Вправи: 155-156

155. Скільки розв’язків має нерівність:

а) немає розв’язків; б) немає розв’язків; в) x = 0.

156. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності |–2x – 3| > 5?

∣−2x − 3∣ > 5;

x > 1 або x < −4.

Із наведених чисел підходить лише 2.

Відповідь: Д. 2.

157. Розв’яжіть нерівність:

а) x + З < х;

x – x < –3;

0 < –З, немає розв’язків.

б) x – З ≤ х;

х – x ≤ 3;

0 ≤ З, нерівність правильна при кожному значенні х.

Відповідь: (–∞; ∞).

в) З + x > 3;

x > 0.

Відповідь: (0; ∞).

158. Довжини сторін трикутної хустинки — круглі цілі числа і дві з них становлять 30 см та 40 см. Якої найбільшої довжини за таких умов може бути третя сторона?

За нерівністю трикутника: x < 30 + 40 = 70.

Найбільше ціле число, менше за 70: 69 см.

159. Зобрази у вигляді проміжків і на координатній прямій

множини чисел, що задовольняють нерівність:

a) x < 4;	б) x > –1;	в) x ≥ 5;	г) x ≤ 0,5.

160. Зобрази у вигляді проміжків і на координатній прямій

множини чисел, що задовольняють нерівність:

a) x < –2;	б) x > 3;	в) x ≤ 6.	г) x ≥ –4.

161. Розв’яжи нерівність.

а) x + 2 > 5; б) x – 4 > 0; в) 2 + x > 3;

x > 3. x > 4. x > 1.

г) Зх > 15; ґ) 4у < 36; д) 5z ≥ 35;

x > 5. у < 9. z ≥ 7.

162. Розв’яжи нерівність.

а) 1З + х > 15; б) x + 7 > 0; в) 2х – 5 ≥ 0;

x > 2. x > –7. x ≥ 2,5.

г) 4х ≥ 20; ґ) 3x – 1,5 ≤ 0; д) 10 + 5х < 0;

x ≥ 5. x ≤ 0,5. x < –2.

163. Розв’яжи нерівність.

а) –х < 5; б) –2z ≥ –4; в) –x < 0;

x > –5. z ≤ 2. x > 0.

г) 5х – 4 < Зх; ґ) 6z + 1 > 2z; д) у + 5 < 2у;

5х – 3х < 4; 6z – 2z > –1; у – 2у < –5;

2х < 4; 4z > –1; –у < –5;

x < 2. z > –0,25. у > 5.

164. Розв’яжи нерівність.

а) –5х ≤ 15; б) –Зх > –3; в) –5z ≤ –1;

x ≥ –3. x < 1. z ≥ 15.

г) Зх + 2 < 5; д) 7х – 4 ≥ 8; ґ) 9х + 5 > 5;

x < 1. x ≥ 157. 9х > 0; x > 0.

165. Чи рівносильні нерівності:

а) 2x + З > x + 8;2х – x > 8 – 3;x > 5.Нерівності рівносильні,в) 3 – 5x < х;–5x – x < –3;6х >3.Нерівності рівносильні.

б) 2х – З ≥ 2;2х – З ≥ 1 + 1;2х – 4 ≥ 1.Нерівності рівносильні,г) Зх – 1 < 6 – 2хпомножимо обидві частини нерівності на –1;1 – Зх > 2х – 6.Нерівності не рівносильні.

166. Розв’яжи нерівність.

а) 8х – 3 > 5x + 6;8х – 5х > 6 + 3;Зх > 9; x > 3.Відповідь: (3; ∞).в) 2х – З ≤ Зх – 8;2х – З ≤ –8 + 3;–x ≤ –5; x ≥ 5.Відповідь: [5; ∞).ґ) з + x > 2x – 3;З + З > 2x – 3; x < 6;Відповідь: (–∞; 6).е) З – 5х > 4 – 5х;–5х + 5х > 4 – 3;0 > 1.Відповідь: розв’язків немає.

б) 7y – 13 < 5y – 9;7y – 5у < –9 + 13;2у < 4; у < 2.Відповідь: (–∞; 2).г) x – 15 ≥ 4х + 3;x – 4 ≥ 15 + 3;–Зх ≥ 18; x ≤ –6 .Відповідь: (–∞; –6].д) 5 – 2у < у + 8;5 – 8 < у + 2у;–З < Зy;–1 < у; у > –1.Відповідь: (–1; ∞).є) 8 + 6z < 13 + 6z;6z – 6z ≤ 13 – 8;0 ≤ 5.Відповідь: (–∞;∞)

167. Розв’яжи нерівність.

а) 6х + 21 ≤ 5х + 8;6х – 5х ≤ 8 – 21;х ≤ –13.Відповідь: (∞; –13].в) 7х – 5 > Зх + 7;4х > 12;x > 3.Відповідь: (3; ∞).ґ) 18 – 7х ≥ 5х + 30;–12х ≥ 12;x ≤ –1.Відповідь: (–∞; –1].

б) Зх + 7 < 7х + 3;–4х < –4;x > 1.Відповідь: (1; ∞).г) 2х – 9 ≥ 9х + 5;– 7х ≥ 14;x ≤ –2.Відповідь: (–∞; –2].д) 17 – x > 10 – 6х;5х > –7;x > –1,4.Відповідь: (–1,4; ∞).

168. Розв’яжи нерівність.

а) 3(х + 1) > x + 5;Зх + З > x + 5;2х > 2; x > 1.Відповідь: (1; ∞).в) 4(х – 2) < x + 1;4х – 8 < x + 1;Зх < 9; x < 3.Відповідь: (–∞; 3).ґ) 2(х + 3) ≥ 5х – 9;2х + 6 ≥ 5х – 9;–Зх ≥ –15; x ≤ 5.Відповідь: (–∞; 5].

б) 2(х – 1) + 4 < x + 7;2х – 2 + 4 < х + 7;x < 5.Відповідь: (–∞; 5).г) 3(х + 2) – 4 > x + 2;Зх + 6 – 4 > х + 2;2х > 0; x > 0.Відповідь: (0; ∞).д) 4(х + 3) – Зх ≤ x – 5;4х + 12 – Зх ≤ x – 5;12 ≤ –5.Відповідь: немає розв’язків.

169. Розв’яжи нерівність.

а) –5(х – 1) < З – 7х;–5х + 5 < З – 7х;2х < –2; x < –1.Відповідь: (–∞; –1 ).в) 3(2 – х) > x – 6;6 – Зх > x – 6;–4х > –12; x < 3.Відповідь: (3; ∞).ґ) 8 – 3(х – 2) > 4х;8 – Зх + 6 > 4х;–7х > –14; x < 2.Відповідь: (–∞; 2).

б) 2(3 – х) – x < 7 + Зх;6 – 2х – x < 7 + Зх;– 6х < 1; х > –16.Відповідь: (–16; ∞).г) –3(2 + х) + 5х ≤ 2х + 1;–6 – Зх + 5х ≤ 2х + 1;–6 ≤ 1.Відповідь: (–∞; ∞).д) 5y < 12 – 4(y + 5);5у < 12 – 4у – 20;5у + 4у < –8; y < –89.Відповідь: (–∞; –89)

170. За якої умови набуває від’ємних значень вираз:

a) 7 + 5x < 0;5x < –7;x < –1,4.Відповідь: при х ∈ (–∞; –1,4).в) 7 – 2x < 0;–2х < –7;x > 72 = 3,5.Відповідь: при х ∈ (3,5; ∞).

б) 10 – 0,5x < 0;–0,5x < –10;x > 20.Відповідь: при х ∈ (20; ∞).

171. За якої умови набуває невід’ємних значень вираз:

а) 25 + 5х ≥ 0;5x > –25;x ≥ –5.Відповідь: при х ∈ [–5; ∞).в) 1,2 – Зx ≥ 0;–Зх ≥ –1,2;x ≤ 0,4.Відповідь: при х ∈ (–∞; 0,4].

б) 3 + 1,5x ≥ 0;1,5х ≥ –3;x ≥ –2.Відповідь: при х ∈ [–2; ∞).

172. За якої умови значення даного виразу більше за 10:

а) 3 + 7x > 10;7х > 7;x > 1.Відповідь: при x ∈ (1; ∞).в) 12 – 5x > 10;–5x > –2;x < 0,4.Відповідь: при х ∈ (–∞; 0,4)

б) 5,4 – 2,3x > 10;–2,3x > 4,6;x < –2.Відповідь: при х ∈ (–∞; –2).

173. За якої умови значення виразу 3x – 7 більше за відповідне

значення виразу:

а) Зх – 7 > 2х + 1;х > 8.Відповідь: при х ∈ (8; ∞).в) Зx – 7 > Зx – 5;–7 > –5;Відповідь: немає розв’язків.

б) Зx – 7 > 5x – 2;–2x > 5;x < –2 ,5 .Відповідь: при х ∈ (∞; –2,5).

175. Розв’яжи нерівність.

а) 5x7 ≤ 3;5x ≤ 21;x ≤ 4,2.Відповідь: (–∞; 4,2].	б) –3x4 < 5;–Зх < 20;x > –623. Відповідь: (–623; ∞).
в) 0 > 5x11;0 > x.Відповідь: (–∞; 0).	г) 3x-14 ≤ 2;Зx – 1 ≤ 8; x ≤ 3.Відповідь: (–∞; 3].
ґ) 2x+57 > 3;2х + 5 > 21;x > 8.Відповідь: (8; ∞).	д) 7x-35 > x;7х – 3 > 5х;2х > 3; x > 1,5.Відповідь: (1,5; ∞).

176. Розв’яжи нерівність.

а) 3x5 > 2;Зх > 10;x > 313.Відповідь: (313; ∞).	б) 2x3 < –4;2х < –4;x < –6.Відповідь: (–∞; –6).
в) 0 ≥ 17x5;0 ≥ x.Відповідь: (–∞; 0]. ґ) 12-4x5 ≤ 0; 12 – 4x ≤ 0; 4x ≥ 12; x ≥ 3.Відповідь: [3; +∞).	г) 5x+12 > 3;5x + 1 > 3.x > 55 = 1. Відповідь: (1; ∞)д) 35(x – 4) > 12;x – 4 > 20; x > 24. Відповідь: (24; ∞).

177. Розв’яжи нерівність.

2х+105 > –4;

2х + 10 > –20;

2х > –30;

х > –15.

(–15; +∞)

Відповідь: Д.

178. Розв’яжи нерівність.

а) (х + 2)2 > 5х + х2;х2 + 4x + 4 – 5х – х2 > 0;–x > –4;x < 4.Відповідь: (–∞; 4).в) 4 – (х – 2)2 > x – x2;4 – х2 + 4х – 4 – x + x2 > 0;Зх > 0;x > 0.Відповідь: (0; ∞).

б) (х + 3)2 – 2x ≥ 5x + x2; x2 + 6x + 9 – 2x – 5x – x2 ≥ 0; –x ≥ –9; x ≤ 9.Відповідь: (–∞; 9]. г) (7 – x)2 – x2 ≤ x – 11;49 – 14x + x2 – x2 – x + 11 ≤ 0; –15x ≤ –60; x ≥ 4.Відповідь: [4; ∞).

179. Розв’яжи нерівність.

а) (х – 3)2 ≤ x2 – x;х2 – 6х + 9 – х2 + x ≤ 0;–5х ≤ –9;x ≥ 1,8.Відповідь: [1,8; ∞).в) 1 – (x + 2)2 < 5 – x2;1 – x2 – 4x – 4 – 5 + x2 < 0;–4х < 8;x > –2.Відповідь: (–2; ∞).

б) (x – 2)2 + 7х < х2 – Зх;x2 – 4x + 4 + 7x – x2 + Зx < 0; –6x < –4;x > 23. Відповідь: (23; ∞).г) (x – 5)2 – 7 > x2 + 8;x2 – 10x + 25 – 7 – x2 – 8 > 0;–10х > –10;x < 1.Відповідь: (–∞; 1).

180. Яке найбільше натуральне значення n задовольняє нерівність:

а) 18 – 3(n – 15) > 11n;

18 – Зb + 45 – 11n > 0; –14n > –63; n < 4,5.

Відповідь: найбільшим натуральним n, що задовольняє нерівність, є n = 4.

б) 0,3(n – 2) < 1,2 – 0,5(n + 2);

0,3n – 0,6 < 1,2 – 0,5n – 1;

0,3b + 0,5n < 0,2 + 0,6;

0,8n < 0,8; n < 1.

Відповідь: немає натуральних чисел n, що задовольняють нерівність.

181. Яке найменше ціле значення m задовольняє нерівність.

а) Зm + 8(2m – 1) > 5m + 35;

Зm + 16m – 8 > 5m + 35;

14n > 43; n > З114.

Відповідь: Найменше ціле значення n, що задовольняє нерівність,

n = 4.

б) m² + 4m ≤ (m + 2)²;

m² + 4n ≤ m² + 4m + 4;

0 ≤ 4.

Відповідь: дану нерівність задовольняє будь–яке число, отже, неможливо найти найменше ціле значення.

182. Запишіть по 2 нерівності, розв’язок яких зображено на малюнку 4.5.

а) x ≥ −3: x + 3 ≥ 0; 2x ≥ −6.

б) x ≤ 2: x − 2 ≤ 0; 3x ≤ 6.

в) x > −1: x + 1> 0; 2x > −2.

183. Напиши три різні нерівності, множини розв’язків яких відповідали б проміжку, зображеному на малюнку 4.6.

a) x < 4; б) Зх < 12; в) х + 4 < 8.

184. Контент–мейкер каналу створює відеоконтент, де відношення навчальних відео до гумористичних відповідно до плану становить 5 : 1. Яка найбільша кількість навчальних відео могла бути створена контент–мейкером для цього каналу, якщо загальна кількість відео не перевищує 130? Склади нерівність до задачі та розв’яжи її.

Нехай x — кількість гумористичних відео, тоді навчальних — 5x.

5x + x ≤ 130;

6x ≤ 130;

x ≤ 21.

5 • 21 = 105.

Відповідь: найбільше 105 навчальних відео.

185. Оля — фотограф, у неї є замовлення на зйомку в студії, оренда якої коштує 2800 грн/день. Для зйомки їй ще треба орендувати спеціальне освітлення за ціною 600 грн/год. У Олі є 1500 грн, і вона сьогодні отримала предоплату за зйомку 4200 грн. Оціни, на яку найбільшу кількість годин вона може орендувати освітлення. Склади нерівність до задачі та розв’яжи її.

Нехай x — кількість годин оренди освітлення.

2800 + 600x ≤ 1500 + 4200;

600x ≤ 2900;

x ≤ 4.

Відповідь: найбільше 4 години.

186. Музична школа отримала 360 000 грн спонсорської допомоги на придбання інструментів. Вона вирішила закупити електропіаніно за ціною 86 000 грн та гітари за ціною 7300 грн. Якщо школа купить 3 електропіаніно, скільки ще гітар вона зможе придбати на залишок коштів? Склади нерівність до задачі та розв’яжи її.

Нехай x — кількість гітар.

3 • 86000 + 7300x ≤ 360000;

7300x ≤ 102000;

x ≤ 13.

Відповідь: найбільше 13 гітар.

187. Для яких значень х значення функції у = 23x – 7:

а) додатні; б) невід’ємні; б) більші від 5; г) не менші від –13?

a) 23x – 7 > 0;x > 7 • 32;x > 10,5.Відповідь: при х ∈ (10,5; ∞).в) 23x – 7 ≥ –13;23x ≥ –13 + 213;x ≥ 203 • 32;x ≥ 10.Відповідь: при x ∈ [10; ∞).

б) 23x – 7 > 0;x > 12 • 32;x > 18.Відповідь: при x ∈ (18; ∞).

188. Для яких x значення функції у = 5,2 – 2,5x:

а) 5,2 − 2,5x < 0;

−2,5x < −5,2;

x > 2,08.

Відповідь: x ∈ (2,08; +∞).

б) 5,2 − 2,5x < −4,8;

−2,5x < −10;

x > 4.

Відповідь: x ∈ (4; +∞).

в) 5,2 − 2,5x ≤ 7,7;

−2,5x ≤ 2,5;

x ≥ −1.

Відповідь: x ∈ [−1; +∞).

189. При яких значеннях змінної має зміст вираз?

З’ясуємо, при яких значеннях змінної х наведені вирази мають зміст:

а) 3x-6 має зміст при невід’ємному (Зх – 6), тобто Зх – 6 ≥ 0;

х ≥ 2.

Відповідь: при х ≤ 4.

б) 4- x має зміст при невід’ємному (4 – х), тобто 4 – х ≥ 0; х ≤ 4.

Відповідь: х ≤ 4.

в) -(2- x) має зміст при невід’ємному (–(2 – х)), тобто –(2 – х) ≥ 0; 2 – x ≤ 0; x ≥ 2.

Відповідь: при х ≥ 2.

г) 0,6-0,3x має зміст при 0,6 – 0,3х ≥ 0; –Зх ≥ –0,6;

x ≤ 0,60,3; x ≤ 2.

Відповідь: при x ≤ 2.

ґ) 1-5(x+3) має зміст при 1 – 5(x + 3) ≥ 0; 1 – 5x – 15 ≥ 0;

–5x ≥ 14; x ≤ –145; x ≤ –2,8.

Відповідь: x ≤ –2,8.

д) x + 2- x має зміст при 2 – х ≥ 0; –х ≥ –2; x ≤ 2.

Відповідь: x ≤ 2.

е) 2х2х- 9 має зміст при додатному (2x − 9), тобто 2x – 9 > 0;

2x > 9; x > 92; x > 4,5.

Відповідь: при x > 4,5.

є) 714-2х має зміст при додатному (14 − 2x), тобто 14−2x > 0;

−2x > −14; x < 7.

Відповідь: при x < 7.

190. При яких значеннях змінної має зміст вираз?

а) 2х- 8 має зміст при невід’ємному (2x − 8), тобто 2x −8 ≥ 0;

2x ≥ 8; x ≥ 4.

Відповідь: при x ≥ 4.

б) 16-8х має зміст при невід’ємному (16 − 8x), тобто 16 − 8x ≥ 0;

−8x ≥ −16; x ≤ 2.

Відповідь: при x ≤ 2.

в) 2-3(2х+5) має зміст при невід’ємному (2 − 3(2x + 5)), тобто

2 − 3(2x + 5) ≥ 0; 2 − 6x − 15 ≥ 0; −6x ≥ 13; x ≤ −136.

Відповідь: при x ≤ −136.

г) х-53х+18 має зміст при додатному (3x + 18), тобто 3x + 18 > 0;

3x > −18; x > −6.

Відповідь: при x > −6.

191. Знайди область визначення функції у = 156-4х. У відповіді запиши найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

у = 156-4х має зміст при додатному (56 − 4x), тобто 56 − 4x > 0;

−4x > −56; x < 14.

Область визначення: x ∈ (−∞; 14).

Найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення, — 13.

Відповідь: 13.

192. Розв’яжи нерівність.

а) 3(х + 4) + 2(3х – 2) > 5х – 3(2х + 4);

Зx + 12 + 6x – 4 > 5x – 6x – 12;

Зх + 6х – 5х + 6х > –12 – 12 + 4;

10x > –20; x > –2.

Відповідь: (–2; ∞).

б) 2х – 6 – 5(2 – х) ≤ 12 – 5(1 – х);

2x – 6 – 10 + 5x ≤ 12 – 5 + 5х;

2х + 5х – 5х ≤ 12 – 5 + 6 + 10;

2х ≤ 23; х ≤ 232.

Відповідь: (–∞; 232].

в) 2,5(2 – z) – 3,5(z – 1) ≤ 2,5(z + 2) – 1,5(2 – z);

5 – 2,5z – 3,5z + 3,5 ≤ 2,5z + 5 – З + 1,5z;

–2,5z – 3,5z – 2,5z – 1,5z ≤ 5 – З – 5 – 3,5;

–10z ≤ –6,5; z ≥ 6,510; z ≥ 0,65.

Відповідь: [0,65; ∞).

193. Розв’яжи нерівність.

а) y + 7 > 4(2 – у) – 12(4 – 2у) + 17(у – 1);

y + 7 > 8 – 4y – 48 + 24y + 17у – 17;

y + 4y – 24y – 17y > 8 – 7 – 48 – 17;

–36 > –64; у < 6436; у < 169.

Відповідь: (–∞; 169).

