Відповіді до завдань § 12 - § 14: 12.54

12.54. Відомо, що числа a, b і $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ раціональними. Чи можна стверджувати, що числа$\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ теж раціональні?

Розглянемо добуток ($\sqrt{a}$+ $\sqrt{b}$)($\sqrt{a}$ – $\sqrt{b}$) = а – b.

Число $\sqrt{a}$ – $\sqrt{b}$, яке дорівнює відношенню чисел а – b і $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$, є раціональним, оскільки частка двох раціональних чисел — число раціональне.

Сума двох раціональних чисел

$\frac{1}{2}$($\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$) + $\frac{1}{2}$($\sqrt{a}$ – $\sqrt{b}$) = $\frac{1}{2}\sqrt{a}$ + $\frac{1}{2}\sqrt{b}$+ $\frac{1}{2}\sqrt{a}$ – $\frac{1}{2}\sqrt{b}$ = $\sqrt{a}$ – число раціональне, їх різниця

$\frac{1}{2}$($\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$) – $\frac{1}{2}$($\sqrt{a}$ – $\sqrt{b}$) = $\frac{1}{2}\sqrt{a}$ + $\frac{1}{2}\sqrt{b}$– $\frac{1}{2}\sqrt{a}$ + $\frac{1}{2}\sqrt{b}$ = $\sqrt{b}$

теж число раціональне.