 2) область значень функцій; 3) координати точок перетину параболи з осями координат.

За малюнком 123:

1) (–4; 16) – вершина параболи;

2) y > 0, (–∞; –8) ∪ (0; +∞); y < 0, (–8; 0).

3) Ох: (0; 0) ∪ (–8; 0), Оу: (0; 0).

За малюнком 124:

1) (3; 4) – вершина параболи;

2) у > 0, (1; 5); у < 0, (–∞; 1) ∪ (5; +∞).

3) Ох: (1; 0) ∪ (5; 0); Оу: (0; –5).

421. Знайдіть коефіцієнти n і m у рівності, що задає квадратичну функцію y = x² + mx + n, якщо:

1) x = 0, x = –1, x₁ + x₂ = –m;

0 – 1 = –m; x₁x₂ = n;

m = 1, 0(–1) = n, n = 0.

Відповідь: m = 1; n = 0.

2) x = –2, x = 2; x₁ + x₂ = –m;

x₁x₂ = n, –2 + 2 = –m;

–2 • 2 = n, m = 0, n = –4.

Відповідь: n = –4; m = 0.

3) x = 2, x = –3;

x₁ + x₂ = –m, n = 2(–3) = –6;

–m = 2 – 3, n = –6; m = 1.

Відповідь: m = 1; n = –6.

4) x = –0,5, x = –4;

x₁ + x₂ = –m, x₁x₂ = n;

–0,5 – 4 = –m, –0,5 • (–4) = n;

m = 4,5, n = 2.

Відповідь: m = 4,5; n = 2.

422. Знайдіть коефіцієнти p, q в рівності, що задає квадратичну функцію y = x² + рx + q, якщо:

y = x² + рх + q;

За теоремою Вієта x = 0, x = 9;

x₁ + x₂ = –р; 0 + 9 = –р, p = –9;

x₁x₂ = q, 0 • 9 = q, q = 0.

Відповідь: q = 0; p = –9.

2) x = –5; x = 5.

x₁ + x₂ = –р; 4 – 3 = –р; p = –1;

x₁x₂ = q; 4(–3) = q; q = –12.

Відповідь: p = –1; q = –12.

423. Скориставшись малюнком 125, порівняйте значення функції

y = –x² + 6x – 9 для таких значень аргументу.

1) f(3) > f(5);

2) f(–1,5) < f(5);

3) f(–2,7) < f(0,9);

4) f(–2) < f(3).

424. Скориставшись малюнком 126, порівняйте значення функції

y = x² + 5x + 1,75 для таких значень аргументу.

1) f(0) < f(1,5);

2) f(–2) < f(–5);

3) f(–1,2) > f(–1,4).

425. Для функції y = –x² + 3x + 5 знайдіть:

1) значення функції, якщо x = 0; –1; 0,5; 0,2;

2) значення аргументу, якщо y = 7; 5; 5,81.

1) 1) y(0) = 5;

2) y(–1) = –(–1)² – 3 + 5 = –1 –3 + 5 = 1;

3) у(0,5) = –(0,5)² + 3 • 0,5 + 5 = 6,25;

4) у(0,2) = –(0,2)² + 3 • 0,2 + 5 = 4,56;

2) 1) y = 7: –x² + 3х + 5 = 7;

–x² + 3x – 2 = 0;

x₁ = 1, x₂ = 2.

2) y = 5: –х² + 3х + 5 = 5;

–x² + 3х = 0;

–x(x – 3) = 0;

x = 0, x = 3.

3) y = 5,81: –x² + 3х + 5 = 5,81;

–x² + 3х – 0,81 = 0;

x₁ = 0,3, x₂ = 2,7.

426. Для функції y = 8x² + 2x – 1 знайдіть:

1) у(0) = 8 • 0 + 2 • 0 – 1 = –1;

у(–0,3) = 8 • (–0,5)² + 2 • 0,5 – 1 = 2;

у(14) = 8(14)² + 2(14) –1 = 816 = 24 – 1 = 24 + 24 – 44 = 0.

2) y = 5;

8x² + 2x – 1 = 5;

8x² + 2x – 6 = 0;

4x² + x – 3 = 0;

D = 1 + 48 = 49;

x₁ = -1+78 = 34; x₂ = –1.

y = 9;

8x² + 2x – 1 = 9;

8x² + 2x – 10 = 0;

4x² + x – 5 = 0;

D = 1 + 80 = 81;

x₁ = -2+916 = 716; x₂ = -2-916 = -1116.

427. Побудуйте шляхом перетворення графіка функцій у = х2 графік функції:

1) y = x² – 6x; y = x(x – 6);1) (3; 9) – вершина; 2) y = 0; x = 0; y = 0; x = 6; x = 0; y = 0; 3) а > 0 вітки вгору.

4) y = 3x² + 6x – 9; 1) (–1; –12);2) а > 0 – вітки вгору; 3) y = 0 3x² + 6x – 9 = 0; D = 36 + 9 • 4 • 3 = 144;x1,2 = -6± 126; x1 = 1, (1; 0); x2 = –3, (–3; 0); x = 0, y = –9.

2) y = x² – 4x; 1) (2; 4) – вершина; 2) y = 0; x² – 4x = 0; x = 0; x – 4 = 0, x = 4. (0; 0), (4; 0);3) а > 0 вітки вгору.

3) y = x² – 4x + 8; 1) (2; 4) – вершина; 2) a > 0 вітки вгору; 3) y = 0, x² – 4x + 8 = 0; D = 16 – 4 • 8 = 16 – 32 < 0;x = 0, y = 8.

5) y = –6x² – 12x; 1) (–1; 6) – вершина; 2) a < 0 – вітки вниз;3) y = 0, –6x² – 12x = 0; –6x(x + 2) = 0; x = 0, x = –2; x = 0, y = 0.(0; 0), (–2; 0)

6) y = x² – 2x + 1; 1) x0 = 22 = 1; y0 = 1 – 2 + 1 = 0;(1; 0) – вершина2) a > 0 – вітки вгору; 3) y = 0, x² – 2x + 1 = 0; D = 4 – 4 • 1 = 0;x1,2 = 2± 02 = 1; (1; 0);x = 0, y = 1. (0; 1)

428. Побудуйте шляхом перетворення графіка функцій у = х2 графік функції.

1) y = x² – 8х;1) x0 = 82 = 4; (4; –16) – вершина параболи; y0 = 16 – 32 = –16; 2) a > 0 вітки вгору; 3) y = 0, x² – 8х = 0; x = 0, x – 8 = 0; x = 8; (0; 0), (8; 0); x = 0, y = 0.

2) y = x² – 6x + 8; 1) x0 = 3; (3; 1) – вершина параболи;y0 = 9 – 18 + 8 = –1; 2) а > 0, вітки вгору;3) y = 0, x² – 6x + 8 = 0; D = 36 – 4 • 8 = 36 – 32 = 4; x1,2 = 6± 22; x1 = 4 (4; 0);x2 = 2 (2; 0);x = 0, y = 8, (0; 8).

3) y = –x² + 2x; 1) x0 = -2-2 = 1;y0 = –1 + 2 = 1;(1; 1) – вершина параболи; 2) a < 0 вітки вниз;3) y = 0, –x² + 2x = 0; х(–x + 2) = 0; x = 0; –x = –2; x = 2. (0; 0), (2; 0).

4) y = x² – 4x + 4; 1) x0 = 42 = 2;y0 = 4 – 8 + 4 = 0; (2; 0) – вершина параболи; 2) a > 0 вітки вгору; 3) y = 0, x² – 4x + 4 = 0; D = 16 – 4 • 4 = 0; x1,2 = 4± 02 = 2; (2; 0).x = 0, y = 4.

431. В одній системі координат побудуйте графіки функцій.

Скориставшись графіками функцій, знайдіть координати точок їх перетину.

1) у = x² – 2x + 8;

x₀ = 22 = 1;

y₀ = 1 – 2 + 8 = 7;

y = –x² + 8х – 4;

x₀ = +82 = 4;

y₀ = –16 + 32 – 4 = 12;

(2; 8), (3; 11).

2) y = 2x² – x;

x₀ = 14 = 0,25;

y₀ = 2 • (0,25)² – 0,25 = –0,125;

y = –x² + x;

x₀ = +12 = 0,5;

y₀ = –0,25 + 0,5 = 0,25;

(0; 0), (23; 0).

3) y = x² + 4;

x₀ = 0;

y₀ = 4;

y = x² – 6x + 4;

x₀ = 62 = 3;

y₀ = 9 – 18 + 4 = –5;

(0; 4).

432. Порівняйте з нулем коефіцієнти a, b і c функції y = ax² + bx + c за малюнками 127, 128.

Малюнок 127:

а < 0 вітки направлені вниз;

b < 0, x < 0; с = 0, y = 0.

Малюнок 128:

а > 0, вітки направлені вгору;

b < 0, x > 0; c = 0, y = 0.

433. Порівняйте з нулем коефіцієнти a, b і c функції y = ax² + bx + c за малюнками 129, 130.

Малюнок 129:

а > 0 вітки параболи направлені вгору, це дорівнює нуль парабола перетинає вісь ординат, b < 0, x > 0.

Малюнок 130:

а < 0, вітки параболи направлені вниз;

b > 0, x < 0; c < 0, y < 0.

436. В одній системі координат побудуйте графіки функцій.

Скориставшись графіками функцій, знайдіть координати точок їх перетину.

1) y = x² – 4x + 4;

x₀ = 42 = 2;

y₀ = 4 – 8 + 4 = 0;

x = –1;

(–1; 9).

2) y = 2x² + 4x – 5;

x₀ = -42•2 = –1;

y₀ = 2 – 4 – 5 = –7;

y = x;

(1; 1), (–2,5; –2,5);

3) y = x² – 4x;

x₀ = 42 = 2;

y₀ = 4 – 8 = –4;

y = –x² + 4x;

x₀ = -42 = –2;

y₀ = 4 + 8 = 12;

(0; 0), (4; 0).

437. Побудуйте графік квадратичної функції: 1) y = x² – 2x – 3;

2) y = 2x² – 8x + 6. Визначте: 1) область визначення функції; 2) область значень функції; 3) нулі функції; 4) проміжки знакосталості;

5) найменше значення функції; 6) проміжок зростання функції;

7) проміжок спадання функції.

1) y = x² – 2x – 3;

1) D(y) = [–∞; +∞);

2) E(y) = [–4; +∞);

3) x = 3; x = –1;

4) у > 0, (–∞; –1]U[3; +∞); y < 0, [–1; 3];

5) найменше значення функції y = –4;

6) [1; +∞) – зростає;

7) (–∞; 1] – спадає.

2) y = 2x² – 8X + 6;

1) D(y) = (–∞; +∞);

2) E(y) = [–2; +∞);

3) x = 1; x = 3;

4) у > 0, (–∞; 1]U[3; +∞); y < 0, [1; 3];

5) y = –2 – найменше значення функції;

6) зростає [2; +∞);

7) спадає [–∞; 2].

438. Побудуйте графік квадратичної функції: 1) y = –x² + 8x – 12;

2) y = –2x² – 10x – 8. Визначте: 1) область визначення функції; 2) область значень функції; 3) нулі функції; 4) проміжки знакосталості; 5) найбільше значення функції; 6) проміжок зростання функції;

7) проміжок спадання функції.

1) y = –x² + 8х – 12;

1) D(y) = (–∞; +∞);

2) E(y) (–∞; 4);

3) x = 2, x = 6;

4) y < 0, (–∞; 2]U(6; +∞);

y > 0, [2; 6];

5) найбільше значення функції y = 4;

6) зростає [–∞; 4];

7) спадає [4; +∞).

2) y = –2x² – 10x – 8;

1) D(y) = (–∞; +∞);

2) E(y) = (–∞; 4,5];

3) x = –4; x = –1;

4) y < 0, (–∞; –4]U[–1; +∞);

y > 0, [–4; –1];

5) найбільше значення функції y = 4,5;

6) зростає (–∞; –2,5);

7) спадає (–2,5; +∞).

439. Побудуйте графік квадратичної функції: а) y = x² – 4x + 6; б) y = –x² + 6x – 5. Визначте: 1) область визначення функції; 2) область значень функції; 3) нулі функції; 4) проміжки знакосталості функції;

5) проміжок спадання функції; 6) проміжок зростання функції; 7) найбільше значення функції; 8) найменше значення функції.

a) y = x² – 4x + 6;

1) D(y) = (–∞; +∞);

2) E(y) = [2; +∞);

3) нулів функції немає;

4) y > 0, (–∞; +∞);

y < 0 – не існує;

5) спадання (–∞; 2];

6) зростання [2; +∞);

7) найбільше значення не існує;

8) найменше значення y = 2;

б) y = –x² + 6x – 5;

1) D(y) = (–∞; +∞);

2) E(y) = (–∞; 4];

3) x = 1, x = 5;

4) y > 0 [+1; 5];

y < 0, (–∞; 1]U[5; +∞);

5) спадання [3; +∞);

6) зростання (–∞; 3];

7) найбільше значення y = 4;

8) найменше значення – не існує.

442. За яких значень параметра а парабола.

1) y = x² + x + a – не перетинає вісь абсцис, якщо D < 0;

D = 2 – 4 • 1 • а < 0;

1 – 4а < 0; –4а < –1; a > 14.

2) y = x² + ах + 16 – дотикається до осі абсцис, якщо D = 0;

D = а² – 4 • 1 • 16 = 0;

а² – 64 = 0;

а = ±8, при а = ±8 функція дотикається до осі абсцис.

3) y = –ax² + x + 5, проходить через (–1; 2,5);

x = –1, y = 2,5;

–а – 1 + 5 = 2,5;

–а = 2,5 – 4;

–а = –1,5;

а = 1,5.

4) y = 5x² – 2x + а + 4 – перетинає вісь ординат у точці (0; 4);

x = 0, y = 4;

5 • 0 – 2 • 0 + а + 4 = 4;

a + 4 = 4;

a = 0.

443. За яких значень параметра m парабола.

1) y = x² + x + m не перетинає вісь абсцис.

Квадратична функція не перетинає вісь абсцис, якщо D < 0;

D = 1² – 4m;

1 – 4m < 0; –4m < –1;

m > 14;

2) y = –x² + 2x + m – дотикається до осі абсцис, якщо D = 0;

D = 2² – 4(–1)m;

4 + 4m = 0; 4m = –4;

m = –1.

3) y = mx² + x + 4 проходить через точку (1; 9);

x = 1, y = 9;

m • 1² + 1 + 4 = 9;

m = 9 – 5; m = 4.

4) y = x² + 3x + m перетинає вісь ординат у точці (0; 6);

x = 0, y = 6;

0 + 3 • 0 + m = 6;

m = 6.

444. Дано функцію у = –х² + 8х – 12. Знайдіть значеннях x, за якого функція набуває: 1) найбільшого значення на проміжку [–1; 6]; 2) найменшого значення на проміжку [3; 6].

y = –x² + 8х – 12;

1) у(–1) = –1 – 8 – 12 = –21;

у(6) = –36 + 42 – 12 = –6;

при x = 6 – функція набуває найбільшого значення.

2) y = –x² + 8X – 12 на [3; 6];

у(3) = –9 + 24 – 12 + 3;

у(6) = –6;

x = 6 – функція набуває найменше значення.

445. Дано функцію у = 2х² – 8х + 6. Знайдіть значеннях x, за якого функція набуває: 1) найбільшого значення на проміжку [–1; 3];

2) найменшого значення на проміжку [–1; 1].

y = 2x² – 8х + 6;

1) [–1; 3];

у(–1) = 2(–1)² – 8(–1) + 6 = 16;

у(3) = 2 • 3² – 8 • 3 + 6 = 0;

при x = –1 функція набуває найбільшого значення.

2) y = 2x² – 8х + 6;

у(–1) = 2 + 8 + 6 = 16;

у(1) = 2 – 8 + 6 = 0;

при x = 1 функція має найменше значення.

446. Побудуйте графік функції y = –x² + 6x – 5. Скориставшись графіком, порівняйте значення функції для таких значень аргументу.

y = –x² + 6x – 5;

1) а < 0 вітки направлені вниз;

–x² + 6x – 5 = 0;

x₁ = 1, x₂ = 5;

x₀ = -6-2 = 3;

y₀ = –1 • 3² + 6 • 3 – 5 = 4;

1) f(1) > f(0,5);

2) f(–1,5) < f(1,5);

3) f(–2) < f(3);

4) f(2) = f(4).

447. Визначте коефіцієнти a, b і c функції y = ax² + bx + c, якщо: 1) вітки параболи напрямлені вгору, вершина має координати (2; 5) і парабола перетинає вісь ординат у точці (0; 10); 2) вершина має координати ( 0; –1) і парабола перетинає вісь абсцис у точках (1; 0) і (–1; 0).

1) y = ax² + bx + с; вітки направлені вгору;

x₀ = 2, y₀ = 5; (0; 10) – точка перетину осі Oy; с = 10.

x₀ = -b2a; 2 = -b2a;

b = –4а.

2а² – 4а • 2 + 10 = 5;

4а – 8а = 5 – 10;

–4а = –5; a = 5-4; a = 1,25.

b = 4 • 1,25 = –5.

Відповідь: a = 1,25, b = –5, c = 10.

2) x₀ = 0; y = –1;

Координати перетину з віссю Ox (1; 0), (–1; 0);

y₀ = ax₀² + bx₀ + c.

c = –1; x₀ = -b2a; 0 = b2a; b = 0; a = 2.

448. Визначте коефіцієнти b і c функції y = x² + bx + c, якщо

вершина параболи має координати.

1) (4; 0); x₀ = 4; y₀ = 0, x₀ = -b2a; 4 = -b2, a = 1.

b = –8; y₀ = ax₀² + bx₀ + c; 4² – 8 • 4 + c = 0;

a = 1, c = 16.

2) (0; –5); a = 1; x₀ = 0; y₀ = –5, x₀ = -b2a ⇒ b = –8;

y₀ = ax₀² + bx₀ + c; c = –5.

3) (2; 2); a = 1; x₀ = 2; y₀ = 2, x₀ = -b2⇒ b = –4;

y₀ = ax₀² + bx₀ + c; 2² – 4 • 2 + c = 2;

c = 2 – 4 + 8; c = 6.

4) (–1; 3): a = 1, x₀ = –1; y₀ = 3; x₀ = -b2 ⇒ b = 2;

y₀ = ax₀² + bx₀ + c; (–1)² + 2 • 1 + c = 3; c = 0.

449. Визначте коефіцієнти b і c функції y = x² + bx + c, якщо

вершина параболи має координати: 1) (5; 0); 2) (4; –3).

1) (5; 0) – координати вершини параболи.

a = 1, x₀ = 5; y₀ = 0; x₀ = -b2а ⇒ 5 = -b2; b = –10;

y₀ = ax₀² + bx₀ + c;

1 • 5² – 10 • 5 + c = 0;

c = 50 – 25 = 25.

Відповідь: b = –10; c = 25

2) (4; –3); x₀ = 4; y₀ = –3; a = 1;

x₀ = -b2; 4 = -b2; b = –8;

y₀ = ax₀² + bx₀ + c;

4² – 8 • 4 + c = –3;

16 – 32 + c = –3;

c = –3 – 16 + 32;

c = 13.

Відповідь: b = –8; c = 13.

450. Скориставшись малюнками 135–138, знайдіть значення

коефіцієнтів a, b і c функції y = ax² + bx + c.

Малюнок 135:

y = ax² + bx + c;

a = 1, b = 0, c = 0.

Малюнок 136:

a = 1; b = 4; c = 5.

Малюнок 137:

a = 1, b = 1; c = –7.

Малюнок 138:

a = –1, b = 0; c = 1.

451. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість

розв’язків рівняння:

1) x² – 4 = a;

1) якщо а = 0, х² – 4 = 0; х = ±2

2) якщо a > 0, x² ≥ 4; x ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞);

3) якщо а < 0, x ∈ [–2; 2];

2) –x² + 8x = a;

1) якщо а = 0, –х² + 8х = 0; –х(х – 8) = 0; х = 0, х = 8.

2) якщо а ≥ 0, х² + 8х ≥ 0; х ∈ [0; 8];

якщо а ≤ 0, х ∈ (–∞; 0] ∪ [8; +∞).

3) x² + 4x – 5 = a;

1) якщо а = 0, х² + 4х – 5 = 0; х₁ = 1, х₂ = –5;

2) якщо а ≥ 0, х ∈ (–∞; –5] ∪ [1; +∞);

3) якщо а ≤ 0, х ∈ [–5; 1];

4) –4x² + 12x – 3 = a;

1) якщо а = 0, –4х² + 12х – 3 = 0;

D = 144 + 4 • 4(–3) = 96;

x₁ = -12 ± 96-8 = -3+ 6-2; x₂ = -3-6-2;

2) якщо а ≥ 0 х ∈ (–∞; -3-6-2] ∪ [–3+ 6-2; +∞);

3) якщо а ≤ 0 х ∈ [-3-6-2; -3+6-2].

452. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) y = x + 1;

y = 3x² – 2x + 1;

1) y = x + 1;

х	0	1	–1
y	1	2	0

2) y = 3x² – 2x + 1;

x₀ = -b2a; x₀ = 26 = 13;

y₀ + ax₀² + bx₀ + c;

y₀ = 3 • 19 + (–2) 13 + 1 = 23;

х	0	1	–1
y	1	2	6

y(0) = 1;

y(1) = 3 • 1 – 2 • 1 + 1 = 2;

y(–1) = 3 • 1 – 2(–1) + 1 = 6;

Відповідь: (0; 1) (1; 2).

2) у = –х + 2х – 1;

у = х² + 2х – 3;

1) у = –х + 2х – 1;

х₀ = -2-2 = 1;

у₀ = –1 + 2 – 1 = 0;

х	–2	–1	0	1	2
у	–9	–4	–1	0	–1

2) у = х² + 2х – 3;

х₀ = -22 = –1;

у₀ = 1 + 2 (–1) – 3 = –4;

х	–2	–1	0	1	2
у	–3	–4	–3	0	5

Відповідь: (–1; –4), (1; 0).

453. Побудуйте графік функції:

1) у = х3- 2хх = х² – 2;

х	0	2	–2
у	–2	2	2

y(0) = –2; y(2) = 2; y(–2) = 2; x₀ = –2.

2) y = x4+ 4x3x2 = x(x + 4) = x² + 4;

x₀ = -b2a; x₀ = –2;

y₀ = 4 + 4(–2) = –4;

x	0	–2	1	–4
y	0	–4	5	0

y = x² + 4x; y(1) = 5; y(–4) = 0.

3) y = 2x3-4x2+ 5xx = 2x² – 4x + 5;

x₀ = 1; y₀ = 3.

x	0	2	–1
y	5	5	11

y(0) = 5;

y(2) = 2 • 4 – 4 • 2 + 5 = 5;

y(–1) = 2 • 1 + 4 + 5 = 11.

4) y = x3+8x+2 = x+2(x2- 2x+4)x+2 = x2 – 2x + 4;

x₀ = 1; y₀ = 1 + (–2) + 4 = 3.

x	0	2	–1
y	4	4	7

y(0) = 4, y(2) = 4, y(–1) = 7.

454. Побудуйте графік функції:

1) x, x ≤ 0;

x² + 3x, x > 0;

y = x;

x	0	1	–1
y	0	1	–1

y = x² + 3x;

x	0	1	–1	–3
y	0	4	–2	0

x₀ = -32 = –112 = –1,5;

y₀ = 94 + 3(–32) = –214;

y(0) = 0, y(1) = 1 + 3 = 4;

y(–1) = 1 + 3(–1) = –2;

y(–3) = (–3)² + 3(–3) = 0.

2) y = –x² – 4x + 5, x < –2;

x² + 4x – 5, x ≥ –2;

1) y = –x2 – 4x + 5, a < 0 вітки вниз.

2) х₁ = –5, х = 1; х₀ = –2.

y₀ = ax₀² + bx₀ + c;

y₀ = –1(–2)² – 4(–2) + 5 = 9;

3) y = x² + 4x – 5;

1) a > 0, вітки вгору;

2) х₁ = –5, х = 1;

х₀ = –2, у₀ = –9.

3) у = х² + 2х – 6, х < 3;

2x² + 12x + 15, x ≥ 3;

y = x² + 2x – 6; a > 0 вітки вгору.

х₁ = -2+ 282; х₂ = -2- 282;

х₀ = –1, у₀ = –7.

у = 2х² + 12х + 15;

х₁ = -12- 244; х₂ = -12+ 244;

х₀ = –3, у₀ = –3.

4) y = x² – 4x, x ≤ 2;

–x² + 4x – 5, x > 2;

y = x² – 4x;

1) a > 0, x = 0, x = 4 – вітки вгору.

х₀ = 2, у₀ = –4;

у = –х² + 4х – 5;

a < 0, вітки вниз.

х₀ = 2, у₀ = –1.

точок перетину з Ох не існує.

455. Побудуйте графік функції:

1) y = x2 + 5|x| – 7;	2) y = 2x2 – 4|x| + 2;
3) y = x2 + 6|x + 2| – 12;	4) y = x2 + |x – 2|;

456. У кімнаті вирішили зробити арку у формі параболи (мал. 139). Для цього спочатку потрібно побудувати її на папері. Складіть рівняння квадратичної функції, графіком якої є ця парабола. Побудуйте параболу (за одиничний відрізок, що відповідає 1 м, візьміть 1 см).

y = –2x² + 2;

457. Чи правильно, що дана нерівність є квадратною.

1) x² – 5x + 6 > 0; так.

2) 3x² + 2x² – x < 0; так.

3) 14х2 + 9x – 25 > 0; ні.

4) 7 – 2x ≥ 0; ні.

5) 45x – 37х3 + 4x³ < 0; ні.

6) x(7x + 5) ≤ 0. так.

460. Чи правильно, що розв’язати квадратну нерівність —

означає знайти:

1) хоча б один її розв’язок; ні.

2) усі її розв’язки; так.

461. Чи є число 3 розв’язком нерівності.

1) x² – 4x + 4 ≥ 0;

3² – 4 • 3 + 4 ≥ 0; так.

2) x² + 4x + 3 ≤ 0;

3² + 4 • 3 + 3 ≤ 0; ні.

3) 5x² + 3x – 2 > 0;

5 • 3² + 3 • 3 – 2 > 0; так.

4) x² – 6x + 5 ≥ 0;

3² – 6 • 3 + 5 ≥ 0; ні.

5) 8x² – 2x – 1 < 0;

8 • 3² – 2 • 3 – 1 < 0; ні.

6) x² + 4x – 21 < 0;

3² + 4 • 3 – 21 <0; ні.

462. Чи є число –1 розв’язком нерівності:

1) x² – x + 7 ≥ 0;

(–1)² – (–1) + 7 ≥ 0; так.

2) x² + 5x ≤ 0;

(–1)² + 5 • (–1) ≤ 0; так.

3) x² + 6 > 0;

(–1)² + 6 > 0; так.

4) 6x² – x + 1 ≥ 0;

6 • (–1)² – (–1) + 1 ≥ 0; так.

5) –x² – 5x – 5 < 0;

–(–1)² – 5 • (–1) – 5 < 0; так.

6) –2x² + x – 8 < 0;

–2(–1)² + (–1) – 8 < 0; так.

463. На малюнку 153 зображено параболу у = x² + 5x – 6.

Запишіть множину розв’язків нерівності x² + 5x – 6 < 0.

y = x² + 5x – 6;

x² + 5x – 6 < 0, x ∈ (–6; 1).

464. На малюнку 154 зображено параболу у = x² – 4x + 3.

Запишіть множину розв’язків нерівності x² – 4x + 3 < 0.

y = x² – 4x + 3;

x² – 4x + 3 < 0; x ∈ (1; 3).

465. На малюнку 155 зображено параболу у = –x² – 5x.

Запишіть множину розв’язків нерівності –x² – 5x ≥ 0.

y = –x² – 5x;

–x² – 5x ≥ 0; x ∈ [–5; 0].

466. На малюнку 156 зображено параболу у = –x² + 4.

Запишіть множину розв’язків нерівності –x² + 4 < 0.

y = –x² + 4;

–x² + 4 < 0; x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞).

467. Розв’яжіть квадратну нерівність.