б) x + 7 < 5(2x + 8) + 13(4 – х) – 3(х – 2);

x + 7 < 10х + 40 + 52 – 13x – Зx + 6;

x – 10х + 13х + Зх < 40 + 52 + 6 – 7;

7х < 91; x < 917; x < 13.

Відповідь: (–∞; 13).

в) 0,2(х – 2) – 0,3(3 – x) ≥ 0,4(2х – 1) – 0,5(x – 1);

0,2x – 0,4 – 0,9 + 0,3x ≥ 0,8x – 0,4 – 0,5x + 0,5;

0,2x + 0,3x – 0,8x + 0,5x ≥ –0,4 + 0,5 + 0,4 + 0,9;

0,2x ≥ 1,4; х ≥ 1,40,2; х ≥ 7.

Відповідь: [7; ∞).

194. Розв’яжи нерівність.

a) x2 + x4 > 6;2x+ x4 > 6;3x > 24;x > 8.Відповідь: (8; ∞).

б) 2+ x3 – 3- x2 > 04+2x-9+3x6 > 0;–5 + 5х > 0;5х > 5;x > 1.Відповідь: (1; ∞).

в) 3(2+ c)2 – 6 < 7c-23 – 12+4c5 | • 30 (найменший спільний знаменник);

15 • 3(2 + с) – 6 • 30 < 10(7с – 2) – 6(12 + 4с);

90 + 45с – 180 < 70c – 20 – 72 – 24с;

45с – 70с – 24с < –20 – 72 – 90 + 180; – с < –2; с > 2;

тоді с ∈ (2; +∞).

Відповідь: (2; +∞).

195. Розв’яжи нерівність.

а) 3х2 – х3 > 2;9х-2х6 > 2;7х > 12;х > 127.Відповідь: (127; ∞).

б) 3-у4 – у+25 ≥ 2; 15-5у-4у-820 ≥ 2;7 – 9 > 40;–9y ≥ 40 – 7;–9у ≥ 33;y ≤ –39; y = –113.Відповідь: (–∞; –113].

в) 5z-1810 – 27-10z14 > 3z-125 – 9-4z7 | • 70 (найменший спільний знаменник);

7(5z – 18) – 5(27 – 10z) > 14(3z – 12) – 10(9 – 4z);

35z – 126 – 135 + 50z > 42z – 168 – 90 + 40z;

35z + 50z – 42z – 40z > –168 – 90 + 126 + 135; Зz > 3; z > 1;

тоді z ∈ (1; +∞).

Відповідь: (1; +∞).

196. Розв’яжи нерівність

х3 < х2 + 3 | • 6 (найменший спільний знаменник);

2x < 3x + 18;

−x < 18;

x > −18.

x ∈ (−18; +∞).

Відповідь: Г.

197. Розв’яжи нерівність.

а) (x – 2)(x – 3) > х²; х² – Зх – 2х + 6 > х²; –5х > –6; х < 65; тоді

х ∈ (–∞; 115);

б) (2х – 1)(3х + 5) ≤ 6x²; 6х² + 10х – Зх – 5 ≤ 6х²; 7х ≤ 5; х ≤ 57; тоді х ∈ (–∞; 57];

в) (Зх – 1)² ≤ 9х(х – 2); 9х² – 6х + 1 ≤ 9х² – 18x; –6x + 18х ≤ –1;

12х ≤ –1; x ≤ –112; тоді х ∈ (–∞; –112].

г) (Зх – 2)² ≥ (3х + 2)² – 48; 9х² – 12х + 4 ≥ 9х² + 12x + 4 – 48;

–12x + 4 ≥ 12х – 44; x ≤ 2; тоді x ∈ (−∞; 2].

Відповідь: а) x ∈ (–∞; 115); б) x ∈ (–∞;57]; в) x ∈ (–∞; –112].

198. Розв’яжи нерівність.

а) (х + 5)(х – 7) < х²; x² – 7х + 5х – 35 < х²; –7х + 5х < 35;

–2х < 35; x > –17,5; тоді x ∈ (–17,5; +∞);

б) (Зх – 2)(3 + 2х) ≥ 6х²; 9х + 6х² – 6 – 4х ≥ 6х²; 5х ≥ 6; х ≥ 65; тоді х ∈ [115; +∞);

в) (у + 3)² ≥ у(у – 5); y² + 6y + 9 ≥ у² – 5у; 6у + 5у ≥ –9;

11y ≥ –9; y ≥ –911; тоді y ∈ [–911; +∞);

г) (z – 2)² < (z – 3)(z + 5); z² – 4z + 4 < z² – 3z + 5z – 15;

–4z + 5z – 3z < –15 – 4; –6z < –19; z > -19-6; z > 316; тоді

z ∈ (316; +∞);

Відповідь: а) x ∈ (–17,5; +∞); б) x ∈ [115; +∞);

199. Розв’яжи нерівність.

а) (2х – 3)(5х + 2) – (Зх – 1)(4х + 2) > 2(1 – x)(1 + х) – х;

10х² – 15x + 4x – 6 – 12х² + 4x – 6x + 2 > 2(1 – х²) – х;

10х² – 11x + 6 – 12х² – 2х – 2 > 2 – 2х² – x;

–2х² – 13x – 8 > 2 – 2x² – x; –13x + х > 2 + 8; –10х > 10;

x < 10-10; x < –1; x ∈ (–∞; –1);

б) (4х + 1)(3x – 5) + (2x + 3)(5x – 4) < 2x² + 5(2x – 1)²;

12x² – 20x + Зx – 5 + 10x² – 8x + 15х – 12 < 2x² + 5(4x² – 4x + 1);

22x² – 10x – 17 < 2х² + 20х² – 20x + 5;

22x² – 10х – 17 < 22x² – 20х + 5;

–10x + 20х < 5 + 17; 10х < 22; х < 2,2; х ∈ (–∞; 2,2).

Відповідь: а) (–∞; –1); б) (–∞; 2,2).

200. Розв’яжи нерівність.

а) (Зх – 2)(3х + 2) – (2х – 3)² ≤ 5х(х + 7) + 10;

9х² – 4 – (4х² – 12х + 9) ≤ 5х² + 35х + 10;

9x² – 4 – 4х² + 12х – 9 ≤ 5х² + 35х + 10;

5х² + 12x – 13 ≤ 5x² + 35x + 10; 12x – 35x ≤ 10 + 13; –23x ≤ 23;

x ≥ 23-23;

x ≥ –1; x ∈ [–1; +∞);

б) (Зх + 1)² – (2х – 3)(3 – 2х) ≥ (2х + 1)² + (Зх – 7)(3х + 7);

9x² + 6х + 1 + (2x – 3) ≥ 4x² + 4х + 1 + 9х² – 49;

9x² + 6х + 1 + 4x² – 12х + 9 ≥ 13x² + 4х – 48;

13x² – 6х + 10 ≥ 13x² + 4x – 48; –6х – 4х ≥ –48 – 10; –10х ≥ –58;

х ≤ -58-10; x ≤ 5,8; x ∈ (–∞; 5,8].

Відповідь: а) [–1; +∞); в) –∞; 5,8].

201. На малюнку 4.7 зображено графіки функцій у = х і у = 4 – х2. Користуючись цими графіками, укажи множину розв’язків нерівності х < 4 – x2.

За малюнком 4.7, графіки функцій перетинаються в точці х = 4. Визначимо, на якому з проміжків графік функції у = х розміщується під прямою у = 4 – х2, оскільки х < 4 – х2. Цей проміжок [0; 4). Розв’язки нерівності х є [0; 4).

Відповідь: [0; 4).

202. Розв’яжіть графічно нерівність:

Побудуємо графіки функцій, що знаходяться в лівій і правій частинах нерівності; знайдемо точки їх перетину; визначимо, на якому числовому проміжку значення функцій задовольняють нерівність. Оскільки в кожному з рівнянь у лівій частині функція

у = x, де x ≥ 0, то розв’язки нерівностей знаходяться в І або IV чверті, тому графіки функцій достатньо побудувати в цих чвертях.

а) x > 8x.

Будуємо графіки функцій у = x і у = 8x (гіпербола). Вони перетинаються в точці з абсцисою x = 4.

Графік у = x лежить вище у = 8x, коли х > 4. Тому розв’язок нерівності x ∈ (4; +∞).

б) x ≥ х². Будуємо графіки функцій у = x і у = х² (квадратична парабола). Абсциса точки перетину функцій x = 1. Графік у = x проходить вище у = x² від 0 до 1. Рівні значення у функцій у точках x = 0 і x = 1. Тому нерівність справджується, коли 0 ≤ x ≤ 1 або x ∈ [0; 1].

в) x < x – 2. Будуємо графіки функцій у = x і у = x – 2 (пряма, що проходить через точки (0; –2) і (2; 0)). Абсциса точки перетину

х = 4. Графік y = x лежить нижче у = х = 2, коли х > 4.

Розв’язок нерівності х ∈ (4; +∞).

Відповідь. а) (4; +∞); б) [0; 1]; в) (4; +∞).

203. Розв’яжи подвійну нерівність.

а) –З ≤ 5х – 1 ≤ 4 | + 1; –2 ≤ 5х ≤ 5 | : 5; –0,4 ≤ х ≤ 1;

х ∈ [–0,4; 1];

б) –5 ≤ З – 2х < 1 | –3; –8 ≤ –2х < –2 | : (–2); 4 ≥ х > 1; 1 < х ≤ 4;

х ∈ (1; 4];

в) –3,4 ≤ 5 – 2х ≤ 1,8 | –5; –8,4 ≤ –2х ≤ –3,2 | : (–2); 4,2 ≥ х ≥ 1,6; 1,6 ≤ х ≤ 4,2; x ∈ [1,6; 4,2].

Відповідь: а) [–0,4; 1]; б) х ∈ (1; 4]; в) [1,6; 4,2].

204. Розв’яжи подвійну нерівність.

а) 1 < Зх + 4 < 7 | –4; –З < Зх < З | : 3; –1 < x < 1; X ∈ (–1; 1);

б) 0,7 < Зх + 1 < 1,3 | –1; –0,3 < Зх < 0,3 | : 3; –0,1 < х < 0,1;

х ∈ (–0,1; 0,1);

в) –8 < 7 – 5х < – З | –7; –15 < –5х < –10 | (–5); 3 > х > 2;

2 < х < 3; х ∈ (2; 3).

Відповідь: а) х ∈ (–1; 1); б) (–0,1 ; 0,1); в) (2; 3).

205. Розв’яжи подвійну нерівність і вкажіть її найбільший цілий розв’язок.

a) 2 < Зx – 5 < 7 | + 5; 7 < Зx < 12 | : 3; 213 < x < 4;

х ∈ (213; 4). Найбільший цілий розв’язок x = 3.

б) –З ≤ 4 – 2x ≤ З | –4; –7 ≤ –2х ≤ –1 | : (–2); 3,5 ≥ x ≥ 12;

0,5 ≤ x ≤ 3,5; x ∈ [0,5; 3,5]. Найбільший цілий розв’язок х = 3.

Відповідь: а) 3; б) 3.

206. Розв’яжи подвійну нерівність і вкажіть її найбільший цілий розв’язок.

а) –2 ≤ 1 – Зx ≤ 4 | –1; –3 ≤ –Зх ≤ 3 | : (–3); 1 ≥ x ≥ –1;

–1 ≤ x ≤ 1; х ∈ [–1; 1]. Найбільший цілий розв’язок х = 1.

б) –0,3 < 2,7 + 0,1x < 1,7 | –2,7; –З < 0,1x < –1 | • 10;

–30 < x < –10; x ∈ (–30; 10). Найбільший цілий розв’язок х = –9.

Відповідь: а) 1; б) –9.

207. Укажи розв’язок нерівності –4 < 6 – 2x < 2.

−4 < 6 − 2x < 2;

−10 < −2x < −4;

5 > x > 2;

2 < x < 5.

Із наведених чисел підходить 3.

Відповідь: Г. 3.

208. Розв’яжи нерівність.

а) |х| < 5; тоді –5 < x < 5; х ∈ (–5; 5);

б) |x – 3| ≤ 7; тоді –7 ≤ x – З ≤ 7; –7 + З ≤ x ≤ 7 + 3;

–4 ≤ x ≤ 10; х ∈ [–4 ; 10];

в) |2x – 3| < 1; тоді –1 < 2x – З < 1; –1 + З < 2x < 1 + 3;

2 < 2x < 4; 1 < x < 2; x ∈ (1; 2).

Відповідь: а) (–5; 5); б) [–4; 10]; в) (1; 2).

209. Розв’яжи нерівність.

a) |x| ≤ 1, тоді –1 ≤ х ≤ 1; x [–1; 1];

б) |х + 7| < 3, тоді –3 < x + 7 > 3; – 3 – 7 < x < 3 – 7;

–10 < x < –4; x ∈ (–10; –4);

в) |5x – 3| ≤ 2, тоді –2 ≤ 5x – 3 ≤ 2; –2 + 3 ≤ 5x ≤ 2 + 3;

1 < 5x < 5; 15 ≤ x ≤ 1; x ∈ [15; 1].

Відповідь: a) [–13; 13]; б) (–10; –4); в) [15; 1].

210. Розв’яжи нерівність |x – 9|< 3. У відповіді запиши суму всіх її цілих розв’язків на проміжку [–15; 15].

|x − 9| ≤ 3; −3 ≤ x – 9 ≤ 3; 6 ≤ x ≤ 12.

Цілі розв’язки: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63.

Відповідь: 63.

211. Напиши нерівність зі змінною х: а) яка не має жодного розв’язку; б) яку задовольняє кожне дійсне число; в) яку задовольняє тільки одне число 5; г) яку задовольняють усі числа з проміжку (–2; 3).

Наприклад:

а) х – 2 > х (тоді –2 > 0, що неможливо);

б) х – 2 < х (тоді – 2 < 0, що правильно завжди при будь–яких х);

в) х-5 ≥ 5-х.

Побудуємо графіки функцій у = x-5 і y = 5- x.

Нерівності задовольняє тільки х = 5.

г) 1x+2 > 15.

Побудуємо графіки функцій y = 1х+2 і у = 15.

Нерівності задовольняють х ∈ (–2; 3).

212. При яких значеннях параметра а рівняння має два корені?

а) х² – 8х + 2а = 0;

Рівняння має два корені, якщо D > 0:

D = (−8)² – 4 • 1 • 2a = 64 − 8a;

64 − 8a > 0; a < 8.

Відповідь: при a<8.

б) x² − (2a + 1)x + a² – 3 = 0;

D = (2a + 1)² − 4(a − 3);

D = 4a² + 4a + 1 − 4a² + 12 = 4a + 13;

4a + 13 > 0;

a > −134​.

Відповідь: при a > −134​.

213. При яких значеннях параметра а не має коренів рівняння?

а) 2x² + 3x − 6a = 0;

Рівняння не має коренів, якщо D < 0:

D = 3² – 4 • 2 • (−6a) = 9 + 48a;

9 + 48a < 0;

a < −316​.

Відповідь: при a < −316​.

б) x² + (3 − 2a)x + a² − a = 0;

D = (3 − 2a)² − 4(a − a);

D = 9 − 12a + 4a² − 4a² + 4a = 9 − 8a;

9 − 8a < 0;

a > 98.

Відповідь: при a > 98.

214. При яких значеннях параметра а обидва корені рівняння додатні?

а) x² − (a + 2)x + 3a – 3 = 0;

За теоремою Вієта:

x₁ + x₂ = a + 2 > 0;

x₁x₂ = 3a – 3 > 0.

Звідси: a > −2, a > 1.

D = (a − 4)² ≥ 0.

Отже, a > 1.

Відповідь: при a > 1.

б) x² − (a + 7)x + 5a + 10 = 0;

x₁ + x₂ = a + 7 > 0;

x₁x₂ = 5a + 10 > 0.

a > −7, a > −2.

D = (a − 3)² ≥ 0.

Отже, a > −2.

Відповідь: при a > −2.

215. При яких значеннях параметра а обидва корені рівняння?

x² − (a − 1)x + 2a – 6 = 0;

(x − 2)(x – a + 3) = 0.

x₁ = 2, x₂ = a − 3.

Оскільки обидва корені мають бути не більші за 3:

2 ≤ 3; a – 3 ≤ 3; a ≤ 6.

Відповідь: при a ≤ 6.

216. Визнач суму всіх цілих значень параметра а, за яких один корінь рівняння 2x² – (4a + 9)x + 6a + 9 = 0 належить проміжку (–8; 0), а другий — проміжку (1; 5).

f(x) = 2x² − (4a + 9)x + 6a + 9.

Щоб один корінь належав (−8; 0), а другий — (1; 5), потрібно:

f(−8) > 0, f(0) < 0, f(1) < 0, f(5) > 0.

f(−8) = 38a + 209 > 0; a > −112.

f(0) = 6a + 9 < 0; a < −32.

Отже, −112 < a < −32.

Цілі значення: a = −5, −4, −3, −2.

Їх сума: −5 – 4 – 3 – 2 = −14.

Відповідь: −14.

217. Для кожного значення параметра а розв’яжи нерівність.

а) ах > 5. Якщо а < 0, то x < 5a; якщо а > 0, то х > 5a;

якщо а = 0, то 0 • x > 5 — неправильна нерівність, отже, розв’язків немає.

Відповідь: при а < 0, x ∈ (–∞; 5a); при а > 0, х ∈ (5a; +∞); при а = 0 розв’язків немає.

б) (а – 3)х ≤ (а² – 9); (a − 3)x ≤ (a − 3)(a + 3).

Якщо a – 3 < 0, тобто a < 3, то х ≥ (а-3)(а+3)а-3; x ≥ a + 3.

Якщо a – 3 > 0, тобто a > 3, то х ≤ (а-3)(а+3)а-3; x ≤ a + 3.

Якщо a – 3 = 0, тобто a = 3, то 0 • x ≤ 0 — правильна нерівність, отже, x — будь–яке число.

Відповідь: при a < 3, x ∈ [a + 3; +∞); при a > 3, x ∈ (−∞; a + 3]; при a = 3, x ∈ R.

в) (2а – 1)x < 4а² – 4а + 1; (2а – 1)х < (2а – 1)².

Якщо 2а – 1 < 0, тобто 2а < 1; а < 12, то х > (2a-1)22a-1; x > 2а – 1;

якщо 2а – 1 > 0, тобто 2а > 1; a > 12, то х < (2a-1)22a-1; x > 2а – 1;

якщо 2а – 1 = 0, тобто 2а = 1; а = 12, то 0 • х < 0 — неправильна нерівність, отже, нерівність коренів не має.

Відповідь: при а < 12, х ∈ (2а – 1; +∞); при а > 12, х ∈ (–∞; 2а – 1); при а = 12 коренів немає.

218. Для кожного значення параметра а розв’яжи нерівність.

а) ах < 6.

Якщо a < 0, то x > 6a;

якщо a > 0, то x < 6a;

якщо a = 0, то 0 • x < 6 — правильна нерівність, отже, x — будь–яке число.

Відповідь: при a < 0, x ∈ (6a; +∞); при a > 0, x ∈ (−∞; 6a); при a = 0,

x ∈ R.

б) (а + 2)х > (а² – 4); (a + 2)x > (a + 2)(a − 2).

Якщо a + 2 < 0, тобто a < −2, то (a+2)(a-2)a+2; x < a − 2.

Якщо a + 2 > 0, тобто a > −2, то (a+2)(a-2)a+2; x > a − 2.

Якщо a + 2 = 0, тобто a = −2, то 0 • x > 0 — неправильна нерівність, отже, розв’язків немає.

Відповідь: при a < −2, x ∈ (−∞; a − 2); при a > −2, x ∈ (a − 2; +∞); при a = −2 розв’язків немає.

в) (2a − 3)x ≤ 4а² – 12а + 9; (2a − 3)x ≤ (2a – 3)²;

Якщо 2a – 3 < 0, тобто a < 32, то х ≥ (2a-3)22a-3; x ≥ 2a − 3.

Якщо 2a – 3 > 0, тобто a > 32, то х ≤ (2a-3)22a-3; x ≤ 2a − 3.

Якщо 2a – 3 = 0, тобто a = 32, то 0 • x ≤ 0 — правильна нерівність, отже, x — будь–яке число.

Відповідь: при a < 32, x ∈ [2a − 3; +∞); при a > 32, x ∈ (−∞; 2a − 3]; при a = 32, x ∈ R.

219. Розв’яжи нерівність.

а) (2a-3)2 > 1x2 + x2, x ≠ 0;

1x2 − 2 + x2 > 1x2 + x2;

−2 > 0 — неправильна нерівність.

Відповідь: розв’язків немає.

б) 12+1 – x2 < 2 + 3;

2 – 1 – x2 < 2 + 3;

–x2 < 4; x > –8.

Відповідь: x ∈ (−8; +∞).

220. Туристи мають повернутися на базу не пізніше, ніж через 3 год. На яку найбільшу відстань вони можуть відплисти за течією річки на моторному човні, якщо його власна швидкість 10 км/год, а швидкість течії — 2 км/год?

Розв'язання. Виходячи з умови задачі, швидкість катера за течією становить 10 + 2 = 12 км/год, а проти течії — 10 – 2 = 8 км/год. Тоді, позначивши шукану відстань через х км, знайдемо, що туристи рухатимуться за течією протягом х12 години і проти течії — протягом х8 години, що разом має перевищувати 2 години.

Маємо нерівність х12 + х8 ≤ 3; 3х+2х24 ≤ 3; 5х ≤ 3 • 24; х ≤ 3•245;

x ≤ 14,4, тобто туристи можуть відплисти на відстань, яка не перевищує 14,4 км.

Відповідь: 14,4 км.

221. Виконайте дії:

а) 8 • 10⁵ + 4 • 10⁵ = 10⁵ • (8 + 4) = 12 • 10⁵;

б) 5 • 10^–8 – 8 • 10^–7 = 10⁷ • (5 • 10^–1 – 8) = 10^–7 • (5 • 0,1 – 8) = 10^–7 • (0,5 – 8) = –7,5 • 10^–7;

в) (3,7 • 10⁵) • 2,4 • 10⁸ = 3,7 • 2,4 • 10⁵⁺⁸ = 8,88 • 10¹³;

г) (3,6 • 10⁶) : (2,4 • 10³) = (3,6 : 2,4) • 10^6–3 = 1,5 • 10³.

222. Побудуйте графік рівняння.

а) xy + 6 = 0; ху = –6; y = –6x.

б) у² – x = 0; y² = х; у = ±x.

223. Юрій Олексійович Митропольський очолював Інститут математики НАН України 30 років з 1958 по 1988 рік. Його наступником став відомий український математик, учень Ю. О. Митропольського, прізвище якого ти дізнаєшся, якщо правильно встановиш відповідність між цифрами першої таблиці і буквами другої. Побудуй графік заданої функції.

1. (x = –1): (y = 4) → С;

2. (x = –2): (y = 3) → А;

3. (x = 4): (y = –3) → М;

4. (x = 3): (y = –4) → О;

5. (x = –3): (y = 0) → Й;

6. (x = 2,5): (y = –3,75) → Л;

7. (x = –4): (y = –5) → Е;

8. (x = 1,5): (y = –1,75) → Н;

9. (x = 6): (y = 5) → К;

10. (x = –1,5): (y = 3,75) → О.

Отримуємо: САМОЙЛЕНКО.

224. Знайди об’єднання та переріз множин А і В, якщо:

а) A ∪ B = {−6, −4, 0, 2, 4, 6, 8};

A ∩ B = {0, 2}.

б) A ∪ B = {Ш, К, О, Л, А, Д};

A ∩ B = {Ш, К, О, А}.

225. Об’єднанням наведених числових проміжків є проміжок (0; 2). Яке з тверджень хибне?

(0; 1) ∪ (1; 2) ≠ (0; 2).

Відповідь: А.

226. Перерізом яких числових проміжків буде одне число?

(−1; 3] ∩ [3; 5) = {3}.

Відповідь: В.

227. Які цілі числа містяться в числовому проміжку:

а) 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

в) −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.

г) −2, −1, 0, 1, 2, 3.

ґ) −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.

д) −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.

228. Скільки всього цілих чисел містить інтервал (–2,07; 15,9)?

Цілі числа: −2, −1, 0, …, 15. Усього 18.

Відповідь: Д. 18.

229. Якому проміжку належить значення виразу

-1+272 = -1+5,22 = 2,1.

2,1 ∈ [2; 3).

Відповідь: Г.

230. Чому дорівнює переріз проміжків [a; b] і (a; b)? А їх об’єднання?

[a; b] ∩ (a; b) = (a; b);

[a; b] ∪ (a; b) = [a; b].

231. Запиши приклад: а) інтервалу; б) відрізка.

а) (1; 5); б) [1; 5].

232. Запиши приклад нескінченного числового проміжка.

(−∞; 3).

233. Знайди об’єднання та переріз множин А і В, якщо:

A ∪ B = {⊛, ⊠, ⊕, ⊚=, ▦, ⊟, ⊖, ⊡}.

A ∩ B = {⊠, ⊚=}.

235. Зобрази на координатній прямій числовий проміжок:

а) (2; +∞) —

б) (−∞; 0) —

в) [−3; +∞) —

г) (−∞; −4] —

236. Зобрази у вигляді проміжків на координатній прямій множини чисел, що задовольняють нерівність:

а) x < 3; (–∞; 3); б) х ≥ –2; [–2; +∞),

в) x ≤ 0; (–∞; 0]; г) x > 7; (7; +∞).

237. Запиши символами числові проміжки, що відповідають проміжкам, зображеним на малюнку 5.18.

1) [–1; 5); 2) (–4; 0].

238. Запиши символами числові проміжки, що відповідають проміжкам, зображеним на малюнку 5.18.

1) (–2; +∞); 2) (–∞; 3];

239. Яка лінійна нерівність має множину розв’язк.

а) (3; +∞); б) (–2; +∞); x > –2;

в) (–∞; 7]; x ≤ 7; г) [–3; +∞); x ≥ –3.

240. Яка лінійна нерівність має множину розв’язків, зображену на малюнках 5.17 і 5.18?

Мал. 5.17: 1) –1 < x < 5; 2) –4 < x < 0.

Мал. 5.18: 1) x > –2; 2) x ≤ 3.

241. Знайдіть об’єднання і переріз числових проміжків.

а) [2; 3]; [3; 5];[2; 3] ∩ [3; 5] = {3};[2; 3] ∪ [3; 5] = [2; 5]	b) [–5; 0]; [–3; 0];[–5; 0] ∩ [–3; 0] = [–3; 0]; [–5; 0] ∪ [–3; 0] = [–5; 0]
c) [–5; 7]; [–7; 5);[–5; 7] ∩ [–7; 5) = [–5; 5); [–5; 7] ∪ [–7 ; 5) = [–7; 7].	e) (–2; –1); [–3; –1];[–3; –1] ∩ (–2; –1) = (–2; –1); [–3; –1] ∪ (–2; –1) = [–3; –1];
d) (1; 2); (–2; 1);(1; 2) ∩ (–2; 1) = ∅;(1; 2) ∪ (–2; 1) — об’єднання;	f) (–∞; 2); [–2; +∞);(–∞; 2) ∩ [–2; +∞) = [–2; 2);(–∞; 2) ∪ [–2; +∞) =(–∞; +∞).

242. Знайдіть об’єднання та перерізи \числових проміжків.

а) (0; 3); (0; 5); об’єднання (0; 5); переріз (0; 3);

б) (–2; 0); (–3; 0); об’єднання (–3; 0); переріз (–2; 0);

в) (–∞; 1); (0; 2); об’єднання (–∞; 2); переріз (0; 1);

г) (–2; +∞); (0; +∞); об’єднання (–2; +∞); переріз (0; +∞);

ґ) (–∞; 1); (0; +∞); об’єднання (–∞; +∞); переріз (0; 1).

243. Знайди об’єднання і переріз множин, що є розв’язками нерівностей.

a) 5x – З > 12; 5x > 12 + 3; x > 155; х > 3; х ∈ (3; +∞);

Зx + 5 ≥ 11; Зх ≥ 11 – 5; х ≥ 63; х ≥ 2; х ∈ [2; +∞);

б) 0,5x + 2,6 > 3; 0,5х > З – 2,6; x > 0,40,5 > 0,8; x ∈ (0,8; +∞);

1 + 2x < 7; 2x < 7 – 1; x = 62; х > 3; х ∈ (–∞; 3);

в) 5 – Зх < 2; – Зх < 2 – 5; х > -3-3; х > 1; х ∈ (1; +∞);

–1,3х – 9 ≤ 4; –1,3 х ≤ 4 + 9; х > 13-1,3; x ≥ –10; х ∈ [–10; +∞).

г) 0,5x − 4(x − 3) > 3x − 1; 0,5x − 4x + 12 > 3x − 1;

−6,5x > −13; x < 2; x ∈ (−∞; 2).

2,7(x + 3) < 7,2(x − 3); 2,7x + 8,1 < 7,2x − 21,6;

29,7 < 4,5x; x > 6,6; x ∈ (6,6; +∞).

(−∞;2) ∪ (6,6; +∞); ∅.

ґ) 25х – 34 > 34x – 25; 25x – 34x > –25 + 34; –720x > 720; x < −1;

x ∈ (−∞; −1);

x – 25 (x – 3) > 0,4; x – 25x + 65 > 25; 35x > –45; x > –43; х ∈ (–43; +∞).

(−∞; +∞); (–43; −1).

244. Знайди об’єднання і переріз множин, що є розв’язками нерівностей.

а) Зx ≤ 1 – 2х; Зх + 2х ≤ 1; x ≤ 15; х ∈ (–∞; 15];

–2х < Зх + 5; –2х – Зх < 5; –5х > 5-10; x > –0,5; х ∈ (–0,5; +∞);

б) 5х > x – 2; 5х – x > –2; х > –24; х > –0,5; х ∈ (–0,5; +∞);

–2х > 9 – 5х; –2х + 5х > 9; х > 93; х > 3; х ∈ (3; +∞);

в) 2х ≤ 7х + 3; 2х – 7х ≤ 3; х ≥ 3-5; х ≥ –0,6; х ∈ [–0,6; +∞);

1,1х ≥ x – 5; 1,1х – x ≥ –5; х ≥ -50,1; х ≥ –50; х ∈ [–50; +∞).

г) 6x + 1,8 < 0,2x − 2(x + 3); 6x + 1,8 < 0,2x − 2x − 6;

6x + 1,8 < −1,8x − 6; 7,8x < −7,8; x < −1; x ∈ (−∞; −1);

3,5 (2x + 3) > 6(x + 2); 7x + 10,5 > 6x + 12; x > 1,5; x ∈ (1,5; +∞).

(−∞; −1) ∪ (1,5; +∞), ∅.

ґ) 12x + 34 < –14x + 12x; 12x + 14x < 12 – 34; 34x < –14; x < –13; x ∈ (−∞; –13);

2x – 15 < 0,2(x + 3); 2x – 15 < 15x + 35; 2x – 15x < 35 + 15; 95x < 45;

x < 49; x ∈ (−∞; 49). (−∞; 49), (−∞; –13).

245. Знайди область визначення функції

у = xx-1, x − 1 ≠ 0; x ≠ 1.

x ∈ (−∞; 1) ∪ (1; +∞).

Відповідь: Г.

246. При яких значеннях х визначена функція

а) f(x) = x+6 + 3xx-2.

x + 6 ≥ 0, x ≥ −6; x − 2 ≠ 0; x ≠ 2.

x ∈ [−6; 2) ∪ (2; +∞).

б) f(x) = 12-4x − 2x2-1.

12 − 4x ≥ 0, −4x ≥ −12; x ≤ 3;

x2 – 1 ≠ 0; (x − 1)(x + 1) ≠ 0; x ≠ –1; x ≠ 1.

x ∈ (−∞; −1)∪(−1; 1)∪(1; 3].

в) f(x) = 2x-3|x|-4 + x3x+21.

∣x∣ − 4 ≠ 0, ∣x∣ ≠ 4, x ≠ –4, x ≠ 4.

3x + 21 > 0; 3x > −21; x > −7.

x ∈ (−7; −4)∪(−4; 4)∪(4; +∞).

247. При яких значеннях х визначена функція

а) f(x) = 2x-8 + 3xx-7.

2x – 8 ≥ 0, 2x ≥ 8, x ≥ 4;

x – 7 ≠ 0; x ≠ 7.

x ∈ [4; 7)∪(7; +∞).

б) f(x) = 3x+15 − 2x2-9.

3x + 15 ≥ 0, 3x ≥ −15, x ≥ −5;

x2 – 9 ≠ 0; (x − 3)(x + 3) ≠ 0; x ≠ –3; x ≠ 3.

x ∈ [−5; −3)∪(−3; 3)∪(3; +∞).

в) f(x) = x-5x+20 - 3|x|-2.

−5x + 20 > 0, −5x > −20, x < 4;

∣x∣ − 2 ≠ 0, ∣x∣ ≠ 2, x ≠ –2, x ≠ 2.

x ∈ (−∞; −2)∪(−2; 2)∪(2; 4).

248. При яких значеннях х значення виразу 1,3 + 0,3х належить

проміжку:

а) –0,2 < 1,3 + 0,3х < 2,5; –0,2 – 1,3 < 0,3х < 2,5 – 1,3;

–1,5 < 0,3х < 1,2; -1,50,3 > x > 1,20,3; –4 < x < 5; x ∈ (–4; 5);

б) 1 ≤ 1,3 + 0,3х < 4; 1 – 1,3 ≤ 0,3х < 4 – 1,3; –0,3 ≤ 0,3х < 2,7;

-0,30,3 ≥ х > 2,70,3; –9 < x ≤ 1; x ∈ (–9 ; 1];

в) –2,6 < 1,3 + 0,3х ≤ 0,2; –2,6 – 1,3 < 0,3х ≤ 0,2 – 1,3;

–3,9 < 0,3x ≤ –1,1; -3,90,3 > x ≥ -1,10,3; –113 ≤ x < –13; x ∈ (–13; –323];

г) –2 ≤ 1,3 + 0,3х ≤ 0,1; –2 – 1,3 ≤ 0,3х ≤ 0,1 – 1,3;

–3,3 ≤ 0,3х ≤ –1,2; -3,30,3 ≥ x ≥ -1,20,3; –4 ≤ x ≤ –11; x ∈ [–11; –4].

Відповідь: а) (4; 5); б) (–9; 1]; в) [322; 13); г) [4; 11].

249. При яких значеннях х значення виразу Зх + 2 належить проміжку:

Якщо значення виразу Зx + 2 належ ать проміжку (а; b), то а < Зx + 2 < b.

а) [–1; 5]; –1 ≤ Зx + 2 ≤ 5; –1 – 2 ≤ Зx ≤ 5 – 2; –З ≤ Зх ≤ 3;

–1 ≤ x ≤ 1; x ∈ [–1 ; 1];

б) (1; 17); 1 < Зх + 2 < 17; 1 – 2 < Зх < 17 – 2; –1 < Зх < 15;

–13 < x < 5; x ∈ (–13; 5);

в) [0 ; 3); 0 ≤ Зx + 2 < 3; 0 – 2 ≤ Зx < 3 – 2; –2 ≤ Зх < 1;

–23 ≤ x < 13; x ∈ [–23; 13);

г) (–7; –1]; –7 < Зx + 2 ≤ –1; –7 – 2 < Зx ≤ –1 – 2; –9 < Зх ≤ –3;

–З < х ≤ –1; x ∈ (–3; –1].

Відповідь: а) [–1; 1]; б) (–13; 5); в) [–23; 13); г) (–3; –1].

250. Розв’яжи нерівність і запишіть розв’язок у вигляді проміжку.

а) 5x – 1 + 2x + 2 < 0; 7x + 1 < 0; 7x < −1; x < −17; x ∈ (−∞; −17​);

2x – 6 + x – 1 ≥ 20; 3x – 7 ≥ 20; 3x ≥ 27; x ≥ 9; x ∈ [9; +∞).

(−∞; −17​)∪[9; +∞). ∅.

б) 3(3 + x) + 2(2 − x) ≥ 0; 9 + 3x + 4 − 2x ≥ 0; x + 13 ≥ 0;

x ≥ −13; x ∈ [−13; +∞);

2(4x + 3) + 7(x + 1) < 28; 8x + 6 + 7x + 7 < 28; 15x < 15;

x < 1; x ∈ (−∞; 1).

(−∞; +∞); [−13; 1).

в) 5(х + 2) + 2(х – 3) < 3(х – 1) + 4(х + 3);

5х + 10 + 2х – 6 < Зх – З + 4х + 12;

5х + 2х – Зх – 4х < –З + 12 – 10 + 6;

0 < 5; нерівність правильна, тому х ∈ R.

3(2х – 1) + 3(х – 1) ≥ 5(х + 2) + 2(2х + 3);

6х – З + Зх – З ≥ 5х – 10 + 4х + 6;

6х + Зх – 5х – 4х ≥ –10 + 6 + З + 3;

0 ≥ 2; нерівність неправильна, тому розв’язків немає.

г) 3-2x2 – x-13 > 5-3x4 – 4x+36 | • 12

6(3 – 2х) – 4 (х – 1) > 3(5 – Зx) – 2(4х + 3);

18 – 12x – 4x + 4 > 15 – 9x – 8x – 6;

–12x – 4x + 9x + 8x > 15 – 6 – 18 – 4;

x > –13; x ∈ (–13; +∞);

6x-53 – 11+7x5 < 4x+35 – 2x+310 | • 30

10(6x– 5) – 6(11 + 7х) < 6(4х + 3) – 3(2х + 3);

60x – 50 – 66 – 42x < 24x + 18 – 6х – 9;

60х – 42x – 24x + 6x < 18 – 9 + 50 + 66;

0 < 125; нерівність правильна, тому х ∈ R.

251. Розв’яжи нерівність і запишіть розв’язок у вигляді проміжку.

a) 3x – 2x-14 > 0| • 4; 12x – (2х – 1) > 0; 12x – 2х + 1 > 0;

10х > –110; x ∈ (–110; +∞); (–110; +∞) ∩ [9; +∞) = [9; +∞).

x+12 – x+34 ≥ 2| • 4; 2(х + 1) – (х + 3) ≥ 8; 2х + 2 – х – 3 ≥ 8;

х ≥ 8 + 1; x ≥ 9; x ∈ [9; +∞).

(–110; +∞) ∪ [9; +∞) = (–110; +∞).

б) 3-x15 – x-33 > 0| • 15; З – x – 5(х – 3) > 0; З – x – 5х + 15 > 0;

–6х > –18; x < 3; x ∈ (–∞; 3); (–∞; 3) ∩ (–∞; –2) = (–∞; –2);

3x-24 – 5x+13 > 1| • 12; 3(3х – 2) – 4(5 х + 1) > 12;

9х – 6 – 20х – 4 > 12; –11x > 12 + 10; –11x > 22; x < –2;

x ∈ (–∞; –2).(–∞; 3) ∪ (–∞; –2) = (–∞; 3).

в) 2(х – 3) + 5(х – 2) > 3(2 – x) – 2(3 – х);

2х – 6 + 5х – 10 > 6 – Зх – 6 + 2х;

5х + Зх > 6 + 10; 8х > 16; x > 2; x ∈ (2; +∞);

9(х – 2) – 2(3х – 2) ≤ 5(х – 2) – 2(х + 5);

9х – 18 – 6х + 4 ≤ 5х – 10 – 2х – 10;

9х – 6х – 5х + 2х ≤ –10 – 10 + 18 – 4;

0 ≤ –6; нерівність неправильна, тому розв’язків немає.

г) x-22 – 2x-33 < x-46 – x+13 | • 6

3(х – 2) – 2(2х – 3) > x – 4 – 2(х + 1);

Зх – 6 – 4х + 6 < x – 4 – 2х – 2;

Зх – 4х + 2х – x < –4 – 2;

0 < –6; нерівність неправильна, тому розв’язків немає;

x-22 + 1+7x4 – x+113 ≥ 5+2x4 | • 12

6(х – 2) + 3(1 + 7х) – 4(х + 11) ≥ 3(5 + 2х);

6х – 12 + З + 21x – 4х – 44 ≥ 15 + 6х;

21x – 4х ≥ 15 + 12 – З + 44; 17х ≥ 68; х ≥ 4; х ∈ [4; +∞);

252. Розв’яжіть нерівність.

а) |х| > 1, тоді х ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞);

б) |х + 2| > 5, тоді x + 2 > 5 або х + 2 < –5; х > З або х < –7.

Отже, x ∈ (–∞; –7) ∪ (3; +∞);

в) |3x + 1| > 5, тоді Зх + 1 > 5 або Зx + 1 < –5; Зх > 4 або Зх < –6;

x > 43 або x < –2. Отже, х ∈ (–∞;–2) ∪ (43; +∞);

г) |х + 5| > –3. За означенням модуля |х + 5| ≥ 0, отже, задана нерівність правильна при будь–якому x. x ∈ R.

ґ) |1 – Зх| < –1. За означенням модуля |1 – Зх| ≥ 0, отже, задана нерівність неправильна і розв’язків не має.

д) |2х – 1| > 0. Нерівність є правильною для всіх значень виразу

2х – 1, окрім 2х – 1 = 0, звідки 2х = 1; x = 12. Отже, х ∈ (–∞; 12) ∪ (12; +∞).

Відповідь: а) (–∞; –1) ∪ (1; +∞); б) (–∞; –7) ∪ (3; +∞); в) (–∞; –2) ∪ (43; +∞); г) R; ґ) ∅; д) (–∞;12) ∪ (12; +∞);.

253. Розв’яжіть нерівність.

а) |5x| > 2, тоді 5х > 2 або 5x < –2; х > 25 або х < –25.

Отже, x ∈ (–∞; –25) ∪ (25; +∞);

б) |x – 1| > З, тоді x – 1 > З або х – 1 < –3; х > 4 або х < –2.

Отже, x ∈ (–∞; –2) ∪ (4; +∞);

в) |5 – 2х| > З, тоді 5 – 2х > З або 5 – 2х < –3; –2х > –2 або –2х < –8; x < 1 або x > 4. Отже, х ∈ (–∞; 1) ∪ (4; +∞).

г) |х – 1| ≤ 0. За означенням модуля |х – 1| ≥ 0, тоді задана нерівність є правильною при х – 1 = 0; х = 1. Отже, розв’язок нерівності х = 1.

ґ) |5х + 3| ≥ 0. Нерівність є правильною при будь–якому значенні х.

Отже, x ∈ R.

д) |8 – 4х| < 0. За означенням модуля |8 – 4х| ≥ 0, отже, задана нерівність неправильна і розв’язків не має.

Відповідь: а) (–∞; –25) ∪ (25; +∞); б) (–∞; –2) ∪ (4; +∞); в) (–∞; 1) ∪ (4; +∞); г) 1; ґ) R; д) ∅.

254. Прийнявши площу одного квадрата за 1, з’ясуйте, до якого числового проміжку належить площа фігури, зображеної на малюнку 5.19: [1; 2), [2; 3), [3; 4) чи [4; 5)?

a) 5x-14 + x+12 < 0| • 4 i5x – 1 + 2(x + 1) < 0;5x + 2x < 1 – 2;7x < –1;x < –17;(–∞; –17) ∩ ∅ = ∅;	x-35 – 2x-110 ≥ 4 | • 102(x – 3) – (2х – 1) ≥ 40;2x – 6 – 2x + 2 ≥ 40;–5 ≥ 40;розв’язків немає;x ∈ (–∞; –17) ∪ ∅ = (–∞; –17).
б) 3+x2 + 2-x3 ≥ 0| • 6 i3(3 + x) + 2(2 – x) ≥ 0;9 + Зx + 4 – 2x ≥ 0;x ≥ –13;x ∈ (–13; +∞);(–13; +∞) ∩ (–∞; 1) = (–13;1);	4x+37 + x+12 < 2| • 142(4х + 3) + 7(х + 1) < 28;8х + 6 + 7х + 7 < 28;15х < 28 – 13; 15х < 15; х < 1;x ∈ (–∞; 1).(–13; +∞) ∪ (–∞; 1) = R.

255. Порівняй числа a і с, якщо.

а) (–∞; а) ∪ (с; +∞) = R, тоді a > с;

б) (а; х) ∩ (x; с) = ∅, тоді а < с;

в) (у, а) ∩ (с; у) = ∅, тоді а > с;

г) (а; +∞) ∪ (–∞; с) = R, тоді а < с.

256. За якої умови:

а) (а; b) ∪ (m; n) = (а; b), якщо а < m і b > n;

б) (а; b) ∩ (m; n) = (а; b), якщо m < а i n > b.

257. Порівняй числа х і а, у і с, якщо:

а) (а; с) ∩ (х; у) = (а; с), якщо х < а і с < у;

б) (а; с) ∩ (х; y) = (х; у), якщо а < х і у < с;

в) (а; с) ∪ (x; у) = (а; c), якщо а < х і с > у;

г) (a; с) ∪ (х; у) = (а; у), якщо а < х і с < у.

258. Запиши у вигляді подвійної нерівності співвідношення між

числами а, х і у, якщо:

а) (а; +∞) ∩ (х; у) = (а; y), якщо а < х < у;

б) (а; +∞) ∪ (x; у) = (а; +∞), якщо а < х < у;

в) (–∞; а) ∪ (x; у) = (–∞; у), якщо х < а < у;

г) (–∞; а) ∩ (х; у) = (–∞; а), неможливо.

259. Вишивальниця працює вдома і за одну годину роботи заробляє 10 грошових одиниць. Їй потрібно придбати певний товар, вартість якого у магазині становить 15 грошових одиниць за 1 пакунок без черги, а у гіпермаркеті цей самий товар вона може придбати за 11 грошових одиниць, але для цього вона має вистояти чергу протягом однієї години. З’ясуй: а) за яких умов вигідною є покупка дорожчого товару; б) скільки товару слід придбати, щоб вигідно було стояти в черзі 1 годину.

Нехай x — кількість пакунків товару. У магазині витрати становлять: 15x. У гіпермаркеті з урахуванням втраченої години роботи: 11x + 10.

а) Дорожчий товар вигідніше купувати, якщо

15x < 11x + 10;

4x < 10;

x < 2,5.

Оскільки x — натуральне число, то x = 1 або x = 2.

Відповідь: дорожчий товар вигідно купувати, якщо потрібно 1 або 2 пакунки.

б) Стояти в черзі вигідно, якщо

11x + 10 < 15x;

10 < 4x;

x > 2,5.

Отже, x ≥ 3.

Відповідь: слід придбати не менше 3 пакунків.

260. На малюнку 5.20 зображено фігуру, складену з n кубиків, поставлених на квадрат 4 х 4. а) До якого з проміжків (57; 67), (50; 69) чи [45; 55] входить число n? б) До якого з проміжків (13; 23], (25; 35], (10; 20] входить число m кубиків, якими слід доповнити задану фігуру, щоб отримати прямокутний паралелепіпед 4 х 4 х 5?

а) Порахуємо кубики за шарами: 16 + 16 + 15 + 8 + 2 = 57.

57 ∉ (57; 67), 57 ∈ (50; 69), 57 ∉ [45; 55].

Відповідь: n ∈ (50; 69).

б) У паралелепіпеді 4×4×5 має бути 4 • 4 • 5 = 80 кубиків.

m = 80 – 57 = 23.

23 ∈ (13; 23].

Відповідь: m ∈ (13; 23].

261. Знайди значення добутку:

а) 5 • 18 • 40 = 5•2•9•8•5 = 5 • З • 4 = 60;

б) 6 • 48 • 50 = 6•6•8•2•25 = 6 • 4 • 5 = 120;

в) 42 • 7 • 27 • 18 = 6•7•7•3•9•2•9 = 6 • 7 • 9 = 378;

г) 15 • 72 • 6 • 45 = 3•5•8•9•2•3•5•9 = 5 • 9 • З • 4 = 540.

262. Знайди корені рівняння:

а) 5x = 0, тоді x = 0; х = 0;

б) 10x = 4, тоді x = 410; x = 25; х = 425;

в) 6x – 48 = 0, тоді 6x = 48; x = 8; х = 64;

г) 3x + 20 = 0, тоді Зx = –20; але за означенням x ≥ 0, тому рівність неправильна і розв’язків не має. х ∈ ∅;

ґ) 4x + 9 = 11, тоді 4x = 2; x = 24; x = 12; х = 14;

д) 7 – 2x = 12, тоді –2x = 12 – 7; –2x = 5; x = –52, що неможливо, тому рівняння коренів не має. x ∈ ∅.

Відповідь: а) 0; б) 425; в) 64; г) ∅; ґ) 14; д) ∅.

263. Знайди площу прямокутника, основа якого вдвічі більша за висоту, а площа чисельно дорівнює периметру.

Нехай висота прямокутника х (х > 0), тоді його основа 2х.

Периметр Р = (х + 2х) • 2; Р = 6х. Площа S = х • 2х; S = 2х².

За умовою 2х² = 6х. Тоді 2х² = 6х; х² = Зх; х² – Зх = 0;

х(х – 3) = 0; звідки x = 0 або x – З = 0, тоді x = З, оскільки x > 0.

Площа прямокутника S = 2х² = 2 • 3² = 18.

Відповідь: 18.

264. Яка з систем нерівностей не має розв’язків?

x > 3;

x < 2.

Відповідь: А.

265. Яке з чисел задовольняє систему нерівностей

2x ≥ 0; x ≥ 0,

3x < 6​; x < 2.

x ∈ [0; 2).

Відповідь: В.

266. Який з наведених проміжків є множиною розв’язків системи нерівностей:

x ≤ 2;

x > −3;

−3 < x ≤ 2; x ∈ (−3; 2].

Відповідь: Г.

267. Яка з нерівностей: рівносильна системі відповідних нерівностей? А яка — сукупності?

а) |x| < 3; x < 3; x > −3​.	б) |x| − 1 < 0,5; |x| < 1,5; x < 1,5; x > −1,5​.
в) |x| > 5; x > 5; x < −5​.	г) 7 − |x| < 0; |x| > 7. x > 7; x < −7​.

Відповідь: а), б) — рівносильні системі; в), г) — сукупності.

268. Чи є число 2 розв’язком системи нерівностей:

З ’ясуємо, чи є число 2 розв’язком наведених систем нерівностей:

a) x – 3 < 5, 2 – 3 < 5, –1 < 5,

4x + 2 > 9; при х = 2 4 • 2 + 2 > 9; 10 > 9.

Обидві нерівності правильні, тобто число 2 задовольняє кожну з нерівностей системи і є розв’язком даної системи нерівностей.

б) 3x ≥ x + 2, 3 • 2 ≥ 2 + 2, 6 ≥ 4,

12 < 18x – 5; при х = 2 12 < 8 • 2 – 5; 12 < 11.

Друга нерівність неправильна, тобто 2 не задовольняє одну з нерівностей системи. Отже, 2 не є розв’язком даної системи нерівностей.

в) 0,5х ≥ 2х – З, 0,5 • 2 ≥ 2 • 2 – 3, 1 ≥ 1,

Зx – 1 > 4; при x = 2 3 • 2 – 1 > 4; 5 > 4.

Обидві нерівності правильні, тобто число 2 задовольняє кожну з нерівностей системи і є розв’язком даної системи нерівностей.

269. Які з чисел – 1, 0, 1, 2, 3 задовольняють систему нерівностей:

Розв’яжемо систему нерівностей і визначимо, які з заданих чисел належать проміжку розв’язків.

a) 3 – x ≥ 0; x ≤ 3;

7 + x > 0; x > –7.

Отже, x ∈ (–7 ; 3].

До цього проміжку належать числа –1; 0; 1; 2; 3.

б) 2х + 3 > 5; 2x > 2; x > 1.

1 – х < 0; x > 1; x > 1;

Отже, x > 1; x є (1; +∞).

До цього проміжку належать числа: 2; 3.

270. Розв’яжи систему нерівностей і вкажіть два цілі числа, які її задовольняють:

a) 2x + 7 ≥ 0; 2x ≥ –7; x ≥ –3,5;

3x + 6 ≥ 0; 3x ≥ –6; x ≥ –2.

Отже, x ∈ (–2: +∞).

Цілими розв'язками є, наприклад, числа –1; 0.

б) 2x – 5 < 0; 2x < 5; x < 2,5;

3x + 9 < 0; 3x < –9; x < –3.

Отже, x ∈ (–∞; З).

Цілими розв'язками є, наприклад, числа –5; –4.

в) 3х + 1 < 0; Зх < –1; x < –13;

2х + 5 > 0; 2х > –5; x > –52.

Отже, x ∈ (+2,5; –13].

Цілими розв'язками є, наприклад, числа –1; 0.

271. Зобрази на координатній прямій і запиши множину розв’язків системи нерівностей

а) x ∈ (–∞; –З];	б) Ø;	в) x ∈ (–3; 5].

272. Зобрази на координатній прямій і запиши множину розв’язків системи нерівностей

а) x ∈ (–4; 7];	б) x ∈ [7; +∞)	в) Ø.

273. Розв’яжи систему нерівностей.

a) 2x + 3 > x, 2x – x > –3, x > –3,

4x – x < 3; 3х < 3; x < 1.

Відповідь: x ∈ (–3; 1).

б) 2 – 5x < 7, –5x < 5, x > –1,

3x + 1 < –8; 3х < –9; x < –3.

Відповідь: немає розв'язків.

в) 8 ≤ 4x + 8, –4x ≤ 0, x ≥ 0.

0 > 3х + 6; –3x > 6; x < –2.

Відповідь: немає розв'язків.

274. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) 5y – 6 < 2y, 5y – 2y < 6, 3y < 6, y < 2,

3 – 2y < y; –2y –y < –3; –3у < –3; y > 1.

Відповідь: немає розв'язків.

б) 4 – 3y ≥ 2y, –3y – 2y ≥ –4, –5y ≥ –4, y ≤ 0,8,

y – 3 ≥ 4; y ≥ 4 + 3; y ≥ 7; y ≥ 7.

Відповідь: немає розв'язків.

в) 5y – 8 ≤ 3y, 5y – 3y ≤ 8, 2у ≤ 8, y ≤ 4.

1 – 4y < 5; –4y < 5 – 1; –4y < 4; y > –1.

Відповідь: (–1; 4].

275. Розв’яжи систему нерівностей.

a) 15 – 3x < 9x – 12; 15 + 12 < 9x + 3x; 12x > 27; x > 2712;

8х – 7 > 5x + 4; 8x – 5x > 4 + 7; 3х > 11; x > 113;

x > 214;

x > 323. Тоді x > 323; x ∈ (323; +∞).

б) 12 – z < 8z – 15; 12 + 15 < 8z + x; 9z > 27; z > 3;

7z – 6 > 6z + 4; 7z – 6z > 4 + 6; z > 10; z > 10.

Тоді z > 10; z ∈ (10; +∞).

в) 2(x – 3) ≤ 5x + 7; 2x – 6 ≤ 5x + 7; –6 –7 ≤ 5x – 2x;

3 + 4x > 3(х – 5), 3 + 4x > 3х – 15; 4x – 3х > –15 –3;

3х ≥ –13; x ≥ –4;

x > –18; x > –18. Тоді x ≥ –413; x ∈ [–413; +∞).

г) 5(x + 2) ≥ 2x – 4; 5x + 10 ≥ 2x – 4; 5x – 2x ≥ –4 – 10;

3(x + 3) < 7 – 8x; 3x + 9 < 7 – 8x; 3x + 8x < 7 – 9;

3x ≥ –14; x ≥ –423;

11x < –2; x < –211. Тоді x ∈ [–423; –211).

Відповідь: a) (323; +∞); б) (10; +∞), в) [–413; +∞); г) [–423; –211).

276. Розв’яжи систему нерівностей.

a) 3 – 2(x – 1) < 0, 3 – 2x + 2 < 0, –2x < –5, x > 52,

5 – 3(x – 4) > 0; 5 – 3x + 12 > 0; –3x > –17; x < 173.

Відповідь: (52; 173).

б) –4(2x – 1) < 3, –8 + 4 < 3, –8 < –1, x > 18.

–5(x – 3) ≥ 4; –5x + 15 ≥ 4; –5x ≥ –11; x ≤ 115.

Відповідь: (18; 215].

в) x ≤ 2 – 3х(x + 1), x ≤ 2 – 3х – 3, x + 3х ≤ –1, 4x ≤ –1,

5x ≥ 3 + (x – 4); 5x ≥ 3 + x – 4; 5x – x ≥ –1; 4x ≥ –1;

x ≤ –0,25,

x ≥ –0,25.

Відповідь: x = –0,25.

277. Розв’яжи систему нерівностей.

a) 2x – 0,2x – 2 > 4, 2x – 0,2x + 0,4 > 4, 1,8x > 2,6, x > 2,

x2 – 6 ≤ x8; x2 – x8 ≤ 6; 4x- x8 ≤ 6; 3x ≤ 48;

x > 2,

x ≤ 16.

Відповідь: (2; 16].

б) 4 – x-18 ≥ x, –x+18 ≥ x – 4, –x + 1 ≥ 8x – 4 • 8,

7x – 1 ≥ 48; 7x ≥ 48 + 1; 7x ≥ 49;

–x – 8x ≥ –32 – 1, –9x ≥ –33, x ≥ 339, x ≥ 323,

x ≥ 7; x ≥ 7; x ≥ 7; x ≥ 7.

Відповідь: немає розв'язків.

281. Знайди цілі розв’язки системи нерівностей.

2n + 3 < 4(3n – 5), 2n + 3 < 12n – 20,

8 – 4n < 7 – 2(4n – 13); 8 – 4n < 7 – 8n + 26;

2n – 12n < –20 –3, –10n < –23, n > 2,3,

–4n + 8n < 33 – 8; 4n < 25; n < 6,25;

n ∈ (2,3; 6,25). Цілими числами, що належать до цього проміжку, будуть 3; 4; 5; 6.

Відповідь: 3; 4; 5; 6.

283. Знайди найбільший розв’язок системи нерівностей

n(n + 1) > (n + 2)(n – 2), n² + n > n² – 4,

(n – 3)² ≥ 3 – n(2 – n); n² – 6n + 9 ≥ 3 – 2n + n²;

n² + n – n² > –4, n > –4, n > –4,

n² – 6n – n² + 2n ≥ 3 – 9; –4 ≥ –6; n ≤ 1,5;

n ∈ (–4; 1,5].

Відповідь: 1,5.

288. Укажіть декілька таких значень а, щоб кожна з систем нерівностей а), б), в): 1) мала розв’язок; 2) не мала розв’язків.

a) x > а;

x < 3. Система має розв'язки якщо a < 3, наприклад 1; 0. Cистема не має розв'язків, якщо а ≥ 3 наприклад 3; 4.

б) x < а;

x < –3. Система має розв'язками будь–які x, наприклад, –5; 0. Немає таких значень а, при яких задана система не має розв'язків.

в) x ≥ a; x ≥ a;

–x ≥ 2; x ≤ –2. Система має розв'язки, якщо a ≤ –2, наприклад,

–2; –3. Система не має розв'язків, якщо a > –2, наприклад, –1; 0.

230. Розв’яжіть подвійну нерівність.

a) –2 < 3х – 4 < 5; 3х – 4 > –2, 3х > –2 + 4, 3x > 2, x > 23,

3х – 4 < 5; 3х < 5 + 4; 3х < 9; x < 3.

Відповідь: (23; 3).

б) 3 < 2 – х < 5; 2 – x > 3, –x > 3 – 2, –x > 1, x < –1,

2 – x < 5; –x < 5 – 2; –x < 3; x > –3.

Відповідь: (–3; –1).

в) 0,4 ≤ 2х + 1 ≤ 0,6; 2x + 1 ≤ 0,6, 2x ≤ –0,4, x ≤ –0,2,

2x + 1 ≥ 0,4; 2x ≥ –0,6; x ≥ –0,3.

Відповідь: [–0,3; –0,2].

г) 0,7 ≤ 3 – 2x ≤ 1,2; 3 – 2x ≥ 0,7, –2x ≥ –2,3, x ≤ 1,5,

3 – 2x ≤ 1,2; –2x ≤ –1,8; x ≥ 0,9.

Відповідь: [0,9; 1,15].

231. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) с² – 3 < (с + 3)²; с² – 3 < с² + 6c + 9; –3 –9 < 6с; 6с > –12;

2c + c² > (с – 2)²; 2c + c² > c² – 4с + 4; 2c + 4с > 4; 6c > 4;

с > –2;

с > 23.

Тоді с > 23; с ∈ (23; +∞).

б) 5 – (x + 3)² > (x – 2)(1 – x); 5 – x² – 6x – 9 > x – x² – 2 + 2x;

x(x + 7) < (x + 7)² – 7; x2 + 7x < x² + 14x + 49 – 7;

–4 + 2 > 3x + 6x; 9x < –2; x < –29;

–42 < 14x – 7x; 7x > –42; x > –6. Отже, x ∈ (–6; –29).

в) (z² – 2) • 3 ≥ 3z²; 3z² – 6 ≥ 3z²; –6 ≥ 0;

z² + 2z ≤ (z – 1)z; z² + 2z ≤ z² – z; 3z ≤ 0.

Оскільки перша нерівність системи неправильна, то система розв’язків не має, x ∈ ∅.

г) (x – 1)² + 3x ≥ (x – 1)(x + 1); x² – 2x + 1 + 3x ≥ x² – 1;

(x + 3)(x – 1) ≥ (x + 2)² – 1; x² – x + 3x – 3 ≥ x² + 4x + 4 – 1;

x ≥ –1 –1; x ≥ –2; x ≥ –2;

–3 – 4 + 1 > 4x + x – 3x; 2x ≤ –6; x ≤ –3.

Задана система розв’язків не має, х ∈ ∅.

Відповідь: a) (23; +∞); б) (–6; –29); в) ∅; г) ∅.

232. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) (x + 1)² > x² + 4; x² + 2x + 1 > x² + 4; 2x > 4 – 1; 2x > 3;

(x – 1)² > x² – 4; x² – 2x + 1 > x² – 4; –2x > –4 –1; –2x > –5;

x > 32;

x < 52.

Отже, x ∈ (1,5; 2,5).

б) 7 + (x + 3)² < 5x + (x – 3)²; 7 + x² + 6x + 9 < 5x + x² – 6x + 9;

(x – 1)(x + 2) < (x + 1)(x – 2); x² + 2x – x – 2 < x² + x – 2x – 2;

7 + 6x < –x; 6x + x < –7; 7x < – 7; x < –1;

x < –x; x + x < 0; 2x < 0; x < 0.

Отже, x < –1; x ∈ (–∞; –1).

в) (x – 1)² ≥ x² + 7; x² – 2x + 1 ≥ x² + 7; 1 – 7 ≤ 2x; 2x ≤ –6;

x – 2² ≥ x² – 8; x² – 4x + 4 ≥ x² – 8; 4 + 8 ≥ 4x; 4x ≤ 12;

x ≤ – 3;

x ≤ 3.

Отже, x = –3; x ∈ (–∞; –3].

г) 3x – (x + 1)² ≤ 5 – (1 – x)²; 3x – x² – 2x – 1 ≤ 5 – 1 + 2x – x²;

(x – 3)(x + 3) > (x + 7)(x – 7); x² – 9 > x² – 49;

x ≤ 5 + 2x; –5 ≤ 2x – x; x ≥ –5;

–9 > –49; –9 > –49; –9 > –49.

Оскільки друга нерівність правильна при будь–яких дійсних х, то розв’язком системи є: x ∈ [5; +∞).

Відповідь: а) (1,5; 2,5); б) (–∞; –1); в) (–∞; –3]; г) [–5; +∞).

233. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) 2у+159 – 1-у5 ≥ у3; • 45 5(2y + 15) – 9(1 – y) ≥ 15 y;

2y > 19-2у2 – 11-2у4; • 4 8y > 2(19 – 2y) – (11 – 2y);

10y + 75 – 9 + 9y ≥ 15y; 19y – 15y ≥ –66; 4y ≥ –66; y ≥ –16,5;

8y > 38 – 4y – 11 + 2y; 8у + 4y – 2y > 27; 10y > 27; y > 2,7.

Отже, y > 2,7; y ∈ (2,7; +∞).

б) 423x – 1 < 3x + 313; 423x – 3x < 313 + 1;

3х+125 + 3 > 8+х2 | • 10; 2(3x + 12) + 30 > 5(8 + x);

123x < 413; x < 413 : 123; x < 2,6;

6x + 24 + 30 > 40 + 5x; 6x – 5x > 40 – 54; x > 14.

Отже, x ∈ (–14; 2,6).

в) 4x+33 – 3x-18 < 1 + 8- x6; • 24

7x+35 + 3x+12 > 4 + x-42; • 10

8(4x + 3) – 3(3x – 1) < 24 + 4(8 – x);

2(7x + 3) + 5(3x + 1) > 40 + 5(x – 4);

32x + 24 – 9x + 3 < 24 + 32 – 4x; 23x + 4x < 32 – 3;

14x + 6 + 15x + 5 > 40 + 5x – 20; 29x – 5x > 20 – 11;

27x < 29; x < 1227;

24x > 9; x > 38.

Отже, x ∈ (38; 1227).

Відповідь: a) (2,7; +∞); б) (–14; 2,6); в) (38; 1227).

234. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) c + 0,25 < 14c+312; • 12 12c + 3 < 14c + 3;

c – 1-3c4 < c+816; • 16 16c – 4(1 –3c) < с + 8;

0 < 14с – 12с; 2с > 0; c > 0; c > 0;

16c – 4 +12с < с + 8; 28с • с < 8 + 4; 27c < 12; c < 49.

Отже, с ∈ (0; 49).

б) а3 + а2 < 53; • 6 2а + 3а < 10; 5a < 10;

6 – а+162 < –2а; • 3 18 – (a + 16) < –6a; 18 – a – 16 < –6a;

a < 2; a < 2; a < 2;

6a – a < 16 – 18; 5a < –2; a < –0,4.

Отже, a ∈ (–∞; –0,4).

в) 2x-13 – x ≤ 11- x6 – 2; |• 6

3(x – 1)² + 8x + 2 ≤ x(3x – 2) + 1;

2(2x – 1) – 6x ≤ 11 – x – 12;

3(x² – 2x + 1) + 8x + 2 ≤ 3x² – 2x + 1;

4x – 2 – 6x ≤ –x – 1; –2x + 1 ≤ –x – 4x + 6x;

3x² – 6x + 3 + 8x + 2 ≤ 3x² – 2x + 1; 2x + 2x ≤ 1 – 5;

x ≥ –1; x ≥ –1

4x ≤ –4; x ≤ –1. Отже, x = 1.

Відповідь: a) (0; 49); б) (–∞; –0,4); в) 1.

235. При яких значеннях змінної має зміст вираз.

a) 5- x + x-3; 5 – x ≥ 0; x ≤ 5;

x – 3 ≥ 0; x ≤ 3. Отже, x ∈ [3; 5].

б) 2x- 1 – 3x+2; 2x – 1 ≥ 0; 2x ≥ 1; x ≥ 12;

3x + 2 ≥ 0; 3x ≥ –2; x ≥ –23.

Отже, x ≥ 12; x ∈ [12; +∞).

в) x+3 + 1x-3; x + 3 ≥ 0; x ≥ –3;

x – 3 > 0; x > 3. Отже, x > 3; x ∈ (3; +∞).

г) 2х+35 + 53х+2; 2x + 3 ≥ 0; 2x ≥ –3; x ≥ –32;

3x + 2 > 0; 3x > –2; x > –23.

Отже, x > –23; x ∈ (–23; +∞).

Відповідь: a) [3; 5]; б) [12; +∞); в) (3; +∞); г) (–23; +∞).

236. При яких значеннях х значення виразу 4х – 1,5 належить проміжку:

a) (1; 2); 1 < 4x – 1,5 < 2; 1 + 1,5 < 4x < 2 + 1,5; 2,5 < 4x < 3,5;

2,54 < x < 3,54; 0,625 < x < 0,875; x ∈ (0,625; 0,875);

б) [–2; 0]; –2 ≤ 4x – 1,5 ≤ 0; –2 + 1,5 ≤ 4x ≤ 0 + 1,5; –0,5 ≤ 4x ≤ 1,5;

-0,54 ≤ x ≤ 1,54; –0,125 ≤ x ≤ 0,375; x ∈ [–0,125; 0,375];

в) (–∞; 0); 4х – 1,5 < 0; 4х < 1,5; х < 0,375; х ∈ (–∞; 0,375);

г) [3; 7]; З ≤ 4x – 1,5 < 7; З + 1,5 ≤ 4х < 7 + 1,5; 4,5 ≤ 4х < 8,5;

4,54 ≤ x ≤ 8,54; 1,125 ≤ x ≤ 2,125; x ∈ [1,125; 2,125).

Відповідь: а) (0,625; 0,875); б) [–0,125; 0,375]; в) (–∞; 0,375);

г) [1,125; 2,125).

237. При яких с значення виразу 2-3c4 належить проміжку:

Знайдемо, при яких значеннях с числове значення виразу 2-3c4 буде належати проміжку.

а) (–∞; 0), оскільки 2-3c4 належить проміжку (–∞; 0), то 2-3c4 < 0;

2 – Зс < 0; –Зс < –2; c > 23.

Відповідь: с ∈ (23; +∞).

б) [0; ∞); оскільки 2-3c4 належить проміжку [0; ∞), то 2-3c4 ≥ 0;

2 – Зс ≥ 0; –Зс ≥ –2; с ≤ 23.

Відповідь: c ∈ (–∞; 23].

в) (–1; 1); оскільки 2-3c4 належить проміжку (–1; 1), то –1 < 2-3c4 <

< 1;

2-3c4 > –1. 2 – 3c > –4, –3c > –6,

2-3c4 < 1; 2 – 3c < 4; –3c < 2; y = 12(–100)² = 100002 = 5000.

Відповідь: с ∈ (–23; 2).

г) [1; 8]; оскільки 2-3c4 належить проміжку [1; 8]. то 1 ≤ 2-3с4 ≤ 8;

2-3с4 ≥ 1, 2 – 3с ≥ 4, –3c ≥ 2, c ≤ –23,

2-3с4 ≤ 8; 2 – 3c ≤ 32; –3c ≤ 30; c ≥ –10.

Відповідь: с ∈ [–10; –23].

238. Розв’яжіть нерівність.

Розв’яжемо нерівності:

а) (x + 2)(х – 7) < 0; добуток двох чисел від’ємний тоді, коли ці

числа мають протилежні знаки, тобто розв’язання даної нерівності

зводиться до розв’язання двох систем нерівностей:

1) x + 2 < 0, x < –2,

x – 7 < 0; x > 7; система не має розв’язків;

2) x + 2 > 0, x > –2,

x – 7 < 0; x < 7; x ∈ (–2; 7).

Відповідь: (–2; 7).

б) (x – 3)(2х – 5) > 0; добуток двох чисел додатний тоді, коли ці числа мають однакові знаки, тобто розв’язання даної нерівності зводиться до розв'ялиння двох систем нерівностей:

1) x – 3 < 0, x < 3,

2x – 5 < 0; x < 2,5; x ∈ (∞; 2,5);

2) x – 3 > 0, x > 3,

2x – 5 > 0; x > 2,5; x ∈ (3; ∞).

Відповідь: (–∞; 2,5) ∪ (3; ∞).

в) (3 – 2z)(1 + z) ≥ 0; добуток двох чисел невід'ємний тоді, коли ці числа мають однакові знаки, або коли хоча б одне з них дорівнює нулю, тобто розв’язання даної нерівності зводиться до розв’язання двох систем нерівностей:

1) 3 – 2z ≤ 0, –2z ≤ –3, z ≥ 1,5,

1 + z ≤ 0; z ≤ –1; z ≤ –1; немає розв’язків;

2) 3 – 2z ≥ 0, –2z ≥ –3, z ≤ 1,5,

1 + z ≥ 0; z ≥ –1; z ≥ –1; z ∈ [–1; 1,5].

Відповідь: [–1; –1,5].

г) (2у + 8)(7 – 4у) ≤ 0; добуток двох чисел недодатний тоді, коли ці числа мають протилежні знаки, або коли хоча б одне з них дорівнює нулю, тобто розв'язання нерівності зводиться до розв'язання двох систем нерівностей:

1) 2y + 8 ≥ 0, 2y ≥ –8, y ≥ –4,

7 – 4y ≤ 0; –4y ≤ –7; y ≥ 74; y ∈ [74; ∞);

2) 2y + 8 ≤ 0, 2y ≤ –8, y ≤ –4,

7 – 4y ≥ 0; –4y ≥ –7; y ≤ 74; y ∈ (–∞; –4].

Відповідь: (–∞; –4] ∪ [74; ∞).

д) 0,5x(x + 3) < 0; аналогічно до прикладу а):

1) x > 0, x > 0,

x + 3 < 0; c < –3; немає розв’язків;

2) x < 0, x < 0,

x + 3 > 0; x > –3; x ∈ (–3; 0).

Відповідь: (–3; 0).

е) (x² + 1)(5 – x) ≤ 0; оскільки (x² + 1) > 0 завжди, то розв’язання даної нерівності зводиться до розв'язання нерівності 5 – x ≤ 0;

–x ≤ –5; x ≥ 5.

Відповідь: [5; ∞).

239. Розв’яжіть нерівність.

a) (2x + 1)(10x – 7) ≥ 0; тоді

2х + 1 ≤ 0; або 2х + 1 ≥ 0;

10x – 7 ≥ 0; 10x – 7 ≥ 0;

2x ≥ –1; 2x ≤ –1;

10x ≥ 7; 10x ≤ 7;

x ≥ –12; x ≤ –12;

x ≥ 0,7; x ≤ 0,7;

x ≥ 0,7; x ≤ –12;

x ∈ [0,7; +∞); x ∈ (–∞; –12].

Відповідь: х ∈ (–∞; –12] ∪ [0,7; +∞).

б) (5 – 2x)(1 – 3x) ≤ 0; тоді

5 – 2x ≤ 0; або 5 – 2x ≥ 0;

1 – 3x ≥ 0; 1 – 3x ≤ 0;

2x ≥ 5; 2x ≤ 5;

3x ≤ 1; 3x ≥ 1;

x ≥ 2,5; x ≤ 2,5;

x ≤ 13; x ≥ 13;

розв’язків немає, х ∈ ∅; x ∈ [13; 2,5].

Відповідь: x ∈ [13; 2,5].

в) (х² + 5)(х + 5) > 0. Оскільки x² + 5 > 0, то x + 5 > 0, звідки

х > –5; х ∈ (–5; +∞).

г) х³ + 2х² + x < 0; х(х² + 2х + 1) < 0; х(х + 1)² < 0. Оскільки (х +

+ 1)² > 0 для всіх x, окрім таких, що x + 1 = 0, x = –1. Тоді, якщо

х ≠ –1, то x < 0. Отже, розв’язки нерівності: x ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 0).

ґ) 5х2 – Зх – 2 ≤ 0. Знайдемо корені тричлена 5х² – Зх – 2 і розкладемо його на множники: 5х² – 3x – 2 = 0;

x_1,2 = 3 ± 9+4 •5 •210; x_1,2 = 3 ±710; x₁ = –0,4; x₂ = 1.

Отже, 5x² – Зх – 2 = 5(x + 0,4)(x – 1). Тоді маємо:

5(х – 0,4)(х – 1) ≤ 0; (x + 0,4)(x – 1) ≤ 0. Звідки:

1) x + 0,4 ≤ 0; x ≤ –0,4;

x – 1 ≥ 0; x ≥ 1; тоді розв’язків немає; або

2) x + 0,4 ≥ 0; x ≥ –0,4;

x – 1 ≤ 0; x ≤ 1; тоді х ∈ [–0,4; 1].

Отже, розв’язки нерівності х ∈ [–0,4; 1].

д) x³ + Зx² > 0; x²(x + 3) > 0. Оскільки х² > 0 для x ≠ 0, то при

x ≠ 0 x + З > 0; x > –3. Отже, розв’язки заданої нерівності x ∈ (–3; 0) ∪ (0; +∞).

Відповідь: а) (–∞; –12] ∪ [0,7; +∞); б) [13; 2,5]; в) (–5; +∞);

г) (–∞; –1) ∪ (–1; 0); ґ) [–0,4; 1]; д) (–3; 0) ∪ (0; +∞).

240. Розв’яжіть нерівність.

Розв’яжемо нерівності:

a) x+37- x < 0; значення дробу від'ємне, коли його члени мають протилежні знaки, тобто розв’язання даної нерівності зводиться до розв’язання двох систем нерівностей:

1) x + 3 > 0; x > – 3, x > –3,

7 – x < 0; –x < –7; x > 7; x ∈ (7; ∞);

2) x + 3 < 0, x < –3, x < –3,

7 – x > 0; –x > –7; x < 7; x ∈ (–∞; –3).

Відповідь: (–∞; –3) ∪ (7; ∞).

б) 5-2x2x-7 < 0; аналогічно до прикладу a):

1) 5 – 2x < 0, –2x < –5, x > 2,5,

2x – 7 > 0; 2x > 7; x > 3,5; x ∈ (3,5; ∞);

2) 5 – 2x > 0, –2x > –5, x < 2,5,

2x – 7 < 0; 2x < 7; x < 3,5; x ∈ (–∞; 2,5).

Відповідь: (–∞; 2,5) ∪ (3,5; ∞).

в) x-32x-1 < 0; аналогічно до прикладу a):

1) x – 3 > 0, x > 3,

2x – 1 < 0; x < 0,5; немає розв'язків;

2) x – 3 < 0, x < 3, x < 3,

2x – 1 > 0; 2x > 1; x > 0,5; x ∈ (0,5; 3).

Відповідь: (0,5; 3).

ґ) 3x+5x(x2+1) > 0, оскільки x² + 1 > 0 завжди, то розв'язання даної нерівності зводиться до розв'язання нерівності 3x+5х > 0, яка розв'язується аналогічно до прикладу б):

1) 3х + 5 > 0, 3х > –5, x > –53,

x > 0; x > 0; x > 0; x ∈ (0; +∞);

2) 3х + 5 < 0, 3х < –5, x < –53,

x < 0; x < 0; x < 0; x ∈ (–∞; –53).

Відповідь: (–∞; –53) ∪ (0; +∞).

д) x2x-3 < 0; аналогічно до прикладу a):

1) x³ < 0, x < 0,

x – 3 > 0; x > 3; немає розв'язків;

2) x³ > 0, x > 0,

x – 3 < 0; x < 3; x ∈ (0; 3).

Відповідь: (0; 3).

241. Розв’яжіть нерівність.

a) 3x-1x+5 ≤ 0; тоді

3х – 1 ≤ 0; або 3х – 1 ≥ 0;

x + 5 > 0; x + 5 < 0;

3х ≤ 1; 3х ≥ 1;

x > –5; x < –5;

x ≤ 13; x ≥ 13;

x > –5; x < –5;

x ∈ (–5; 13]; ∅. Розв'язки нерівності: x ∈ (–5; 13].

б) 5-2х2+5х > 0; тоді

5 – 2x > 0; або 5 – 2x < 0;

2 + 5x > 0; 2 + 5x < 0;

2x < 5; 2x > 5;

5x > –2; 5x < –2;

x < 2,5; x > 2,5;

x > –0,4; x < –0,4;

x ∈ (–0,4; 2,5); x ∈ ∅.

Розв'язки нерівності: x ∈ (–0,4; 2,5).

в) -3х7х-14 ≤ 0; тоді

–3x ≤ 0; або –3x ≥ 0;

7x – 14 > 0; 7x – 14 < 0;

х ≥ 0; x ≤ 0;

7x > 14; 7x < 14;

x ≥ 0; x ≤ 0;

x > 2; x < 2;

x ∈ (2; +∞); x ∈ (–∞; 0].

Розв'язки нерівності: x ∈ (–∞; 0] ∪ (2; +∞).

г) 3х-12х+4 < 2; 3х-12х+4 – 2 < 0; 3х-1-2(2х+4)2х+4 < 0; 3х-1-4х-82х+4 < 0;

-х-92х+4 < 0;

–x – 9 < 0; або –x – 9 > 0;

2x + 4 > 0; 2x + 4 < 0;

x > –9; x < –9;

2x > –4; 2x < –4;

х > –9; x < –9;

x > –2; x < –2;

x ∈ (–2; +∞); x ∈ (–∞; –9).

Розв'язки нерівності: x ∈ (–∞; –9) ∪ (–2; +∞).

ґ) 2х+34-х > 5; 2х+34-х – 5 > 0; 2х+3-5(4-х)4-х > 0; 2х+3-20+5x4- x > 0;

7х-174- x > 0; тоді:

7x – 17 > 0; або 7x – 17 < 0;

4 – x > 0; 4 – x < 0;

7x > 17; 7x < 17;

x < 4; x > 4;

x > 227; x < 237;

x < 4; x > 4;

x ∈ (237; 4); x ∈ ∅. Розв'язки нерівності: x ∈ (237; 4).

д) x-43x+2 > 3; x-43x+2 – 3 > 0; x-4-3(3x+2)3x+2 > 0; x-4-9x-63x+2 > 0;

-8x-103x+2 > 0; тоді:

–8x – 10 > 0; або –8x – 10 < 0;

3x + 2 > 0; 3x + 2 < 0;

8х < –10; 8х > –10;

3х > –2; 3х < –2;

x < –1,25; x > –1,25;

x > –23; x < –23;

x ∈ ∅; x ∈ (–1,25; –23).

Розв'язки нерівності: x ∈ (–1,25; –23).

242. При яких значеннях різниця дробів більша за їх добуток?

За умовою складемо нерівність: 1n+1 – 1n-1 > 1n+1 • 1n-1. Звідки

1n+1 – 1n-1 – 1(n+1)(n-1) > 0; n-1-n+1-1(n+1)(n-1) > 0; n-1- n-1-1(n+1)(n-1) > 0;

-3(n+1)(n-1) > 0. Це можливо, якщо (n + 1)(n – 1) < 0.

Розв'яжемо цю нерівність. Тоді:

1) n + 1 > 0; n > 1;

n – 1 < 0; n < 1. Отже, n ∈ (–1; 1). Або

2) n + 1 < 0; n < –1;

n – 1 > 0; n > 1. Розв'язків ця система не має.

Тоді розв'язки нерівності n ∈ (–1; 1).

Відповідь: n ∈ (–1; 1).

243. При яких значеннях сума дробів менша за їх добуток?

Маємо нерівність: 3n-4 + 33- n < 3n-4 • 33- n, звідки 3n-4 + 33- n –

– 9n-4(3- n) < 0 |: 3; 1n-4 + 13- n – 3(n-4)(3- n) < 0;

3- n+ n-4-3(n-4)(3- n) < 0; -4(n-4)(3- n) < 0.

Нерівність справджується, якщо (n – 4)(3 – n) > 0. Тоді:

1) n – 4 > 0; n > 4;

3 – n > 0; n < 3; система розв'язків не має; або

2) n – 4 < 0; n < 4;

3 – n < 0; n > 3; звідки n ∈ (3; 4). Розв'язки складеної нерівності n ∈ (3; 4).

Відповідь: при n ∈ (3; 4).

244. Розв’яжіть систему трьох нерівностей.

Знайдемо розв’язки кожної з трьох нерівностей системи, після чого знайдемо їх переріз.

a) 2x – 1 > 5; 2x > 5 + 1; 2x > 6; x > 3;

4x – 3 < 37; 4x < 37 + 3; 4x < 40; x < 10; Отже, x ∈ (4; 10).

3х – 5 > 7; 3х > 7 + 5; 3х > 12; x > 4.

б) 3x – 2 ≤ 5x – 8; 3 – 2 + 8 ≤ 5x – 3х;

2x – 1 ≤ 4(2 – x); 2x – 1 ≤ 8 – 4x;

2x – 7 < 3(1 – x); 2x – 7 < 3 – 2x;

2x ≥ 6; x ≥ 3; х ≥ 3;

2x + 4x ≤ 8 + 1; 6x ≤ 9; x ≤ 1,5;

2x + 3х < 3 + 7; 5x < 10; x < 2.

Система розв'язків немає.

245. Розв’яжіть систему подвійних нерівностей.

a) 0 < 1 – 2x < 1; –1 < –2x < 0;

3 < 3х + 4 < 5; –1 < 3х < 1;

1 2 > x > 0; 0 < x < 12;

–13 < x < 13; –13 < x < 13.

Розв'язки системи: x ∈ (0; 13).

б) 1 < 5 – 3х < 3; –4 < –3x < –2;

–3 < 3 – 2x < 1; –6 < –2x < –2;

43 > x < 23; 23 < x < 113;

3 > x > 1; 1 < x < 3.

Розв'язки системи: x ∈ (1; 113).

246. Розв’яжіть нерівність:

a) x² ≤ 25; x² – 25 ≤ 0; (x – 5)(x + 5) ≤ 0. Тоді:

1) x – 5 ≤ 0; x ≤ 5;

х + 5 ≥ 0; x ≥ –5; звідки x ∈ [–5; 5–]; або

2) x – 5 ≥ 0; x ≥ 5;

x + 5 ≤ 0; x ≤ –5; тоді x ∈ ∅. Розв'язки нерівності x ∈ [–5; 5].

б) x² > 16; x² – 16 > 0; (x – 4)(x + 4) > 0. Тоді:

1) x – 4 > 0; x > 4;

x + 4 > 0; x > –4; звідки x ∈ (4; +∞); або

2) x – 4 < 0; x < 4;

x + 4 < 0; x < –4; звідки x ∈ (–∞; –4).

Тоді розв'язки нерівності x ∈ (–∞; –4) ∪ (4; +∞).

в) x² < 2; x² – 2 < 0; (x – 2)(x + 2) < 0. Тоді:

1) x – 2 < 0; x < 2;

x + 2 > 0; x > –2; звідки x ∈ (–2; 2); або

2) x – 2 > 0; x > 2;

x + 2 < 0; x < –2; звідки x ∈∅.

Тоді розв'язки нерівності x ∈ (–2; 2).

Відповідь: a) [–5; 5]; б) (–∞; –4) ∪ (4; +∞); в) x ∈ (–2; 2).

247. Чи правильно, якщо число додатне, то нерівність.

Розв'яжемо нерівність.

a) x² < a²; x² – а² < 0; (х – а)(x + a) < 0; звідки:

1) x – а < 0; x < а;

x + a > 0; x > –a; звідки x ∈ (–a; a); або

2) x – a > 0; x > a;

x + a < 0; x < –a; звідки x ∈ ∅. Розв'язки нерівності x ∈ (–a; a).

Розв'яжемо нерівність |x| < a; –a < x < a; x ∈ (–a; a).

Оскільки у нерівностей x² < a² і |x| < a однакові розв'язки, то

x² < a² рівносильні |x| < a.

б) x² > a²; x² – а² > 0; (x – a)(x + a) > 0; тоді:

1) x – а > 0; x > а;

x + a < 0; x < –а; звідки x > a; або

2) x – а < 0; x < а;

x + a > 0; x > –а; звідки х < –а.

Розв'язки нерівності x ∈ (–∞; –a) ∪ (a; +∞).

|x| > а; тоді x > а або x < –а. Отже, розв'язки нерівності x ∈ (–∞; –a) ∪ (a; +∞). У нерівностей x² а² і |x| > а однакові розв'язки, то

x² > а² рівностльна |x| > а.

Зауваження: Доведені твердження правильні при а > 0.

248. Розв’яжіть нерівність двома способами.

a) |x – 1| < 2; –2 < x – 1 < 2; –2 + 1 < x < 2 + 1; –1 < x < 3;

х ∈ (–1; 3);

б) (x – 1)² < 4; (x – 1)² < 2²; |x – 1| < 2; –2 < x – 1 < 2; –2 + 1 <

< x < 2 + 1; –1 < x < 3; x ∈ (–1; 3);

в) (2x + 1)² < 9; (2x + 1)² < 3²; |2x + 1| < 3; –3 < 2x + 1 < 3;

–3 – 1 < 2x < 3 – 1; –4 < 2x < 2; –2 < x < 1; x ∈ (–2; 1);

г) |x – 8| > 1; x – 8 > 1 або x – 8 < –1; x > 9 або x < 7; отже,

x ∈ (–∞; 7) ∪ (9; +∞);

ґ) (x – 2)² ≥ 25; (x – 2)² = 5²; |x – 2| ≥ 5; x – 2 ≥ 5 або x – 2 ≤ –5x;

x ≥ 7 або x ≤ –3; отже x ∈ (–∞; –3] ∪ [7; +∞);

д) (5x – 3)² < 49; (5x – 3)² > 7²; 5x – 3 > 7 або 5x – 3 < –7; 5x > 10 або 5x < –4; x > 2 або x < –0,8; отже, x ∈ (–∞; –0,8) ∪ (2; +∞).

Відповідь: a) (–1; 3); б) (–1; 3); в) (–2; 1); г) (–∞; 7) ∪ (9; +∞);

ґ) (–∞; –3] ∪ [7; +∞); д) (–∞; –0,8) ∪ (2; +∞).

249. Розв’яжіть нерівність.

a) |2x + 3| < 5; –5 < 2x + 3 < 5; –5 – 3 < 2x < 5 – 3; –8 < 2x < 2;

–4 < x < 1; x ∈ (–4; 1).

Відповідь: (–4; 1).

б) |x – 3| + |x + 1| ≤ 7.

Знайдемо корені підмодульних функцій:

x – 3 = 0, звідки x = 3; х + 1 = 0, звідки x = –1.

Знайдемо розв'язки нерівності на проміжках.

І (–∞; –1). На цьому проміжку x – 3 < 0 і x + 1 < 0, тому маємо нерівність –(x – 3) – (x + 1) ≤ 7; –x + 3 – x – 1 ≤ 7; –2x ≤ 7 – 2:

–2x ≤ 5; x ≥ –2,5.

Тоді x ∈ (–2,5; – 1).

ІІ [–1; 3]. На цьому проміжку x – 3 < 0 і x + 1 > 0, тому маємо нерівність –(x – 3) + (x + 1) ≤ 7; –x + 3 + x + 1 ≤ 7; 4 ≤ 7; нерівність правильна для будь–якого x ∈ (–1; 3).

ІІІ (3; +∞). На цьому проміжку x – 3 > 0 і x + 1 > 0, тому маємо нерівність x – 3 + x + 1 ≤ 7; 2x ≤ 9; x ≤ 4,5. Тоді x ∈ (3; 4,5].

Розв'язки нерівності x ∈ [–2,5; 4,5].

Відповідь: x ∈ [–2,5; 4,5].

в) |3x – 1| ≥ 2; тоді 3x – 1 ≥ 2 або 3x – 1 ≤ –2, 3x ≥ 3 або 3x ≤ –1;

x ≥ 1 або x ≤ –13. Розв'язки нерівності x ∈ (–∞; –13] ∪ [1; +∞).

Відповідь: x ∈ (–∞; –13] ∪ [1; +∞).

г) |x – 2| + |x + 1| ≥ 3.

Корені підмодульних функцій:

x – 2 = 0; x = 2; x + 1 = 0; x = –1.

Розв'яжемо нерівність на проміжках:

І (–∞; –1]; x – 2 < 0; x + 1 < 0; тоді –(x – 2) – (x + 1) ≥ 3; –x + 2 –

– x – 1 ≥ 3; –2x ≥ 3 – 1; –2x ≥ 2; x ≤ –1. Розв'язки x ∈ (–∞; –1].

ІІ (1; 2); x – 2 > 0; x + 1 > 0; тоді –(x – 2) + x + 1 ≥ 3; –x + 2 + x +

+ 1 ≥ 3; 3 ≥ 3; нерівність правильна, тому розв'язки x ∈ (1; 2).

ІІІ [2; +∞); x – 2 > 0; x + 1 > 0; тоді x – 2 + x – 1 ≥ 3; 2x ≥ 4; x ≥ 2.

Розв'язки x ∈ [2; +∞).

Розв'язки заданої нерівності x ∈ R.

250. Розв’яжіть нерівність.

a) |5 – x| > 0,5; 5 – x > 0,5 або 5 – x < –0,5; 5 – 0,5 > x або

5 – 0,5 < x; x < 4,5 або x > 5,5. Розв'язки x ∈ (–∞; 4,5) ∪ (5,5; +∞).

б) |x – 1| + |1 + x| > 1. Корені підмодульних функцій: x = 1.

Проміжки розв'язання:

І (–∞; 1); x – 1 < 0; 1 – x < 0, тоді (x – 1) + 1 – x > 1;

x – 1 + 1 – x > 1; 2x < 1; x < 12.

розв'язки на І: x ∈ [–∞; 12).

II [1; +∞); x – 1 > 0; 1 – x < 0, тоді x – 1 – (1 – x) > 1; x = 1 – 1 +

+ x > 1; 2x > 1 + 2; x > 1,5.

Розв'язки на ІІ: x ∈ (1,5; +∞).

Розв'язки заданої нерівності: x (–∞; 12) ∪ (1,5; +∞).

в) |4x + 3| < x. Корінь підмодульної функції:

4x – 3 = 0; x = 34. Проміжки:

І 4x – 3 < 0, тому –(4x – 3) < x; – 4x + 3 < x; 5x > 3; x > 35.

Розв'язки x ∈ (35; 34).

II 4x – 3 > 0, тому 4x – 3 < x; 3x < 3; x < 1. Розв'язки x ∈ [34; 1).

Розв'язки заданої нерівності x ∈ (35; 1).

г) |x – 7| > |x – 1|. Корені підмодульних функції:

x = 7 = 0; x = 7; x – 1 = 0;

x = 1. Проміжки розв'язання:

І (–∞; 1]; x – 7 < 0; x – 1 < 0, тоді –(x – 7) > –(x – 1); –x + 7 > –x +

+ 1; 7 > 1; нерівність правильна, тому x ∈ (–∞; 1].

ІІ (1; 7); x – 7 < 0; x – 1 > 0, тоді –(x – 7) > x – 1; –x + 7 > x – 1;

7 – 1 > x + x; 2x < 6; x < 3. Розв'язки x ∈ (1; 3).

III [7; +∞); x – 7 > 0; x – 1 > 0, тоді x – 7 > x – 1; –7 > –1 – нерівність неправильна, тому x ∈ ∅. Розв'язки заданої нерівності

x ∈ (–∞; 3).

Відповідь: a) (–∞; 4,5) ∪ (5,5; +∞); б) (–∞; 12) ∪ (1,5; +∞);

в) (35; 1); г) (–∞; 3).

251. Розв’яжіть нерівність.

a) (x – 3) x-2 < 0; має зміст, якщо x – 2 ≥ 0, тоді x-2 ≥ 0; але за умовою x-2 ≠ 0; тому x – 2 > 0. Тоді x – 3 < 0. Розв'яжемо систему:

x – 1 > 0; x > 2;

x – 3 < 0; x < 3; звідки x ∈ (2; 3).

б) (2x – 1) 3x-2 > 0. Тоді 3x – 2 > 0; x > 23;

2x – 1 > 0; x > 12;

звідки x > 23; x ∈ (23; +∞).

в) (5 – 2x) х2+3 ≥ 0. Оскільки x² + 3 > 0, для будь–яких x, то

х2+3 ≥ 0, тоді 5 – 2x ≥ 0; 2x ≤ 5; x ≤ 2,5. Отже, x ∈ (–∞; 2,5].

г) 4х-53х-1 ≤ 0; 3x – 1 > 0; x > 13;

4x – 5 ≥ 0; x ≥ 114. Звідки x ∈ [114; +∞).

Відповідь: a) (2; 3); б) (23; +∞); в) (–∞; 2,5]; г) [114; +∞).

260. Доведіть нерівність.

a) а² + 2a + 2 = а² + 2a + 1 + 1 = (a + 1)² + 1; (a + 1)² ≥ 0, тоді

(а – 1)² – 1 > 0. Отже, а² + 2a + 2 > 0, що й треба було довести.

б) а² – 2a + 5 = а² – 2a + 1 + 4 = (а – 1)² + 4; (а – 1) ≥ 0; (а – 1)² –

– 4 > 0. Отже, а² – 2a + 5 > 0, що й треба було довести.

в) 2а² + 4а + 5 = 2a² + 4a + 2 + 3 = 2(a + 1)² + 3; (а + 1)² ≥ 0;

2(a – 1)² + 3 > 0. Отже, 2а² + 4а + 5 > 0, що й треба було довести.

г) 2а + а – 1 = 2(a² + 12а + 12) = 2(a² + 2 • 14 • а + (14)² – (14)² + 12) =

= 2((a + 14)² + 12 – 116) = 2((a + 14)² + 716); (a + 14)² ≥ 0; (a + 14)² +

+ 716 > 0;

2) ((a + 14) + 716) > 0. Отже, 2a² + а + 1 > 0, що треба було довести.

261. Доведіть нерівність.

a) а² + 3 > 2а; а² + 3 – 2а > 0; а² – 2a + 1 + 2 = (а – 1)² + 2 > 0;

(а – 1)² ≥ 0; (а – 1)² + 2 > 0. Отже, a² – 2a + 3 > 0, тоді а² + 3 > 2а

б) а² + 5 > 4а; а² – 4a + 5 > 0; а² – 4a + 4 + 1 = (a – 2)² + 1; (а –

– 2)² ≥ 0; (а – 2)² + 1 > 0. Отже, а² – 4a + 5 > 0 і а² + 5 > 4а.

в) 2а² – 1 > 2а; 2а² – 2a + 1 > 0;

2а² – 2a + 1 = 2(a² – а + 12) = 2(a² – 2 • 12 • а + (12)² – (12)² + 14) =

= 2((a – 12)² – 14 + 12) = 2((a – 12)² + 14); (a – 12)² ≥ 0; 2((a – 12)² + 14) > 0.

Отже, 2a² – 2a + 1 > 0; 2a² + 1 > 2а.

г) 3а² + 1 > 2а; 3а² – 2a + 1 > 0;

3а² – 2a + 1 = 3(а² – 23а + 1) = 3(a² – 2 • 13 • a + (13)² – (13)2 + 1) =

= 3((а – 13)² – 19 + 1) = 3((а – 13)² + 89); (a – 13)² ≥ 0; 3((a – 13)² + 89) > 0;

3а² – 2а – 1 > 0; 3а² + 1 > 2а.

262. Доведіть нерівність.

a) (2а – 1)(2a + 1) < 3а²;

4а² – 1 < 4а²; 4a² – 4а < 1; 0 < 1 – ця нерівність правильна, тобто нерівність (2а – 1)(2a + 1) < 3а² правильна для кожного дійсного значення а.

б) (а – 3)² > (а – 6);

а² – 6a + 9 > a² – 6a; а² – а² – 6a + 6a > –9; 0 > –9 – ця нерівність правильна, тобто нерівність (а – 3)² > а(а – 6) правильна для кожного дійсного значення а.

в) а² + 65 > 16a; а² + 65 – 16a > 0;

а² + 65 – 16a = (а² – 16a + 64) + 1 = (а – 8)² + 1; оскільки

(a – 8)² > 0 при кожному дійсному значенні а, то (а – 8)² + 1 > 0, тобто завжди а² + 65 > 16a;

г) a⁴ + 82 > 18а², а⁴ + 82 – 18а² > 0;

a⁴ + 82 – 18а² = (a⁴ – 18а² + 81) + 1 = (а² – 9)² + 1; оскільки при кожному дійсному значенні а значення виразу (а – 9)² невід'ємне, а (а – 8)² + 1 > 0, то завжди а⁴ + 82 > 18а².

263. Доведіть нерівність.

a) (a + 1)² ≥ 4a; (a + 1)² – 4a ≥ 0;

(a + 1)² – 4a = a² + 2a + 1 – 4a = a² – 2a + 1 = (a – 1)²; оскільки при кожному дійсному значенні а нерівність (а – 1)² ≥ 0 правильна, то завжди (а + 1) ≥ 4а.

б) 99 + 20a < (a + 10)²; 99 + 20a – (a + 10)² < 0;

99 + 20a – a² – 20a – 100 = –a² – 1 = –(a² + 1); оскільки а² + 1 > 0 при кожному дійсному значенні а, то –(а² + 1) < 0, тобто завжди

99 + 20а < (a + 10)².

в) 2а1+ а2 ≤ 1; оскільки завжди 1 + a² > 0, то 2a ≤ 1 + a²; 2a – 1 –

– a² ≤ 0; a² – 2a + 1 ≥ 0; (a – 1)² ≥ 0 – правильна при кожному

дійсному значенні а, тобто завжди 2а1+ а2 ≤ 1.

г) а2+ 44 ≥ а; а² + 4 ≥ 4а; а² – 4а ≥ 0; (а – 2)² ≥ 0 – правильна при кожному дійсному значенні а, тобто завжди а2+ 44 ≥ а.

264. Доведіть, що для кожного від’ємного значення х:

Доведемо, що для кожного від’ємного значення х справедливо:

а) (x – 1)(x – 2) > 0; при x < 0 множники (х – 1)(х – 2) мають від’ємні значення. Отже, їх добуток — додатне число, тобто (x – 1) і (х – 2) >

> 0, що й треба було довести.

б) x² + 9 > 10x; x² + 9 – 10x > 0; якщо х < 0, то –10x > 0 як добуток двох від’ємних чисел, а x² + 9 > 0 завжди. Отже, x² + 9 – 10х > 0, тобто x² + 9 > 10x.

в) (x – 3)(3 – х) < 0; (х – 3)(3 – х) = Зх – х² – 9 + Зх = –х² + 6х +

+ (–9); якщо x < 0, то 6x < 0, а – x² < 0 завжди, оскільки завжди

х² > 0.

Отже, –х² + 6х + (–9) < 0 як сума від’ємних чисел, тобто (x – 3)(3 –

– х) < 0.

г) (2 – х)(х – 3) < 0; (2 – x)(x – 3) = 2x – 6 – x² + Зx = –x2 + 5x +

+ (–6); якщо x < 0, то 5x < 0, а – х² < 0 завжди, оскільки завжди

х² > 0.

Отже, –х² + 5х + (–6) < 0 як сума від’ємних чисел, тобто (2 – х)(х –

– 3) < 0.

265. Доведіть, що для кожного додатного с:

Доведемо, що для кожного додатного с справедливо:

a) c + 1c ≥ 2;

c + 1c – 2 ≥ 0; c2- 2c+1c ≥ 0; (c-1)2c ≥ 0; c > 0, a (c – 1)² ≥ 0 за будь–якого с, тому нерівність (c-1)2c ≥ 0 правильна. Отже c + 1c ≥ 2 для даного с.

б) 9с + 1с ≥ 6;

9с + 1с ≥ 0; 9с2- 6с+1с ≥ 0; c > 0, a (3c – 1)² ≥ 0 за будь–якого с, тому нерівність (3с-1)2с ≥ 0 правильна. Отже, 9с + 1с ≥ 6 для додатного с.

в) (c + 1)(1c + 1) ≥ 4;

1 + c + 1c + 1 ≥ 4; c + 1c ≥ 4 – 2; c + 1c ≥ 2.

Остання нерівність правильна для будь–якого с, що було доведено в прикладі а).

г) (1 – c)(1 – 1c) < 0;

1 – 1c – c + 1 < 0; 2 – 1c – c < 0; 2c-1-c2c < 0; c2- 2c+1c < 0;

–(c-1)2c < 0.

c > 0, a (c – 1)² > 0 за будь–якого с, окрім с = 1, при якому (с – 1)² = 0, тому (с-1)2с > 0, тобто –(с-1)2с < 0 для кожного додатного с, окрім с = 1.

Для кожного додатного с буде правильною нерівність (1 – с)(1 –

– 1с) ≤ 0.

266. Доведіть нерівність.

Доведемо, що при будь–яких значеннях змінних справедливо:

а) a² – аb + b² ≥ 0;

a² – аb + b² = 12(2а² – 2аb + 2b²) = 12(a² – 2аb + b² + а² + b²) =

= 12((а – b)² + а² + b²) • 12((а – b)² + a² + b²) ≥ 0, оскільки сума квадратів при будь–яких значеннях невід’ємна. Отже, a² – аb + b² ≥

≥ 0 завжди.

б) а² + b² + 2 ≥ 2(a + b);

а² + b² + 2 – 2(а + b) ≥ 0; а² + b² + 2 – 2(а + b) = а² + b² – 2а –

– 2b + 1 + 1 = (a² – 2а + 1) + (b² – 2b + 1) = (а – 1)² + (b – 1)² — це число невід’ємне як сума квадратів, що можуть бути лише додатними або дорівнювати нулю при будь–яких значеннях змінних. Отже, а² +

+ b² ≥ 2(а + b) завжди.

267. Доведіть нерівність.

a) a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc;

a² + b² + c² – ab – ac – bc ≥ 0;

a² + b² + c² – ab – ac – bc = 12(2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2bc) =

= 12((a² – 2ab + b²) + (a² – 2ac + c²) + (b² – 2bc + c²))

12(a – b)² + (a – c)² + (b – c)²) – це число невід'ємне як півсума квадратів, що можуть бути лише додатними або дорівнювати нулю при будь–яких значеннях змінних. Отже, a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc завжди.

б) a² + b² + c² + 3 ≥ 2(a + b + c);

a² + b² + c² + 3 – 2(a + b + c) ≥ 0;

a² + b² + c² + 3 – 2(a + b + c) = a² + b² + c² + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b –

– 2c = (a² – 2a + 1) + (b² – 2b + 1) + (c² – 2c + 1) = (a – 1)² + (b –

– 1)² + (c – 1)² = (a – 1)² + (b – 1)² + (c – 1)² ≥ 0, оскільки є сумою квадратів, які можуть бути лише додатними або дорівнювати нулю при будь–яких значеннях змінних. Отже, а² + b² + с² + З ≥ 2(а + b +

+ с) завжди.

268. Доведіть, що сума квадратів двох будь–яких дійсних

чисел не менша від їх подвоєного добутку.

Доведення. Візьмемо два дійсних числа а і b. Сумою їхніх квадратів буде a² + b², a їх подвоєний добуток становить 2аb. Нехай а² + b² ≥ 2аb, тоді a² + b² – 2аb ≥ 0

(а² + b²) – 2ab = a² – 2аb + b² = (a – b)². Оскільки значення (а – b)² дорівнює нулю при а = b і додатне при будь–яких інших дійсних а і b, то нерівність а² + b² – 2аb ≥ 0 правильна, тобто сума квадратів двох будь–яких дійсних чисел не менша від їхнього подвоєного добутку.

269. Що більше:

а) сума квадратів двох додатних чисел чи квадрат їх суми;

б) сума квадратів двох від’ємних чисел чи квадрат їх суми?

Доведення. Візьмемо два будь–яких числа а і b.

Сума їхніх квадратів — а² + b², квадрат їхньої суми — (а + b)². Тоді

(а² + b²) – (а + b)² = а² + b² = а² + b² – a² – b² – 2аb = –2ab.

Якщо числа а і мають однакові знаки, то 2аb > 0, а – 2аb < 0, і різниця буде від’ємною, тобто від’ємник більший від зменшуваного. Отже:

а) квадрат суми двох додатних чисел більпшй від суми їхніх квадратів;

б) квадрат суми двох від’ємних чисел більший від суми їхніх квадратів.

270. Доведіть, що півсума квадратів двох дійсних чисел не

менша від квадрата їх півсуми.

Доведення. Візьмемо два будь–яких числа а і b. Півсума їхніх квадратів дорівнює a2+ b22, а квадрат півсуми – (a+b2)².

Тоді a2+ b22 – (a+b2)² = a2+ b22 – a2+ 2ab+ b24 =

= 2a2+ 2b2- a2- 2ab- b24 = a2- 2ab+ b24 = (a-b)24.

Значення (a-b)24 – невід’ємне, оскільки квадрат різниці дійсних чисел може бути додатним або дорівнювати нулю, тобто a2+ b22 –

– (a+b2)² ≥ 0, звідки a2+ b22 ≥ (a+b2)², що й треба було довести.

Завдання для самостійної роботи

Варіант І

1. Розв’яжіть нерівність.

а) 3х – 5 < 13; Зх < 13 + 5; Зx < 18; х < 183; х < 6.

Відповідь: (–∞; 6).

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

a) 2x + 3 > 7, 2x > 7 – 3, x > 2,

x – 5 ≤ 1; x ≤ 1 + 5; x ≤ 6.

Відповідь: (2; 6].

б) 3 – x-25 ≤ x, –x-25 – x ≤ –3, -x+2-5x5 ≤ –3,

5(x – 2) < 8x + 1; 5x – 10 < 8x + 1; 5x – 8x < 1 + 10;

–6x + 2 ≤ –15, –6x ≤ –17, x ≥ 176,

–3x < 11; –3x < 11; x > –113.

Відповідь: [176; ∞).

3. Розв’яжіть подвійну нерівність.

2x – 3 < 5, 2x < 8, x < 4,

2x – 3 ≥ –1; 2x ≥ 2; x ≥ 1.

Відповідь: [1; 4).

Варіант II

1. Розв’яжіть нерівність.

Розв’яжемо нерівність:

1.4x – 7 < 13; 4х < 13 + 7; 4x < 20; х < 5.

Відповідь: (–∞; 5).

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

Розв’яжемо системи нерівностей:

a) 3x – 7 < 5, 3x < 12, x < 4,

2x + 1 ≥ 3; 2x ≥ 2; x ≥ 1.

Відповідь: [1; 4).

б) 2 – x-13 ≥ x, –x-13 – x ≥ –2, -x+1-3x3 ≥ –2,

7(x – 3) > 5x – 2; 7x – 21 > 5x – 2; 7x – 5x > –2 + 21;

–4x + 1 ≥ –6, –4x ≥ –7, x ≤ 74,

2x > 19; x > 9,5; x > 9,5.

Відповідь: розв’язків немає.

3. Розв’яжіть подвійну нерівність.

Розв’яжемо подвійну нерівність –3 < 2c + 1 ≤ 7.

2c + 1 ≤ 7, 2c ≤ 6, c ≤ 3,

2c + 1 > –3; 2c > –4; c > – 2.

Відповідь: (–2; 3].

Варіант III

1. Розв’яжіть нерівність.

Розв’яжемо нерівність:

5x – 4 > 26; 5х > 26 + 4; 5х > 30; х > 6.

Відповідь: (6; ∞).

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

Розв’яжемо системи нерівностей:

a) 5x – 2 ≤ 18, 5x ≤ 20, x ≤ 4,

2x + 3 > 5; 2x > 8; x > 1.

Відповідь: (1; 4].

б) 4 – 2-x 3 > 4, –2-x3 – x > –4, –2 + x – 3x > – 12,

2(x – 4) ≥ 5x – 2; 2x – 8 ≥ 5x – 2; 2x – 5x ≥ –2 + 8;

–2x > –10, x < 5,

–3x ≥ 6; x ≤ –2.

Відповідь: (–∞; –2].

3. Розв’яжіть подвійну нерівність.

Розв’яжемо подвійну нерівність –2 ≤ 3n + 4 < 10.

3n + 4 < 10, 3n < 6, n < 2,

3n + 4 ≥ 2; 3n ≥ –6; n ≥ –2.

Відповідь: [–2; 2).

Варіант IV

1. Розв’яжіть нерівність.

Розв’яжемо нерівність:

7x + З > 38; 7х > 38 – 3; 7х > 35; х > 5.

Відповідь: (5; ∞).

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

Розв’яжемо системи нерівностей:

a) 4x – 3 > 5, 4x > 8, x > 2,

5x + 2 ≤ 27; 5x ≤ 25; x ≤ 5.

Відповідь: (2; 5].

б) 3 – x-42 < 3x, –x-42 – 3x < –3, –x + 4 – 6x < – 6,

5(x – 1) ≥ 3x – 1; 5x – 5 ≥ 3x – 1; 5x – 3x ≥ 5 – 1;

–7x < –10, x > 107,

2x ≥ 4; x ≥ 2.

Відповідь: [2; ∞).

3. Розв’яжіть подвійну нерівність.

Розв’яжемо подвійну нерівність –5 < 2m – 1 ≤ 7.

2m – 1 ≤ 7, 2m ≤ 8, m ≤ 4,

2m – 1 > –5; 2m > –4; m > –2.

Відповідь: (–2; 4].

Тестові завдання № 1

1. Виберіть правильну нерівність:

5 ≥ 5. Відповідь: в).

5 > З

2. Сумою нерівностей 5 > 3 і 2 > –1 є нерівність:

2 > -17>2 Відповідь: в).

3. Укажіть строгу нерівність:

Відповідь: в).

4. Нерівність x² + 2х + 1 ≤ 0 задовольняє число:

При x = –1 x² + 2x + 1 = (–1)² + 2 • (–1) + 1 = 0; 0 ≤ 0.

Відповідь: г).

5. Скільки цілих чисел задовольняє подвійну нерівність

Цілі числа –1; 0; 1 — їх три. Відповідь: в).

6. Виберіть проміжок, якому належить число 3.

3 ∈ (–3; +∞). Відповідь: г).

7. Виберіть нерівність, яка не має розв’язків:

x² ≥ 0, тому x² < 0, немає розв’язків. Відповідь: а).

8. Система нерівностей має множину розв’язків:

2x ≤ 3; x ≤ 1,5;

x + 1 ≤ 2; x ≤ 1; звідки х ≤ 1, х ∈ (–∞; 1]. Відповід: г).

9. Яке найбільше число є розв’язком нерівності

x² – 2x ≥ x² + 2; x² – 2x – x² ≥ 2; –2x ≥ 2; x ≤ –1; x ∈ (–∞; –1]. Найбільше число –1. Відповідь: в).

10. Знайдіть область визначення функції.

у = 1х2 + х, тоді х ≥ 0;

х ≠ 0. Отже, x > 0; x ∈ (0; +∞).

Відповідь: г).

Типові завдання до контрольної роботи № 1

1. Порівняйте дроби.

a) 57 > 37; б) –43 = –43;

в) 56 i 67; 3542 < 3642, тому 56 < 67;

г) –713 i –1327; –18913 •27 < –16913 •27, тому –713 < –1327.

2. Відомо, що х < у. Порівняйте:

Якщо x < у, то

a) x – 3 < у – 3: б) 1,3x < 1,3y; в) –2x > –2у; г) –x > –у, тому 5 – х >

> 5 – у.

3. Дано 7 < b < 12, 2 < с < 5. Оцініть значення виразу:

Якщо 7 < b < 12; 2 < c < 5, то:

а) 21 < 3b < 36; б) 14 < bc < 60;

в) 21 + 4 < Зb + 2с < 36 + 10; 25 < 3b + 2с < 46;

г) якщо 14 < bс < 60, то

160 < 1bc < 114 i 25 • 160 < 3b+2cbc < 46 • 114; 512 < 3b+2cbc < 257.

4. Розв’яжіть нерівність:

а) 2x – 5 < 7; 2x < 12; x < 6; x ∈ (–∞; 6);

б) Зх + 7 < 7x + 3; 7 – З < 7x – Зx; 4x > 4; x > 1; x є (1; +∞);

в) 4 – (x – 2)² > x – x²; 4 – x² + 4x – 4 > x – x²; 4x – x >• 0; Зx > 0;

x > 0; x ∈ (0; +∞).

5. Знайдіть об’ єднання і переріз множин А і С, якщо:

a) A = (2; 5); С = (1; 3). тоді A ∩ С = (2; 3); A ∪ С = (1; 5);

б) A = (–3; +∞); С = (–∞; 3], тоді A ∩ С = (–3 ; 3]; А ∪ С =

= (–∞; +∞);

в) A(–∞; π); С = [10; 11], тоді А ∩ С = ∅; А ∪ С = (–∞; π) ∪ [10; 11].

6. Розв’яжіть систему нерівностей:

a) 6x – 7 ≥ 4x – 3; 6x – 4x ≥ –3 + 7; 2x ≥ 4; x ≥ 2;

3x + 16 ≥ 8x – 4; 16 + 4 ≥ 8x – 3x; 5x ≤ 20; x ≤ 4;

тоді х ∈ [2; 4];

б) x(x + 7) ≥ (x – 7)²; x² + 7x ≥ x² – 14x + 49;

(3 – x)(x + 3) ≥ 0,5x – x²; 9 – x² ≥ 0,5x – x²;

7x + 14x ≥ 49; 21x ≥ 49; x ≥ 213;

0,5x ≤ 9; x ≤ 18; x ≤ 18; тоді х ∈ [213; 18].

7. Знайдіть область визначення функції:

2x + 3 ≥ 0; 2x ≥ –3; x ≥ –1,5;

9 – 2x > 0; 2x < 9; x < 4,5; тоді х ∈ [–1,5; 4,5).

8. Розв’яжіть нерівність:

a) |5x – 3| ≤ 1, тоді –1 ≤ 5x – 3 ≤ 1; –1 + 3 ≤ 5x ≤ 1 + 3; 2 ≤ 5x ≤ 4;

25 ≤ x ≤ 45, отже, х ∈ [25; 45].

б) |Зх – 15| + > 9, тоді Зх – 15 > 9 або Зх – 15 < –9; Зx > 24 або

Зх < 6; х > 8 або x < 2, отже, x ∈ (–∞; 2) ∪ (8; +∞).

9. Розв’яжіть рівняння:

|х + 1| + |х – 2| = 3. Корені підмодульних функцій: x = –1; х = 2. Проміжки розв’язків:

І (–∞; 1]; x + 1 < 0; x – 2 < 0, тому –(х + 1) – (х – 2) = 3; –х – 1 – х +

+ 2 = 3; –2х + 1 = 3; –2х = 2; x = –1 ∈ І.

II (–1; 2); x + 1 > 0; х – 2 < 0, тому х + 1 – (х – 2) = 3; х + 1 – x +

+ 2 = 3; 3 = 3; рівність правильна, тому х ∈ (–1; 2).

III [2; +∞); x і 1 > 0; x – 2 > 0, тому х + 1 + х – 2 = 3; 2х = З + 1;

х = 2 ∈ II.

Розв’язки рівняння x ∈ [1; 2].

10. Доведіть нерівність, якщо a > 0, b > 0, с > 0:

Якщо a > b; b > 0; c > 0, то a+2c2 ≥ 2ac; c+2b2 ≥ 2bc; b+2a2 ≥

≥2ab.

Перемножимо почленно ці нерівності:

a+2сс • c+2b2 • b+2a2 ≥ 2ac • 2bc • 2ab; a+2cc+2b(b+2a)8 ≥

≥8a2b2c2;

(a + 2c)(c + 2b)(b + 2a) ≥ 8 • 22abc; (a + 2c)(c + 2b)(b + 2a) ≥

≥ 162abc.

Що й треба було довести.

292. Функцію задано формулою у = 12 х² на області визначення

D = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}. Задайте її таблично і графічно.

Задамо таблицею і графічно функцію, задану формулою у = 12х² на області визначення D = {–4, –З, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.

x	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
y	8	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5	8

Оскільки область визначення цієї функції – множина цілих чисел на проміжку [–4; 4], то її графік — точки, зображені на малюнку.

293. Побудуйте графік функції у = 12х² на проміжку [–4; 4].

Знайдіть її область значень.

Побудуємо графік та знайдемо область значень функції у = 12х² на проміжку [–4; 4]. Графік цієї функції побудуємо по точках,

координати яких знаходяться в таблиці.

x	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
y	8	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5	8

Область значень цієї функції — проміжок [0; 8].

294. Функцію y = 12х² задано на множині R. Знайдіть її область

значень. Чи належить графіку цієї функції точка А (–100; 5000)?

Знайдемо область значень функції у = 12x², заданої на множині R.

З’ясуємо, чи належить її графіку точка A (–100; 5000).

Область визначення цієї функції (–∞; ∞). Отже, область її значень

[0; ∞). Якщо x = –100, то у = 12(–100)² = 100002 = 5000, тобто точка A належить графіку даної функції.

295. Функцію задано у вигляді таблиці.

Задайте її формулою. Вкажіть її область визначення і область значень.

Помітимо, що для всіх значень х і відповідних їм значень у виконується рівність yx = 5. Тоді функція задається формулою у = 5х. Область визначення її — R, множина значень — R.

296. Функцію задано формулою f(x) = х² + 10. Обчисліть: f(2), 3f(2), 2f(3), 0,5f(10).

Знайдемо значення функції f(x) = x² + 10 в заданих точках (при заданих значення х)

f(2) : х = 2, тоді f(2) = 2² + 10; f(2) = 14;

3f(2) = З • 14 = 42;

2f(З) : f = З, тоді 2f(3) = 2 • (3² + 10) = 2 • 19 = 38;

0,5f(10) : x = 10, тоді 0,5f(10) = 0,5 • (10² + 10) = 0,5 • 110 = 55.

297. Функцію задано формулою f(x) = х³ – 5. Знайдіть: f(–3),

f(2), f(–1), f(0), f(7), f(12), f(3).

Функцію задано формулою f(x) = х³ – 5. Знайдемо:

f(–3), f(–2), f(–1), f(0), f(7), f(12), f(3).

f(–3) = (–3)³ – 5 = –27 – 5 = –32; f(–2) = (–2)³ – 5 = –8 – 5 = –13;

f(–1) = (–1)² – 5 = –6; f(0) = 0³ – 5 = 0 – 5 = –5 :

f(7) = 7³ – 5 = 343 – 5 = 338;

f(12) = (12)³ – 5 = 18 – 5 = –478;

f(3) = (3)³ – 5 = 33 – 5.

298. Обчисліть:

Знайдемо значення функції при заданих значеннях x і виконаємо над ними вказані дії. f(x) = х² – x.

а) f(–2) = (–2)² – (–2) = 4 + 2 = 6; f(–1) = (–1)² – (–1) = 1 + 1 = 2;

f(–2) + f(–1) = 6 + 2 = 8;

б) f(0) = 0² – 9 = 0; f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0; f(0) + f(1) = 0 + 0 = 0;

в) f(2) = 2² – 2 = 4 – 2 = 2; f(30) = 30² – 30 = 900 – 30 = 870;

f(2) – f(30) = 2 – 870 = –868.

Відповідь: а) 8; б) 0; в) –868.

299. Знайдіть:

f(х) = x² – x + 1. Знаіідемо f(0) + f(1) + f(2) + f(З).

f(2) = 0² – 0 + 1 = 1; f(1) = 1² – 1 + 1 = 1;

f(2) = 2² – 2 + 1 = 3; f(3) = З² – З + 1 = 7;

f(0) + f(1) + f(2) + f(З) = 1 + 1 + 3 + 7 = 12.

300. На малюнку 55 зображено графік функції у = f(х).

Знайдіть:

а) область визначення і область значень даної функції;

б)f(–5), f(–4), f(0), f(4), f(5);

в) для яких значень аргументу f(х) = 4, f(х) = 0;

г) для яких х значення f(х) найбільше, найменше.

Розв’язання. З малюнка видно, що:

а) Область визначення [–5; 5|, область значень [–3; 5];

б) на графіку знаходимо, що f(–5) = 2; f(–4) = 0; f(0) = 4; f(4) = 0; f(5) = –3;

в) f(x) = 4 при x = 0 і x = 3; f(x) = 0 при x = –4; х = –2; x = 4;

г) найбільше значення f(x) для x = 1,5; найменше значення f(x) для х = 5.

301. Знайдіть область визначення функції.

Знайдемо область визначення наведених функцій,

а) у = Зх – 2; область визначення — множина R:

б) у = 3x-2; x – 2 ≠ 2, тобто область визначення (–∞; 2) U (2; ∞);

в) y = 10x2+ 1; x² + 1 ≠ 0 завжди, тому область визначення – множина R;

г) y = 1x-3(x-4); (x – 3)(х – 4) ≠ 0; x ≠ 3: х ≠ 4, тобто область визначення (–∞; 3) ∪ (4; ∞);

д) у = x2+ 1; x² + 1 > 0 завжди, тому область визначення — множина R;

е) y = x+5; x + 5 ≥ 0; x ≥ –5, тобто область визначення [–5; ∞).

302. Знайдіть область визначення функції.

y = 5x – 1; D = R;

б) y = x+1; x + 1 ≥ 0; x ≥ –1; D: [–1; +∞);

в) y = 4-x; 4 – x ≥ 0; x ≤ 4; D: (–∞; 4];

г) y = 2x5-x; 5 – x ≠ 0; x ≠ 5; D: (–∞; 5) i (5; +∞);

ґ) y = 3x-4(x+1); x – 4 ≠ 0; x + 1 ≠ 0; x ≠ 4; x ≠ –1; D: (–∞; –1) i

(–1; 4) i (4; +∞);

д) y = x-11+x; 1 + x ≠ 0; x ≠ –1; D: (–∞; –1) i (–1; +∞).

303. Побудуйте графік функції.

а ) у = Зх – 2; при х = 0 у = –2; при х = 1 у = 1. Проведіть пряму через точки (0; –2) і (1; 1).

б) у = 0,5x – 1; при x = 0 у = –1; при х = 2 у = 0. Проведіть пряму через точки (0; –1) і (2; 0).

в) у = –Зх. Задана пряма пропорційність і графік функції проходить через початок координат (0; 0). Друга точка при х = 1 у = –З –

– (1; –3).

г) y = 7 – 2х; при x = 0 у = 7; при х = 1 у = 5. Проведіть пряму через точки (0; 7) і (1; 5).

ґ) у = 5. Дана пряма паралельна осі Ох і перетинає вісь ординат у точці (0; 5).

д) у = З – х; при x = 0 у = 3; при x = 1 у = 2. Проведіть пряму через точки (0; 3) і (1; 2).

304. Побудуйте графік функції, заданої формулою:

а) f(x) = 2 – Зx; при х = 0 у = 2; при x = 1 у = –1. Проведіть пряму через точки (0; 2) і (1; –1).

б) f(x) = –1. Пряма паралельна осі Ох і перетинає вісь ординат у точці (0; –1).

в) f(x) = З – 2х; при х = 0 у = 3; при х = 1 у = 1. Проведіть пряму через точки (0; 3) і (1; 1).

г) f(x) = 0,5х. Функція задає пряму пропорційність, тому графік проходить через точку (0; 0). При х = 2 у = 1. Друга точка (2; 1).

305. Знайдіть область значень функції:

а) f(x) = 7. Функція набуває лише значення 7. Область значень

Е = {7}.

б) f(x) = 2х. Функція набуває будь–яких значень. E = R.

в) у = х². Функція не набуває від’ємних значень. Е = [0; +∞).

306. Чи належить графіку функції y = 25-x2 точка А (3; 4)? Точка В (–4; 3)?

у = 25-x2. A (3; 4); 4 = 25-32; 4 = 16; 4 = 4; отже, А належить графіку;

В (–4; 3); З = 25-16; 3 = 3; отже, В належить графіку.

307. Чи проходить графік функції у = х(х – 3) через точки

А (2; –2); В (–1; 4); C (1,5; –2,25)?

у = х(х – 3)

А(2; –2); –2 = 2 • (2 – 3); –2 = –2; проходить через А;

В (–1; 4); 4 = –1 • (–1 – 3); 4 – 4; проходить через В,

С(1,5; –2,25); –2,25 = 1,5 • (1,5 – 3); –2,25 = –2,25; проходить через С.

308. Яка з точок А (–2; –6); В (1,5; 8); C (–3 ; 4); D (–2; –6);

E (3; 4) належить графіку функції:

а) у = –10х – 26;

A(–2, –6): –6 = –10 • (–2) – 26; –6 = –6; належить;

В(1,5; 8): 8 ≠ –10 • 1,5 – 26; не належить;

C(–3; 4): 4 = –10 • (–3) – 26; 4 = 4; належить;

D(–2; –6): –6 = –10 • (–2) – 26; –6 = –6; належить;

Е(3; 4): 4 ≠ –10 • З – 26; не належить.

б) y = 12x;

A(–2; –6): –6 = 12-2; –6 = –6; належить;

В)(1,5; 8): 8 = 1,21,5; 8 = 8; належить;

С(–3; 4): 4 ≠ 12-3; не належить;

D(–2; –6): –6 = 12-2; –6 = –6; належить;

Е(3; 4): 4 = 123; 4 = 4; належить.

в) у = х2+ 7;

А (–2; –6); –6 ≠ (-2)2+7; не належить;

В(1,5; 8); 8 ≠ 1,52+7; не належить;

С(–3; 4): 4 = (-3)2+7; 4 = 4; належить;

D (–2; –6): –6 ≠ (-2)2+ 7; не належить;

Е(3; 4): 4 = 32+ 7; 4 = 4; належить.

309. В яких точках графік функції перетинає вісь х і вісь у?

а) у = 2,5х. Вісь Оx: у = 0 = 2,5х, звідки x = 0. Точка (0; 0). Вісь Оу: х = 0, тоді у = 2,5 • 0 = 0. Точка (0; 0).

б) у = З – 2х. Вісь Ох: у = 0 = З – 2х, звідки 2х = З, х = 1,5. Точка (1,5; 0). Вісь Оу: x = 0, тоді y = З – 2 • 0 = 1. Точка (0; 1).

в) у = 2(х – 1). Вісь Ох: у = 0 = 2 (х – 1), звідки x – 1 = 0, x = 1. Точка (1; 0). Вісь Оу: x = 0, тоді y = 2 • (0 – 1) = –2. Точка (0; –2).

311. Функцію задано формулою f(x) = х². Чи правильно, що для кожного числа а виконується рівність f(–a) = f(а)?

З’ясуємо, чи правильно, що для кожного числа а виконується рівність f(–a) = f(a), якщо функцію задано формулою f(x) = х².

Так, тому що f(–a) = (–а)² = (–1)² • a² = а², а f(а) = а², тобто f(–а) =

= f(a).

312. Функцію задано формулою f(х) = х³. Чи для кожного значення

її аргументу х правильна рівність f(–х) = –f(х)?

З’ясуємо, чи для кожного значення її аргументу х правильна рівність

f(–x) = –f(x), якщо функцію задано формулою f(x) = x³.

Так, тому що f(–x) = (–x)³ = (–1)³ • x³ = –х³, а f(x) = х³ тобто f(–x) =

= –f(x).

313. Знайдіть f(–2); f(–1); f(0); f(1); f(2), якщо функцію задано

формулою:

а) f(x) = 2x² + 3; б) f(x) = Зx³ – 2;

f(–2) = 2 • (–2)² + 3 = 11; f(–2) = З • (–2)³ – 2 = –26;

f(–1) = 2 • (–1)² + 3 = 5; f(–1) = З • (–1)³ – 2 = –5;

f(0) = 2 • 0² + З = 3; f(0)= З • 0³ – 2 = –2;

f(1) = 2 • 1² + З = 5; f(1) = З • 1³ – 2 = 1;

f(2) = 2 • 2² + З = 11; f(2) = З • 2³ – 2 = 22;

в) f(x) = x2+1;f(–2) = (-2)2+1 = 5;f(–1) = (-1)2+1 = 2;f(0) = 02+ 1 = 1;f(1) = 12+ 1 = 2;f(2) = 22+ 1 = 5;

г) f(x) = x2+ 8x+15;f(–2) = (-2)2+ 8 •-2+ 15 = 3;f(–1) = (-1)2+ 8 •-1+ 15 = 22;f(0) = 02+ 8 •0+15 = 15;f(1) = 12+ 8 •1+15 = 26;f(2) = 22+ 8 •2+15 = 35.

314. Функцію задано формулою у = 6x1+x на множині натуральних чисел першого десятка. Задайте її у вигляді таблиці.

y = 6x1+x. Область визначення D = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Тоді

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	3	4	4,5	4,8	5	517	514	513	5,4	5511

315. Функцію задано формулою у = 2x+5 на області визначення

D = {–4; –2,75; –1; 1,25; 4; 11}. Задайте її у вигляді таблиці і графіка.

y = 2x+5.

x	–4	–2,75	–1	1,25	4	11
y	2	3	4	5	6	8

316. He будуючи графіка рівняння 9х – 2у = 14, знайдіть його точку, ордината якої дорівнює абсцисі.

9х – 2у = 14. Оскільки у = х, то 9х – 2х = 14; 7х = 14; х = 2, тоді

у = 2. Отже, маємо точку (2; 2).

Відповідь: (2; 2).

317. He будуючи графіка функції у = х² – 2, знайдіть його точку, абсциса та ордината якої — протилежні числа.

у = х² – 2. Оскільки у = –х, то –х = x² – 2; x² + x – 2 = 0, звідки

х₁ = –2; х₂ = 1. Тоді y₁ = 2; у₂ = –1. Отже, маємо точки (–2; 2),

(1; –1).

Відповідь: (–2; 2), (1; –1).

318. Кожному натуральному числу відповідає протилежне йому число. Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то задайте її формулою та графіком.

Так, є функцією у = –х. Графік — бісектриса II і IV координатних чвертей. Побудуйте.

319. Кожному цілому числу відповідає рівне йому число. Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то що є її графіком?

Так, це функція у = х. Графік — бісектриса І і III координатних чвертей. Побудуйте.

320. Функцію у = f(x) задано графіком (мал. 56). Для яких значень аргументу:

а) f(x) = 0; x = –2; х = 4; х = 8 (точки перетину з віссю Оx); f(x) ≤ 0 х ∈ [4; 8];

б) f(x) = –2; х = 6; f(x) > –2, x ∈ [–2; 6) ∪ (6; 8);

f(x) ≤ –2 x = 6 (якщо f(x) = –2);

в) f(x) = 3; х = 0; х = 3; f(x) ≥ 3, х ∈ [0; 3]; f(x) < 3 х ∈ [–2; 0) ∪ (3; 8].

321. В яких точках перетинає вісь х і вісь у графік функції:

a) y = 12x + 3; Ox: y = 0 = 12x + 3; 12x = –3; x = –6; точка (–6; 0);

Оу: х = 0; у = 12 • 0 + 3 = 3; точка (0; 3);

б) у = х – 47; Ох: у = 0 = х – 47; х = 47; точка (47; 0); Оу: х = 0;

у = 0 – 47 = –47; точка (0; –47);

в) у = 25х + 52; Ох: у = 0 = 25х + 52; 25х = –52; х = –254; точка (–614; 0);

Оу: х = 0; у = 52; точка (0; 2,5);

г) y = х² – 4; Ох: у = 0 = х² – 4; х² = 4; x = ±2; точки (2; 0),

(–2; 0); Оу: x = 0; у = 0 – 4 = –4: точка (0; –4);

ґ) у = х² – 2х; Ох: у = 0 = х² – 2х; x(x – 2) = 0; x = 0 або x = 2;

точки (0; 0), (2; 0); Оy: х = 0; y = 0² – 2 • 0 = 0; точка (0; 0);

д) у = 6 – 5х – x²; Ох: у = 0 = 6 – 5х – х²; х² + 5х – 6 = 0; х₁ = –6 або х₂ = 1; точки (–6 ; 0), (1; 0); Оу: x = 0; у = 6 – 5 • 0 – 0² = 6; точка (0; 6).

322. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій.

y = x2, y = x2 + 3, y = x2 – 2.Складемо таблицю для у = х2.
х–3–2–10123у9410149
Складемо таблицю для у = х2 + 3.
х–3–2–10123у127434712
Складемо таблицю для у = х2 – 2.
х–3–2–10123у72–1–2–127

323. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій.

у = х, у = х + 2, у = х – 3.Складемо таблицю для у = х.
х0149у0123
Складемо таблицю для у = х + 2.
х0149у2345
Складемо таблицю для у = х – 3.
х0149у–3–2–10

324. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій.

y = |x|, y = |x| + 1, y = |x| – 2.

Складемо таблицю для у = |x|.

x	–1	–2	–3	0	1	2	3
y	1	2	3	0	1	2	3

Складемо таблицю для у = |x| + 1.

x	–1	–2	–3	0	1	2	3
y	2	3	4	1	2	3	4

Складемо таблицю для у = |x| – 2.

x	–1	–2	–3	0	1	2	3
y	–1	0	1	–2	–1	0	1

325. При якому значенні m графік функції у = m – 2х проходить

через точку А (2; 3)? Чи проходить цей самий графік через точку В (3; 1)?

Оскільки А(2; 3) належить графіку у = m – 2х, то З = m – 2 • 2; m =

= 7, отже, у = 7 – 2х. Точка В(3; 1): 1 = 7 – 2 • 3; 1 = 1. Отже, графік проходить через В.

326. При якому значенні т графік функції у = х² + m проходить

через точку K (–2; 5)?

К (–2; 5), тоді 5 = (–2)² + m; m = 1. Пояснення див. № 325.

327. Графік функції у = x+m проходить через точку P (5; 5).

Чому дорівнює m?

Р(5; 5), тоді 5 = 5+m; 25 = 5 + m; m = 20.

328. Побудуйте графік функції:

У випадках а) – в) графік – гіпербола; х ≠ 0. а) і в) – в І і ІІІ чвертях; б) – в ІІ i IV чвертях.

а)

х	1	2	4	–1	–2	–4
у	4	2	1	–4	–2	–1

б)

х	1	2	3	–1	–2	–3
у	–3	–1,5	–1	3	1,5	1

в)

х	2	3	4	–2	–3	–4
у	6	4	3	–6	–4	–3

У випадках г) – д) – квадратична парабола.

г)

х	–2	–1	0	1	2
у	8	2	0	2	8

ґ)

х	–2	–1	0	1	2
у	2	0,5	0	0,5	2

д)

х	–2	–1	0	1	2
у	3	0	–1	0	3

329. Знайдіть область визначення функції:

a) y = 1x2- 5; x² – 5 > 0; (x – 5)(x + 5) > 0, тоді

x – 5 > 0; x – 5 < 0; x > 5; x < 5;

x + 5 > 0; або x + 5 < 0; x > –5; або x < –5.

Звідки x > 5 або x < –5.

Отже, D: (–∞; –5) i (5; +∞).

б) y = -x3+ 5x4; x² + 5x ≥ 0; x(x² + 5) ≥ 0.

Для будь–якого x x² + 5 > 0, тоді x ≥ 0. Отже, D: [0; +∞).

в) y = 1x3+ 5x2; x³ + 5x² ≠ 0; x²(x + 5) ≠ 0; x ≠ 0; x ≠ –5.

Отже, D: (–∞; –5) i (–5; 0) i (0; +∞).

г) y = x+5 + 5-x; x + 5 ≥ 0; x ≥ –5;

5 – x ≥ 0; x ≤ 5;

звідки х ∈ [–5; 5], D = [–5; 5].

ґ) у = x2- 6x+10; x² – 6х + 10 ≥ 0. Коренів тричлен x² – 6х + 10 не має, оскільки його дискримінант D = (–6)² – 4 • 1 • 10 = –4 < 0, і цей тричлен не набуває від’ємних значень (вітки параболи (графіка) спрямовані вгору), тоді x² – 6х + 10 ≥ 0 для будь–якого дійсного x. Область визначення D = R.

д) y = x2- 3x-416- x2; x² – 3x – 4 ≥ 0; x² – 3x – 4 ≥ 0;

16 – x² ≠ 0; x² ≠ 16;

x² – 3x – 4 ≥ 0;

x ≠ ±4.

Розв’язки нерівності х² – 3х – 4 = 0; корені тричлена: х² – 3х – 4 ≥

≥ 0; х₁ = –1; х₂ = 4, тоді (х + 1)(х – 4) ≥ 0, звідки:

х + 1 ≥ 0; х + 1 ≤ 0; х ≥ –1; х ≤ –1;

х – 4 ≥ 0; або х – 4 ≤ 0; х ≥ 4; або х ≤ 4;

звідки х ≥ 4 або х ≤ –1.

Ураховуючи умову х ≠ ±4, маємо область визначення D:(–∞; –1] і (4; +∞).

Відповідь: а) (–∞; –5) і (5; +∞); б) [0; +∞); в) (–∞; –5 ) і (–5; 0) і (0; +∞); г) [–5; 5]; ґ) R; д) (–∞; –1] і (4; +∞).

330. Задача А. М. Колмогорова. Яку додаткову умову потрібно

накласти на значення х у формулі f(x) = 1, щоб одержати

визначення функції f(x) = (x)² + (1-x)²?

Область визначення f(x) = (x)² = (1-x)²:

x ≥ 0; x ≥ 0;

1 – x ≥ 0; x ≤ 1.

Звідки х ∈ [0; 1]. Отже, умова для f(x) = 1 – x ∈ [0; 1].

Відповідь: х ∈ [0; 1].

331. Побудуйте графік функції:

4, якщо x < –2;

а) у = x², якщо –2 ≤ х ≤ 1;

2 – x, якщо x > 1.

у = 4 — пряма, паралельна Ох; точка; (–3 ; 4);

у = х² — парабола; точки (–2; 4), (–1; 1), (0; 0), (1; 1);

у = 2 – x — пряма; точки (2; 0), (3; –1).

x + 1, якщо x ≤ 1;

б) y = 3 – x, якщо 1 < x < 4;

–1, якщо x ≥ 4.

у = x + 1 – пряма; точки (0; 1), (1; 2);

у = З – x — пряма; точки (2; 1), (3; 0);

у = –1 – пряма, паралельна Ох; точка (5; –1).

в) y = |2х – 3|;

у = 0, якщо 2х – З = 0; 2x = 3; x = 1,5.

Якщо x < 1,5, то 2x – З < 0 і |2х – 3| = –(2х – 3) = З – 2х, отже,

у = 3 – 2х.

Якщо x > 1,5, то 2x – З > 0 і |2х – 3| = 2х – З, отже, у = 2х – 3.

3 – 2х; х < 1,5 ,

Маємо функцію: у = 2х – 3; x ≥ 1,5,

якщо x < 1,5, — точки (0; 3), (1; 1);

якщо x ