Відповіді на вправи: 24.62 (1)

24.62. Знайдіть розв’язки системи рівнянь.

1) x² + y² = 5, x² + y² = 5, x² + 2xy + y² = 9, (x + y)² = 9,

ху = 2; • 2 2xy = 4; ху = 2; ху = 2;

x + y = 3 або x + y = –3,

ху = 2.

Якщо x + y = 3, x = 3 – y, то y(3 – y) = 2, –y² + 3y – 2 = 0;

у² – 3y + 2 = 0 y = 2 або y = 1. y = 2, або y = 1,

x = 1 x = 2.

Якщо x + y = –3, x = –y – 3, то y(–y – 3) = 2, –y² – 3y – 2 = 0;

y² + 3y + 2 = 0, y = –2 або y = –1. y = –2, або y = –1,

x = –1 x = –2.

Відповідь: (1; 2), (2; 1), (–1; –2), (–2; –1).

2) xy + x + y = 11, a + b = 11,

хy(x + y) = 30. Нехай xy = а, x + y = b. ab = 30;

а = 11 – b, а = 11 – b, а = 11 – b,

b(11 – b) = 30; 11b – b² – 30 = 0; b² – 11b + 30 = 0;

а = 11 – b, b = 6 або b = 5

b = 6 або b = 5 а = 5 а = 6.

a) x + y = 5, x = 5 – y, x = 5 – y, x = 5 – y,

ху = 6; y(5 – y) – 6 = 0; y² – 5y + 6 = 0; y = 2 або y = 3;

y = 2 або y = 3,

x = 3 x = 2.

б) x + y = 6, x = 6 – y, x = 6 – y, x = 6 – y,

ху = 5; y(6 – y) = 5; y² – 6y + 5 = 0; y = 5 або y = 1;

y = 5 або y = 1,

x = 1 x = 5.

Відповідь: (3; 2), (2; 3), (1; 5), (5; 1).

3) x + xy + y = 5,

x – xy + y = 1.

Додамо та віднімемо друге рівняння від першого.

2x + 2y = 6, x + y = 3, x = 3 – y, x = 3 – y,

2xy = 4; ху = 2; y(3 – y) = 2; y² – 3y + 2 = 0;

x = 3 – y, y = 2, або y = 1,

y = 2 або y = 1; x = 1 x = 2.

Відповідь: (1; 2), (2; 1).

4) x – y = 2, x – y = 2, x – y = 2, x – y = 2,

$\frac{х}{у}$ – $\frac{у}{х}$ = $\frac{5}{6}$; $\frac{{х}^2-{у}^2}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{5}{6}$; $\frac{(х-у)(х+у)}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{5}{6}$; $\frac{2(х+у)}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{5}{6}$;

x – y = 2, x = y + 2, x = y + 2,

12(x + y) = 5xy; 12(y + 2 + y) = 5y(y + 2); 24y + 24 = 5y² + 10y;

x = y + 2 x = y + 2,

5y² + 10y – 24y – 24 = 0; 5y² – 14y – 24 = 0.

5y² – 14y – 24 = 0; D = 14² + 4 • 5 • 24 = 196 + 480 = 676 = 26²;

y₁ = $\frac{14-26}{10}$ = –$\frac{2}{10}$ = –1,2; y₂ = $\frac{14+26}{10}$ = 4.

x₁ = –1,2 + 2 = 0,8; x₂ = 4 + 2 = 6.

Відповідь: (0,8; –1,2), (6; 4).

5) x² + 2xy + y² = 25, (x + y)² = 25, x + y = 5 або x + y = –5,

x² – 3xy = 4; x² – 3xy = 4; x² – 3xy = 4.

1. x + y = 5, x = 5 – y,

x² – 3xy = 4; (5 – y)² – 3y(5 – y) – 4 = 0;

x = 5 – y, x = 5 – y,

25 – 10y + y² – 15y + 3y² – 4 = 0; 4y² – 25y + 21 = 0.

4y² – 25y + 21 = 0; D = 625 – 4 • 4 • 21 = 625 – 336 = 289 = 17²;

y₁ = $\frac{25-17}{8}$ = 1; y₂ = $\frac{25+17}{8}$ = $\frac{42}{8}$ = 5$\frac{1}{4}$.

x₁ = 5 – 1 = 4; x₂ = 5 – 5$\frac{1}{4}$ = –$\frac{1}{4}$.

2. x + y = –5, x = –5 –y,

x² – 3xy – 4 = 0; (–5 –y)² – 3y(–5 – y) – 4 = 0;

x = –5 – y, x = –5 – y,

25 + 10y + y² + 15y + 3y² – 4 = 0; 4y² + 25y + 21 = 0.

4y² + 25y + 21 = 0; D = 625 – 336 = 289;

у₁ = $\frac{-25-17}{8}$ = –$\frac{42}{8}$ = –5$\frac{1}{4}$; у₂ = $\frac{-25+17}{8}$ = –1.

x₁ = –5 – 5$\frac{1}{4}$ = –10$\frac{1}{4}$; x₂ = –5 – 1 = –6.

Відповідь: (4; 1), (–$\frac{1}{4}$; 5$\frac{1}{4}$), (–10$\frac{1}{4}$; –5$\frac{1}{4}$), (–6; –1).

6) 2x² – y² = 14, 2(–$\frac{6}{у}$)² – у² = 14, 2 • $\frac{36}{{у}^2}$ – y² = 14,

ху = –6; x = –$\frac{6}{y}$; x = –$\frac{6}{y}$;

$\frac{72}{{у}^2}$ – y² – 14 = 0, $\frac{72-{у}^4-{14у}^2}{{у}^2}$ = 0, y⁴ + 14y² – 72 = 0,

x = –$\frac{6}{y}$; x = –$\frac{6}{y}$; x = –$\frac{6}{y}$;

(y² + 18)(y² – 4) = 0, y² = 4, y = –2 або y = 2,

x = –$\frac{6}{y}$; x = –$\frac{6}{y}$; x = 3 х = –3.

Відповідь: (–3; 2), (3; –2).

7) $\frac{у}{х}$ – $\frac{1}{у}$ = $\frac{1}{10}$, $\frac{у-х}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{1}{10}$, $\frac{у-х}{50}$ = $\frac{1}{10}$, y – x = 5, y = x + 5,

ху = 50; ху = 50; ху = 50; ху = 50; x(x + 5) – 50 = 0;

y = x + 5, y = x + 5, x = –10, або x = 5,

x² + 5x – 50 = 0; x = –10 або x = 5; y = –5 y = 10.

Відповідь: (–10; –5), (5; 10).

8) $\frac{х}{у}$ – $\frac{у}{х}$ = $\frac{16}{15}$, $\frac{{х}^2-{у}^2}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{16}{15}$; $\frac{16}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{16}{15}$, ху = 15,

x² – y² = 16; x² – y² = 16; x² – y² = 16; x² – y² = 16;

x = $\frac{15}{y}$, x = $\frac{15}{y}$, x = $\frac{15}{y}$,

($\frac{15}{y}$)² – y² = 16; $\frac{225}{{у}^2}$ – y² = 16; 225 – y⁴ – 16y² = 0, у $\ne$ 0;

x = $\frac{14}{y}$, x = $\frac{15}{y}$, x = $\frac{15}{y}$,

y⁴ + 16y² – 225 = 0; (y² + 25)(y² – 9) = 0; (y² + 25) = 0 – розв'язків немає.

Або x = $\frac{15}{y}$, y = –3 або y = 3,

(y² – 9) = 0; x = –5 x = 5.

Відповідь: (–5; –3), (5; 3).

9) $\frac{х}{у}$ + $\frac{у}{х}$ = $\frac{25}{12}$, $\frac{{х}^2+{у}^2}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{25}{12}$; $\frac{25}{\mathrm{ху}}$ = $\frac{25}{12}$, ху = 12,

x² + y² = 25; x² + y² = 25; x² + y² = 25; x² + y² = 25;

x = $\frac{12}{y}$, x = $\frac{12}{y}$, x = $\frac{12}{y}$,

($\frac{12}{y}$)² + y² = 25; $\frac{144}{{у}^2}$ + y² = 25; y⁴ – 25y² + 144 = 0, у $\ne$ 0;

x = $\frac{12}{y}$, x = $\frac{12}{y}$, або x = $\frac{12}{y}$,

(y² – 16)(y² – 9) = 0; (y² – 16) = 0 (y² – 9) = 0.

1. x = $\frac{12}{y}$, y = –4, або y = 4,

y² = 16; x = –3 x = 3.

2. x = $\frac{12}{y}$, y = –3, або y = 3,

y² = 9; x = –4 x = 4.

Відповідь: (–3; –4), (3; 4), (–4; –3), (4; 3).

10) x² + 2xy = 5, +

y² – 4xy = –4;

x² – 2xy + y² = 1; (x – y)² = 1; x – y = $\pm$1.

1. x – y = 1, x = y + 1,

x² + 2xy = 5; (y + 1)² + 2y(у + 1) – 5 = 0;

x = y + 1, x = y + 1,

у² + 2y + 1 + 2y² + 2y – 5 = 0; 3y² + 4y – 4 = 0.

3y² + 4y – 4 = 0; D = 16 + 48 = 64. у₁ = $\frac{-4+8}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$;

у₂ = $\frac{-4-8}{6}$ = –2; x₁ = $\frac{2}{3}$ + 1 = 1$\frac{2}{3}$; x₂ = –2 + 1 = –1.

2. x – y = –1, x = y – 1,

x² + 2xy = 5; (y – 1)² + 2y(y – 1) – 5 = 0;

x = y – 1, x = y + 1,

y² – 2y + 1 + 2y² – 2y – 5 = 0; 3y² – 4y – 4 = 0.

3y² – 4y – 4 = 0; D = 16 + 48 = 64.

y₃ = $\frac{4+8}{6}$ = 2; y₄ = $\frac{4-8}{6}$ = –$\frac{4}{6}$ = –$\frac{2}{3}$; x₃ = 2 – 1 = 1; x₄ = –$\frac{2}{3}$ – 1 = –1$\frac{2}{3}$.

Відповідь: (1$\frac{2}{3}$; $\frac{2}{3}$), (–1; –2), (1; 2), (–1$\frac{2}{3}$; –$\frac{2}{3}$).