1) x² ≤ 1; x² – 1 ≤ 0; x² – 1 = 0; x² = 1; x1 = –1, x2 = 1;x ∈ [–1; 1].	2) x² + 5x ≥ 0; x² + 5x = 0; x(x + 5) = 0; x1 = 0, x2 = –5;x ∈ (–∞; –5] ∪ [0; +∞).
3) 4x² + 1 > 0; 4x² + 1 = 0; 4x² = –1;x² = –14;x1 = –12, x2 = 12;	4) x² – 16 ≥ 0 x² – 16 = 0; x² = 16; x1 = –4, x2 = 4.x ∈ (–∞; –4] ∪ [4; +∞).
x ∈ (–∞; –12) ∪ (12; +∞).
5) x² + 9 < 0; x² + 9 = 0; D < 0.	6) x² + 3 > 0; x² + 3 = 0; D < 0.
∅.	x ∈ (–∞; +∞).
7) x² – 8x ≤ 0; x² – 8x = 0; x(x – 8) = 0; x1 = 0, x2 = 8.x ∈ [0; 8].	8) x² – 4x > 0; x² – 4x = 0; х(x – 4) = 0; x = 0, x – 4 = 0; x = 4.x ∈ (–∞; 0) ∪ (4; +∞).
9) 25x² ≥ 100;x² – 4 ≥ 0; x² – 4 = 0; x² = 4; x1 = –2, x2 = 2.x ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞).	10) 4x² – 8х < 0; 4x² – 8х = 0; х(4x – 8) = 0; x = 0, 4x – 8 = 0; 4x = 8; х = 2.x ∈ (0; 2).

468. Розв’яжіть квадратну нерівність.

1) x² – 25 ≤ 0; x² – 25 = 0; x² = 25; x1 = –5, x2 = 5.x ∈ [–5; 5].	2) –x² ≥ 81; –x² – 81 ≥ 0; –x² – 81 = 0; –x² = 81; D < 0.∅.
3) 3x² – 6x > 0; 3x² – 6x = 0; х(3х – 6) = 0; x = 0, 3х – 6 = 0; 3х = 6, x = 2.x ∈ (–∞; 0) ∪ (2; +∞).	4) 3x² – 6x ≥ 0; 3x² – 6x = 0 x(3x – 6) = 0 x = 0, 3x – 6 = 0; 3x = 6, x = 2.x ∈ (–∞; 0] ∪ [2; +∞).
5) x² + 4 < 0; x² + 4 = 0; x² = –4; D < 0.∅.	6) –2x² – 4x ≥ 0; –2x² – 4x = 0; –2x(x + 2) = 0; x1 = 0, x2 = –2.x ∈ (–∞; –2] ∪ [0; +∞).

469. Розв’яжіть квадратну нерівність.

1) x² + 3х – 18 > 0; x1 = –6, x2 = 3;x ∈ (–∞; –6) ∪ (3; +∞).	2) x² – 3х – 10 < 0; x² – 3х – 10 = 0; x1 = –2, x2 = 5;x ∈ (–2; 5).
3) x² – 4x – 12 ≤ 0; x² – 4x – 12 = 0; x1 = –2, x2 = 6;x ∈ [–2; 6].	4) –x² + 10x – 24 ≤ 0 |• (–1);x² – 10x + 24 ≥ 0; x² – 10 + 24 = 0; x1 = 4, x2 = 6;x ∈ (–∞; 4] ∪ [6; +∞).
5) –x² – 4x + 5 < 0 |• (–1);x² + 4x – 5 > 0; x² + 4x – 5 = 0; x1 = –5, x2 = 1.x ∈ (–∞; –5) ∪ (1; +∞).	6) x² – 4x + 3 ≥ 0; x² – 4x + 3 = 0; x1 = 1, x2 = 3;x ∈ (–∞; 1] ∪ [3; +∞).

7) x² – 6x – 16 < 0; x² – 6x – 16 = 0; x1 = –2, x2 = 8.x ∈ (–2; 8).	8) x² + 10x + 16 > 0; x² + 10x + 16 = 0; x1 = –8, x2 = –2.x ∈ (–∞; –8) ∪ (–2; +∞).
9) x² + 8х – 9 < 0; x² + 8х – 9 = 0; x1 = –9, x2 = 1;x ∈ (–9; 1).	10) x² – 10x + 21 ≤ 0; x² – 10x + 21 = 0; x1 = 3, x2 = 7;x ∈ [3; 7].

11) x² + 2x – 15 < 0; x² + 2x – 15 = 0; x1 = –5, x2 = 3;x ∈ (–5; 3).	12) x² – 6x – 7 ≥ 0; x² – 6x – 7 = 0; x1 = –1, x2 = 7;x ∈ (–∞; –2] ∪ [7; +∞).
13) x² + 4x – 12 ≤ 0; x² + 4x – 12 = 0; x1 = –6, x2 = 2;x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞).	14) x² + 4x – 12 < 0; x² + 4x – 12 = 0;x1 = –6, x2 = 2;x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞).
15) x² + 5x + 6 ≥ 0;x² + 5x + 6 = 0; D < 0;x ∈ (–∞; +∞).	16) x² – 3х – 40 > 0; x² – 3х – 40 = 0; x1 = –5, x2 = 8;x ∈ (–∞; –5) ∪ (8; +∞).

470. Розв’яжіть квадратну нерівність.

1) x² + 4x + 3 ≤ 0; x² + 4x + 3 = 0;x1 = –6, x2 = 2;x ∈ [–3; –1].	2) x² – 3х – 28 < 0; x² – 3х – 28 = 0;x1 = –4, x2 = 7;x ∈ (–4; 7).
3) x² + 6x + 9 > 0; x² + 6x + 9 = 0; (x + 3)² = 0; x + 3 = 0;x = –3.	4) x² + x – 12 < 0; x² + x – 12 = 0;x1 = –4, x2 = 3;x ∈ (–4; 3)
x ∈ (–∞; –3) ∪ (–3; +∞).
5) x² – 5x – 6 ≥ 0; x² – 5x – 6 = 0;x1 = –1, x2 = 6;x ∈ (–∞; –1] ∪ [6; +∞).	6) –x² + 7x – 12 > 0 | • (–1);x² – 7x + 12 < 0;x1 = 3, x2 = 4;x ∈ (3; 4).
7) –x² + 5x + 14 > 0 |• (–1);x² – 5x – 4 < 0; x² – 5x – 14 = 0;x1 = –2, x2 = 7;x ∈ (–2; 7).	8) x² + 7x – 8 ≤ 0; x² + 7x – 8 = 0;x1 = –8, x2 = 1;x ∈ [–8; 1].

473. Складіть квадратну нерівність за множиною її розв’язків:

1) (–2; 0);x2 + 2х < 0;2) [–8; 8];x2 – 64 ≤ 0;

3) (–∞; –5]U[5; +∞];x2 – 25 ≥ 0;4) (–∞; –2]U[4; +∞];x² – 2x – 8 ≥ 0.

474. Складіть квадратну нерівність за множиною її розв’язків:

1) (0; 10);x2 – 10x < 0;2) [–6; 6];x2 – 36 ≤ 0;

3) (–3; 5);x2 – 2x – 15 < 0;4) (–∞; –2]U[4; +∞];x2 – 2x – 8 ≥ 0.

475. Розв’яжіть нерівність:

1) 6x ≤ 8x2 – 2;6x – 8x2 + 2 ≤ 0 | • (–1);8x2 – 6x – 2 ≥ 0;8x2 – 6x – 2 = 0;D = (–6)2 – 4 • 8 • (–2) = 100 == 102;x1 = 6-1016 = -416 = –14 = –0,25;x2 = 6+1016 = 1616 = 1;x ∈ (–∞; –0,25] ∪ [1; +∞).	2) 3x2 + 10 ≤ –x2 + 22x;3x2 + 10 + x2 – 22x ≤ 0;4x2 – 22x + 10 ≤ 0|: 2;2x2 – 11x + 5 ≤ 0;2x2 – 11x + 5 = 0;D = (–11)2 – 4 • 2 • 5 = 81 = 92;x1 = 11+94 = 204 = 5;x2 = 11-94 = 24 = 0,5;x ∈ [0,5; 5].
4) 3x – 5x2 ≥ 3x2 + 2;–5x2 – 3x2 + 3x – 2 ≥ 0;–8x2 + 3x – 2 ≥ 0 |• (–1);8x2 – 3x + 2 ≤ 0;8x2 – 3x + 2 = 0;D = (–3)2 – 4 • 8 • 2 < 0;∅	5) 9x2 < –2x2 – 12x – 1;9x2 + 2x2 + 12x + 1 < 0;11x2 + 12x + 1 < 0;D = 122 – 4 • 11 • 1 = 100 = 102;x1 = -12-1022 = -2222 = –1;x2 = -12+1022 = -222 = –111;x ∈ (–1; –111).

476. Розв’яжіть нерівність:

1) 3x2 + 9 > 2x2 + 6x;3x2 – 2x2 – 6x + 9 > 0;x2 – 6x + 9 > 0;x2 – 6x + 9 = 0;(x – 3)2 = 0;x – 3 = 0; x = 3.x ∈ (–∞; 3) ∪ (3; +∞).	2) 4x ≤ –x2 + 5;x2 + 4x – 5 ≤ 0;x2 + 4x – 5 = 0;x1 = –5, x2 = 1.x ∈ [–5; 1].
3) 6x2 ≥ 15x – 6;6x2 – 15x + 6 ≥ 0;D = (–15)2 – 4 • 6 • 6 = 81 = 92;x1 = 15-912 = 612 = 0,5;x2 = 15+912 = 2412 = 2;x ∈ (–∞; 0,5) ∪ [2; +∞).	4) 2x2 > –3x2 – 3x + 2;2x2 + 3x2 + 3x – 2 > 0;5x2 + 3x – 2 > 0;D = 9 – 4 • 5 • (–2) = 49 = 72;x1 = -3-710 = -1010 = –1;x2 = -3+710 = 410 = 0,4;x ∈ (–∞; –1) ∪ (0,4; +∞)

477. Розв’яжіть нерівність.

1) 2x(3 – 4x) ≥ –2; 6x – 8x² + 2 ≥ 0 |• (–1);8x² – 6x – 2 ≤ 0; 8x² – 6x – 2 = 0; D = (–6)2 • 4 • 8 • (–2) = 100 == 102;x1 = 6-1016 = -416 = –14 = –0,25;x2 = 6+1016 = 1616 = 1.	2) у(y – 10) ≤ –21;y² – 10y + 21 ≤ 0; y1 = 3, y2 = 7; у ∈ [3; 7].
x ∈ [–0,25; 1].
3) x(x – 7) + 12 < 0; x² – 7x + 12 < 0; x² – 7x + 12 = 0; x1 = 3, x2 = 4;x ∈ (3; 4).	4) у(y + 8) < 9; y² + 8y – 9 < 0;y² + 8y – 9 = 0; y1 = –9, y2 = 1; у ∈ (–9; 1).

478. Розв’яжіть нерівність.

1) х(х – 6) < 16; x² – 6x – 16 < 0; x² – 6x – 16 = 0; x1 = –2, x2 = 8;x ∈ (–2; 8).	2) y(5y + 3) > 2; 5y² + 3y – 2 > 0; 5y² + 3y – 2 = 0; D = 32 – 4 • 5 • (–2) = 49 = 7²;у1 = -3-710 = -1010 = –1;у2 = -3+710 = 410 = 0,4;у ∈ (–∞; –1) ∪ (0,4; +∞).
3) 2(x² + 1) + 5x ≥ 0; 2x² + 2 + 5x ≥ 0; 2x² + 5x + 2 = 0; D = 52 – 4 • 2 • 2 = 9 = 3²;x1 = -5-34 = -84 = –2;x2 = -5+34 = -24 = –12;х ∈ (–∞; –2] ∪ (–12; +∞).	4) у(y – 10) ≥ –24;y² – 10y + 24 ≥ 0; y² – 10y + 24 = 0; y1 = 4, у2 = 6;х ∈ (–∞; 4] ∪ [6; +∞).

479. Розв’яжіть нерівність.

1) 2x2+13 < 3x+52 |• 6;2(2x² + 1) < 3(3х + 5);4x² + 2 < 9x + 15; 4x – 9x – 13 < 0; 4x² – 9x – 13 = 0; D = (–9)2 – 4 • 4 • (–13) = 289 = 17²; x1 = 9-178 = -88 = –1;x2 = 9+178 = 268 = 134 = 3,25;	2) x2+3x6 ≥ 4x-23 |• 6;x² + 3x ≥ 2(4x – 2);x² + 3х ≥ 8х – 4; x² + 3х – 8х + 4 ≥ 0; x² – 5x + 4 ≥ 0; x² – 5x + 4 = 0; x1 = 1, x2 = 4. х ∈ (–∞; 1] ∪ [4; +∞).
3) 2x2+3х4 ≤ 3x+12 |• 4;2x² + 3x ≤ 2(3х + 1); 2x² + 3х ≤ 6x + 2; 2x² + 3X – 6x – 2 ≤ 0; 2x² – 3x – 2 = 0; D = (–3)2 – 4 • 2 • (–2) = 25 = 52;x1 = 3-54 = -24 = –12;x2 = 3+54 = 84 = 2.[–12; 2].	4) 5x2-х2 > х + 1 |• 2;5x² – х > 2(x + 1);5x² – x > 2x + 2; 5x² – x – 2x – 2 > 0; 5x² – 3x – 2 = 0; D = (–3)2 – 4 • 5 • (–2) = 49 = 72;x1 = 3-710 = -410 = –0,4;x2 = 3+710 = 1010 = 1.х ∈ (–∞; 0,4) ∪ (1; +∞).

480. Розв’яжіть нерівність.

1) 2x2-62 < 3x+24 |• 4;2(2x² –6) < 3х + 2;2x² – 12 – 3х – 2 < 0;2x2 – 3x – 14 < 0; 2x² – 3x – 14 = 0; D = (–3)2 – 4 • 2 • (–14) = 121 = 11²; x1 = 3-114 = -84 = –2;x2 = 3+114 = 144 = 72 = 3,5.х ∈ (–2; 3,5).

2) y+2y22 – y2-66 < 2-3y4|• 12;6(у + 2y²) – 2(y² – 6) < 3(2 – 3y);6y + 12y² – 2у² + 12 < 6 – 9y;6у + 12y² – 2y² + 12 – 6 +9y < 0;10y² + 15y + 6 < 0; 10y² + 15y + 6 = 0; D = 152 – 4 • 10 • 6 < 0;∅

481. Скільки цілих чисел є розв’язками нерівності.

1) x² + 8х < 0; x² + 8х = 0; х(х + 8) = 0; x1 = 0, x2 = –8.	2) –x² – 2x + 3 ≥ 0 |•(–1);x² + 2x – 3 ≤ 0; x² + 2x – 3 = 0; x1 = –3, x2 = 1;
Відповідь: 7.	Відповідь: 5.
3) (2z – 3)(2 – 3z) < –4; 4z – 6z² – 6 + 9z + 4 < 0; –6z² + 13z – 2 < 0 |• (–1);6z² – 13z + 2 > 0; 6z² – 13z + 2 = 0; D = (–13)2 – 4 • 6 • 2 = 121 = 112;z1 = 13-1112 = 212 = 16;z2 = 13+1112 = 2412 = 2.	4) (x – 7)(x – 3) > 0; x² – 3х – 7x + 21 > 0; x² – 10x + 21 > 0; x² – 10x + 21 = 0; x1 = 3, x2 = 7.Відповідь: безліч.
Відповідь: 1.

482. Скільки цілих чисел є розв’язками нерівності.

1) –x² + 7x + 8 > 0|• (–1);x² – 7x – 8 < 0; x² – 7x – 8 = 0; x1 = –1, x2 = 8;Відповідь: 8.	2) x – 5 x + 5 > –x² + 5x;x² – 25 + x² – 5x > 0; 2x² – 5x – 25 > 0; 2x² – 5x – 25 = 0;D = (–5)2 – 4 • 2 • (–25) = 225 = 152;x1 = 5-154 = -104 = –52 = –2,5;x2 = 5+154 = 204 = 5;
	Відповідь: безліч.
3) x2-45 < x-25 |• 15;3(x² – 4) < 5(x – 2);3x² – 12 < 5x – 10; 3x² – 12 – 5x + 10 < 0; 3x² – 5x – 2 < 0; 3x² – 5x – 2 = 0; D = (–5)2 – 4 • 3 • (–2) = 49 = 72;x1 = 5-76 = -26 = –13;x2 = 5+76 = 126 = 2.
Відповідь: 2.

483. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності.

1) x² – 15 ≤ 0; x² – 15 = 0; x² = 15; x1 = –15, x2 = 15;Відповідь: –3.

2) x² + 9x – 10 ≤ 0; x² + 9x – 10 = 0; x1 = –10, x2 = 1.Відповідь: –10.

484. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності.

1) x² – 8 ≤ 0; x² – 8 = 0; x² = 8; x1 = –3, x2 = 8.Відповідь: 2

2) x² + 12x – 13 ≤ 0; x² + 12x – 13 = 0;x1 = –13, x2 = 1.Відповідь: 1.

485. Доведіть, що за будь–яких дійсних значень змінної х

справджується нерівність.

1) x² + 8 > 0; x² + 8 = 0; D < 0.х ∈ (–∞; +∞).	2) x² – 6x + 15 > 0; x² – 6x + 15 = 0; D = (–6)2 – 4 • 15 < 0;х ∈ (–∞; +∞).
3) 2x² + 5x + 6 > 0; 2x² + 5x + 6 = 0; D = 52 – 4 • 2 • 6 < 0.х ∈ (–∞; +∞).	4) –x² + x – 8 < 0|• (–1);x² – x + 8 > 0; x² – x + 8 = 0; D = (–1)2 – 4 • 1 • 8 < 0.х ∈ (–∞; +∞).
5) x² + 10x + 25 ≥ 0; x² + 10x + 25 = 0; D = 102 – 4 • 1 • 25 = 0.	6) 9x² – 12x + 4 ≥ 0;9x² – 12x + 4 = 0; D = (–12)2 – 4 • 9 • 4 = 0.х ∈ (–∞; +∞).
х ∈ (–∞; +∞).

486. Доведіть, що за будь–яких дійсних значень змінної х

справджується нерівність.

1) x² – 3х + 11 > 0;x2 – 3x + 11 = 0;D = (–3)2 – 4 • 1 • 11 < 0.х ∈ (–∞; +∞).	3) 4x² – 4x + 1 ≥ 0; 4x² – 4x + 1 = 0; D = (–4)2 – 4 • 4 • 1 = 0.х ∈ (–∞; +∞).
2) –x² + 2x – 10 < 0; x² – 2x + 10 > 0; x² – 2x + 10 = 0; D = (–2)2 – 4 • 10 < 0.х ∈ (–∞; +∞).

487. Доведіть, що за будь–яких дійсних значень змінної х

нерівність x² – 2x + 6 < 0 не має розв’язків.

x² – 2x + 6 < 0;

x² – 2x + 6 = 0;

D = (–2)² – 4 • 1 • 6 < 0.

х ∈ ∅.

488. Доведіть, що за будь–яких дійсних значень змінної х

нерівність –5x² + 4x – 3 > 0 не має розв’язків.

–5x² + 4x – 3 > 0|• (–1);

5x² – 4x + 3 < 0;

5x² – 4x + 3 = 0;

D = (–4)² – 4 • 5 • 3 < 0.

х ∈ ∅.

489. За яких значень змінної х значення виразу x – 7 більші

за значення виразу –x² – 5x – 9?

x – 4 > –x² – 5х – 9;

x – 4 + x² + 5x + 9 > 0;

x² + 6x + 5 > 0;

x² + 6x + 5 = 0;

x₁ = –5, x₂ = –1.

х ∈ (–∞; –5) ∪ (–1; +∞).

490. За яких значень змінної х значення виразу x² – 4 більші

за значення виразу 6x² – 6x + 5?

x² + 4 > 6x² – 6x + 5;

x² + 4 – 6x² + 6x – 5 > 0;

–5x² + 6x – 1 > 0|• (–1);

5x² – 6x + 1 < 0;

5x² – 6x + 1 = 0;

D = (–6)² – 4 • 5 • 1 = 16 = 4²;

x₁ = 6-410 = 210 = 15; x₂ = 6+410 = 1010 = 1.

х ∈ (15; 1).

491. За яких значень змінної х значення виразу x(2x +1)

більші за значення виразу 3(x² + x – 1)?

х(2x + 1) > 3(x² + x – 1);

2x² + x > 3x² + 3х – 3;

2x² + x + 3x² – 3х + 3 > 0;

–x² – 2x + 3 > 0|• (–1);

x² + 2x – 3 < 0;

x₁ = –3, x₂ = 1.

х ∈ (–3; 1).

492. За яких значень змінної х значення виразу x(x + 6)

більші за значення виразу 2x – 3?

x(x + 6) > 2x – 3;

x² + 6x – 2x + 3 > 0;

x² + 4x + 3 > 0;

x² + 4x + 3 = 0;

x₁ = –1, x₂ = –3.

х ∈ (–∞; –3) ∪ (–1; +∞).

493. Знайдіть область визначення функції.

1) у = -x2+8+2x;D(y): –x² + 8 + 2x ≥ 0;x² – 2x – 8 ≤ 0; x² – 2x – 8 = 0; D = (–2)2 – 4 • (–8) = 36 = 62;x1 = 2-62 = -42 = –2;x2 = 2+62 = 82 = 4;x ∈ [–2; 4].	2) у = x2-4x-12;D(y): x² – 4x – 12 ≥ 0;x² – 4x – 12 = 0; x1 = –2, x2 = 6;х ∈ (–∞; –2] ∪ [6; +∞).
3) y = x+2x+3-2;D(y): x + 2x + 3 – 2 ≥ 0; x² + 3х + 2x + 6 – 2 ≥ 0; x² + 3х + 2x + 6 – 2 = 0; x² + 5x + 4 = 0;x1 = 1, x2 = 4;х ∈ (–∞; 1] ∪ [4; +∞).	4) y = x2+7x-8;D(y): x² + 7x – 8 ≥ 0; x² + 7x – 8 = 0; x1 = 8, x2 = 1;х ∈ (–∞; –8] ∪ [1; +∞).

5) y = 4x2-13x+9;D(y): 4x² – 13x + 9 ≥ 0;4x² – 13x + 9 = 0; D = (–13)2 – 4 • 4 • 9 = 25 = 52;x1 = 13-58 = 88 = 1;x2 = 13+58 = 188 = 94 = 2,25;х ∈ (–∞; 1] ∪ [2,25; +∞).

6) y = 3x2+1-10x;D(y): 3(x² + 1) – 10x ≥ 0;3x² + 3 – 10x ≥ 0; 3x² – 10x + 3 = 0; D = (–10)2 – 4 • 3 • 3 = 64 = 82;х1 = 10-86 = 26 = 13;x2 = 10+86 = 186 = 3.х ∈ (–∞;13] ∪ [3; +∞).

494. Знайдіть область визначення функції.

1) y = x2-8x+15;D(y): x² – 8x + 15 ≥ 0;x² – 8x + 15 = 0; x1 = 3, x2 = 5.х ∈ (–∞; 3] ∪ [5; +∞).

2) y = -82+6x+2;D(y): 8x² + 6х + 2 ≥ 0;8x² –6х – 2 ≤ 0; 8x² – 6x – 2 = 0; D = (–6)2 – 4 • 8 • (–2) = 100 = 102;х1 = 6-116 = -416 = –14;x2 = 6+1016 = 1616 = 1.х ∈ [–14; 1].

495. Розв’яжіть систему нерівностей.

1) x² – 1 < 0; x – 0,5 > 0; x > –1; x < 1; x > 0,5;х ∈ (0,5; 1).	2) x² – 4 < 0; x² – 9 > 0; х > 0,5 x > –2; x < 2; x < –3; x > 3.х ∈ ∅.
3) –x ≥ 1; x² – 5x + 4 ≤ 0; x ≤ –1; x ≥ 1; x ≤ 4.х ∈ ∅.	4) x² ≥ 7x; x² – 10x + 21 ≥ 0; x² – 7x ≥ 0; x² – 10x + 21 ≥ 0; x(x – 7) ≥ 0; x² – 10x + 21 ≥ 0; x ≤ 0; x ≥ 7; x ≤ 3; x ≥ 7.х ∈ (–∞; 0] ∪ [7; +∞).

5) x² > x; 4x > –2; x² – x > 0; 4x + 2 > 0; x(x – 1) > 0; x > –12.х ∈ (–12; 0) ∪ (1; +∞).	6) x² ≥ 2x – 4; x² > x;
	x² – 2x + 4 ≥ 0; x² – x > 0; x² – 2x + 4 ≥ 0; x(x – 1) > 0; –∞ < x < +∞ x < 0 x > 1х ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞).

496. Розв’яжіть систему нерівностей.

1) x² – 25 < 0; x² – 2 ≤ 0; x > –5; x < 5; x ≤ 2;х ∈ (–5; 2].	2) x² – 25 < 0; x + 6 ≤ 0; x > –5; x < 5; x ≤ –6;х ∈ ∅.
3) x² – 2x < 0; x² – 16 > 0; х(х – 2) < 0; x < –4; x > 4;х ∈ ∅.	4) x² – 2x ≥ 0; x² – 16 < 0; х(х – 2) ≥ 0; x > –4; x < 4; х ∈ (–4; 0] ∪ [2; 4).

497. Розв’яжіть систему нерівностей.

1) (x + 1)² ≥ x + 7; (x – 2)² ≥ x – 8; x² + 2x + 1 – x – 7 ≥ 0; x² – 4x + 4 – x + 8 ≥ 0; x² + x – 6 ≥ 0; x² – 5x + 12 ≥ 0; x ≤ –3; x ≥ 2; x ∈ ∅.х ∈ (–∞; –3] ∪ [2; +∞).	2) (x – 2)² > x – 2; (x – 1)² > x – 1; x² – 5x + 6 > 0; x² – 3x + 2 > 0; x < 2; x > 3; x < 1; x > 2;х ∈ (–∞; 1) ∪ (3; +∞).
3) x² – 6x + 8 > 0; (x – 5)(x + 5) ≥ 0; x < 2; x > 4; x ≤ –5; x ≥ 5.х ∈ (–∞; –5] ∪ [5; +∞).

498. Для всіх значень параметра а розв’яжіть нерівність.

1) x² – ах + 1 ≤ 0;

x² – ах + 1 = 0; D = (–a)² – 4 • 1 • 1 = a² – 4;

Можливі три випадки: 1) D < 0, 2) D = 0, 3) D > 0;

1) D < 0, а² – 4 < 0; а² – 4 = 0; а₁ = –2, а₂ = 2.

2) D = 0, а² – 4 = 0, а₁ = –2, а₂ = 2.

x² + 2x + 1 ≤ 0, (x + 1)² ≤ 0, x = –1, х ∈ {–1}.

x² – 2x + 1 ≤ 0, (x – 1)² ≤ 0, x = 1, х ∈ {1}.

y ≤ 0 при x ∈ ∅.

3) D > 0, а² – 4 > 0.

х ∈ (–∞; 2) ∪ (2; +∞); x₁ = a-a2-42; x₂ = a+a2-42.

y ≤ 0 при x ∈ [x₁; x₂].

Відповідь: якщо а = –2, то x = –1; якщо а = 2 то x = 1; якщо а ∈ (–2; 2), то x ∈ ∅; якщо а ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞), то х ∈ [a-a2-42; a+a2-42].

3) ax² – (a – 1)x – 1 ≤ 0;

1. a = 0; x – 1 ≤ 0, x ≤ 1;

2. a ≠ 0;

ax² – (a – 1)x – 1 = 0;

D = (–(a – 1))² – 4 • a • (–1) = (a – 1)² + 4a = a² – 2a + 1 + 4a = (a + 1)².

Можливі 2 випадки: 1) D = 0, 2) D > 0.

1) D = 0, (a + 1)² = 0; a = –1;

–x² –(–1 – 1)x – 1 ≤ 0;

–x² + 2x – 1 ≤ 0|• (–1);

x² – 2x + 1 ≥ 0;

(x – 1)² ≥ 0, x = 1.

y ≤ 0 при х ∈ (–∞; +∞).

2) D > 0, а + 1² > 0;

х ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; +∞), a ≠ 0.

x₁ = a-1-(a+1)2a = a-1-a-12a = -22a = –1a; x₂ = a-1+a+12a = 2a2a = 1.

Графік функції перетинає Ox у двох точках. Можливі 2 випадки:

x₁ < x₂ x₁ > x₂

Відповідь: якщо а = 0, то х ∈ (–∞; 1]; якщо a = –1, то х ∈ (–∞; +∞); якщо а ∈ (–∞; –1) ∪ (0; +∞), то х ∈ [–1а; 1]; якщо а ∈ (–1; 0), то х ∈ [1; –1а].

499. За якого значення параметра а рівняння x² – (а – 2)x + 0,25 = 0 має розв’язки?

x² – (а – 2)x + 0,25 = 0;

Рівняння має розв'язки при D ≥ 0.

D = (–(a – 2))² – 4 • 1 • 0,25 = а² – 4a + 4 – 1 = а² – 4a + 3.

а² – 4a + 3 ≥ 0;

а² – 4a + 3 = 0;

а₁ = 1, а₂ = 3.

х ∈ (–∞; 1] ∪ [3; +∞).

500. За якого значення параметра а рівняння x² – аx + 2a – 1,75 = 0 має розв’язки?

x² – ах + 2а – 1,75 = 0;

Рівняння має розв'язки при D ≥ 0;

D = (–a)² – 4 • 1 • (2a – 1,75) = а² – 8а + 7;

а² – 8а + 7 ≥ 0;

а² – 8а + 7 = 0;

а₁ = 1, а₂ = 7.

х ∈ (–∞; 1] ∪ [2; +∞).

503. Площа ділянки, що має форму прямокутника, менша, ніж 200 м², але більша, ніж 24 м². Якою може бути довжина цієї ділянки, якщо її ширина на 10 м менша від довжини?

Нехай x м – ширина ділянки, (x + 10) м – довжина ділянки.

S = x • (x + 10), x > 0.

x • (x + 10) < 200;

x • (x + 10) > 24;

x² + 10x – 200 < 0;

x² + 10x – 24 > 24;

x < 40;

x > –50;

x < –12;

x > 2;

х ∈ (2; 40); 2 < x < 40 – ширина, 12 < у < 50 – довжина.

504. Площа кімнати, що має форму прямокутника, менша, ніж 45 м², але більша, ніж 4 м². Якою може бути ширина цієї кімнати, якщо її довжина на 4 м більша за ширину?

Нехай x м – ширина кімнати, тоді (x + 4) м – довжина кімнати.

S = x • (x + 4), x > 0.

x • (x + 4) < 45;

x • (x + 4) > 4;

x² + 4x – 45 < 0;

x² + 4x – 4 > 0;

x > –9;

x < 5;

x < –2 – 22;

x > –2 + 22.

х ∈ (–2 + 22; 5).

Відповідь: (–2 + 22; 5).

505. Чи правильно Тарас сформулював означення: «Розв’язком системи двох рівнянь із двома змінними називають таку пару чисел (х; у), яка є розв’язком кожного рівняння системи»?

В. так.

506. Чи правильно сказала Катруся: «Розв’язати систему рівнянь — означає знайти всі її розв’язки»?

В. так.

507. Скільки розв’язків може мати система двох рівнянь із двома змінними, якщо вона містить: 1) рівняння першого та другого степенів; 2) обидва рівняння — другого степеня?

1) 1 або 2. 2) 3 або 4.

508. Чи є розв’язком системи пара чисел:

x + y = 6;

x² – y² = 12;

1) (5; 1); 2) (4; 2):

5 + 1 = 6; 4 + 2 = 6;

5² – 1² ≠ 1; 4² – 2² = 12.

ні, так.

509. Чи є розв’язком системи пара чисел:

x – y = 2

x² – y² = 8, 1) (4; 2), 2) (3; 1):

4 – 2 = 2; 3 – 1 = 2;

4² – 2² ≠ 8; 3² – 1² = 8.

ні; так.

510. Розв’яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними:

1) 2x – y = –3;

x² – y = 0;

1) 2x – y = –3;

y = 2x + 3.

x	0	1
y	3	5

2) x² – y = 0;

y = x².

x	–3	–2	–1	0	1	1	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Відповідь: (–1; 1), (3; 9).

2) x – y = 2;

x² – y = 8;

1) x – y = 2;

y = x – 2;

x	0	1
y	–2	–1

2) x² – y = 8;

y = x² – 8.

3) xy = 6;

2x – 3y = 0.

1) xy = 6; y = 6x.

x	–6	–3	–2	2	3	6
y	–1	–2	–3	3	2	1

2) 2x – 3y = 0;

3y = 2x;

y = 23x.

x	0	3
y	0	2

Відповідь: (–3; –2); (3; 2).

4) xy = 12;

3x + 4y = 24;

1) xy = 12;

y = 12x;

x	–6	–3	–2	2	3	6
y	–2	–4	–6	6	4	2

2) 3x + 4y = 24;

4y = 24 – 3x;

y = 6 – 34xx.

x	0	4
y	6	3

Відповідь: (4; 3).

511. Розв’яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними:

1) x + y = 2;

x² – y = 0;

1) x + y = 2;

y = 2 – x.

x	0	1
y	2	1

2) x² – y = 0;

y = x².

Відповідь: (–2; 4), (1, 1).

2) xy = 8;

2x – y = 0;

1) xy = 8;

y = 8x;

x	–4	–2	–1	1	2	4
y	–2	–4	–8	8	4	2

2) 2x – y = 0;

y = 2x.

x	0	1
y	0	2

Відповідь: (–2; –4), (2; 4).

512. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними.

1) x – y = 2; 2xy – y2 = –3;x = 2 + y;2(2 + y)y – y2 + 3 = 0;4y + 2y2 – y2 + 3 = 0;y2 + 4y + 3 = 0;y1 = –1, y2 = –3. y = –1; y = –3; x – (–1) = 2; x – (–3) = 2; y = –1; y = –3. x = 1; x = –1.Відповідь: (1; –1), (–1; –3).3) x + 2y = 4; y2 – 4xy = –7;x = 4 – 2y;y2 – 4(4 – 2y)y = –7;y2 – 16y + 8y2 + 7 = 0;9y2 – 16y + 7 = 0;D = (–16)2 – 4 • 9 • 7 = 4 = 22;y1 = 16-218 = 1418 = 79;y2 = 16+218 = 1818 = 1. y = 79; y = 1; x + 2 • 79 = 4; x + 2 • 1 = 4; y = 79; y = 1. x = 249; x = 2.Відповідь: (249; 79), (2; 1).5) x + y = 4; x2 + 16 = 5xy;x = 4 – y;(4 – y)2 + 16 – 5(4 – y)y = 0;16 – 8y + y2 + 16 – 20y + 5y2 = 0;6y2 – 28y + 32 = 0|: 2;3y2 – 14y + 16 = 0;D = (–14)2 – 4 • 3 • 16 = 4 = 22;y1 = 14-26 = 126 = 2;y2 = 14+26 = 166 = 83 = 223; y = 223 y = 2; x = 4 – 223 x = 4 – 2; y = 223; y = 2. x = 113; x = 2.Відповідь: (113; 223), (2; 2).7) 2у = 7 – x; 2y2 = 14 – xy;x = 7 – 2y;2y2 – 14 + (7 – 2y)y = 0;2y2 – 14 + 7y – 2y2 = 0;7y = 14;y = 2; y = 2; x = 7 – 2 • 2; y = 2; x = 3.Відповідь: (3; 2).

2) x – 3y = –10; xy – y2 = –12;x = 3y – 10;(3y – 10)y – y2 = –12;3y2 – 10y – y2 + 12 = 0;2y2 – 10y + 12 = 0| : 2;y2 – 5y + 6 = 0;y1 = 2, y2 = 3; y = 2 ; y = 3 x – 3 • 2 = –10; x – 3 • 3 = –10; y = 2; y = 3. x = –4; x = –1.Відповідь: (–4; 2), (–1; 3).4) x + y = 5; 2xy = y2 – 13;x = 5 – y;2(5 – y)y – y2 + 13 = 0;10y – 2y2 – y2 + 13 = – 3y2 + 10y + 13 = 0;D = 102 – 4 • (–3) •13 = 256 = 162;y1 = -10-16-6 = -26-6 = 133 = 413;y2 = -10+16-6 = 6-6 = –1. y = 413; y = –1; x = 5 – 413; x = 5 + 1; y = 413; y = –1; x = 23; x = 6.Відповідь: (23; 413), (6; –1).6) 3x = 5 – y; 3xy = 2x2 + 4;y = 5 – 3x;3x(5 – 3x) – 2x2 – 4 = 0;15x – 9x2 – 2x2 – 4 = 0;–11x2 + 15x – 4 = 0;D = 152 – 4 • (–11) • (–4) = 49 = 72;x1 = -15-7-22 = -22-22 = 1;x2 = -15+7-22 = -8-22 = 411; x = 1; x = 411; y = 5 – 3 • 1; y = 5 – 3 • 411; x = 1; x = 411; y = 2; y = 31011.Відповідь: (1; 2), (411; 31011).8) 3y = –x – 2; 2xy = 3y2 – 5; x + 2 = 3y; 2xy = 3y2 – 5;x = –3y – 2;2(–3y – 2)y – 3y2 + 5 = 0;–6y2 – 4y – 3y2 + 5 = 0;–9y2 – 4y + 5 = 0;D = (–4)2 – 4 • (–9) • 5 = 196 = 142;y1 = 4-14-18 = -10-18 = 59;y2 = 4+14-18 = 18-18 = –1. y = 59; y = –1; x = –3 • 59 – 2 x = –3 • (–1) – 2 y = 59; y = –1. x = –323; x = 1.Відповідь: (–323; 59), (1; –1).

513. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними:

1) 2x + y = 6; x2 + xy = 8;y = 6 – 2x;x2 = x(6 – 2x) – 8 = 0;x2 + 6x – 2x2 – 8 = 0;–x2 + 6x – 8 = 0;D = 62 – 4 • (–1) • (–8) = 4 = 22x1 = -6-2-2 = -8-2 = 4;x2 = -6+2-2 = -4-2 = 2. x = 4; x = 2; y = 6 – 2 • 4; y = 6 – 2 • 2; x = 4; x = 2; y = –2; y = 2.Відповідь: (4; –2), (2; 2).	2) y – 3x = 7; x2 + xy = 2;y = 3x + 7;x2 + x(3x + 7) – 2 = 0;x2 + 3x2 – 7x – 2 = 0;4x2 + 7x – 2 = 0;D = 72 – 4 • 4 • (–2) = 81 = 92;x1 = -7-98 = -168 = –2;x2 = -7+98 = 28 = 14. x = –2; x = 14; y = 3 • (–2 + 7); y = 3 • 14 + 7; x = –2; x = 14; y = 1; y = 734.Відповідь: (–2; 1), (14; 734).
3) 2x = y – 3; 15x2 = 2xy + 5;y = 2x + 3;15x2 – 2x(2x + 3) – 5 = 0;15x2 – 4x2 – 6x – 5 = 0;11x2 – 6x – 5 = 0;D = (–6)2 – 4 • 11 •(–5) = 256 = 162;x1 = 6-1622 = -1022 = –511;x2 = 6+1622 = 2222 = 1.	4) 4x = 2 – y; 2x2 – 44 = 3xy;y = 2 – 4x;2x2 – 44 – 3x(2 – 4x) = 0;2x2 – 44 – 6x + 12x2 = 0;14x2 – 6x – 44 = 0|: 27x2 – 3x – 22 = 0D = (–3)2 –4 • 7 • (–22) = 625 = 252;x1 = 3-2514 = -2214 = –117;x2 = 3+2514 = 2814 = 2.
x = –511; y = 2•(–511) + 3; x = 1; y = 2 • 1 + 3;	x = –117 y = 2 – 4• (–117); x = 2; y = 2 – 4 • 2;
x = –511; y = 2111;	x = 1; y = 5.	x = –147; y = 827;	x = 2; y = –6.
Відповідь: (–511; 2111), (1; 5).	Відповідь: (–147; 827), (2; –6).

514. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними.

1) x + y = 6; x2 + y2 = 68;	2) x – y = 6; x2 + y2 = 50;
y = 6 – x;x2 + (6 – x)2 – 68 = 0;x2 + 36 – 12x + x2 – 68 = 0;2x2 – 12x – 32 = 0|: 2;x2 – 6x – 16 = 0;x1 = 8, x2 = –2.	y = x – 6;x2 + (x – 6)2 – 50 = 0;x2 + x2 – 12x + 36 – 50 = 0;2x2 – 12x – 14 = 0|: 2;x2 – 6x – 7 = 0;x1 = 7, x2 = –1.
x = 8; y = 6 – 8;	x = –2; y = 6 + 2;	x = 7; y = 7 – 6;	x = –1; y = –1 – 6;
x = 8; y = –2;	x = –2; y = 8;	x = 7; y = 1;	x = –1; y = –7.
Відповідь: (8; –2), (–2; 8).	Відповідь: (7; 1), (–1; –7).

4) 2x + y = 5; x2 + y2 = 10;	2) x + 2y = 0; x2 + y2 = 54;
y = 6 – 2x;x2 + (5 – 2x)2 – 10 = 0;x2 + 25 – 20x + 4x2 – 10 = 0;5x2 – 20x + 15 = 0|: 5;x2 – 4x + 3 = 0;x1 = 1, x2 = 3.	x = –2y;(–2y)2 + y2 – 5 = 0;4y2 + y2 – 5 = 0;5y2 – 5 = 0|: 5;y2 – 5 = 0;y1 = –1, y2 = 1.
x = 1; y = 5 – 2 • 1;	x = 3;y = 5 – 2 • 3;	x = –1; y = –2 • (–1);	y = 1; x = –2 • 1;
x = 1; y = 3;	x = 3; y = –1;	x = 2; y = –1;	x = –2; y = 1.
Відповідь: (1; 3), (3; –2).	Відповідь: (2; –1), (–2; 1).

5) 2x = 6 + y; 2x2 + y2 = 66;	6) 2 + y = 3x; 3x2 = 28 – y2;
y = 2x – 6;2x2 + (2x – 6)2 – 66 = 0;2x2 + 4x2 – 24x + 36 – 66 = 0;6x2 – 24x – 30 = 0|: 6;x2 – 4x – 5 = 0;x1 = 5, x2 = –1.	y = 3x – 2;3x2 – 28 + (3x – 2)2 = 0;3x2 – 28 + 9x2 – 12x + 4 = 0;12x2 – 12x – 24 = 0|: 12;x2 – x – 2 = 0;y1 = 2, y2 = –1.
x = 5; y = 2 • 5 – 6;	x = –1;y = 2 • (–1) – 6	x = 2; y = 3 • 2 – 2;	y = –1;x = 3 • (–1) – 2
x = 5; y = 4;	x = –1;y = –8.	x = 2; y = 4;	x = –1;y = –5.
Відповідь: (5; 4), (–1; –8).	Відповідь: (2; 4), (–1; –5).

7) 2x + y = 0; x2 + y2 = 6y;	8) x – y = 7; x2 – y2 = xy + 19;
y = –2x; x2 + (–2x)2 – 6 • (–2x) = 0;x2 + 4x2 + 12x = 0;5x2 + 12x = 0;x(5x + 12) = 0;x1 = 0, x2 = –2,4. x = 0; y = 0; x = –2,4; y = –4,8.Відповідь: (0; 0), (–2,4; –4,8).	y = x – 7;x2 – (x – 7)2 – x(x – 7) – 19 = 0;x2 – (x2 – 14x + 49) – x2 + 7x – 19 = 0;–x2 + 14x – 49 + 7x – 19 = 0;–x2 + 21x – 68 = 0;D = 212 – 4 • (–1) • (–68) = 169 = 132;x1 = -21-13-2 = -34-2 = 17; x2 = -21+13-2 = -8-2 = 4.
	x = 17; y = 17 – 7;	x = 4; y = 4 – 7;
	x = 17; y = 19;	x = 4; y = –3;
	Відповідь: (17; 10), (4; –3).

515. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними.

1) x + y = 9; x2 + y2 = 65;y = 9 – x; x2 + (9 – x)2 = 65;x2 + 81 – 18x + x2 –65 = 0;2x2 – 18x + 16 = 0;D = (–18)2 – 4 • 2 • 16 = 186 = 142;x1 = 18-144 = 44 = 1;x2 = 18+144 = 324 = 8;	2) x – y = 3; x2 – y2 = 29;y = x – 3; x2 + (x – 3)2 – 29 = 0;x2 + x2 – 6x + 9 – 29 = 0;2x2 – 6x – 20 = 0 |: 2;x2 – 3x– 10 = 0;x1 = –2, x2 = 5; x = –2; x = 4 y = –2 – 3; y = 4 – 7; x = –2; x = 5. y = –5; y = 2.
x = 1 y = 9 – 1	x = 8; y = 9 – 8;	x = –2Відповідь: (–2; –5), (5; 2).
x = 1 y = 8	x = 8; y = 1.
Відповідь: (1; 8), (8; 1).

3) x – 3y = 1; x2 = 5 – y2;	4) x + y = 5; x2 – 1 = y2 – 4xy;
x = 1 + 3y; (1 + 3y)2 – 5 + y2 = 0;1 + 6y + 9y2 – 5 + y2 = 0;10y2 + 6y – 4 = 0| : 2;5y2 + 3y – 2 = 0;D = 32 – 4 • 5 • (–2) = 49 = 72;y1 = -3-710 = -1010 = –1;y2 = -3+710 = 410 = 25; x = –1; y = 1 + 3 • (–1); x = 25; y = 1 + 3 • 25;	y = 5 – x; x2 – 1 – (5 – x)2 + 4x(5 – x) = 0;x2 – 1 –(25 – 10x + x2) + 20x – 4x2 = 0;x2 – 1 – 25 + 10x – x2 + 20x – 4x2 = 0;–4x2 + 30x – 26 = 0|: 2;–2x2 + 15x – 13 = 0;D = 152 – 4 • (–2) • (–13) = 221 = 112;x1 = -15-11-4 = -26-4 = 132 = 6,5;x2 = -15+11-4 = -4-4 = 1.
Відповідь: (–2; –1), (215; 25).	x = 6,5; y = 5 – 6,5;	x = 1; y = 5 – 1;
	x = 6,5; y = –1,5;	x = 1; y = 4.
	Відповідь: (6,5; –1,5), (1; 5).

516. Розв’яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними.

1) x – y = –5;

x² + y² = 25;

1) x – y = –5;

y = x + 5.

x	0	1
y	5	6

2) x² + y² = 25;

C(0; 0) – центр кола;

R = 5.

Відповідь: (–5; 0), (0; 5).

2) (x – 1)² – y = 0;

x² + y² = 1;

1) (x – 1)² – y = 0;

y = (x – 1)²;

на 1 од→

y = x²; y = (x – 1)²;

2) x² + y² = 1;

C(0; 0) – центр кола;

C(0; 0) – центр кола;

R = 1.

Відповідь: (1; 0), (0; 1).

3) x² – y = –1;

x² + y² = 1;

1) x² – y = –1;

y = x² + 1;

на 1 од↑;

y = x²; y = x² + 1;

2) x² + y² = 1;

C(0; 0) – центр кола;

R = 1.

Відповідь: (0; 1).

4) x² + y = 0;

(x – 3)² + (y – 4)² = 4;

1) x² + y = 0;

y = –x²;

2) (x – 3)² + (y – 4)² = 4;

C(3; 4) – центр кола;

R = 2.

Відповідь: розв'язків немає.

517. Розв’яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними.

1) x + y = 4;

x² + y² = 16;

1) x + y = 4;

y = 4 – x;

x	0	1
y	4	3

2) x² + y² = 16;

C(0; 0) – центр кола;

R = 4.

Відповідь: (0; 4), (4; 0).

2) (x + 1)² – y = 0;

x² + y² = 1;

1) (x + 1)² – y = 0;

y = (x + 1)²;

y = x² на 1 од← y = (x + 1)²;

2) x² + y² = 1;

C(0; 0) – центр кола;

R = 1.

Відповідь: (–1; 0), (0; 1).

518. Розв’яжіть систему рівнянь.

1) x + y = 5; xy = 4;	2) x – y = 7; xy = 18;
x = 5 – y;(5 – y)y = 4;5y – y2 – 4 = 0|• (–1);y2 – 5y + 4 = 0; y1 = 1, y2 = 4;	x = y + 7;(y + 7)y = 18;y2 + 7y – 18 = 0;y1 = –8, y2 = 2;
y = 1; x = 5 – 1;	y = 4; x = 5 – 4;	y = –9;x = –9 + 7;	y = 2;x = 2 + 7;
y = 1; x = 4;	y = 4; x = 1;	y = –9;x = –2;	y = 2;x = 9.

Відповідь: (4; 1), (1; 4). Відповідь: (–2; –9), (9; 2).

3) x² + y² = 10;

xy = –3 |• 2;

+ x² + y² = 10;

2xy = –6;

x² + 2xy + y² = 4;

(x + y)² = 4;

x + y = –2; x + y = 2;

xy = –3; xy = –3;

x = 1; x = –3; x = 3; x = –1;

y = –3; y = 1; y = –1; y = 3.

Відповідь: (1; –3), (–3; 1), (3; –1), (–1; 3).

4) 4х² + у² = 29;

xy = 5|• 4;

+ 4x² + y² = 29;

4xy = 20;

4x² + 4xy + y² = 49;

(2x + y)² = 49;

2x + y = –7; 2x + y = 7;

xy = 5; xy = 5;

x = –2,5; x = –1; x = 1; x = 2,5;

y = –2; y = –5; y = 5; y = 2.

Відповідь: (–2,5; –2), (–1; –5), (1; 5), (2,5; 2).

5) + x – y – xy = –7; x – y + xy = 13;2x – 2y = 6|: 2;x – y = 3; x – y = 3; 3 + xy = 13; x – y = 3; xy = 10;

6) + x + y + 2xy = 10; x + y – 2xy = –2;2x + 2y = 8|: 2;x + y = 4; x + y = 4; 4 – 2xy = –2; x + y = 4; xy = 3;

x = –2; x = 5; x = 1; x = 3;

y = –5; y = 2. y = 3; y = 1.

Відповідь: (–2; –5), (5; 2). Відповідь: (3; 1), (1; 3).

519. Розв’яжіть систему рівнянь.

1) x + y = 8; xy = 7; x = 1; x = 7; y = 7; y = 1.Відповідь: (1; 7), (7; 1).

2) x2 + y2 = 14; xy = 6 |• 2;+ x2 + y2 = 13; 2xy = 12; x2 + 2xy + y2 = 25; (x + y)2 = 25; x + y = –5; x + y = 5; xy = 6; xy = 6; x = –2; x = –3; x = 2; x = 3.y = –3 y = –2; y = 3; y = 2.

Відповідь: (–2; –3), (–3;–2), (2; 3), (3; 2).

3) 9x2 + y2 = 34; xy = 5 |• 6;+ 9x2 + y2 = 34; 6xy = 30;9x2 + 6xy + y2 = 64;(3x + y)2 = 64; 3x + y = –8; 3x + y = 8; xy = 5; xy = 5;

4) + x + y – xy = 1; x + y + xy = 5;2x + 2y = 6|: 2;x + y = 3; x + y = 3; 3 + xy = 5; x + y = 3; xy = 2;

x = –53; x = –1; x = 53; x = 1; x = 2; x = 1;

y = –3; y = –5; y = 3; y = 5. y = 1; y = 2.

Відповідь: (–53; –3), (–1; –5), (53; 3), (1; 5). Відповідь: (2; 1), (1; 2).

520. Розв’яжіть систему рівнянь.

1) x² + y² + x + y = 18;

x² + y² + xy = 19;

(x + y)² – 2xy + x + y = 18;

(x + y)² – 2xy + xy = 19;

(x + y)² – 2xy + x + y = 18;

(x + y)² – xy = 19;

x + y = a; xy = b;

a² – 2b + a = 18;

a² – b = 19;

b = a² – 19;

a² – 2(a² – 19)+ a = 18;

a² – 2a² + 38 + a – 18 = 0;

–a² + a + 20 = 0;

a² – a – 20 = 0;

a = 5; a = –4;

b = 6; b = –3;

x + y = 5; x + y = –4;

xy = 6; xy = –3;

x = 2; x = 3; t² + 4t – 3 = 0;

y = 3; y = 2; D = 4² – 4 • 1 • (–3) = 16 + 12 = 28;

t₁ = -4-282 = -4-272 = –2 – 7;

t₂ = -4+282 = -4+272 = –2 + 7;

x = –2 – 7; x = –2 + 7;

y = –2 + 7; y = –2 – 7.

Відповідь: (2; 3), (3; 2), (–2; –7; –2 + 7), (–2 +7; –2 –7).

2) x² + y² + x + y = 18; +

x² – y² + x – y = 6;

2x² + 2x = 24 |: 2;

x² + x – 12 = 0;

x₁ = –4, x₂ = 3;

x² + y² + x + y = 18;–

x² – y² + x – y = 6;

2y² + 2y = 12| : 2;

y² + y – 6 = 0;

y₁ = –3, y₂ = 2;

Відповідь: (–4; 3), (3; 2), (–4; 2), (3; –3).

3) x + y + xy = 5;

x² + y² + xy = 7;

x + y + xy = 5;

(x + y)² – 2xy + xy = 7;

x + y + xy = 5;

(x + y)² – xy = 7;

x + y = a; xy = b;

a + b = 5;

a² – b = 7;

a = 5 – b;

(5 – b)² – b = 7;

25 – 10b + b² – b – 7 = 0;

b² – 11b + 18 = 0;

a = 5 – b;

(5 – b)² – b = 7;

25 – 10b + b² – b – 7 = 0;

b² – 11b + 18 = 0;

b₁ = 2, b₂ = 9;

b = 2; b = 9;

a = 3; a = –4;

x + y = 3; t² + 4t + 9 = 0;

xy = 2; D = 4² – 4 • 1 • 9 < 0; t ∈ ∅.

x = 1; x = 2;

y = 2; y = 1.

Відповідь: (1; 2), (2; 1).

4) x² + y² – xy = 3 | • (4);

2x² + 2y² + xy = 12;

4x² + 4y² – 4xy = 12;

2x² + 2y² + xy = 12;

4x² + 4y² – 4xy = 2x² + 2y² + xy;

4x² + 4y² – 4xy – 2x² – 2y² – xy = 0;

2x² + 2y² – 5xy = 0 |: 2y² (y ≠ 0);

2x22y2 + 2y22y2 – 5xy2y2 = 0;

x2y2 + 1 – 5x2y = 0;

/xy = t/;

t² – 2,5t + 1 = 0;

D = (2,5)² – 4 • 1 • (1) = 6,25 – 4 = 2,25 = 1,5²;

t₁ = 2,5-1,52 = 12 = 0,5;

t₂ = 2,5+1,52 = 42 = 2;

xy = 0,5 або xy = 2;

y = 0,5x або y = 2x;

x2 + (0,5x)2 – x • (0,5x) = 3;x2 + 0,25x2 + 0,5x2 = 3;1,75x2 = 3;x2 = 31,75;x1 = –31,75; x2 = 31,75;	x2 + (2x)2 – x • 2x = 3;x2 + 4x2 – 2x2 = 3;3x2 = 3;x2 = 1;x1 = –1, x2 = 1.
x = –31,75; y = 157;	x = 31,75;y = –157;	x = –1; y = –2;	x = 1;y = 2.
Відповідь: (–31,75; 157), (31,75; -157), (–1; –2), (1; 2).

5) x³ + y³ = 35;

x + y = 5;

(x + y)(x² – xy + y²) = 35;

x + y = 5;

5(x² – xy + y²) = 35;

x + y = 5;

x² – xy + y² = 7;

x + y = 5;

x = 5 – y;

(5 – y)² – (5 – y)y + y² = 7;

25 – 10y + y² – 5y + y² + y² – 7 = 0;

3y² – 15y + 18 = 0 |: 3;

y² – 5y + 6 = 0;

y₁ = 2, y₂ = 3;

y = 2; y = 3;

x = 5 – 2; x = 5 – 3;

y = 2; y = 3;

x = 3; x = 2.

Відповідь: (3; 2), (2; 3).

6) x³ + y³ = 28;

x² + y² – xy = 7;

(x + y)(x² + y² – xy) = 28;

x² + y² – xy = 7;

(x + y) • 7 = 28;

x² + y² – xy = 7;

x + y = 4;

x² + y² – xy = 7;

x = 4 – y;

(4 – y)² + y² – (4 – y)y = 7;

16 – 8y + y² + y² – 4y + y² – 7 = 0;

3y² – 12y + 9 = 0|: 3;

y² – 4y + 3 = 0;

y₁ = 1, y₂ = 3;

y = 1; y = 3;

x = 3; x = 1.

Відповідь: (3; 1), (1; 3).

521. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) x² + y² + x + y = 18;

x² + y² + xy = 12;

(x² + 2xy + y²) – 2xy + x + y = 18;

(x² + 2xy + y²) – 2xy + xy = 12;

(x + y)² – 2xy + (x + y) = 18;

(x + y)² – xy = 12;

/x + y = a, xy = b/;

a² – 2b + a = 18;

a² – b = 12;

b = a² – 12;

a² – 2(a² – 12) + a – 18 = 0;

a² – 2a² + 24 + a – 18 = 0;

–a² + a + 6 = 0 |• (–1);

a² – a – 6 = 0;

a₁ = –2, a₂ = 3;

a = –2; a = 3;

b = (–2)² – 12; b = 3² – 12;

a = –2; a = 3;

b = –8; b = –3;

x + y = –2; x + y = 3;

xy = –8; xy = –3;

x = 2; x = –4; t² – 3t – 3 = 0;

y = –4; y = 2; D = (–3)² – 4 • 1 • (–3) = 21;

t₁ = 3- 212; t₂ = 3+ 212;

x = 3- 212; x = 3+ 212;

y = 3+ 212; y = 3- 212.

Відповідь: (3- 212; 3+ 212), (3+ 212; 3- 212), (2; –4), (–4; 2).

2) x – y – xy = –1; x – y – xy = –1;

x² + y² – xy = 3; (x² – 2xy + y²) + 2xy – xy = 3;

x – y – xy = –1;

(x – y)² + xy = 3;

/x – y = a; xy = b/

a – b = –1;

a² + b = 3;

b = a + 1;

a² + a + 1 = 3;

a² + a – 2 = 0;

a₁ = –2, a₂ = 1.

a = –2; a = 1;

b = –2 + 1; b = 1 + 1;

a = –2; a = 1;

b = –1; b = 2;

x – y = –2; x – y = 1;

xy = –1; xy = 2.

y = x + 2; y = x – 1;

x(x + 2) = –1; x(x – 1) = 2;

x² + 2x + 1 = 0; x² – x – 2 = 0;

(x + 1)² = 0; x₁ = –1, x₂ = 2;

x = –1; x = –1; x = 2;

y = 1; y = –2; y = 1.

Відповідь: (–1; 1), (–1; –2), (2; 1).

3) x³ + y³ = 65; (x + y)(x² – xy + y²) = 65;

x + y = 5; x + y = 5;

5(x² – xy + y²) = 65;

x + y = 5;

x² – xy + y² = 13;

x + y = 5;

x = 5 – y;

(5 – y)² + (5 – y)y + y² – 13 = 0;

25 – 10y + y² – 5y + y² + y² – 13 = 0;

3y² – 15y + 12 = 0| : 3;

y² – 5y + 4 = 0;

y₁ = 1, y₂ = 4;

y = 1; y = 4;

x = 5 – 1; x = 5 – 4;

y = 1; y = 4;

x = 4; x = 1.

Відповідь: (4; 1), (1; 4).

4) x³ – y³ = 28; (x – y)(x² + xy + y²) = 28;

x² + y² + xy = 7; x² + y² + xy = 7;

(x – y) • 7 = 28; x – y = 4;

x² + y² + xy = 7; x² + y² + xy = 7;

x = 4 + y;

(4 + y)² + y² + (4 + y)y = 7;

16 + 8y + y² + y² + 4y + y² – 7 = 0;

3y² + 12y + 9 = 0|: 3;

y² + 4y + 3 = 0;

y₁ = –1, y₂ = –3.

y = –1; y = –3;

x = 4 – 1; x = 4 – 3;

y = –1; y = –3;

x = 3; x = 1;

Відповідь: (3; –1), (1; –3).

522. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) 1x – 3y = 9;

2x + 1y = 4;

/1x = a, 1y = b/

a – 3b = 9| • (–2);

2a + b = 4;

+ –2a + 6b = –18; 7b = –14; b = –2; b = –2.

2a + b = 4; b = –2; a – 3 • (–2) = 9; a = 3.

1x = 3; x = 13;

1y = –2; y = –12.

Відповідь: (13; –12).

2) 1х + 1y = 56;

1x2 + 1y2 = 1336;

/1x = a; 1y = b/

a + b = 56; a + b = 56;

a² + b² = 1336; (a + b)² – 2ab = 1336;

(56)² – 2ab = 1336;

2ab = 2536 – 1336;

2ab = 1236;

2ab = 13;

ab = 16;

a + b = 56;

ab = 16;

a = 13; a = 12;

b = 12; b = 13;

1x = 13; 1x = 12;

1y = 12; 1y = 13;

x = 3; x = 2;

y = 2; y = 3.

Відповідь: (3; 2), (2; 3).

3) x + 1x+y = –1;

xx+y = –2;

/x = a; x + y = b/

a + 16 = –1;

ab = –2;

a = –2b;

–2b + 1b = –1| • b (b ≠ 0);

–2b² + 1 + b = 0| • (–1);

–2b² – b – 1 = 0;

D = (–1)² – 4 • 2 • (–1) = 9 = 3²;

b₁ = 1-34 = -24 = –12; b₂ = 1+34 = 44 = 1.

b = –12; b = 1;

a = –2 • (–12); a = –2 • 1;

b = –12; b = 1;

a = 1; a = –2;

x = 1; x = –2;

y = –12 – 1; y = 1 + 2;

x = 1; x = –2;

y = –1,5; y = 3.

Відповідь: (1; –1,5), (–2; 3).

4) xy – yx = 12 | • (–1);

xy – xy = 2;

–xy + yx = –12;

xy – xy = 2;

yx – xy = 32;

/xy = t/ ОДЗ: x ≠ 0, y ≠ 0;

1t – t = 32 |• 2t;

2 – 2t² – 3t = 0;

–2t² – 3t + 2 = 0;

D = (–3)² – 4 • (–2) • 2 = 9 + 16 = 25 = 5²;

t₁ = 3-5-4 = -2-4 = 12; t₂ = 3+5-4 = 84 = –2.

xy = 12; y = 2x;x • 2x – 2 = 12;2x2 = 52;x2 = 54;x1 = –52, x2 = 52;

xy = –2;y = –x2;x • (–x2) + 12 = 12;–x22 = 0;x = 0 – не задовольняє ОДЗ.

х = –52; x = 52;

y = –5; y = 5;

Відповідь: (–52; 5), (52; 5).

523. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) x + y = 1; y + z = 2; xz = 6;x = 1 – y;z = 2 – y;(1 – y)(2 – y) = 6;2 – y – 2y + y2 – 6 = 0;y2 – 3y – 4 = 0;y1 = –1, y2 = 4; y = –1; y = 4; x = 1 + 1; x = 1 – 4; z = 2 + 1; z = 2 – 4; y = –1; y = 4; x = 2; x = –3; z = 3; z = –2;Відповідь: (2; –1; 3), (–3; 4; –2)

2) xy = 2; yz = 6; xz = 3; xy = 2; | •. xz = 3; x2yz = 6; x2 = 6yz;x2 = 66;x2 = 1;x1 = –1, x2 = 1. x = –1; x = 1; –1 • y = 2; 1 • y = 2; –1 • z = 3; 1 • z = 3; x = –1; x = 1; y = –2; y = 2; z = –3; z = 3.Відповідь: (–1; –2; –3), (1; 2; 3)

3) x + 2y – z = 5; 3x – 4y + z = 1; x2 + y2 + z2 = 6;+ x + 2y – z = 5; 3x – 4y + z = 1;4x – 2y = 6;4x = 6 + 2y;x = 6+2y4;x = 3+y2.

x + 2y – z = 5| • (–3); 3x – 4y + z = 1;+ –3x – 6y + 3z = –15; 3x – 4y + z = 1;–10y + 4z = –14|: 2;–5y + 2z = –7;2z = 5y – 7;z = 5y-72;

Значення x i z підставимо в ІІІ рівняння:

(3+y2)² + y² + (5y-72)² = 6;

9+6y+ y24 + y² + 25y2-70y+494 = 6| • 4;

9 + 6y + y² + 4y² + 25y² – 70y + 49 – 24 = 0;

30y² – 64y + 34 = 0|: 2;

15y² – 32y + 17 = 0;

D = (–32)² – 4 • 15 • 17 = 1024 – 1020 = 4 = 2²;

y₁ = 32-230 = 3030 = 1;

y₂ = 32+230 = 3430 = 1715 = 1215;

y = 1; x = 3+12; z = 5 •1-72; y = 1; x = 2; z = –1.

y = 1215; x = 12(3 + 1215); z = 12(5 • 1215 – 7); y = 1215; x = 2115; z = –23.

Відповідь: (2; 1; –1), (2115; 1215; –23).

4) xy + xz = 8;

yz + xy = 9;

xz + yz = –7;

+ xy + xz = 8; yz + xy = 9;2xy + xz + yz = 17;2xy – 7 = 17;2xy = 24;xy = 12.

+ yz + xy = 9; xz + yz = –7;2yz + xy + xz = 2;2yz + 8 = 2;2yz = –6;yz = –3.

+ xy + xz = 8;

xz + yz = –7;

2xz + xy + yz = 1;

2xz + 9 = 1;

2xz = –8;

xz = –4.

xy = 12;

х yz = –3;

xz = –4;

x²y²z² = 144;

x² = 144y2z2; x² = 1449; x² = 16; x₁ = –4;

x₂ = 4;

x = –4; y = 12-4; z = -4-4;	x = 4;y = 124;z = -44;
x = –4; y = –3; z = 1;	x = 4;y = 3;z = –1.

Відповідь: (–4; –3; 1), (4; 3; –1).

524. Знайдіть усі значення параметра а, за яких система рівнянь має розв’язки.

1) x – y = 4; y = x – 4;

x² + y² = a; x² + y² = a; : a = R²;

при R = 4 – 2 розв'язки.

∆ОВА (∠В = 90°): t² + t² = 16;

2t² = 16;

t² = 8;

t = ± 8; t = R;

R = 8; a = (8)² = 8.

Відповідь: a [8; +∞).

525. Знайдіть усі значення параметра а, за яких система.

1) x + y = a; y = –x + a;

x² + y² = 1; x² + y² = 1;

∆ABO (∠В = 90°):

t² + t² = 1;

2t² = 1;

t² = 12;

t₁ = -22, t₂ = 22;

a = 2t;

a₁ = –2, a₂ = 2;

Відповідь: –2; 2.

2) y = – |x| = a; y = |x| + a;

x² + y² = 1; x² + y² = 1;

∆ОВА (∠В = 90°):

OA = t, OB = AB = 1;

1² + 1² = t²;

t² = 2;

t = ± 2;

a = –2.

Відповідь: (–1; 1) ∪ {–2}.

526. Довжина паркану навколо прямокутної ділянки родини Петренків дорівнює 140 м. Площа ділянки дорівнює 1200 м². 1. Знайдіть ширину ділянки. 2. Знайдіть довжину ділянки. Садова ділянка містить такі зони: житлову, садово–городню й господарську зони та зону відпочинку. 3. Знайдіть площу житлової зони, якщо вона становить 15 площі всієї ділянки. 4. Знайдіть площу господарської зони, якщо вона становить 50 % площі житлової зони.

5. Знайдіть площу зони відпочинку, якщо вона у 2 рази більша за площу садово–городньої зони.

P = 140 м;

S = 1200 м²;

1. Нехай b – ширина ділянки, a – довжина.

2 • (a + b) = 140; a + b = 70; a = 40;

a • b = 1200; a • b = 1200; b = 30.

2. Відповідь: 40 м.

3. Житлова – ?, 15 площі

Садово–городню – ?

Господарська – ?, 50%

Зона відпочинку – ?, у 2 р. >

Знайти площу житлової зони.

1200 • 15 = 240 (м²);

Відповідь: 240 м².

4. 50% = 0,5;

240 • 0,5 = 120 (м²).

Відповідь: 120 м².

5. 1) 1200 – (240 + 120) = 840 (м²) – зона відпочинку і садово–городня.

2) x + 2x = 840;

3x = 840;

x = 280;

280 м² – площа садово–городньої зони;

2 • 280 = 560 (м²) – площа зони відпочинку.

Відповідь: 560 м².

527. Розв’язуючи задачі на рух, за якою формулою знаходять: 1) пройдену відстань; 2) швидкість руху; 3) час на подолання відстані?

1) S = vt; 2) V = St; 3) t = SV.

S – шлях, V – швидкість, t – час.

528. Розв’язуючи задачі на роботу, за якою формулою знаходять: 1) обсяг виконаної роботи; 2) продуктивність праці; 3) час роботи?

1) A = pt; 2) p = At; 3) t = Ap.

A – обсяг виконаної роботи, р – продуктивність праці, t – час роботи.

529. Розв’язуючи задачі на вартість за якою формулою

знаходять: 1) вартість покупки; 2) ціну товару; 3) кількість придбаного товару?

1) С = an; 2) a = cn; 3) n = ca.

C – вартість, а – ціна товару, n – кількість.

530. Складіть формулу для визначення:

1) часу руху автобуса, який проїхав 100 км зі швидкістю v км/год;

2) швидкості велосипедиста, який проїхав s км за 2 год;

3) відстані, яку проїхав поїзд зі швидкістю 80 км/год за t год.

1) t = 180V; 2) V = S2; 3) S = 80t.

531. Швидкість течії річки 3 км/год. Складіть рівність для визначення часу руху катера, який проплив:

1) 36 км зі швидкістю v км/год за течією річки;

2) s км зі швидкістю 15 км/год проти течії річки.

1) V_теч = 3 км/год; S = 36 км;

V_{за теч.} = V + 3 км/год; t = 36V+3.

2) V_теч = 3 км/год; S = 36 км.

V_{проти теч.} = 15 – 3 = 12 км/год; t = S12.

532. Складіть рівність для визначення:

1) обсягу виконаної роботи з продуктивністю р за 2 год;

2) продуктивності праці при виготовлені 30 костюмів за t днів;

3) часу роботи для виготовленні n деталей за 3 год.

1) A = 2p; 2) p = 30t; 3) t = n3.

533. Складіть рівність для визначення:

1) вартості покупки n кг яблук за ціною 38 грн за 1 кг;

2) ціну зошита, якщо придбали 12 зошитів, витративши m грн;

3) кількості придбаних тістечок за ціною а грн за штуку, якщо заплатили 112 грн.

1) C = 38n; 2) a = m12; 3) n = 112a.

534. Одне із чисел на 5 більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 150.

Нехай перше число дорівнює х, тоді друге – x + 5.

x(x + 5) = 150;

x² + 5x – 150 = 0;

x₁ = –15; x₂ = 10.

–15 + 5 = –10; 10 + 5 = 15.

Відповідь: –15 і –10 або 10 і 15.

535. Одне із чисел на 3 менше від другого. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 108.

Нехай перше число дорівнює х, тоді друге – x – 3.

x(x – 3) = 108;

x² – 3x – 108 = 0;

x₁ = 12; 12 – 3 = 9;

x₂ = –9; –9 – 3 = –12.

Відповідь: 12 і 9 або –9 і –13.

536. Сума двох чисел дорівнює 27, а сума їх квадратів — 369.

Знайдіть ці числа.

Нехай перше число дорівнює х, а друге – у.

x + y = 27;

x² + y² = 369;

x = 27 – y;

(27 – y)² + y² = 369;

729 = 54y + y² + y² – 369 = 0;

2y² – 54y + 360 = 0| : 2;

y² – 27y + 180 = 0;

y₁ = 13, y₂ = 15.

y = 12; y = 15;

x = 27 – 12; x = 27 – 15;

y = 12; y = 15;

x = 15; x = 12.

Відповідь: 12 і 15.

537. Сума двох чисел дорівнює 25, а сума їх квадратів — 317. Знайдіть ці числа.

Нехай перше число дорівнює х, а друге – у.

x + y = 25;

x² + y² = 317;

x = 25 – y;

(25 – y)² + y² = 317;

625 – 50y + y² + y² – 317 = 0;

2y² – 50y + 308 = 0| : 2;

y² – 25y + 154 = 0;

y₁ = 11, y₂ = 14.

y = 11; y = 14;

x = 25 – 11; x = 25 – 14;

y = 11; y = 14;

x = 14; x = 11.

Відповідь: 14 і 11.

538. Сума двох чисел дорівнює 22. Якщо від квадрата першого числа відняти подвоєне друге число, то одержимо 124. Знайдіть ці числа.

Нехай перше число дорівнює х, а друге – у.

x + y = 22;

x² – 2y = 124;

x = 22 – y;

(22 – y)² – 2y = 124;

484 – 44y + y² – 2y – 124 = 0;

y² – 46y + 360 = 0;

y₁ = 10, y₂ = 36;

y = 10; y = 36;

x = 22 – 10; x = 22 – 36;

y = 10; y = 36;

x = 12; x = –14.

Відповідь: 12 і 10 або –14 і 36.

539. Різниця двох чисел дорівнює 2. Якщо до потроєного першого числа додати квадрат другого числа, то одержимо 124. Знайдіть ці числа.

Нехай перше число дорівнює х, а друге – у.

x – y = 2;

3y + x² = 124;

x = 2 + y;

3y + (2 + y)² = 124;

3y + 4 + 4y + y² – 124 = 0;

y² + 7y – 120 = 0;

y₁ = 8, y₂ = –15;

y = 8; y = –15;

x = 2 + 8; x = 2 – 15;

y = 8; y = –15;

x = 10; x = –13.

Відповідь: 10 і 8 або –13 і –15.

540. Із Києва до Житомира одночасно виїхали два автомобілі.

Швидкість одного з автомобілів була на 10 км/год більшою за швидкість другого, тому він прибув до Житомира на 40 хв раніше. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо відстань між містами становить 140 км.

Нехай швидкість І автомобіля з км/год, тоді швидкість ІІ автомобіля x + 10 км/год.

V, км/год	S, км	t, год
автомобіль х	140	140x, на 40 хв >
автомобіль x + 10	140	140x+10

40 хв = 23 год;

140x – 140x+10 = 23; 140x – 140x+10 – 23 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –10;

140•3•x+10-140•3x-2x(x+10)x(x+10) = 0;

420x + 4200 – 420x – 2x² – 20x = 0 |: (–2);

x² + 10x – 4200 = 0;

x₁ = 60;

x₂ = –70 – не задовольняє умову;

60 км/год – швидкість І автомобіля;

60 + 10 = 70 (км/год) – швидкість ІІ автомобіля.

Відповідь: 60 км/год, 70 км/год.

541. Із Черкас до Вінниці одночасно виїхали автобус й автомобіль. Швидкість автомобіля була на 30 км/год більшою за швидкість автобуса, тому він прибув до Вінниці на 1 год 30 хв раніше. Знайдіть швидкість автобуса й автомобіля, якщо відстань між містами становить 270 км.

Нехай швидкість автобуса з ким/год, тоді швидкість автомобіля

x + 30 км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
Автобус	x	270	270x, на 1 год 30 хв >
Автомобіль	x + 30	270	270x+30

1 год 30 хв = 32 год;

270x – 270x+30 = 32; 270x – 270x+30 – 32 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –30;

270•2•x+30-270•2x-3x(x+30)x(x+30) = 0;

540x + 16200 – 540x – 3x² – 90x = 0 | : (–3);

x² + 30x – 5400 = 0;

x₁ = 60;

x₂ = –90 – не задовольняє умову.

60 км/год – швидкість автобуса;

60 + 30 = 90 (км/год) – швидкість автомобіля.

Відповідь: 60 км/год, 90 км/год.

542. Із Харкова до Запоріжжя відправився рейсовий автобус. Автобус їхав зі швидкістю, на 10 км/год більшою, ніж було заплановано за розкладом. Тому до Запоріжжя він прибув на 1 год раніше, ніж планував. З якою швидкістю мав їхати автобус за розкладом, якщо відстань між містами становить 300 км?

Нехай швидкість автобуса за розкладом x км/год, тоді швидкість, з якою він фактично їхав x + 10 км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
За розкладом	x	300	30x, на 1 год >
Фактично	x + 10	300	300x+10

300x – 300x+10 = 1; 300x – 300x+10 – 1 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –10;

300•x+10-300х- x(x+10)x(x+10) = 0;

300x + 3000 – 300x – x² – 10x = 0 ;

x² + 10x – 3000 = 0;

x₁ = 50;

x₂ = –60 – не задовольняє умову;

50 км/год – мав їхати за розкладом.

Відповідь: 50 км/год.

543. Із Полтави до Одеси відправився рейсовий автобус. Через негоду автобус їхав зі швидкістю на 10 км/год меншою, ніж було заплановано за розкладом. Тому до Одеси він прибув із запізненням на 1 год 20 хв. З якою швидкістю мав їхати автобус за розкладом, якщо відстань між містами становить 560 км?

	V, км/год	S, км	t, год
За розкладом	x	560	560x
Фактично	x – 10	560	560x+10, на 1 год 20 хв >

560x-10 – 560x = 113; 560x-10 – 560x – 43 = 0;

ОДЗ: x ≠ 10, x ≠ 0;

560•3•х-560•3•x-10-4х(x-10)3x(x-10) = 0;

1680х – 1680х + 16800 – 4x² + 40x = 0;

16800 – 4x² + 40x = 0 | : (–4);

x² – 10x – 4200 = 0

x₁ = 70;

x₂ = –60 – не задовольняє умову.

70 км/год – мав їхати за розкладом.

Відповідь: 70 км/год.

544. На навчальному виробництві учні технічного ліцею програмують два роботи–майстри для виконання замовлення на 140 деталей. Робот A працює швидше й виконує замовлення на 4 дні швидше, ніж робот B. Крім того, робот А виготовляє за день на 4 деталі більше, ніж робот B. Скільки деталей за день виготовляє Робот B?

Нехай робот А виготовляє за 1 год x деталей, тоді робот В –

x – 4 деталей.

	p	t	A
Робот А	x	140x	140
Робот В	x – 4	140x-4, на 4 дні >	140

140x-4 – 140x = 4; 140x-4 – 140x – 4 = 0;

ОДЗ: x ≠ 4, x ≠ 0;

140х-140 •x-4-4х(x-4)x(x-4) = 0;

140x – 140х + 560 – 4x² + 16x = 0 | : (–4);

x² – 4x – 560 = 0;

x₁ = 14;

x₂ = –10 – не задовольняє умову;

14 дет. – виготовляє за 1 год робот А.

14 – 4 =10 (дет.) – виготовляє з 1 год робот В.

Відповідь: 10 деталей.

545. Замовлення на 80 деталей перший робітник виконує на 3 год довше, ніж другий. Скільки деталей за 1 год виготовляє перший робітник, якщо другий робітник за 1 год виготовляє на 6 деталей більше?

Нехай І робітник виготовляє за 1 год x деталей, тоді ІІ робітник –

x + 6 деталей.

	p	t	A
І робітник	x	80x, на 3 год >	80
ІІ робітник	x – 4	80x+6	80

80x – 80x+6 = 3; 80x – 80x+6 – 3 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –6;

80x+6-80х-3х(x+6)x(x+6) = 0;

80x + 480 – 80х – 3x² – 18x = 0;

–3x² – 18x – 480 = 0 | : (–3);

x² + 6x – 160 = 0;

x₁ = 10;

x₂ = –16 – не задовольняє умову;

10 дет. – виготовляє за 1 год І робітник.

Відповідь: 10 деталей.

546. Петрик і Наталка готуються до шкільного STEM–фестивалю, де мають представити моделі дерев’яних корабликів, зроблених власноруч. Петрик може виготовити за день на 2 моделі більше, ніж Наталка. Відомо, що для виготовлення 16 моделей Петрик витрачає на 4 дні менше, ніж Наталка. Скільки корабликів за день виготовляє кожний з них?

Нехай Наталка виготовляє за день х моделей корабликів, тоді Петрик – х + 2 моделей корабликів.

	p	t	A
Наталка	х	16х, на 4 дн. >	16
Петрик	х + 2	16x+2	16

16x – 16x+2 = 4; 16x – 16x+2 – 4 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –2;

16x+2- 16x-4x(x+2)x+2x = 0;

16x + 32 – 16x – 4x2 – 8x = 0;

–4x² – 8x + 32 = 0 |: (–4);

x² + 2x – 8 = 0;

x₁ = 2;

x₂ = –4 – не задовольняє умову;

2 мод. – виготовляє за день Наталка;

2 + 2 = 4 (мод.) – виготовляє за день Петрик.

Відповідь: 2 моделі і 4 моделі.

547. Тетянка й Миколка виготовляють новорічні прикраси для шкільної ялинки. Тетянка за 1 год може виготовити на 1 прикрасу менше, ніж Миколка. Відомо, що для виготовлення 12 прикрас Тетянка витрачає на 1 год більше, ніж Миколка. Скільки прикрас за годину виготовляє кожний з них?

Нехай Тетянка за 1 год може виготовити за 1 год х прикрас, а Миколка х + 1 прикрас.

	p	t	A
Тетянка	х	12х, на 1 год >	12
Миколка	х + 1	12x+1	12

12x – 12x+1 = 1; 12x – 12x+1 – 1 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –1;

12x+1- 12x-x(x+1)хx+1 = 0;

12x + 12 – 12x – x2 – x = 0 |• (–1);

–4x² – 8x + 32 = 0 |: (–4);

x² + x – 12 = 0;

x = 3;

x = –4 – не задовольняє умову;

3 пр. – виготовляє за 1 год Тетянка;

3 + 1 = 4 (пр.) – виготовляє за 1 год Миколка.

Відповідь: 3 пр. і 4 пр.

548. Мама заплатила за картоплю 60 грн, а за цибулю — 48 грн. Відомо, що ціна 1 кг цибулі на 8 грн більша, ніж ціна 1 кг картоплі. Визначте, скільки кілограмів картоплі і цибулі купила мама та за якою ціною, якщо картоплі вона купила на 1 кг більше, ніж цибулі?

Нехай ціна картоплі x грн, тоді ціна цибулі x + 8 грн. Мама купила 60х кг картоплі і 48х+8 кг цибулі.

60х – 48х+8 = 1; 60х – 48х+8 – 1 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –8;

60x+8-48х -х(x+8)x(x+8) = 0;

60х + 480 – 48х – x² – 8x = 0 |• (–1);

x² – 4x – 480 = 0;

x₁ = 24;

x₂ = –20 – не задовольняє умову;

24 грн – ціна картоплі.

24 + 8 = 32 – ціна цибулі:

6024 = 2,5 (кг) – купила картоплі:

4832 = 1,5 (кг) – купила цибулі.

Відповідь: 2,5 кг картоплі по 24 грн і 1,5 кг цибулі по 32 грн.

549. За зошити в лінійку Тетянка заплатила 165 грн, а за зошити в клітинку — 240 грн. Ціна одного зошита в лінійку на 1 грн менша, ніж ціна одного зошита в клітинку. Визначте, скільки зошитів кожного виду купила Тетянка та за якою ціною, якщо зошитів у клітинку Тетянка купила на 5 більше, ніж зошитів у лінійку.

Нехай ціна зошита в лінійку х грн., тоді ціна зошита в клітинку х + 1 грн.

	а, грн	С, грн	n, шт.
В лінійку	х	165	165х
В клітинку	х + 1	240	240х+1, на 5 >

240x+1 – 165x = 5; 240x+1 – 165x – 5 = 0;

ОДЗ: x ≠ –1, x ≠ 0;

240x-165x+1- 5x(x+1)x(x+1 = 0;

240x – 165x – 165 – 5x² – 5x = 0;

–5x² + 70x – 165 = 0 |: (–5);

x² – 14x + 33 = 0;

x₁ = 11;

x₂ = 3;

Нехай 11 грн – ціна зошита в лінійку, 11 + 1 = 12 (грн.) – ціна зошита в клітинку;

16511 = 15 (зош.) – у лінійку; 24012 = 20 (зош.) – у клітинку.

Якщо 3 грн – ціна зошита в лінійку, то 3 + 1 = 4 (грн.) – ціна зошита в клітинку.

1653 = 55 (зош.) – у лінійку; 2404 = 60 (зош.) – у клітинку.

Відповідь: 20 зошитів по 12 грн і 15 зошитів по 1 грн або 60 зошитів по 4 грн і 55 зошитів по 3 грн.

550. Міська рада замовила благоустрій нового скверу прямокутної форми в центрі громади. За планом площа скверу дорівнює 6300 м². Його мають повністю обгородити парканом завдовжки 320 м разом із вхідною брамою. Якими мають бути довжина і ширина скверу, щоб дотриматися цих вимог?

Дано: S = 6300 м², Р = 320 м.

Нехай довжина паркана а м, а ширина паркана b м.

2(a + b) = 320;

a • b = 6300;

a + b = 160;

a • b = 6300;

a = 90;

b = 70;

70 м – ширина паркана, 90 м – довжина паркана.

Відповідь: 70 м, 90 м.

551. Спортмайданчик біля школи, площа якого становить 4000 м², має прямокутну форму. Знайдіть довжину й ширину спортмайданчика, якщо довжина огорожі, включаючи вхід до майданчика, дорівнює 260 м.

S = 4000 м², Р = 260 м.

Нехай довжина спортмайданчика а м, а ширина паркана b м.

2(a + b) = 260;

a • b = 4000;

a + b = 130;

a • b = 4000;

a = 80;

b = 50;

50 м – ширина спортмайданчика, 80 м – довжина спортмайданчика.

Відповідь: 50 м, 80 м.

552. Якщо до 12 першого числа додати 12 другого, то одержимо 7, а якщо до 14 квадрата першого числа додати 15 квадрата другого, то одержимо 24. Знайдіть ці числа.

Нехай перше число дорівнює х, а друге – у.

12х + 12y = 7, | • 2;

14x² + 15y² = 24 | • 20;

x + y = 14;

5x² + 4y² = 480;

x = 14 – y;

5(14 – y)² + 4y² – 480 = 0;

5(196 – 28y + y²) + 4y² – 480 = 0;

980 – 140y + 5y² + 4y² – 480 = 0;

9y² – 140y + 500 = 0;

D = (140)² – 4 • 9 • 500 = 19600 – 18000 = 1600 = 40²;

y₁ = 140-4018 = 10018 = 509 = 559 – не задовольняє умову;

y₂ = 140+4018 = 18018 = 10.

y = 10; y = 10;

x = 14 – 10; x = 4.

Відповідь: 4 і 10.

553. Якщо до 14 першого числа додати 13 другого, то одержимо 3, а якщо до 12 квадрата першого числа додати 14 квадрата другого, то одержимо 17. Знайдіть ці числа.

Нехай перше число дорівнює х, а друге – у.

14х + 13у = 3 | • 12;

12x² + 14y² = 17 | • 4;

3x + 4y = 36;

2x² + y² = 68;

4y = 36 – 3x; y = 9 – 34x;

2x² + (9 – 34x)² – 68 = 0;

2x² + 81 – 272x + 916x² – 68 = 0;

4116x² – 272x + 13 = 0 | • 16;

41x² – 216x + 208 = 0;

D = (–216)² – 4 • 41 • 208 = 46656 – 34112 = 12544 = 112²;

x₁ = 216-11282 = 10484 = 2621 = 1521 – не задовольняє умову;

х₂ = 216+11282 = 32884 = 4.

х = 4; х = 4;

у = 9 – 34 • 4; у = 6.

Відповідь: 4 і 6.

554. Адміністрація сучасного кінотеатру готується до прем’єри популярного фільму. У кінотеатрі є два зали для глядачів: великий і малий. У великому залі — 500 місць, а в малому — 300 місць. Кількість місць у кожному ряду обох залів однакова, проте в малому залі на 10 рядів менше, ніж у великому. Скільки рядів у великому залі, а скільки — у малому? Скільки місць у кожному ряду?

Нехай у малому залі х рядів, тоді у великому залі – х + 10 рядів.

	Рядів	Місяць у ряду	Всього
Великий	х + 10	500х+10	однаково	500
Малий	х	300х		300

500x+10 = 300x;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –2;

500x = 300(x + 10);

500x = 300x + 3000;

500x – 300x = 3000;

200x = 3000;

x = 3000 : 200;

x = 15.

15 рядів – в малому залі;

15 + 10 = 25 (рядів) – у великому залі;

30015 = 20 (місць) – в одному ряді.

Відповідь: 25 рядів, 15 рядів, 20 місць.

555. На двох ділянках рівними рядами посадили яблуні й груші: на першій — 300 яблунь, а на другій — 270 груш. Кількість дерев у кожному ряді однакова, проте на першій ділянці було висаджено на 2 ряди дерев більше, ніж на другій. Скільки рядів яблунь посадили на першій ділянці, а скільки — на другій? Скільки дерев у кожному ряді?

Нехай на ІІ ділянці х рядів груш, а на І ділянці х + 2 рядів яблунь.

	Рядів	Місяць у ряду	Всього
І ділянка	х + 2	300х+2	однаково	300 яблунь
ІІ ділянка	х	270х		270 груш

300x+2 = 270x;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –2;

300x = 270(x + 2);

300x = 270x + 540;

300x – 270x = 540;

30x = 540;

x = 540 : 30;

x = 18;

18 рядів – груш;

18 + 2 = 20 (рядів) – яблунь;

27018 = 15 (дерев) – у кожному ряду.

Відповідь: 20 рядів, 18 рядів, 15 дерев.

556. Мотоцикліст зі сталою швидкістю виїхав з Рівного до Луцька, відстань між якими дорівнює 70 км. Наступного дня він відправився назад. Половину шляху він проїхав зі швидкістю, з якою рухався напередодні. Потім зробив зупинку на 10 хв. Для того щоб прибути вчасно, на шляху, що лишився, він збільшив швидкість на 5 км/год.

Знайдіть швидкість мотоцикліста на шляху з Рівного до Луцька.

Упродовж якого часу він повернувся з Луцька до Рівного?

Нехай швидкість мотоцикліста з Рівного до Луцька х км/год, а підвищена швидкість з Луцька до Рівного – х + 5 км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
Вперед	х	70	70х
Назад	х + 5	70	35х + 35х+5, на 10 хв >

10 хв = 16.

35x – 35x+5 = 16; 35x – 35x+5 – 16 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x = –5;

35 •6x+5- 35 •6x-x(x+5)6x(x+5) = 0;

210x + 1050 – 210x – x2 – 5x = 0 | • (–1);

x2 + 5x – 1050 = 0;

x = 30;

x = –35 – не задовольняє умову;

30 км/год – швидкість мотоцикліста з Р. до Л.

3530 + 3530+5 = 116 + 1 = 216 год = 2 год 10 хв.

Відповідь: 30 км/год, 2 год 10 хв.

557. Автомобіль зі сталою швидкістю виїхав з Тернополя до Вінниці, відстань між якими дорівнює 240 км. Наступного дня він відправився назад. Половину шляху він проїхав зі швидкістю, з якою рухався напередодні. Потім зробив зупинку на 10 хв. Для того щоб прибути вчасно, на шляху, що залишився, він збільшив швидкість на 10 км/год. Знайдіть швидкість автомобіля на шляху з Тернополя до Вінниці. Упродовж якого часу він був у дорозі?

Нехай швидкість автомобіля з Тернополя до Вінниці х км/год, а підвищена швидкість з Вінниці до Тернополя – х + 10 км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
Вперед	х	240	240х
Назад	х + 10	240	120х + 120х+10, на 10 хв >

10 хв = 16.

120x – 120x+10 = 16; 120x – 120x+10 – 16 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x = –10;

120 •6x+10- 120 •6x-x(x+10)6x(x+10) = 0;

720x + 7200 – 720x – x² – 10x = 0;

–x² – 10x + 7200 = 0;

x² + 10x – 7200 = 0;

x₁ = 80;

x₂ = –90 – не задовольняє умову;

80 км/год – швидкість автомобіля з Т. до В.

24080 = 3 (год) – був у дорозі.

Відповідь: 80 км/год, 3 год.

558. Туристи за 1 год на автомобілі подолали відстань, на 40 км більшу, ніж за 4 год, рухаючись пішки. Відомо, що швидкість руху на автомобілі була у 12 разів більшою, ніж швидкість руху туристів. Знайдіть швидкості руху туристів пішки та швидкість їхнього руху на автомобілі. Яку відстань подолали туристи, рухаючись пішки?

Нехай швидкість руху туристів пішки – х км/год, тоді швидкість їхнього руху на автобусі – 12 х км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
На автобусі	12х	12 х, на 40 км >	1 год
Пішки	х	4 x	4 год

12x – 4x = 40;

8x = 40;

x = 5;

5 км/год – швидкість руху туристів пішки;

12 • 5 = 60 (км/год) – швидкість руху на автобусі;

4 • 5 = 20 (км) – подолали пішки.

Відповідь: 5 км/год, 60 км/год, 20 км.

559. За 4 год на автобусі туристи подолали ту саму відстань, що й за 3 год на поїзді. Знайдіть швидкості автобуса й поїзда, якщо за 1 год на поїзді туристи проїжджали на 20 км більше, ніж на автобусі. Яку відстань подолали туристи, рухаючись автобусом?

Нехай швидкість автобуса х км/год, а швидкість поїзда – х + 20 км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
Автобус	х	4х	однакова	4 год
Поїзд	х + 20	3(20 + х)		3 год

4х = 3(20 + х);

4x = 60 + 3x;

4x – 3x = 60;

x = 60;

60 – швидкість автобуса;

60 + 20 = 80 (км/год) – швидкість поїзда.

Відповідь: 60 км/год, 80 км/год.

560. Катер проплив 20 км за течією річки за 1 год. Назад він

повернувся до пункту відправлення, витративши на зворотний шлях 1 год 40 хв. Знайдіть швидкість катера й швидкість течії річки.

Нехай швидкість катера х км/год, а швидкість течії – у км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
За течією	x + y	20	1 год
Проти течії	x – y	20	1 год 40 хв

1 год 40 хв = 123 год = 53 год.

x + y = 20;

20x-y = 53;

x + y = 20; + x + y = 20;

5(x – y) = 60; x – y = 12;

2x = 32; x = 16; x = 16; y = 16;

x = 16; y = 20 – x; y = 20 – 16; y = 4.

16 км/год – швидкість катера;

4 км/год – швидкість течії.

Відповідь: 16 км/год, 4 км/год.

561. Моторний човен проплив проти течії річки 24 км за 2 год. Назад він повернувся до пункту відправлення, витративши на зворотний шлях 1,5 год. Знайдіть швидкість човна та швидкість течії річки.

Нехай швидкість човна – x км/год, а швидкість течії – y км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
За течією	x + y	24	1,5
Проти течії	x – y	24	2

(x + y) • 1,5 = 24;

(x – у) • 2 = 24;

+ x + y = 16;

x – y = 12;

2x = 28; x = 14; x = 14; x = 14;

x = 14. y = 16 – x; y = 16 – 14; y = 2.

14 км/год – швидкість човна;

2 км/год – швидкість течії;

Відповідь: 14 км/год і 2 км/год.

562. Майстер має зробити 120 деталей. Якщо він буде виготовляти щодня на 2 деталі більше, ніж повинен, то закінчить роботу на 2 дні раніше. Скільки деталей за день має виготовляти майстер?

Нехай x деталей за день має виготовити майстер за планом, тоді фактично він виготовляв x + 2 деталі.

	p	t	A
За планом	x	120x, на 2 дні. >	120
Фактично	x + 2	120х+2	120

120х – 120х+2 = 2; 120х – 120х+2 – 2 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –2;

120x+2-120x-2x(x+2)x(x+2) = 0;

120x + 240 – 120x – 2x² – 4x = 0;

–2x² – 4x + 240 = 0 | : (–2);

x² + 2x – 120 = 0;

x = 10;

x = –12 – не задовольняє умову;

10 деталей має виготовити майстер за планом.

Відповідь: 10 деталей.

563. Кравчиня має пошити 30 суконь. Якщо щодня вона будешити на 1 сукню більше, ніж заплановано, то закінчить роботу на 5 днів раніше. Скільки суконь за день має шити кравчиня за планом?

Нехай x суконь за день має шити за планом, тоді фактично вона шила x + 1 сукню.

	p	t	A
За планом	x	30х, на 5 дн. >	30
Фактично	x + 1	30х+1	30

30х – 30х+1 = 5; 30х – 30х+1 – 5 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –1;

30x+1-30x-5х(x+1)x(x+1) = 0;

30x + 30 – 30x – 5x² – 5x = 0;

–5x² – 5x + 30 = 0 |: (–5);

x² + x – 6 = 0;

x = 2;

x = –3 – не задовольняє умову.

Відповідь: 2 сукні.

566. Периметр прямокутника дорівнює 46 см, а його площа — 120 см². Знайдіть діагональ прямокутника.

P = 46 см;

S = 120 см²;

d – ?

Нехай довжина прямокутника а см, а ширина b см.

2(a + b) = 46; a + b = 23; a = 15;

ab = 120; ab = 120; b = 8.

d = a2+b2 = 152+82 = 225+64 = 289 = 17 (см).

Відповідь: 17 см.

567. Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а його площа —

48 см². Знайдіть діагональ прямокутника.

P = 28 см;

S = 48 см²;

d – ?

Нехай довжина прямокутника а см, а ширина b см.

2(a + b) = 28; a + b = 14; a = 8;

ab = 48; ab = 48; b = 6.

d = a2+b2 = 82+62 = 64+36 = 100 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

568. Богдан і Тарас поділили між собою 39 горіхів. Кількість горіхів, що дісталися одному з них, менша від подвоєного добутку кількості горіхів, що дісталися Тарасові. Квадрат третьої частини горіхів, що дісталися Тарасові, менший від збільшеної на 1 кількості горіхів, що дісталися Богданові. Скільки горіхів одержав кожний хлопчик?

Нехай Богдан одержав х горіхів, а Тарас – у горіхів.

x + y = 39.

2y – x > 0;

x + 1 – (13y)² > 0;

x = 39 – y;

2у – 39 + y > 0; 3y > 39;

39 – y + 1 – 19y² > 0 |• 9; 360 – 9y – y² > 0 |• (–1);

y > 13; y > 13;

y² + 9y – 360 < 0; y > –24;

у < 15.

у ∈ (13; 15), у = 14.

y = 14; y = 14;

x = 39 – 14; x = 25.

Відповідь: 25 горіхів і 14 горіхів.

569. Двоє робітників одночасно розпочали роботу. Після 45 хв їх спільної роботи першого робітника перевели на іншу роботу, і другий робітник завершив роботу за 2 год 15 хв. За який час міг би виконати цю роботу кожний робітник, працюючи окремо, якщо відомо, що другому робітникові на її виконання потрібно на 1 год більше, ніж першому?

Нехай перший робітник міг виконати роботу за х год, а другий за

x + 1 год.

	p	t	A
І робітник	1x	34 год	34 • 1х	11
ІІ робітник	1x+1	3 год	3 • 1х+1

34х + 3х+1 = 1; 34х + 3х+1 – 1 = 0;

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ –1;

3x+1+3•4x-4х(x+1)4x(x+1) = 0;

3х + 3 + 12x – 4x² – 4x = 0;

–4x² + 11x + 3 = 0;

D = 11² – 4 • (–4) • 3 = 121 + 48 = 169 = 13²;

x₁ = -11-13-8 = -24-8 = 3;

x₂ = -11+13-8 = 2-8 = –14 – не задовольняє умову;

3 год – час роботи І робітника;

3 + 1 = 4 (год) – час роботи ІІ робітника.

Відповідь: 3 год і 4 год.

570. Відстань між містами А і В пасажирський поїзд долає на 4 год швидше, ніж товарний. Якби пасажирський поїзд витратив той час, який витратив товарний поїзд на подолання шляху від А до В, то він проїхав би на 280 км більше, ніж товарний. Якби швидкість кожного поїзда збільшили на 10 км/год, то пасажирський поїзд пройшов би

відстань від А до В на 2 год 24 хв швидше, ніж товарний. Знайдіть відстань між містами.

Нехай x год – час руху пасажирського поїзда від А до В, а y км – відстань між містами А і В.

1) 280 : 4 = 70 (км/год) – швидкість пасажирського поїзда.

2) 70 + 10 = 80 (км/год) – швидкість після підвищення.

3) 80(x – 4) – 70x = 280;

80x – 320 – 70x = 280;

10х = 280 + 320;

10х = 600;

x = 6.

6 год – час руху пасажирського поїзда.

4) 80 • 125 = 192 (км);

5) 192 км – 125 год;

у км – 6 год;

192у = 1256; у = 192•6125 = = 480 (км).

Відповідь: 480 км.

571. Два велосипедисти одночасно виїхали назустріч один одному з пунктів А і В, відстань між якими дорівнює 28 км. Через 1 год вони зустрілися й продовжили свій шлях без зупинки і з тими самими швидкостями. Перший прибув у пункт В на 35 хв раніше, ніж другий у пункт А. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста.

Нехай швидкість першого велосипедиста x км/год, а швидкість другого y км/год.

	V, км/год	S, км	t, год
І велоси.	x	28	2х
ІІ велосип.	у	28	2у, на 35 хв >

35 хв = 3560 год = 712 год.

x + y = 28;

28y – 28x = 712;

x = 28 – y;

28y – 2828- y = 712;

28y – 2828- y – 712 = 0 | : 7;

4y – 428-y – 112 = 0;

ОДЗ: y ≠ 0, y ≠ 28;

12•4•28- y-12•4y- y(28- y)12y(28- y) = 0;

1344 – 48y – 48y – 28y + y² = 0;

y² – 124y + 1344 = 0;

y₁ = 12;

y₂ = 112 – не задовольняє умову;

y = 12; y = 12;

x = 28 – 12; x = 16.

Відповідь: 16 км/год і 12 км/год.

572. Державний прапор України — стяг із двох рівновеликих горизонтальних смуг синього й жовтого кольорів. Співвідношення

ширини прапора до його довжини 2 : 3. 1. Знайдіть сторони прапора, площа якого дорівнює 1,5 м², а периметр — 5 м. 2. Знайдіть розміри прапора, одна сторона якого дорівнює 60 см. 3. Якої максимальної висоти може бути прапор площею 6 м2, якщо сторони його відносяться як 2 : 3, а довжина щогли — не більша ніж 2,5 м? (Вважайте, що висота прапора — це його менша сторона і вона не має перевищувати довжину щогли.)

1. S = 1,5 м²; P = 5 м.

Нехай довжина прапора а м, а ширина – b км.

2(a + b) = 5;

a • b = 1,5;

a + b = 2,5; a = 1;

a • b = 1,5; b = 1,5.

Відповідь: 1 м і 1,5 м.

2. Нехай сторони прапора 2x см і 3х см.

2x = 60; x = 30; 3 • 30 = 90 (см).

Або 3х = 60; x = 20; 2 • 20 = 40 (см).

Відповідь: 60 см і 90 см або 40 см і 60 см.

3. S = 6 м²; висота а < 2,5 м.

Нехай висота а = 2х, довжина b = 3х.

2х • 3х = 6;

6х = 6;

х = 1 (м).

а = 2 • 1 = 2 (м) – висота прапора;

b = 3 • 1 = 3 (м) – довжина прапора.

Відповідь: висота 2 м.

573. На занятті в художній школі Тетяна виконала малюнок «Весняна мелодія», який відібрали для участі в конкурсі. За вимогами конкурсу Тетяна має наклеїти свій малюнок на білий папір так, щоб навколо малюнка була біла окантовка однакової ширини.

1. Знайдіть розміри малюнка, якщо його ширина на 5 см менша від довжини, а площа становить 300 см². 2. Знайдіть ширину окантовки, якщо площа малюнка з окантовкою дорівнює 1400 см².

3. Чи зможе Тетяна для виготовлення окантовки до малюнка використати аркуш формату А2, розміри якого 420 × 594 мм?

1. S = 300 см²; Довжина – x + 5; Ширина – x.

x • (x + 5) = 300; x² + 5x – 300 = 0;

x₁ = 15;

x₂ = –20 – не задовольняє умову.

15 + 5 = 20 (см).

Відповідь: 15 см і 20 см.

2. S = 1400 см². Нехай x – ширина окантовки.

(20 + 2x)(15 + 2x) = 1400;

300 + 30x + 40x + 4x² – 1400 = 0;

4x² + 70х – 1100 = 0 |: 2;

2x² + 35x – 550 = 0;

D = 35² – 4 • 2 • (–550) = 1225 + 4400 = 5625 = 75²;

x₁ = -35-754 = -1104 = –27,5 – не задовольняє умову;

x₂ = -35+754 = 404 = 10.

Відповідь: 10 см.

3. А2 : 420 × 594 мм. Нехай х – ширина окантовки.

420 мм = 42 см; 594 мм = 59,4 см;

15 + 2x = 42; 2x = 27; x = 13,5.

20 + 2x = 59,4; 2x = 39,4; x = 19,7.

13,5 ≠ 19,7.

Відповідь: ні.

574. Чи правильно, що даний набір чисел є числовою послідовністю.

Яке число буде наступним?

1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

2) 1, 3, 5, 7, 9, 11,…

3) 2, 4, 6, 8, 10, 12,…

575. Дано послідовність чисел (а_n): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … . Назвіть: 1) перший член; 3) п’ятий член; 2) другий член; 4) восьмий член.

(a_n): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…

1) a₁ = 1; 3) a₅ = 9;

2) a₂ = 3; 4) a₈ = 15.

576. Дано послідовність. Який член послідовності:

1) слідує за членом; 2) передує члену.

(b_n): b₁, b₂, b₃, b₄, …, b_n,… .

1) b₆, b₁₁, b₁₀₀, b_n+1, b_n+6, b_n.

2) b₆, b₄₉, b₉₉, b_n–1, b_n+6, b_n–4.

577. Запишіть перші п’ять членів послідовності, заданої формулою

n–го члена.

1) xn = 2n;x1 = 2 • 1 = 2;x2 = 2 • 2 = 4;x3 = 2 • 3 = 6;x4 = 2 • 4 = 8;x5 = 2 • 5 = 10;(xn) = 2; 4; 6; 8; 10.	2) xn = 3n – 1;x1 = 3 • 1 – 1 = 2;x2 = 3 • 2 – 1 = 5;x3 = 3 • 3 – 1 = 8;x4 = 3 • 4 – 1 = 11;x5 = 3 • 5 – 1 = 14;(xn) = 2; 5; 8; 11; 14.
3) xn = n+15;x1 = 1+15 = 25;x2 = 2+15 = 35;x3 = 3+15 = 45;x4 = 4+15 = 55 = 1;x5 = 5+15 = 65 = 115;(xn) = 25; 35; 45; 1; 115.	4) xn = n2 + 1;x1 = 12 + 1 = 2;x2 = 22 + 1 = 5;x3 = 32 + 1 = 10;x4 = 42 + 1 = 17;x5 = 52 + 1 = 26;(xn) = 2; 5; 10; 17; 26.

578. Запишіть перші чотири члени послідовності, заданої формулою n–го члена.

1) yn = n + 1;y1 = 1 + 1 = 2;y2 = 2 + 1 = 3;y3 = 3 + 1 = 4;y4 = 4 + 1 = 5;(yn): 2; 3; 4; 5.

2) yn = 2n+3;y1 = 21+3 = 24 = 12;y2 = 22+3 = 25;y3 = 23+3 = 26 = 13;y4 = 24+3 = 27;(yn): 12; 25; 13; 27.

579. Послідовність (c_n) задано рекурентною формулою. Знайдіть с₄.

c₁ = –2, c_n+1 = c_n + 6,5.

c₄ – ?

c₂ = c₁ + 6,5 = –2 + 6,5 = 4,5;

c₃ = c₂ + 6,5 = 4,5 + 6,5 = 11;

c₄ = c₃ + 6,5 = 11 + 6,5 = 17,5.

Відповідь: 17,5.

580. Послідовність (d_n) задано рекурентною формулою. Знайдіть d₅.

d₁ = 3,5, d_n+1 = d_n – 10,5.

d₅ – ?

d₂ = d₁ – 10,5 = 3,5 – 10,5 = –7;

d₃ = d₂ – 10,5 = –7 – 10,5 = –17,5;

d₄ = d₃ – 10,5 = –17,5 – 10,5 = –28;

d₅ = d₄ – 10,5 = –28 – 10,5 = –38,5.

Відповідь: –38,5.

581. Запишіть чотири перших членів послідовності (а_n), членами якої є натуральні числа, кратні числу 3. Для цієї послідовності вкажіть:

(a_n): 3; 6; 9; 12;…

1) a₁ = 3; 2) a₇ = 21; 3) a₁₀₀ = 300; 4) a_n = 3n.

582. Запишіть кілька перших членів послідовності (bn), членами якої є натуральні числа, кратні числу 5. Для цієї послідовності вкажіть:

(bn): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; …

1) b₁₀ = 50; 2) b_n = 5n.

583. Послідовність задано формулою х_n = 7n – 2. Чи є членом

цієї послідовності число:

x_n = 7n – 2.

1) xn = 33;7n – 2 = 33;7n = 33 + 2;7n = 35;n = 5.

2) xn = 75;7n – 2 = 75;7n = 75 + 2;7n = 77;n = 11.

3) xn = 107;7n – 2 = 107;7n = 107 + 2;7n = 109;n = 1547.

4) xn = 131;7n – 2 = 131;7n = 131 + 2;7n = 133;n = 19.

Відповідь: 1) так, n = 5; 2) так, n = 11; 3) ні; 4) так, n = 19.

584. Послідовність задано формулою у_n = 10 + 4n. Чи є членом

цієї послідовності число:

y_n = 10 + 4n.

1) yn = 50;10 + 4n = 50;4n = 50 – 10;4n = 40;n = 10.

2) yn = 100;10 + 4n = 100;4n = 100 – 10;4n = 90;n = 22,5.

Відповідь: 1) так, n = 10; 2) ні.

586. Послідовність задано формулою. Знайдіть n, якщо:

c_n = (n + 5)(n – 2).

1) cn = 260;(n + 5)(n – 2) = 260; n2 – 2n + 5n – 10 – 260 = 0;n2 + 3n – 270 = 0; n1 = 15; n2 = –18 – не задовольняє ум.

2) cn = 638;(n + 5)(n – 2) = 638; n2 – 2n + 5n – 10 – 638 = 0;n2 + 3n – 648 = 0; n1 = 24; n2 = –27 – не задовольняє ум.

Відповідь: 1) 15; 2) 24.

587. Послідовність задано формулою. Знайдіть n, якщо:

d_n = (n – 3)(n + 2).

d_n = 594;

(n – 3)(n + 2) = 594;

n² + 2n – 3n – 6 – 594 = 0;

n² – n – 600 = 0;

n₁ = 25;

n₂ = –24 – не задовольняє умову.

Відповідь: 25.

588. Перевірте, чи є дані членами послідовності:

1) числа 6 і 1, послідовність a_n: a_n = n2+11n+1;

an = 6.n2+11n+1 = 6;n2+11n+1 – 6 = 0;ОДЗ: n ≠ –1;n2+11-6(n+1)n+1 = 0;n2 + 11 – 6n – 6 = 0;n2 – 6n + 5 = 0; n1 = 1; n2 = 5.так.

an = 1.n2+11n+1 = 1;n2+11n+1 – 1 = 0;ОДЗ: n ≠ –1; n2+11-n-1n+1 = 0;n2 + 11 – n – 1 = 0; n2 – n + 10 = 0;D = (–1)2 – 4 • 1 • 10 < 0;n ∈ ∅;ні.

2) числа 5 і 2, послідовність b_n: b_n = 24- n2n

bn = 5.24- n2n = 5;24- n2n – 5 = 0;ОДЗ: n ≠ 0;24- n2-5nn = 0;n2 + 5n – 24 = 0; n1 = 3; n2 = –8 – не задовольняє ум.так.

bn = 2.24- n2n = 2;24- n2n – 2 = 0;ОДЗ: n ≠ 0; 24- n2-2nn = 0;n2 + 2n – 24 = 0; n = 4; n = –6 – не задовольняє ум.так.

589. Послідовність (c_n) задано рекурентною формулою. Знайдіть с₅.

c_n+2 = 2c_n + c_n+1, c₁ = 1, c₂ = –5.

c₅ – ?

c₃ = 2c₁ + c₂ = 2 • 1 – 5 = –3;

c₄ = 2c₂ + c₃ = 2 • (–5) – 3 = –13;

c₅ = 2с₃ + c₄ = 2 • (–3) – 13 = –19.

Відповідь: –19.

590. Знайдіть 4–й, 5–й і 6–й члени послідовності (a_n), якщо:

1) (a_n) = n², якщо a – непарне;

5, якщо a – парне.

a₄ = 5; a₅ = 5² = 25; а₆ = 5.

2) (a_n) = 2n + 1, якщо a – непарне;

2n – 1, якщо a – парне.

a₄ = 2 • 4 – 1 = 7; a₅ = 2 • 5 + 1 = 11; а₆ = 2 • 6 – 1 = 11.

Відповідь: 1) 5; 25; 5. 2) 7; 11; 11.

591. Послідовність задано формулою b_n = –3n + 5. Запишіть

(n + 1)–й, (n – 2)–й і (n + 4)–й члени цієї послідовності.

b_n = –3n + 5.

b_{n + 1} = –3(n + 1) + 5 = –3n – 3 + 5 = –3n + 2;

b_{n – 2} = –3(n – 2) + 5 = –3n + 6 + 5 = –3n + 11;

b_{n + 4} = –3(n + 4) + 5 = –3n – 12 + 5 = –3n – 7.

592. Для перевірки логічного аспекту мислення використовують завдання на числові послідовності. Знайдіть закономірність і продовжіть ряд чисел, написавши два наступні члени цієї послідовності.

1) 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; …

2) 5; 10; 20; 40; 60; 80; …

3) 21; 19; 17; 15; 13; 11;…

4) 16; 25; 36; 49; 64; 81;…

5) 2; 5; 11; 23; 47; 95; 191; 383; …

593. Чи правильно Дарина сформулювала означення: «Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої дорівнює попередньому члену, доданому з одним і тим самим числом»?

Відповідь: так.

594. Чи правильно, що для задання арифметичної прогресії

достатньо знати: 1) два послідовні члени прогресії; 2) два перші члени прогресії?

Відповідь: 1) ні; 2) так.

595. Чи правильно, що арифметична прогресія може мати:1) скінченну кількість членів; 2) нескінченну кількість членів? Наведіть приклади.

1) (a_n): 2; 4; 6; 8; 10.

2) (a_n): 50; 45; 40; 35; 30;…

596. Виберіть формулу для знаходження n–го члена арифметичної прогресії.

3) a_n = a₁ + (n – 1)d.

597. Виберіть формулу для знаходження суми n перших членів арифметичної прогресії через a₁ й a_n.

4) S_n = a1+an2 • n.

598. Виберіть формулу для знаходження суми n перших членів арифметичної прогресії через a₁ і d.

4) S_n = 2a1+(n-1)d2 • n.

599. Чи є арифметичною прогресією послідовність. Для арифметичної прогресії назвіть її перший член і різницю.

1) 3; 6; 9;…

a₁ = 3; d = a₂ – a₁ = 6 – 3 = 3.

Відповідь: так 3 і 3.

2) 4; 8; 16; …

Відповідь: ні

3) –12; 0; 12;…

a₁ = –12; d = a₂ – a₁ = 0 + 12 = 12.

Відповідь: так –12 і 12.

4) 50; 45; 40; …

a₁ = 50; d = a₂ – a₁ = 45 – 50 = –5.

Відповідь: так 50 і –5.

600. Запишіть перші п’ять членів арифметичної прогресії (а_n), якщо:

1) a1 = 5; d = 8.a2 = 5 + 8 = 13;a3 = 13 + 8 = 21;a4 = 21 + 8 = 29;a5 = 29 + 8 = 37;(an): 5; 13; 21; 29; 37,…	2) a1 = 10; d = –7.a2 = 10 – 7 = 3;a3 = 3 – 7 = –4;a4 = –4 – 7 = –11;a5 = –11 – 7 = –18;(an): 10; 3; –4; –11; –18;…
3) a1 = 0,2; d = 5.a2 = 0,2 + 5 = 5,2;a3 = 5,2 + 5 = 10,2;a4 = 10,2 + 5 = 15,2;a5 = 15,2 + 5 = 20,2;(an): 0,2; 5,2; 10,2; 15,2; 20,2,…	4) a1 = 4,5; d = –2.a2 = 4,5 – 2 = 2,5;a3 = 2,5 – 2 = 0,5;a4 = 0,5 – 2 = –1,5;a5 = –1,5 – 2 = –3,5;(an): 4,5; 2,5; 0,5; –1,5; –3,5
5) a1 = –1,5; d = –0,4.a2 = –1,5 – 0,4 = –1,9;a3 = –1,9 – 0,4 = –2,3;a4 = –2,3 – 0,4 = –2,7;a5 = –2,7 – 0,4 = –3,1;(an): –1,5; –1,9; –2,3; –2,7; –3,1.	6) a1 = 57; d = –314.a2 = 57 – 314 = 1014 – 314 = 12;a3 = 12 – 314 = 714 – 314 = 27;a4 = 27 – 314 = 414 – 314 = 114;a5 = 114 – 314 = –214 = –17;(an): 57; 12; 27; 114; –17.

601. Запишіть перші п’ять членів арифметичної прогресії (а_n), якщо:

1) a1 = 12; d = 8.a2 = 12 + 8 = 20;a3 = 20 + 8 = 28;a4 = 28 + 8 = 36;a5 = 37 + 8 = 44;(an): 12; 20; 28; 36; 44,…	2) a1 = –5; d = 15.a2 = –5 + 15 = 10;a3 = 10 + 15 = 25;a4 = 25 + 15 = 40;a5 = 40 + 15 = 55;(an): –5; 10; 25; 40; 55;…
3) a1 = 7,5; d = –2,5.a2 = 7,5 – 2,5 = 5;a3 = 5 – 2,5 = 2,5;a4 = 2,5 – 2,5 = 0;a5 = 0 – 2,5 = –2,5;(an): 7,5; 5; 2,5; 0; –2,5,…	4) a1 = 56; d = 112.a2 = 56 + 112 = 1012 + 112 = 1112;a3 = 1112 + 112 = 1212 = 1;a4 = 1 + 112 = 1112;a5 = 1112 + 112 = 1212 = 116;(an): 56; 1112; 1; 1112; 116,…

602. Послідовність (b_n) — арифметична прогресія, перший член якої дорівнює b₁, а різниця — d. Виразіть через b₁ і d:

1) b₁₂ = b₁ + 11d; 4) b₃₀₁ = b₁ + 300d;

2) b₂₅ = b₁ + 24d; 5) b_k = b₁ + (k – 1)d;

3) b₁₀₃ = b₁ + 102d; 6) b_{k + 2} = b₁ + (k + 1)d.

603. Послідовність (c_n) — арифметична прогресія, перший член якої дорівнює c₁, а різниця — d. Виразіть через c₁ і d:

1) c₁₇ = c₁ + 16d; 3) c₂₂₅ = c₁ + 224d;

2) c₅₁ = c₁ + 50d; 4) c_k–3 = c₁ + (k – 4)d.

604. Послідовність (а_n) — арифметична прогресія. Знайдіть:

1) a₁ = 15; d = 6;

а₁₁ = 15 + 10d = 15 + 10 • 6 = 75 .

2) a₁ = –8; d = 12;

а₃₆ = –8 + 35d = –8 + 35 • 12 = 412.

3) a₁ = 3,4; d = 1,6;

а₅₁ = 3,4 + 50d = 3,4 + 50 • 1,6 = 83,4.

4) a₁ = –2,1; d = –1,5;

а₁₀₁ = –2,1 + 100d = –2,1 + 100 • (–1,5) = –152,1.

5) a₁ = –10; d = 25;

a₂₅ = –10 + 24d = –10 + 24 • 25 = –0,4.

6) a₁ = –5,4; d = –316;

a₂₅₇ = –5,4 + 256d = –5,4 + 256 • (–316) = –53,4.

605. Послідовність (b_n) — арифметична прогресія. Знайдіть:

1) b₁ = 9; d = 22;

b₁₆ = b₁ + 15d = 9 + 15 • 22 = 339.

2) b₁ = –24; d = 8;

b₁₀₆ = b₁ + 105d = –24 + 105 • 7 = 816.

3) b₁ = 12; d = –0,5;

b₇₅ = b₁ + 74d = 12 + 74 • (–0,5) = –25.

4) b₁ = –20; d = –56;

b₁₂₅ = b₁ + 124d = –20 + 124 • (–56) = –12313.

606. Знайдіть 48–й і n–й члени арифметичної прогресії.

1) (a_n): 18; 27; …

a₁ = 18; d = 27 – 18 = 9;

a₄₈ = a₁ + 47d = 18 + 47 • 9 = 441;

a_n = a₁ + (n – 1)d = 18 + (n – 1) • 9 = 18 + 9n – 9 = 9n + 9.

2) (b_n): 5,4; 7; …

b₁ = 5,4; d = 7 – 5,4 = 1,6;

b₄₈ = b₁ + 47d = 5,4 + 47 • 1,6 = 80,6;

b_n = b₁ + (n – 1)d = 5,4 + (n – 1) • 1,6 = 5,4 + 1,6n – 1,6 = 1,6n + 3,8.

3) (c_n): –215; 615;…

c₁ = –215; d = 615 + 215 = 815;

c₄₈ = c₁ + 47d = –215 + 47 • 815 = –215 + 37615 = 37415 = 241415;

c_n = c₁ + (n – 1)d = –215 + (n – 1) 815 = –215 + 815n – 815 = n – 23.

4) (m_n): –15,2; –10,1;…

m₁ = –15,2; –10,1;…

m₁ = –15,2; d = –10,1 + 15,2 = 5,1;

m₄₈ = m₁ + 47d = –15,2 + 47 • 5,1 = 224,5;

m_n = m₁ + (n – 1)d = –15,2 + (n – 1)• 5,1 = –15,2 + 5,1n – 5, = 5,1n – 20,3.

607. Знайдіть 31–й і n–й члени арифметичної прогресії.

1) (a_n): –6; 12; …

a₁ = –6; d = 12 + 6 = 18;

a₃₁ = a₁ + 30d = –6 + 30 • 18 = 534;

a_n = a₁ + (n – 1)d = –6 + (n – 1) • 18 = –6 + 18n – 18 = 18n – 24.

2) (b_n): 5; 25;…

a₁ = 5; d = 2,5 – 5 = –2,5;

a₃₁ = a₁ + 30d = 5 + 30 • (–2,5) = –70;

a_n = a₁ + (n – 1)d = 5 + (n – 1) • (–2,5) = 5 – 2,5n + 2,5 = –2,5n + 7,5.

608. Знайдіть перший член арифметичної прогресії (b_n), якщо.

1) b₁₆ = 5; d = –3.

b₁ – ?

b₁₆ = b₁ + 15d;

b₁ = b₁₆ – 15d = 5 – 15 • (–3) = 50.

2) b₂₉ = 490; d = 18.

b₁ – ?

b₂₉ = b₁ + 28d;

b₁ = b₂₉ – 28d = 490 – 28 • 18 = –14.

3) b₁₃ = 1; d = –14.

b₁₃ = b₁ + 12d;

b₁ = b₁₃ – 12d = 1 – 12 • (–14) = 1 + 3 = 4.

4) b₄₃ = –10; d = –0,2.

b₄₃ = b₁ + 42d;

b₁ = b₄₃ – 42d = –10 – 42 • (–0,2) = –1,6.

609. Знайдіть перший член арифметичної прогресії (а_n), якщо:

1) a₁₁ = 110; d = –10.

a₁ – ?

a₁₁ = a₁ + 10d;

a₁ = a₁₁ – 10d = 110 – 10 • (–10) = 210.

2) a₄₉ = 49; d = –0,5.

a₁ – ?

a₄₉ = a₁ + 48d;

a₁ = a₄₉ – 48d = 49 – 48 • (–0,5) = 73.

610. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (а_n), якщо:

1) a1 = 7; a16 = 67.d – ?a16 = a1 + 15d;15d = a16 – a1;d = a16- a115 = 67-715 = 4.	2) a1 = –4; a9 = 0.d – ?a9 = a1 + 8d;8d = a9 – a1;d = a9- a18 = 0+48 = 12.
3) a1 = 0,5; a7 = 6,5.a7 = a1 + 6d;6d = a7 – a1;d = a7- a16 = 6,5-0,56 = 1.	4) a1 = –10; a31 = –20;d – ?a31 = a1 + 30d;30d = a31 – a1;d = a31- a130 = -20+1030 = –13.

611. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (b_n), якщо:

1) b1 = 3; b25 = 45.d – ?b25 = b1 + 24d;24d = b25 – b1;d = b25- b124 = 45-324 = 134.

2) b1 = –14; b17 = –9,2.d – ?b17 = b1 + 16d;16d = b17 – b1;d = b12- b116 = -9,2+1416 = 0,3.

612. Послідовність (а_n) — арифметична прогресія. Знайдіть a₁ і d, якщо:

1) a5 = 15; a7 = 27. a1 – ? d – ? a5 = a1 + 4d; a7 = a1 + 6d; a1 + 4d = 15 | • (–1); a1 + 6d = 27;+ –a1 – 4d = –15; a1 + 6d = 27; 2d = 13; a1 = 15 – 4d; d = 6; a1 = 15 – 4 • 6; d = 6; a1 = –9.Відповідь: –9 і 6.3) a2 = –7; a7 = 18. a1 – ? d – ? a2 = a1 + d; a7 = a1 + 6d; a1 + d = –7 | • (–1); a1 + 6d = 18;+ –a1 – d = 7; a1 + 6d = 18; 5d = 25; a1 = –7 – d; d = 5; a1 = –7 – 5; d = 5; a1 = –12.Відповідь: –12 і 5.

2) a11 = –15; a13 = –7. a1 – ? d – ? a11 = a1 + 10d; a13 = a1 + 12d; a1 + 10d = –15 | • (–1); a1 + 12d = –7;+ –a1 – 10d = 15; a1 + 12d = –7; 2d = 8; a1 = –15 – 10d; d = 4; a1 = –15 – 10 • 4; d = 4; a1 = –55.Відповідь: –55 і 4.4) a4 = 14; a9 = 1. a1 – ? d – ? a4 = a1 + 3d; a9 = a1 + 8d; a1 + 3d = 14 | • (–1); a1 + 8d = 1;+ –a1 – 3d = –14; a1 + 8d = 1; 5d = –13; a1 = 14 – 3d; d = –2,6; a1 = 14 – 3 • (–2,6); d = –2,6; a1 = 21,8.Відповідь: 21,8 і –2,6.

613. Послідовність (b_n) — арифметична прогресія. Знайдіть b₁ і d, якщо:

1) b3 = 32 i b5 = 44. b1 – ? d – ? b3 = b1 + 2d; b5 = b1 + 4d; b1 + 2d = 32 | • (–1); b1 + 4d = 44;+ –b1 – 2d = –32; b1 + 4d = 44; 2d = 12; b1 = 32 – 2d; d = 6; b1 = 32 – 2 • 6; d = 6; b1 = 20.

2) b4 = –16; b7 = 8. b1 – ? d – ? b4 = b1 + 3d; b7 = b1 + 6d; b1 + 3d = –16 | • (–1); b1 + 6d = 8;+ –b1 – 3d = 16; b1 + 6d = 8; 3d = 24; b1 = –16 – 3d; d = 8; b1 = –16 – 3 • 8; d = 8; b1 = –4.

Відповідь: 20 і 6. Відповідь: –40 і 8.

614. Знайдіть суму п’ятдесяти перших членів арифметичної прогресії (а_n), якщо:

1) a₁ = 20; a₅₀ = 200.

S₅₀ – ?

S₅₀ = a1+ a502 • 50 = 20+2002 • 50 = 5500.

2) a₁ = –45,2; a₅₀ = –8,8.

S₅₀ – ?

S₅₀ = a1+ a502 • 50 = -45,2-8,82 • 50 = –1350.

615. Знайдіть суму сорока перших членів арифметичної прогресії (а_n), якщо a₁ = 45 і a₄₀ = –15.

a₁ = 45; a₄₀ = –15.

S₄₀ – ?

S₄₀ = a1+ a402 • 40 = 45-152 • 40 = 600.

616. Знайдіть суму вісімнадцяти перших членів арифметичної прогресії (b_n), якщо:

1) (b_n): 38; 35; 32; …

S₁₈ – ?

a₁ = 38; d = 35 – 38 = –3;

S₁₈ = 2a1+ 17d2 • 18 = 2 •38+17 •(-3)2 • 18 = 225.

2) (b_n): –16; –10; –4; …

S₁₈ – ?

a₁ = –16; d = –10 + 16 = 6;

S₁₈ = 2a1+ 17d2 • 18 = 2 •(-16)+17 •62 • 18 = 630.

617. Знайдіть суму п’ятнадцяти перших членів арифметичної прогресії (а_n), якщо (а_n): 10; 13; 16; … .

(a_n): 10; 13; 16;…

S₁₅ – ?

a₁ = 10; d = 13 – 10 = 3;

S₁₅ = 2a1+ 14d2 • 15 = 2 •10+14 •32 • 15 = 465.

618. З’ясуйте, чи є членом арифметичної прогресії (а_n): –20, –9,

2, … число:

(a_n): –20; –9; 2; …

1) 101 – ?a1 = –20; d = –9 + 20 = 11;an = a1 + (n – 1)d;–20 + (n – 1) • 11 = 101;–20 + 11n – 11 = 101;11n = 101 + 31;11n = 132;n = 12.a12 = 101.Відповідь: так.

2) 144 – ?a1 = –20; d = 11;an = a1 + (n – 1)d;–20 + (n – 1) • 11 = 144;–20 + 11n – 11 = 144;11n = 144 + 31;11n = 175;n = 15,9.Відповідь: ні.

619. З’ясуйте, чи є членом арифметичної прогресії (bn): 44, 38,

32, … число:

(b_n): 44; 38; 32;…

1) –22 – ?b1 = 44; d = 38 – 44 = –6;bn = b1 + (n – 1) • d;44 + (n – 1) • (–6) = –22;44 – 6n + 6 = –22;–6n = –22 – 50;–6n = –72;n = 12;b12 = –22.Відповідь: так.

2) –42 – ?b1 = 44; d = –6;bn = b1 + (n – 1) • d;44 + (n – 1) • (–6) = –42;44 – 6n + 6 = –42;–6n = –42 – 50;–6n = –92;n = 1313.Відповідь: ні.

620. Скільки додатних членів має арифметична прогресія:

1) (b_n): 4,4; 4,2; 4;…

b_n > 0, n – ?

b₁ = 4,4; d = 4,2 – 4,4 = –0,2;

b_n = b₁ + (n – 1)d;

b₁ + (n – 1)d > 0;

4,4 + (n – 1) • (–0,2) > 0;

4,4 – 0,2n + 0,2 > 0;

–0,2n > – 4,6 |: (–0,2);

n < 23; n = 22.

Відповідь: 22.

2) (a_n): 2014; 1934; 1914;…

a_n > 0, n – ?

a₁ = 2014; d = 1934 – 2014 = 1954 = –24 = –12;

a_n = a₁ + (n – 1)d;

a₁ + (n – 1)d > 0;

2014 + (n – 1) • (–12) > 0;

2014 – 12n + 12 > 0;

–12n > –2034 |: (–12);

n < 4112; n = 41.

Відповідь: 41.

621. Скільки від’ємних членів має арифметична прогресія:

1) (a_n): –38; –36; –34; …

a_n < 0, n – ?

a₁ = –38; d = –36 + 38 = 2.

a_n = a₁ + (n – 1)d;

a₁ + (n – 1)d < 0;

–38 + (n – 1) • 2 < 0;

–38 + 2n – 2 < 0;

2n < 40;

n < 20, n = 19.

Відповідь: 19.

2) (b_n): –9; –812; –8; …

b_n < 0, n – ?

b₁ = –9; d = –812 + 9 = 12;

b_n = b₁ + (n – 1)d;

b₁ + (n – 10)d < 0;

–9 + (n – 1) • 12 < 0;

–9 + 12n – 12 < 0;

12n < 912;

n < 19, n = 18.

Відповідь: 18.

622. Між числами 12 і 36 уставте три такі числа, щоб вони разом

з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

Нехай а₂, а₃, а₄ – шукані числа.

(a_n): 12; a2; a3; a4; 36;

a₁ = 12; a₅ = 36;

a₅ = a₁ + 4d;

12 + 4d = 36;

4d = 24;

d = 6.

a₂ = 12 + 6 = 18;

a₃ = 18 + 6 = 24;

a₄ = 24 + 6 = 30.

Відповідь: 18; 24; 30.

623. Між числами –45 і 9 уставте сім таких чисел, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

Нехай a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈ – шукані числа.

(a_n): –45; a₂; a₃; a₄; a₅; a₆; a₇; a₈; 9.

a₁ = –45; a₉ = 9;

a₉ = a₁ + 8d;

–45 + 8d = 9;

8d = 56;

d = 7.

a₂ = –45 + 7 = –38;

a3 = –38 + 7 = –31;a4 = –31 + 7 = –24;a5 = –24 + 7 = –17;

a6 = –17 + 7 = –10;a7 = –10 + 7 = –3;a8 = –3 + 7 = 4.

Відповідь: –38; –31; –24; –17; –10; –3; 4.

624. Між числами 2 і 42 вставте чотири такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

Нехай a₂, a₃, a₄, a₅ – шукані числа.

(a_n): 2; a₂; a₃; a₄; a₅; 42.

a₁ = 2; a₆ = 42.

a₆ = a₁ + 5d;

2 + 5d = 42;

5d = 40;

d = 8.

a2 = 2 + 8 = 10;a3 = 10 + 8 = 18;

a4 = 18 + 8 = 26;a5 = 26 + 8 = 34.

Відповідь: 10; 18; 26; 34.

625. Знайдіть перший член b₁ і різницю d арифметичної прогресії (b_n), якщо:

1) b₁ + b₇ = 42; b₁ + b₁ + 6d = 42;

b₁₀ – b₃ = 21; b₁ + 9d – b₁ – 2d = 21;

2b₁ + 6d = 42; d = 3; d = 3;

7d = 21; b₁ = 21 – 3d; b₁ = 12.

Відповідь: b₁ = 12; d = 3.

2) b₁ + b₆ = 10; b₁ + b₁ + 5d = 10;

b₂ • b₈ = –23; (b₁ + d) • (b₁ + 7d) = –23;

2b₁ + 5d = 10 | :2; b₁ = 5 – 2,5d;

b₁² + b₁d + 7b₁d + 7d² = –23; b₁² + 8b₁d + 7d² = –23;

(5 – 2,5d)² + 8(5 – 2,5d)d + 7d² + 23 = 0;

25 – 25d + 6,25d² + 40d – 20d² + 7d² + 23 = 0;

–6,75d² + 15d + 48 = 0;

D = 15² – 4 • (–6,75) • 48 = 225 + 1296 = 1521 = 39²;

d₁ = -15-39-13,5 = -54-13,5 = 4;

d₂ = -15+39-13,5 = 24-13,5 = –79;

d = 4; b1 = 5 – 2,5 • 4;	d = –179;b1 = 5 – 2510 • 169;
d = 4; b1 = –5;	d = –179; b1 = 59.

Відповідь: b₁ = –5; d = 4 або b₁ = 59, d = –179.

626. Знайдіть перший член a₁ та різницю d арифметичної прогресії (а_n), якщо.

a₇ – a₃ = 8; a₁ + 6d – a₁ – 2d = 8;

a₂ • a₇ = 75; (a₁ + d)(a₁ + 6d) = 75;

4d = 8; d = 2;

a₁² + a₁d + 6a₁d + 6d² = 75; a₁² + 7a₁d + 6d² = 75.

a₁² + 7a₁ • 2 + 6 • 4 = 75;

a₁² + 14a₁ – 51 = 0;

a = –17;

a = 3.

Відповідь: a₁ = –17; d = 2 або a₁ = 3; d = 2.

627. Знайдіть суму n перших членів арифметичної прогресії (а_n), якщо:

1) a₁ = 1; a_n = 20; n = 50; S_n – ?

S₅₀ = a1+ a502 • 50 = 1+202 • 50 = 525.

Відповідь: 525.

2) a₁ = –1; a_n = –40; n = 20; S_n – ?

S₂₀ = a1+ a202 • 20 = -1-402 • 20 = –410.

Відповідь: –410.

3) a₁ = 0,5; a_n = 25,5; n = 11; S_n – ?

S₁₁ = a1+ a112 • 11 = 0,5+25,52 • 11 = 143.

Відповідь: 143.

4) a₁ = –38; a_n = –10; n = 15; S_n – ?

S₁₅ = a1+ a152 • 15 = -38-102 • 15 = –360.

Відповідь: –360.

628. Знайдіть суму n перших членів арифметичної прогресії (b_n), якщо:

1) b₁ = 0; b_n = 5; n = 11; S₁₁ – ?

S₁₁ = b1+ b112 • 11 = 0+52 • 11 = 27,5.

Відповідь: 27,5.

2) b₁ = –2; b_n = –60; n = 10; S₁₀ – ?

S₁₀ = b1+ b102 • 10 = -2-602 • 10 = –310.

Відповідь: –310.

629. Знайдіть суму n перших членів арифметичної прогресії (b_n):

1) (b_n): 9; 13; 17; …; S₁₁ – ?

b₁ = 9; d = 13 – 9 = 4;

S₁₁ = 2b1+ 10d2 • 11 = 2 •9+10 •42 • 11 = 319.

Відповідь: 319.

2) (b_n): –3; 4; 11; …; S₁₃ – ?

b₁ = –3; d = 4 + 3 = 7;

S₁₃ = 2b1+ 12d2 • 13 = 2 •(-3)+12 •72 • 13 = 507.

Відповідь: 507.

3) (b_n): –9; –8,5; –8; …; S₂₅ – ?

b₁ = –9; d = –8,5 + 9 = 0,5;

S₂₅ = 2b1+ 24d2 • 25 = 2 •(-9)+24 •0,52 • 25 = –75.

Відповідь: –75.

4) (b_n): 13; 1; 123; …; S₃₆ – ?

b₁ = 13; d = 1 – 13 = 23;

S₃₆ = 2b1+ 35d2 • 36 = 2 •13+35 •232 • 36 = 432.

Відповідь: 432.

630. Знайдіть суму n перших членів арифметичної прогресії (а_n):

1) (a_n): 5; 9; 13; …; S₁₆ – ?

b₁ = 5; d = 9 – 5 = 4;

S₁₆ = 2a1+ 15d2 • 16 = 2 •5+15 •42 • 16 = 560.

Відповідь: 560.

2) (a_n): 12; 56; 116; …; S₃₁ – ?

a₁ = 12; d = 56 – 12 = 56 – 36 = 26 = 13;

S₃₁ = 2a1+ 30d2 • 31 = 2 •11+30 •132 • 31 = 170,5.

Відповідь: 170,5.

631. Арифметичну прогресію задано формулою n–го члена.

Знайдіть:

1) a_n = 4n + 4; S₂₀ – ?

a₁ = 4 • 1 + 5 = 9; a₂₀ = 4 • 20 + 5 = 85;

S₂₀ = a1+ a202 • 20 = 9+852 • 20 = 940.

Відповідь: 940.

2) a_n = –27n + 0,7; S₁₂ – ?

a₁ = –2,7 • 1 + 0,7 = –2;

a₁₂ = –2,7 • 12 + 0,7 = –32,4 + 0,7 = –31,7;

S₁₂ = a1+ a122 • 12 = -2-31,72 • 12 = –202,2.

Відповідь: –202,2.

632. Арифметичну прогресію задано формулою n–го члена.

Знайдіть S₂₅.

b_n = 12n – 2; S₂₅ – ?

b₁ = 12 • 1 – 2 = 10; b₂₅ = 12 • 25 – 2 = 300 – 2 = 298;

S₂₅ = b1+ b252 • 25 = 10+2982 • 25 = 3850.

Відповідь: 3850.

633. Знайдіть суму: 1) усіх натуральних чисел, що не перевищують 200; 2) усіх парних чисел, що не перевищують 500; 3) усіх натуральних чисел від 15 до 150.

1) (a_n): 2; 4; 6; …; 500.

a₁ = 2; a_n = 200; n = 200;

S₂₀₀ = a1+ an2 • 200 = 1+2002 • 200 = 20100.

Відповідь: 20100.

2) (a_n): 1; 2; 3; …; 200.

a₁ = 1; d = 4 – 2 = 2; a_n = 500; n = 250;

S₂₅₀ = a1+ an2 • 250 = 2+5002 • 250 = 62750.

Відповідь: 62750.

3) (a_n): 15; 16; 17; …; 150.

a₁ = 15; a_n = 150; n = 150 – 15 + 1 = 136;

S₁₃₆ = a1+ a1362 • 136 = 15+1502 • 136 = 11220.

Відповідь: 11220.

634. Знайдіть суму: 1) усіх натуральних чисел, що не перевищують 180; 2) усіх натуральних чисел від 20 до 120.

1) (a_n): 1; 2; 3; …; 180.

a₁ = 1; a_n = 180; n = 180;

S₁₈₀ = a1+ a22 • 180 = 1+1802 • 180 = 16290.

Відповідь: 16290.

2) (a_n): 20; 21; 22; …; 120.

a₁ = 20; a_n = 120; n = 120 – 20 + 1 = 101;

S₁₀₁ = a1+ an2 • 101 = 20+1202 • 101 = 7070.

Відповідь: 7070.

635. Послідовність (а_n) — арифметична прогресія. Знайдіть a₁ і d, якщо:

1) a₇ = 21; S₇ = 315; a₁ – ?, d – ?

a₇ = a₁ + 6d; S₇ = 2a1+ 6d2 • 7 = (a₁ + 3d) • 7.

a₁ + 6d = 21; _ a₁ + 6d = 21;

(a₁ + 3d) • 7 = 315; a₁ + 3d = 45.

3d = –24;

d = –8.

a₁ = 21 – 6d = 21 + 48 = 69.

Відповідь: a₁ = 69; d = –8.

2) a₁₁ = 131; S₁₁ = 1221; a₁ – ?, d – ?

a₁₁ = a₁ + 10d; S₁₁ = 2a1+ 10d2 • 11 = (2a₁ + 10d) • 5,5.

a₁ + 10d = 131; _ a₁ + 10d = 131;

(2a₁ + 10d) • 5,5 = 1221; 2a₁ + 10d = 222.

–a₁ = –91;

a₁ = 91;

d = 131-a1 10 = 131-9110 = 4010 = 4.

Відповідь: a₁ = 91; d = 4.

636. Послідовність (b_n) — арифметична прогресія. Знайдіть b₁ і d, якщо:

b₈ = –7; S₈ = 28; b₁ – ?, d – ?

b₈ = b₁ + 7d; S₈ = 2b1+ 7d2 • 8 = (2b₁ + 7d) • 4.

b₁ + 7d = –7; _ b₁ + 7d = –7;

(2b₁ + 7d) • 4 = 28; 2b₁ + 7d = 7.

–b₁ = –14;

b₁ = 14.

d = -7-b1 7 = -7-147 = –3.

Відповідь: b₁ = 14; d = –3.

637. Послідовність (а_n) — арифметична прогресія. Знайдіть a₁ і d, якщо:

1) S₄ = 32; S₆ = 60; a₁ = ?, d – ?

S₄ = 2a1+ 3d2 • 4 = (2a₁ + 3d) • 2;

S₆ = 2a1+ 5d2 • 6 = (2a₁ + 5d) • 3;

(2a₁ + 3d) • 2 = 32; _ 2a₁ + 3d = 16;

(2a₁ + 5d) • 3 = 60; 2a₁ + 5d = 20.

–2d = –4;

d = 2.

a₁ = 20-5d2 = 20-102 = 102 = 5.

Відповідь: a₁ = 5; d = 2.

2) S₅ = 45; S₁₂ = –18; a₁ = ?, d – ?

S₅ = 2a1+ 4d2 • 5 = (2a₁ + 4d) • 2,5;

S₁₂ = 2a1+ 11d2 • 12 = (2a₁ + 11d) • 6.

(2a₁ + 4d) • 2,5 = 45; _ 2a₁ + 4d = 18;

(2a₁ + 11d) • 6 = –18; 2a₁ + 11d = –3;

–7d = 21;

d = –3.

a₁ = 18-4d2 = 18-4•(-3)2 = 18+122 = 302 = 15.

Відповідь: a₁ = 15; d = –3.

638. Послідовність (b_n) — арифметична прогресія. Знайдіть b₁ і d, якщо:

S₅ = 65; S₁₀ = 380; b₁ = ?, d – ?

S₅ = 2b1+ 4d2 • 5 = (b₁ + 2d) • 5;

S₁₀ = 2b1+ 9d2 • 10 = (2b₁ + 9d) • 5;

(b₁ + 2d) • 5 = 65; b₁ + 2d = 13 |• (–2); + –2b₁ – 4d = –26;

(2b₁ + 9d) • 5 = 380; 2b + 9d = 76; 2b₁ + 9d = 76.

5d = 50;

d = 10.

b₁ = 13 – 2d = 13 – 2 • 10 = 13 – 20 = –7.

Відповідь: b₁ = –7; d = 10.

639. Сума чотирьох перших членів арифметичної прогресії дорівнює 56, а сума чотирьох наступних — 120. Знайдіть перший член і різницю цієї прогресії.

S₄ = 56; S_5–8 = 120;

a₁ = ? d – ?

S₄ = 2a1+ 3d2 • 4 = (2a₁ + 3d) • 2 = 4a₁ + 6d;

S₈ = 2a1+ 7d2 • 8 = (2a₁ + 7d) • 4 = 8a₁ + 28d;

S_5–8 = S₈ – S₄ = 8a₁ + 28d – 4a₁ – 6d = 4a₁ + 22d.

4a₁ + 6d = 56 | : (–2); + –2a₁ – 3d = –28;

4a₁ + 22d = 120 |: 2; 2a₁ + 11d = 60;

8d = 32;

d = 4.

a₁ = 28-3d2 = 28-3•42 = 28-122 = 162 = 8.

Відповідь: a₁ = 8; d = 4.

640. Три числа утворюють арифметичну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 21, а сума їх квадратів дорівнює 197. Знайдіть два наступні члени цієї прогресії.

a₁ + a₂ + a₃ = 21; а₁² + a₂² + а₃² = 197; a₄ – ?, a₅ – ?

a₁ + a₂ + a₃ = a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d = 3а₁ + 3d;

а₁² + а₂² + а₃² = а₁² + (a₁ + d)² + (a₁ + 2d)² = a₁² + а₁² + 2a₁d + d² + a₁² + 4а₁d + 4d² = 3a₁² + 6а₁d + 5d²;

3а₁ + 3d = 21 |: 3; a₁ + d = 7;

3a₁² + 6a₁d + 5d² = 197; 3а₁² + 6а₁d + 5d² – 197 = 0;

a₁ = 7 – d.

3(7 – d)² + 6(7 – d)d + 5d² – 197 = 0;

3(49 – 14d + d²) + 42d – 6d² + 5d² – 197 = 0;

147 – 42d + 3d² + 42d – 6d² + 5d² – 197 = 0;

2d² – 50 = 0;

d² = 50;

d = –5;

d = 5.

d = 5; d = –5;

a₁ = 2; a₁ = 12.

a₄ = a₁ + 3d = 17 або a₄ = a₁ + 3d = –3;

a₅ = a₁ + 4d = 22 або a₅ = a₁ + 4d = –8.

Відповідь: 17 і 22 або –3 і 8.

641. Знайдіть суму: 1) усіх натуральних чисел, кратних числу 3, що не перевищують число 360; 2) усіх непарних чисел від 35 до 350.

1) (b_n): 3; 6; 9; … 348.

b₁ = 3; b_n = 348; n = 116.

S₁₁₆ = b1+ bn2 • 116 = 3+3482 • 116 = 20358.

Відповідь: 20358.

2) (a_n): 35; 37; 39; …; 349.

a₁ = 35; d = 2 a_n = 349.

a_n = a₁ + (n – 1)d;

35 + (n – 1) • 2 = 349;

35 + 2n – 2 = 349;

2n = 316;

n = 158.

S₁₅₈ = b1+ bn2 • 158 = 35+3492 • 158 = 30336.

Відповідь: 30336.

642. В арифметичній прогресії с₂ + с₇ = 7 і с₆ + с₈ = 22. Знайдіть

с₃ + с₇.

c₂ + c₇ = 7; c₆ + c₈ = 22; c₃ + c₇ – ?

c₇ = с6+с82 = 222 = 11;

c₂ = 7 – c₇ = 7 – 11 = –4;

c₇ = c₁ + 6d; c₂ = c₁ + d.

_ c₁ + 6d = 11;

c₁ + d = –4.

5d = 15;

d = 3.

c₃ + c₇ = c₂ + d + c₇ = –4 + 3 + 11 = 10.

Відповідь: 10.

643. Розв’яжіть рівняння.

1) 2 + 6 + 10 +…+ x = 288.

a₁ = 2; d = 6 – 2 = 4.

a_n = a₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1) • 4 = 2 + 4n – 4 = 4n – 2;

x = 4n – 2;

S_n = a1+an2 • n = 2+4n-22 • n = 2n • n = 2n²;

2n² = 288;

n² = 144;

n = 12;

n = –12 – не задовольняє умову.

x = 4 • 12 – 2 = 46.

Відповідь: 46.

2) 5 + 12 + 19 + y = 2225;

a₁ = 5; d = 12 – 5 = 7;

a_n = a₁ + (n – 1)d = 5 + (n – 1) • 7 = 5 + 7n – 7 = 7n – 2;

y = 7n – 2.

S_n = a1+an2 • n = 5+ 7n-22 • n = 7n+32 • n;

(7n+3)n2 = 2225 |• 2;

7n² + 3n – 4450 = 0;

D = 3² – 4 • 7 • (–4450) = 9 + 124 600 = 124 609 = 353²;

n₁ = -3-35314 = -35614 < 0 – не задовольняє умову;

n₂ = -3+35314 = 35014 = 25;

y = 7 • 25 – 2 = 173.

Відповідь: 173.

3) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + …+ (x + 28) = 155;

a₁ = x + 1; d = x + 4 – x – 1 = 3; a_n = x + 28;

a_n = a₁ + (n – 1)d;

x + 1 + (n – 1) • 3 = x + 28;

1 + 3n – 3 = 28;

3n = 30;

n = 10.

S₁₀ = a1+an2 • 10 = x+1+x+282 • 10 = (2x + 29) • 5;

(2x + 29) • 5 = 155;

2x + 29 = 31;

2x = 2;

x = 1.

Відповідь: 1.

4) (y + 248) + (y + 243) + (y + 238) +…+ (y + 3) = 6225;

a₁ = y + 248; d = y + 243 – y – 248 = –5; a_n = y + 3;

a_n = a1 + (n – 1) • (–5) = y + 3;

248 – 5n + 5 = 3;

–5n = 3 – 253;

–5n = –250;

n = 50.

S₅₀ = a1+an2 • 50 = y+248+ y+32 • 50 = (2y + 251) • 25;

(2y + 251) • 25 = 6225;

2y + 251 = 249;

2y = –2;

y = –1.

Відповідь: –1.

644. Доведіть, що суми пар членів арифметичної прогресії рівні, якщо рівні суми їхніх номерів.

Довести: a_x + a_y = a_t + a_p, якщо x + y = t + p.

Доведення

Припустимо, що a_x + a_y = a_t + a_p;

a₁ + (x – 1)d + a₁ + (y – 1)d = a₁ + (t – 1)d + a₁ + (p – 1)d;

2a₁ + xd + yd – 2d = 2a₁ + td + pd – 2d;

xd + yd = td + pd;

d(x + y) = d(t + p) : d;

x + y = m + n.

647. Чи правильно Петро сформулював означення: «Геометричною прогресією називається послідовність, кожний член якої дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число»?

Так

648. Чи правильно, що для задання геометричної прогресії

достатньо знати: 1) два послідовні члени прогресії; 2) два перші члени прогресії?

1) так.

2) так.

649. Чи правильно, що геометрична прогресія може мати: 1) скінченну кількість членів; 2) нескінченну кількість членів?

Наведіть приклади.

1) так, приклад b_n = 2; 4; 8; 16; b₁ = 2; b₄ = 16, n = 4 дана прогресія має чотири члена.

2) так, 3; 6; 18,… , b₁ = 3, b_n = 3n.

650. Виберіть формулу для знаходження n–го члена геометричної прогресії.

3) b_n = b₁ • q^n–1.

651. Виберіть формулу для знаходження суми n перших членів геометричної прогресії через b₁ і b_n:

3) (bn)2 = bn-1 • bn+1.

652. Виберіть формулу для знаходження суми n перших членів геометричної прогресії через b₁ і q.

4) S_n = b1(qn -1)q-1.

653. Чи є геометричною прогресією послідовність.

Для геометричної прогресії назвіть її перший член і знаменник.

1) 3; 6; 12, … (так).

b₁ = 3, q = 2;

b₂ = 3 • 2 = 6;

b₃ = 6 • 2 = 12;

2) 4; 8; 12,…

b₁ = 4;

b₂ = 4 • 2 = 8;

b₃ = 8 • 2 = 16 ⇒ а у нас b₃ = 12, тому ні.

3) –12; +12; –12;…; q = 12-12 = –1;

b₁ = –12;

b₂ = –12(•1) = 12;

b₃ = –12(–1) = –12; так.

4) 48; 24; 12…

b₁ = 48; q = 2448 = 12;

b₂ = 48 • 12 = 24;

b₃ = 24 • 12 – 12; так.

655. Запишіть перші чотири члени геометричної прогресії (b_n), якщо:

1) b₁ = 5, q = 2.

b₁ = 5, b₂ = 5 • 2 = 10; b₃ = 10 • 2 = 20; b₄ = 20 • 2 = 40.

Відповідь: 5; 10; 20; 40.

2) b₁ = 10, q = –3.

b₁ = 10, b₂ = 10 • (–3) = –30; b₃ = –30 • (–3) = 90;

b₄ = 90 • (–3) = –270.

Відповідь: 10; –30; 90; –270.

3) b₁ = –12, q = –2.

b₁ = –12, b₂ = –13 • (–2) = 24; b₃ = 24 • (–2) = 48;

b₄ = 48 • (–2) = 96.

Відповідь: –12; 24; –48; 96.

4) b₁ = –4; q = 0,5.

b₁ = –4, b₂ = –4 • 0,5 = –2; b₃ = –2 • 0,5 = –1; b₄ = –1 • 0,5 = –0,5.

Відповідь: –4; –2; –1; –0,5.

5) b₁ = 20, q = 12.

b₁ = 20, b₂ = 20 • 12 = 10; b₃ = 10 • 12 = 5; b₄ = 5 • 12 = 2,5.

Відповідь: 20; 10; 5; 2,5.

6) b₁ = 3,6; q = –13.

b₁ = 3,6, b₂ = 3,6 • (–13) = –1,2; b₃ = –1,2 • (–13) = 0,4;

b₄ = 0,4 • (–13) = 410 • (–13) = –215.

Відповідь: 3,6; –1,2; 0,4; –215.

656. Запишіть перші п’ять членів геометричної прогресії (b_n), якщо:

1) b₁ = 5; q = 3.

b₁ = 5, b₂ = 5 • 3 = 15; b₃ = 15 • 3 = 45; b₄ = 45 • 3 = 135;

b₅ = 135 • 3 = 405.

Відповідь: 5; 15; 45; 135; 405.

2) b₁ = –10; q = 2.

b₁ = –10, b₂ = –10 • 2 = –20; b₃ = –20 • 2 = –40;

b₄ = –40 • 2 = –80;

b₅ = –80 • 2 = –160.

Відповідь: –10; –20; –40; –80; –160.

3) b₁ = 2,5; q = 15.

b₁ = 2,5, b₂ = 2,5 • 15 = 15; b₃ = 0,5 • 15 = 0,1; b₄ = 0,1 • 15 = 0,02;

b₅ = 0,02 • 15 = 0,004.

Відповідь: 2,5; 0,5; 0,1; 0,02; 0,004.

4) b₁ = 4,8; q = -12.

b₁ = 4,8, b₂ = 4,8 • (–12) = –2,4; b₃ = –2,4 • (–12) = 1,2;

b₄ = 1,2 • (–12) = –0,6; b₅ = –0,6 • (–12) = 0,3.

Відповідь: 4,8; –2,4; 1,2; –0,6; 0,3.

660. Послідовність (b_n) — геометрична прогресія, перший член якої дорівнює b₁, а знаменник — q. Виразіть через.

1) b₈ = b₁q⁷;

2) b₁₂ = b₁q¹;

3) b₅₂ = b₁q⁵¹;

4) b₂₀₀ = b₁q¹⁹⁹;

5) b_k = b₁q^k–1;

6) b_k12 = b₁ • q^k–(k+2) = b₁ • q^–2 – b1q2.

661. Послідовність (c_n) — геометрична прогресія, перший член якої дорівнює c₁, а знаменник — q. Виразіть через c₁ і q:

1) c₁₅ = c₁q¹⁴;

2) c₂₆ = c₁q²⁵;

3) c₁₁₁ = c₁ • q¹¹⁰;

4) c_k+1 = c₁ • q^k–(k+1) = c₁ • q^–1 = c1q.

662. Послідовність (b_n) — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) b₁ = 3; q = 10; b₄ = b₁q³ = 3 • 10³ = 3000.

2) b₁ = –4; q = 12; b₇ = –4 • (12)⁶ = -464 = –116.

3) b₁ = 1; q = –2; b₅ = 1 • (–2)⁴ = 16.

4) b₁ = –3; q = -13; b₆ = –3 • (–13)⁵ = -3-3 = 134 = 181.

5) b₁ = –14; q = –1; b₉ = –14 • (–1)⁸ = –14.

6) b₁ = 27; q = 3; b₇ = 27 • (3)⁶ = 3³ • 3³ = 27 • 27 = 729.

663. Послідовність (b_n) — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) b₁ = 32; q = 12; b₄ = 32 • (12)³ = 4.

2) b₁ = –24; q = 2; b₆ = –24 • 2⁵ = –24 • 32 = –768.

3) b₁ = 27; q = -13; b₅ = 27(–13)⁴ = 13.

4) b₁ = –20; q = 1; b₉ = –20 • 1⁸ = –20.

664. Знайдіть 6–й і n–й члени геометричної прогресії:

1) (a_n) 1; 3; … q = 31 = 3;

a₆ = a₁q⁵ = 1 • 3⁵ = 243; a_n = a₁q^n–1 = 1 • q^n–1.

2) (b_n): –5; –10,… ; b₁ = –5; q = 10-5 = 2;

b₆ = –5 • (–2)⁵ = –32 (–5) = 160; b_n = –5q^n–1.

3) (c_n): 27; –2,… ; c₁ = 27; q = –7;

c₆ = 27 • (–7)⁵ = –4802; c_n = 27q^n–1.

4) (m_n): –16; –4… ; m₁ = –16; q = -4-16 = 14;

m₆ = –16(14)⁵ = -4245 = -164; m_n = –6q^n–1.

665. Знайдіть 5–й і n–й члени геометричної прогресії:

1) (a_n): 6, 12,… ; a₁ = 6; q = 126 = 2.

a₅ = 6 • 2⁴ = 96; a_n = 6q^n–1.

2) (b_n): 44; –22,… ; b₁ = 44; q = -2244 = -12.

b₅ = 44 • (–12)⁴ = 2 •112 = 114 = 2,75; b_n = 44q^n–1.

666. Знайдіть перший член геометричної прогресії (b_n), якщо:

1) b₅ = 16; q = –2.

b₅ = b1q⁴ ⇒ b₁(–2)⁴ = 16; b₁ = 1.

2) b₇ = 1024; q = 4.

b₇ = b₁q⁶; b₁ • 4⁶ = 1024 ⇒ b₁ = 10244096 = 14.

3) b₁₀ = 7; q = 0,5.

b₁₀ = b₁ • q⁹; b₁ • q⁹; b₁ • 0,5⁹ – 7; b₁ = 7 • 512 = 3584.

4) b₆ = 3125; q = –212.

b₆ = b1q⁵; b₁ • (–212)⁵ = 3125; b₁ = -3125 • 2555 = -55• 2555 = –32.

667. Знайдіть перший член геометричної прогресії (а_n), якщо:

1) a₅ = 20000; q = –10.

a₅ = a₁q⁴; a₁(–10)⁴ = 20000; a₁ = 2000010000 = 2.

2) a₆ = 0,32; q = 0,2.

a₁q⁵ = a₆; a₁ • 0,2⁵ = 0,32; a₁ = 0,320,25 = 1000.

668. Знайдіть знаменник геометричної прогресії (b_n), якщо:

1) b₁ = 3; b₄ = –81.

b₁q³ = b₄; 3q³ = –81; q³ = –27; q = –3.

2) b₁ = 80; b₅ = 5.

b₅ = b₁ • q⁴; 80 • q⁴ = 5; q⁴ = 116; q⁴ = (12)⁴; q = ±12.

674. Послідовність (b_n) — геометрична прогресія. Знайдіть b₁ і q, якщо:

1) b₃ = 16, b₅ = 256.

b₅ = b₁q⁴; b₃ = b₁q² поділимо b5b3;

b1q4b1q2 = 25616; q² = 16; q = ±4;

16 = b₁ • 4² ⇒ b₁ = 1616 = 1.

2) b₄ = –2; b₆ = –18.

b1q5b1q3 = b6b4; q² = -18-2; q² = 9; q = ±3;

b₁ = ±2-27.

Відповідь: 3-27; –3 або –227; 3.

3) b₂ = 12; b₇ = 16.

b1 q6b1q1 = b7b2; q⁵ = 16 : 12; q⁵ = 32; q = 2⁵; q = 2.

b₁2 = 12; b₁ = 14.

4) b₆ = –1; b₃ = –27.

b1 • q5b1q2 = -1-27; q³ = 127; q³ = (13)³; q = 13;

b₁ • (13)² = –27; b₁ = –27 • 9 = –243.

675. Послідовність (a_n) — геометрична прогресія. Знайдіть a₁ і q, якщо:

1) (a_n) a₂ = 6; a₄ = 54.

a1q3a1q = a4a2; q² = 546; q² = 9; q = ±3;

a₁ • 3 = 6; a₁ = 2.

2) a₃ = –3; a₆ = –81.

a1q5a1q2 = a6a3; q³ = -81-3; q³ = 27; q = 3;

a₁ • 3² = –3; a₁ = –13.

676. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії (b_n), якщо:

1) b₁ = 5; b₆ = 160.

b₆ = b₁q⁵; 5q⁵ = 160; q⁵ = 1605;

q⁵ = 32; q⁵ = 2⁵; q = 2.

S₆ = b1(q6- 1)q-1 = 5(26- 1)2-1 = 5 • 63 = 315.

2) b₁ = –0,6; b₅ = –48,6.

b₅ = b₁q⁴; –0,6q⁴ = –48,6.

q⁴ = -48,6-0,6; q⁴ = 81; q = ± 3.

S₆ = b1(q6- 1)q-1;

S₆ = -0,6(36- 1)3-1 = -0,6(729-1)2 = –218,4.

677. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії (а_n), якщо a₁ = 1 і a₄ = –27.

a₁ = 1; a₄ = –27.

a₄ = a₁q³;

1 • q³ = –27; q = –3.

S₄ = a1(q4-1)q-1 = 1((-3)4-1)-3-1 = 81-1-4 = 80-4 = –20.

678. Знайдіть суму восьми перших членів геометричної прогресії (a_n), якщо:

1) (a_n): 2; 6; 18;…

q = 62 – 3; a₁ = 2.

S₈ = a1(q8- 1)q-1 = 2 •(38- 1)3-1 = 2 •65602 = 6560.

2) (a_n): –16; 8; –4;

a₁ = –16; q = 8-16 = -12;

S₈ = -16(-12)8- 1)-12- 1 = -16(-11256)-112 = -25724 = –1058.

679. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії (b_n), якщо (b_n): –2; 4; –8; ….

(b_n): –2; 4; –8;…

q = 4-2 = –2; b₁ = –2.

S₆ = -2((-2)6- 1)-2-1 = -2(64-1)-3 = -2 •63-3 = 42.

680. З’ясуйте, чи є членом геометричної прогресії (b_n):

(b_n): 15; 30; 6; … b₁ = 150; q = 30150 = 15.

1) b_n = 1,2 – ?

b_n = b₁q^n–1;

150(15)^n–1 = 1,2; 150(15)ⁿ (15)^–1 = 1,2;

(15)ⁿ = 1,2 : (150 • 5); (15)ⁿ = (15)⁴;

n = 4.

Відповідь: так, число 1, 2 є членом даної прогресії і стоїть під номером n = 4.

2) b_n = 425 – ?

b₁ = 150; q = 15.

b_n = b₁q^n–1;

150(15)^n–1 = 425; (15)ⁿ = 425 • 1150 •5; (15)ⁿ = 29375.

Відповідь: ні, число 425 не є членом даної прогресії.

681. З’ясуйте, чи є членом геометричної прогресії (b_n):

(b_n): 3; 21; 147; …

1) b_n = 1029 – ?

b₁ = 3; q = 213 = 7.

b_n = b₁q^n–1; 3 • 7^(n–1) = 1029;

7ⁿ • 37 = 1029; 7ⁿ = 1029 •73; 7ⁿ = 7⁴; n = 4.

Відповідь: так, число 1029 є членом даної прогресії.

a) (b_n): 3, 21, 147, …

b_n = 7200 – ?

b₁ = 3; q = 7.

b_n = b₁q^n–1; 3 • (7)ⁿ7^–1 = 7200.

7ⁿ = 72003 • 7; 7ⁿ = 2400 • 7.

Відповідь:ні, число 7200 не є членом даної прогресії.

686. Між числами 9 і 243 вставте два такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну прогресію.

Позначимо: b₁ (9), b₂, b₃, b₄ (243).

b₄ = b₁q³; 9q³ = 243;

q³ = 27; q³ = 3³; q = 3.

b₁ = 9; b₂ = 9 • 3 = 27; b₃ = 27 • 3 = 82;

b₄ = 81 • 3 = 243.

687. Між числами 160 і 10 вставте три такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну прогресію.

Позначимо: b₁ (160), b₂, b₃, b_4, b₅ (10).

b₅ = b₁q⁴; 160q⁴ = 10;

q⁴ = 116; q⁴ = (12)⁴; q = 12.

b₁ = 160; b₂ = 160 • 12 = 80; b₃ = 80 • 12 = 40;

b₄ = 40 • 12 = 20; b₅ = 20 • 12 = 10.

Відповідь: 160; 80; 40; 20; 10 або –80; 40; –20.

688. Між числами 2 і 512 вставте три такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну прогресію.

b₁ (2), b₂, b₃, b₄, b₅ (512).

b₅ = b₁q⁴; 2 • q⁴ = 512;

q⁴ = 256; q⁴ = 4⁴; q = 4.

b₁ = 2; b₂ = 2 • 4 = 8; b₃ = 8 • 4 = 32;

b₄ = 32 • 4 = 128; b₅ = 128 • 4 = 512.

689. Знайдіть чотири перші члени геометричної прогресії, якщо сума крайніх із цих членів дорівнює 27, а сума середніх — 18.

b₁ + b₁q³ = 27, b₁(q³ + 1) = 27;

b₁q + b₁q² = 18; b₁q(q + 1) = 18;

b₁(q + 1)(q² – q + 1) = 27;

b₁q(q + 1) = 18.

q2- q+1q = 2718; q2- q+1q = 32;

2(q² – q + 1) = 3q;

2q² – 2q + 2 = 0;

D = 9.

q₁ = 12; q₂ = 2; b₁(18 + 1) = 27; b₁ = 24.

Відповідь: 24; 12; 6; 3.

q₂ = 2; b₁(2³ + 1) = 27; b₁ = 3.

Відповідь: 3; 6; 12; 24.

694. Знайдіть перший член b₁ і знаменник q геометричної прогресії, якщо:

1) b₇ – b₅ = 48; b₁q⁶ – b₁q⁴ = 48,

b₅ + b₆ = 48; b₁q⁴ + b₁q⁵ = 48;

b1q6- b1q4b1q4+ b1q5 = 4848; b1q4(q2-1)b1q4(1+q) = 4848;

q2-11+q = 1; q-1(q+1)1+q = 1;

q – 1 = 1; q = 2, b₁ • 2⁴(1 + 2) = 48; b₁ = 4848; b₁ = 1.

Відповідь: 1; 2.

2) b₂ • b₃ = –72;

b₁b₂ = –18;

b1q • b1q2b1• b1q = -72-18; q² = 4; q = ±2 ⇒ q = 2 – не задовольняє умові задачі.

b₁ • b₁q = –18; b₁² = -18-2; b₁² = 9; b₁ = ±3.

Відповідь: –3; –2 або 3; –2.

695. Знайдіть перший член b₁ і знаменник q геометричної прогресії, якщо:

b₂b₆ = 4;

b₁b₄ = 32;

b1q b1q5b1 • b1q3 = 432;

q³ = 432; q³ = 18; q³ = (12)³; q = 12.

b₁b₁q³ = 32;

b₁² = 32 • 8;

b₁² = 256;

b₁ = ±16.

Відповідь: 12; –16 або 12; 16.

696. У геометричній прогресії с3 • с5 = 72. Знайдіть с₁ • с₇.

c₃ • c₅ = 72.

c₃ = с₁q²; c₅ = с₁q⁴; c₇ = с₁q⁶;

с₃с₅ = с₁q³ • с₁q⁴ = c₁²q⁶ = с₁с₁q⁶ = c₁c₇ = 72.

697. Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії (b_n):

1) (b_n): 9; 18; 36; …; n = 8.

q = 189 = 2; S₈ = 9 •(28- 1) 2-1 = 2295.

2) (b_n): 5; –10; 20; …, n = 7.

q = –105 = –2; S₇ = 5 •((-2)7-1)-2-1 = 5(-129)-3 = 215.

3) (b_n): –23; 2; –6;…, n = 4.

q = 2: (–23) = 21 • (–32) = –3;

S₄ = -23 •((-3)4-1)-3-1 = –23 • 801 • 1-4 = 403 = 1313.

4) (b_n): 23; 23 = 12 • 32 = 34; …, n = 5.

q = 12; 23 = 12 • 32 = 34.

S₅ = 23((34)5-1)34- 1 = 23(243-10241024)-14 = 23 • (–7811024) • (–41) = 781384 = 213384 ≈ 2,03.

698. Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії:

1) (a_n): 2; 6; 18, … n = 5.

q = 62 = 3; S₅ = 2(35- 1)3-1 = 2(243-1)2 = 242.

2) (a_n): 64; –32; 16, …, n = 6.

q = –3264 = –12.

S₆ = 64((-12)6-1)-12- 1 = 64(164- 1)-32 = 641 • (–6364) : (–32) = 42.

700. Геометричну прогресію задано формулою n–го члена. Знайдіть:

1) S₈ – ?

b_n = 3 • 2ⁿ;

b₁ = 3 • 2 = 6; b₂ = 3 • 2² = 12;

q = 126 = 2; S₈ = 6 •(28- 1)2-1 = 6 •2551 = 1530.

2) S₅ – ?

b_n = 5^n–2;

b₁ = 5^1–2 = 15; b₂ = 50 = 1.

q = 1 : 15 = 5; S₅ = 15(55- 1)5-1 = 15 • 31241 • 14 = 7815 = 156,2.

701. Геометричну прогресію задано формулою n–го члена. Знайдіть S₆, якщо:

b_n = –3 • 2ⁿ⁺¹;

b₁ = –3 • 2¹⁺¹ = –3 • 2² = –12; b₂ = –3 • 2²⁺¹ = –24.

q = -24-12 = 2; S₆ = -12 •(26-1)2-1 = –12 • 63 = –756.

702. Знайдіть суму:

1) 1 + 2 + 4 + … + 1024.

b₁ = 1; b₂ = 2; q = b2b1 = 21 = 2.

b_n = b₁q^n–1;

1 • 2^n–1 = 1024; 2ⁿ • 2^–1 = 1024;

2ⁿ • 12 = 1024; 2ⁿ = 2048;

2ⁿ = 2¹¹, n = 11.

S₁₁ = 1(211-1)2-1 = 2047.

2) 5 – 15 + 45 – … + 405.

b₁ = 5; b₂ = –15; q = b2b1 = –155 = –3.

b_n = b₁q^n–1; 5(–3)^n–1 = 405;

(–3)ⁿ (–53) = 405; (–3)ⁿ = 243;

(–3)ⁿ = –35, n = 5.

S₅ = 5((-3)5-1)-3-1 = 5-244-4 = 305.

703. Знайдіть суму:

1) 1 – 2 + 4 – … + 256.

b₁ = 1; b₂ = –2; q = -21 = –2.

b_n = b₁q^n–1;

1(–2)ⁿ • (–2)^–1 = 256; (–2)ⁿ(–12) = 256;

(–2)ⁿ = –512; (–2)ⁿ = (–2)⁹, n = 9.

S₉ = 1 •((-2)9-1)-2-1 = -513-3 = 171.

2) 14 + 18 + 110 + … + 1512.

b₁ = 14; b₂ = 18; q = 18 • 41 = 12.

b_n = b₁q^n–1;

1512 = 14(12)^n–1; (12)ⁿ = 1512 • 21;

(12)ⁿ = 1256; (12)ⁿ = (12)⁸, n = 8.

S₈ = 14((12)8-1)12- 1 = 127512.

704. Послідовність (cn) — геометрична прогресія. Знайдіть c₁ і q.

1) c₃ = 20, S₃ = 35.

c₃ = c₁q²; c₁ = 20q2; S₃ = c1(q3-1)q-1.

c1q-1(q2+ q+1)q-1 = 35; 20(q2+ q+1)q2 = 35;

20q² + 20q + 20 = 35q²;

15q² – 20q – 20 = 0;

3q² – 4q – 4 = 0;

D = 16 + 48 = 64;

q₁ = 4+86 = 2; q₂ = –23;

c₁ = 5, c₁ = –30.

Відповідь: 5 і 2.

2) с₈ = –4, S₈ = 310.

с_n = с₁q^n–1; c₈ = c₁q⁷ ⇒ c₁ = c8q7.

S_n = c1(1- qn)1-q ⇒ S₈ = c8q7(1- q8)1-q;

c8(1- q8)q7(1-q) = 340; -4+4q8q7- q8 = 340;

–4 + 4q⁸ – 340q⁷ + 340q⁸ = 0;

344q⁸ – 340q⁷ – 4 = 0;

86q⁸ – 85q⁷ – 1 = 0;

q = 1 (зайвий корінь); q = –0,5, тоді c₁ = -4-0,57 = 512.

Відповідь: 512; –0,5.

705. Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть c₁ і q.

b₃ = 45; S₃ = 55,8.

b₁q² = b₃; S₃ = b1(q3- 1)q-1;

b₁q² = 45; b₁ = 45q2; b1q-1(q2+ q+1)q-1 = 55,8;

45(q2+ q+1)q2 = 55,8; 45q² + 45q + 45 = 55,8q²;

10,8q² – 45q – 45 = 0;

0,24q² – q – 1 = 0;

D = 1 + 0,96 = 1,96;

q₁ = 5 або q₂ = –0,83.

b₁ = 1,8 або b₁ = 65.

Відповідь: 1,8; 65.

714. Три числа утворюють геометричну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 63, а сума їх квадратів дорівнює 1701. Знайдіть два наступні члени цієї прогресії.

За умовою числа b₁; b₂; b₃ утворюють геометричну прогресію.

b₁ + b₂ + b₃ = 63;

b₁² + b₂² + b₃² = 1701;

(b₁ + b₂ + b₃)² = 63²;

(b₁ + b₂ + b₃)² = 3963;

b₁² + b₂² + b₃² + 2(bb₂ + b₁b₃ + b₂b₃) = 3969;

1701 + 2(b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b₃) = 3969;

b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b₃ = 1134;

b₁²q + b₁²q² + b₁²q³ = 1134;

b₁ + b₂ + b₃ = b1(1- q3)1- q = b1(1- q)(1+ q+ q2)1- q = b₁(1 + q + q²) = 63;

b₁²(1 + q + q²)₂ = 3969;

b₁²q(1 + q + q²) = 1134;

b12 (1+ q+ q2)2 b12 q(1+ q+ q2) = 39691134; 1+ q+ q2q = 72;

2 + 2q + 2q² = 7q;

2q² – 5q + 2 = 0;

D = 9.

q₁ = 2; q₂ = 12; якщо q = 2, b₁ = 631+2+ 22 = 9;

якщо q = 12; b₁ = 631+12+ 14 = 6374 = 63•47 = 36 – зайвий.

b₁ = 9; b₂ = 9 • 2 = 18; b₃ = 18 • 2 = 36; b₄ = 72; b₅ = 144.

Відповідь: 72; 144.

715. Сума перших трьох членів спадної геометричної прогресії дорівнює 14, а сума їх квадратів дорівнює 84. Знайдіть три наступні члени цієї прогресії.

Нехай b₁, b₂, b₃ – прогресія, тоді за умовою задачі.

b₁ + b₂ + b₃ = 14;

b₁² + b₂² + b₃² = 84;

(b₁ + b₂ + b₃)² = 196;

b₁² + b₂² + b₃² + 2(b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b3) = 196;

84 + 2(b₁b₂ + b₂b₃ + b₂b₃) = 196;

b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b₃ = 56;

b₁q + b₁²q² + b₁²q³ = 56;

b₁q(1 + q + q²) = 56;

b₁ + b₂ + b₃ = b1(1- q3)1- q = b1(1- q)(1+ q+ q2)1- q = b₁(1 + q + q²) = 14;

b₁²(1 + q + q²)² = 196;

b₁²q(1 + q + q²) = 56;

b12 (1+ q+ q2)2 b12 q(1+ q+ q2) = 19656; 1+ q+ q2q = 72;

2q² + 2q + 2 = 7q; 2q² – 5q + 2 = 0;

D = 9; q₁ = 2 або q₂ = 12;

b₁ = 141+2+4 = 2, якщо q = 2; b₁ = 14•41+ 12-14 = 8, якщо q = 12;

b₁ = 2 або b₁ = 8, q = 12; b₂ = 2 • 2 = 4 або b₂ = 8 • 12 = 4.

b₃ = 4 • 2 = 8; b₄ = 8 •2 = 16; b₅ = 16 • 2 = 32; b₆ = 32 • 2 = 64.

b₃ = 4 • 12 = 2; b₄ = 2 • 12 = 1; b₅ = 1 • 12 = 0,5; b₆ = 0,52 = 0,25.

За умовою задачі прогресія спадна, тому відповідь 1; 0,5; 0,25.

716. Знайдіть чотири додатні числа, з яких перші три утворюють арифметичну прогресію, а останні три — геометричну прогресію, якщо сума перших трьох чисел дорівнює 12, а сума останніх трьох дорівнює 19.

Нехай a₁, a₂, a₃, a₄ – шукані додатні числа. Числа a₁, a₂, a₃ утворюють арифметичну прогресію і їх сума за умовою дорівнює 22, тобто 3а₁ + 3d = 12. Числа a₂, a₃, a₄ утворюють геометричну прогресію, їх сума за умовою 19, тобто

(a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a1+2d)2a1+d = 19, маємо:

3а₁ + 3d = 12;

(a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a1+2d)2a1+d = 19;

а₁ + d = 4;

(а₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a1+2d)2a1+d;

якщо d = 2, то а₁ = 2; якщо d = –19, то a₁ = 23.

Умову задачі задовольняє випадок, коли d = 2, a₁ = 2.

Відповідь: 2; 4; 6 і 9.

717. Сума трьох додатних чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 15. Якщо до цих чисел відповідно додати 1, 4 і 19, то нові три числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

a₁ + a₂ + a₃ = a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d = 3(a₁ + d) = 15;

а₁ + d = 5; a₁ = 5 – d;

а₁ + 1; а₁ + d + 4; а₁ + 2d + 19 – геометрична прогресія.

5 – d + 1; 6 – d.

5 – d + d + 4; 9.

5d + 2d + 19; 24 + d.

9² = (6 – d)(24 + d);

81 = 144 – 18d – d²;

d² +18d – 63 = 0;

D = 324 + 252 = 576;

D = 575 = ±24;

d₁ = 3, а₁ = 2; a₂ = 5; a₃ = 8.

d₂ = 21, a₁ = 26; a₂ = 5, a₃ = –16.

Відповідь: 2; 5; 8 чи 26; 5; –16.

719. Компанія «Перспектива» у 2012 році почала інвестувати свої кошти в будівництво на території міста дитячих спортивних майданчиків, маючи капітал 50 000 грн. Кожного року, починаючи з 2013 року, компанія одержувала прибуток, що становив 20 %

капіталу попереднього року. У 2014 році «Перспектива» розширила свої інвестиції та вклала 100 000 грн у створення велотреку за містом. Починаючи з 2015 року, прибуток за цією інвестицією становив 40 % попереднього капіталу. 1. Який прибуток одержала компанія за першу інвестицію на кінець 2017 року, якщо прибуток з обороту не вилучали? 2. Яка з інвестицій була більш прибутковою?

Капітал 2012 р – 50 000;

з 2013 – 20%;

капітал 100000 – 2014 р;

з 2015 – 40%.

1) b₁ = 50 000, q = 20% = 20100 = 15; n = 5.

S₅ = 50000((15 )5-1)15-1 = 50000(13125-31253125)-45 = 500001 • 31243125 • 54 = 62480;

62480 – 50 000 = 12 480.

Відповідь: 12480 – прибуток.

2) b₁ = 100 000, q = 40% = 40100 = 410 = 0,4; n = 3.

S₃ = 100000(10,4)3-1)0,4-1 = 100000(-0,936)-0,6 = 156 000, тоді

156 000 – 100 000 = 56 000 – прибуток.

Відповідь: інвестиція 100 000 була більш прибутковою.

720. Дріжджі належать до групи одноклітинних грибів, яка об’єднує

близько 1500 видів. Деякі з їх видів використовують у домашньому господарстві або промисловості, наприклад, для приготування хліба чи напоїв. Зростання дріжджових клітин відбувається поділом кожної

клітини на дві частини. 1. У чашку Петрі помістили одну дріжджову клітину. Скільки клітин будуть міститися в чашці після їх п’ятикратного поділу? 2. Скільки дріжджових клітин будуть у чашці Петрі після їх десятикратного поділу, якщо спочатку було 6 клітин?

3. Скільки дріжджових клітин було спочатку, якщо після шестикратного поділу їх стало 320?

1) b₁ = 1, q = 2.

b₂ = 2; b₃ = 2 • 2 = 4; b₄ = 4 • 2 = 8; b₅ = 8 • 2 = 16;

b₆ = 16 • 2 = 32.

Відповідь: 32.

2) b₁ = 6, q = 2.

b₁₁ = b₁ • q¹⁰; b₁₁ = 6 • 2¹⁰ = 6144.

Відповідь: 6144.

3) b₇ = 320, q = 2.

b₁ • q⁶ = b₇; b₁ • 2⁶ = 320; b₁ = 5.

Відповідь: 5.

760. Для чергування на різних поверхах школи вибирають двох дітей: одну дитину із 20 учнів 9–А класу й одну — із 25 учнів 9–Б класу. Скільки існує можливих способів формування різних пар чергових із двох дітей для чергування?

20 • 25 = 500 способів.

761. Самостійна робота з математики містить 2 завдання: перше — рівняння, а друге — задача. Скільки варіантів самостійної роботи з математики можна скласти із 7 різних рівнянь і 5 різних задач?

С₇¹ • С₅¹ = 7!7-1!1! • 5!5-1!1! = 7!6! • 5!4! = 7 • 5 = 35.

762. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 2, 5 і 6, якщо цифри числа різні й число є: 1) парним; 2) кратним числу 5?

2	5	6
5 6	2 6	2 5
6 5	6 2	5 2

1) чотири.

2) два.

770. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок із шести уроків.

6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720.

771. Скількома способами можна скласти список із п’яти дітей?

5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 6 • 20 = 120.

781. Скільки п’ятицифрових чисел можна скласти із цифр 4, 2, 3, 8 і 0, якщо на місці тисяч може стояти цифра 2 або цифра 3, а на місці десятків — цифра 2 або цифра 4?

На місце десятків тисяч – 4 цифри;

на місці тисяч – 2 цифри;

на місце сотень – 5 цифр;

на місце десятків – 2 цифри;

на місце одиниць – 5 цифр.

Тоді 4 • 2 • 5 • 2 • 5 = 4 • 10 • 10 = 400.

785. У змаганні брало участь 8 команд. Кожна команда грала з усіма іншими командами одну гру. Скільки всього ігор було зіграно?

K = 8 •72 = 562 = 28.

786. У змаганні брало участь n команд. Кожна команда грала з усіма іншими командами одну гру. Скільки всього ігор було зіграно?

n – команд.

K = n •(n-1)2.

788. Скільки діагоналей має опуклий n–кутник?

n – кутник, тоді із кожної вершини можно провести (n – 3) діагоналі, тоді всього їх n(n-3)2.

803. У лотереї розігрують 20 грошових призів і 5 речових. Усього було продано 5000 лотерейних білетів. Яка ймовірність того, що, придбавши один білет, ви: 1) виграєте який–небудь приз; 2) виграєте грошовий приз; 3) не виграєте жодного призу?

20 + 5 = 25 – виграних білетів.

1) Р(А) = 255000 = 1200;

2) Р(А) = 205000 = 1250;

3) 5000 – 25 = 4975;

Р(А) = 49755000 = 199200.

804. Зі скриньки, у якій містяться 10 зелених та 8 блакитних

кульок, навмання вийнято одну кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька: 1) зелена; 2) блакитна; 3) червона?

10 + 8 = 18 всього.

1) Р(А) = 1018 = 59;

2) Р(А) = 818 = 49;

3) Р(А) = 0.

805. Оленка задумала просте двоцифрове число, менше від числа 25. Яка ймовірність того, що це число: 1) 13; 2) 18; 3) більше за 15; 4) непарне?

Просте число – це число (натуральне) яке ділиться лише на 1 та саме на себе.

1) Р(А) = 15;

2) Р(А) = 0;

3) Р(А) = 15;

4) Р(А) = 1.

806. Семен задумав складене двоцифрове число, менше від

числа 27. Яка ймовірність того, що це число: 1) 8; 2) 15; 3) 19; 4) парне?

1) Складене число – це натуральне число, яке більше за 1 і не є простим.

Двоцифрові складені числа які менше за 27 це:

10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26.

1) Р(А) = 0;

2) Р(А) = 112;

3) Р(А) = 0;

4) Р(А) = 912 = 34.

807. На фабриці виготовляють постільну білизну. За день було

пошито 250 комплектів, з яких 5 комплектів виявилися з прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплений у магазині комплект постільної білизни із цієї партії виявиться якісним.

250 – 5 – 245 = якісних, тоді 245250 = 4950.

808. На завод привезли партію з 2000 деталей, з яких 50 деталей не відповідають стандарту. Визначте ймовірність того, що взята навмання деталь є стандартною.

2000 – 50 = 1950 – стандартних деталей, тоді 19502000 = 3940.

820. Монету підкидають три рази. Яка ймовірність того, що: 1) «герб» випаде три рази; 2) «цифра» випаде хоча б один раз.

1) Р(А) = 18, рівноможливі події (ГГЦ, ГГГ, ГЦГ, ГЦЦ, ЦГГ, ЦГЦ, ЦЦЦ, ЦЦГ).

829. У випадковому експерименті кидають три гральні кубики. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде:

1) 10 очок; 2) 15 очок; 3) 20 очок.

1) Рівноможливих подій 6 • 6 – 6 = 216, а сриятливих 27 (1, 3, 6; 1, 4, 5; 1, 5, 4; 2, 4, 4; 2, 5, 3; 2, 6, 2; 3, 1, 6; 3, 2, 5; 3, 3, 4; 3, 5, 2; 3, 6, 1; 4, 1, 5; 4, 2, 4; 4, 3, 3; 4, 4, 2; 4, 5, 1; 5, 1, 4; 5, 2, 3; 5, 3, 2; 5, 4, 1; 6, 1, 3; 6, 2, 2; 6, 3, 1.

Р = 27216 = 18.

2) сприятливих подій 10 (3, 6, 6; 4, 6, 5; 4, 5, 6; 5, 6, 4; 6, 6, 3; 6, 5, 4; 6, 4, 5; 5, 5, 5; 6, 3, 6.

Р = 10216 = 5108.

3) Р(А) = 0.

830. Оберіть навмання одну сторінку з п’єси Івана Котляревського «Наталка Полтавка». Порахуйте на цій сторінці кількість букв «а», «о», «е», «і» та загальну кількість букв. Підрахуйте частоту появи

вказаних букв у тексті.

«а» – 66; «0» – 123; «е» – 48; «і» – 18; всього 841.

частота появи «а» 66841;

частота появи «о» 123841;

частота появи «е» 48841;

частота появи «і» 18841.

831. Чи правий Дмитро, стверджуючи: 1) «Вибірка — це генеральна сукупність»; 2) «Вибірка — це частина генеральної сукупності»; 3) «Вибірка — це частина генеральної сукупності, відібрана в спеціальний спосіб»?

1).

832. Чи правильно, що середнє значення вибірки — це: 1) середнє арифметичне всіх значень вибірки; 2) значення вибірки, яке трапляється найчастіше; 3) число, яке «поділяє» вибірку на дві рівні частини?

1).

833. Чи правильно, що мода вибірки — це: 1) середнє арифметичне всіх значень вибірки; 2) значення вибірки, яке трапляється найчастіше; 3) число, яке «поділяє» вибірку на дві рівні частини?

2).

834. Чи правильно, що медіана вибірки — це: 1) середнє арифметичне всіх значень вибірки; 2) значення вибірки, яке трапляється найчастіше; 3) число, яке «поділяє» вибірку на дві рівні частини?

3).

835. Чи правильно, що для вибірки 1; 2; 3; 4; 5; 5; 6: 1) Мо = 5; 2) Ме = 5; 3) х = 1+2+3+4+5+67?

Ні.

х = 1+2+3+4+5+5+67 = 267.

Мо = 5; Ме = 4.

836. Кого, на вашу думку, в Україні більше — чоловіків чи жінок? Відповідь на це запитання можна знайти за малюнком 178. З’ясуйте, кого у вашій школі більше — хлопців чи дівчат.

В Україні більше жінок (малюнок 178). В моїй школі більше дівчат.

841. Відповідно до системи AB0, запропонованої на початку минулого століття К. Ландштейнером, виділяють чотири групи крові, які відрізняються за складом: 0 — перша; A — друга; B — третя; AB — четверта. У таблиці 49 наведено дані розподілу населення України за групою крові. За даними таблиці з’ясуйте: 1) яка група крові трапляється найчастіше; 2) яка група крові трапляється найрідше.

О	А	В	АВ
37%	40%	17%	6%

1) найчастіше зустрічається А група крові.

2) найрідша в Україні група крові – AB.

842. Знайдіть середнє значення, моду, медіану ряду чисел:

2; 4; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 1; 6; 2; 4; 5; 6; 4.

1) Мо = 4.

2) Ме = 4.

3) х = 1+ 3•2 +3+4•5+5•3+6•215 = 5715 = 3,8.

843. Знайдіть середнє значення, моду, медіану ряду чисел:

5; 2; 4; 2; 5; 3; 4; 5; 5; 6.

Мо = 5.

Ме = 4+52 = 4,5.

х = 2+2+3+4+4+5+5+5+3+610 = 4110 = 4,1.

844. У таблиці 50 наведено дані про кількість деталей, виготовлених робітниками за один робочий день. За цими даними знайдіть: 1) середнє значення; 2) моду; 3) медіану.

1) х = 18+19+20+21+225 = 20.

2) Мо = 19.

3) Ме = 20.

845. У таблиці 51 наведено дані про віковий склад учасників

шкільного хору. За цими даними знайдіть:

1) середнє значення; 2) моду; 3) медіану.

х = 4•6+7•2+8•6+9•5+10•4+11•5+12•4+13•2+14•2+15•14+2+6+5+4+5+4+2+2+1 = 34335 ≈ 10.

2) Мо = 8.

3) Ме = 10.

850. Дано варіаційний ряд чисел: 6; 7; 8; х; 9; 10. За яких значень х: 1) мода буде дорівнювати 9; 2) медіана буде дорівнювати 8?

1) Мо = 9 тоді коли x = 9.

2) Ме = 8 тоді коли x = 8.

851. Дано варіаційний ряд чисел: 20; 21; у; 23; 24; 26. За яких значень у: 1) мода буде дорівнювати 23; 2) медіана буде

дорівнювати 22?

1) Мо = 23 тоді коли y = 23.

2) Ме = 22 тоді коли y = 21.

853. Розклад уроків визначає розпорядок роботи будь–якого навчального закладу. У кожній школі ця таблиця займає головне місце. За розкладом уроків у своєму класі складіть статистичний ряд предметів, які вивчають у 9 класі. Визначте моду цього ряду. Побудуйте діаграму.

матем.7	біологія2	хімія1	фізика2	фізра3	історія2
право.1	інформ.2	анг. м.3	укр. м.3	література2
географ.1	зар. літ.1	мистец.1	праця/трудове навчання1

Мо = 7.

Ме = 2.

х = 7+2+1+2+3+2+1+2+3+3+2+1+1+1+115 = 3215 = 2215.

854. У таблиці 55 наведено результати навчальних досягнень учнів 9–А класу за семестр із деяких предметів. За даними таблиці: 1) знайдіть середнє значення, моду та медіану результатів з алгебри; 2) знайдіть середнє значення, моду та медіану результатів з геометрії; 3) побудуйте діаграму навчальних досягнень з алгебри та геометрії.

1) Мо = 9; Ме = 9.

х = 5+7+8+3•9+2•10+119 = 789 ≈ 8,7.

2) Мо = 8; Ме = 8.

х = 4+6+7+3•8+9+2•109 = 709 ≈ 7,8.

1 – Антоненко В.2 – Бондаренко Е.3 – Василенко І.4 – Денисюк С.5 – Карась Д.

6 – Коваленко О.7 – Левицька А.8 Степанець М.9 – Ясінська К.

855. За даними таблиці 55: 1) знайдіть середнє значення, моду та медіану результатів з фізики; 2) знайдіть середнє значення, моду та медіану результатів з хімії; 3) побудуйте діаграму навчальних досягнень з фізики та хімії.

1) Мо = 9; Ме = 9.

х = 6+2•7+3•9+2•10+119 = 8,7.

2) Мо = 8; Ме = 8.

х = 5+2•7+3•8+2•10+119 = 749 = 8,2.

1 – Антоненко В.2 – Бондаренко Е.3 – Василенко І.4 – Денисюк С.5 – Карась Д.

6 – Коваленко О.7 – Левицька А.8 – Степанець М.9 – Ясінська К.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

2. Нерівності

1. Якому з наведених у відповідях чисел може дорівнювати значення виразу a – b, якщо a < b?

a < b

a – b – ?

Розв'язання

a – b < 0, тому a – b= –0,1.

Відповідь: Г.

2. Яка з наведених у відповідях нерівностей не має розв’язків?

x⁴ < –5; ∅.

Відповідь: Г.

4. Розв’яжіть систему нерівностей

–2x ≥ 0 |: (–2);

3x > –5 |: 3;

x ≤ 0;

x > –53.

х ∈ (–123; 0].

Відповідь: В.

5. Розв’яжіть нерівність: |4x – 1| ≤ 4x + 1.

4x – 1 ≤ 4x + 1;

4x – 1 ≥ –4x – 1;

4x – 4x ≤ 1 + 1;

4x + 4x ≥ –1 + 1;

0x ≤ 2;

8x ≥ 0 |: 8;

х ∈ (–∞; +∞);

x ≥ 0;

х ∈ [0; +∞).

Відповідь: Б.

3. Квадратична функція

1. Знайдіть область значень функції.

Область значень: у ∈ (–∞; 3].

Відповідь: В.

2. Знайдіть проміжок зростання функції.

у – зростає при х ∈ (–∞; –1].

Відповідь: Б.

3. Яка з наведених у відповідях квадратичних функцій не

перетинає вісь абсцис?

1) y = –x² – 12x + 1

D = (–12)² – 4 • (–1) • 1 = 148 > 0

Графік перетинає вісь Ох.

2) у = х² – 12х

D = (–12)² – 4 • 1 • 0 = 144 > 0

Графік перетинає вісь Ох.

3) y = x² – 18

D = 0² – 4 • 1 • (–18) = 72 > 0

Графік перетинає вісь Ох.

4) y = x² – x + 1

D = (–1)² – 4 • 1 • 1 = –3 < 0

Графік не перетинає вісь Ох.

Відповідь: Г.

4. Розв’яжіть квадратну нерівність.

х² – 36 ≤ 0;

х² – 36 = 0;

х² = 36;

х = –6;

х = 6.

х ∈ [–6; 6].

Відповідь: В.

5. Площа прямокутника дорівнює 60 см², а його діагональ — 13 см. Обчисліть сторони прямокутника.

S = 60 см²;

d = 13;

a – ? b – ?

Розв’язання

ab = 60;

a² + b² = 169;

1) 3 см і 20 см; 3² + 20² = 9 + 400 = 409; ні.

2) 4 см і 15 см; 4² + 15² = 16 + 225 = 241; ні.

3) 5 см і 12 см; 5² + 12² = 25 + 144 = 169; так.

Відповідь: В.

4. Числові послідовності

1. Знайдіть п’ятий член послідовності.

x_n = 2n² – 1;

x₅ = 2 • 5² – 1 = 2 • 25 – 1 = 50 – 1 = 49.

Відповідь: Б.

2. Послідовність (аn) — арифметична прогресія. Знайдіть a16, якщо a1 = 8 і d = –5.

a₁ = 8 i d = –5;

a₁₆ – ?

a_n = a₁ + (n – 1)d;

a₁₆ = a₁ + 15d = 8 + 15 • (–5) = –67.

Відповідь: Г.

3. Знайдіть перший член геометричної прогресії (b_n).

b₆ = 96; q = –2;

b₁ – ?

b_n = b₁ • q^n–1; b₆ = b₁ • q⁵;

b₁ = b₆ : q⁵ = 96 : (–2)⁵ = 96 : (–32) = –3.

Відповідь: Б.

4. Знайдіть суму восьми перших членів арифметичної прогресії (а_n):

(a_n) : 5; 12; 19; …

S₈ – ?

a₁ = 5; d = 12 – 5 = 7;

S_n = 2a1+ n-1d2n;

S₈ = 2a1+ 7d2 • 8 = 2 •5+7 •72 • 8 = 236.

Відповідь: Г.

5. Послідовність (b ) — геометрична прогресія. Знайдіть S5, якщо b3 = –12 і b6 = 96.

(b_n) – геометрична прогресія; b₃ = –12; b₆ = 96.

S₅ – ?

b₆ = b₁ • q⁵; : b₁ • q⁵ = 96;

b₃ = b₁ • q²; b₁ • q² = –12;

q³ = –8; q = –2.

S_n = b1(qn- 1)q-1;

S₅ = b1(q5- 1)q-1 = -3 •((-2)5- 1)-2-1 = –33.

Відповідь: Б

5. Елементи стохастики

3. Знайдіть моду і медіану ряду чисел:

15; 14; 13; 13; 14; 13; 16.

Мо – ? Ме – ?

Знайдемо варіаційний ряд: 13; 13; 13; 14; 14; 15; 16

Мо = 13; Ме = 14.

Відповідь: Б.

4. Яка ймовірність того, що парне двоцифрове число буде ділитися на 8?

А – парне двоцифрове число ⋮ 8.

Р(А) – ?

Всого існує 9 • 10 = 90 двоцифрових чисел, із них 45 парні, тому

n = 45.

Серед даних чисел на 8 діляться: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, тобто m = 11.

P(A) = mn = 1145.

Відповідь: В.

5. Скільки чотирицифрових парних чисел можна утворити із цифр 3, 6, 8, 9, 0, якщо всі цифри числа — різні?

3, 6, 8, 9, 0

На І місце вибираємо 1 цифру із 4–х (3, 6, 8, 9).

На IV місце – 1 цифру із 3–х (6, 8, 0).

На ІІ місце – 1 цифру із 3–х

На ІІІ місце – 1 цифру із 2 – х.

4 • 3 • 2 • 3 = 72 (способів).

Відповідь: Б.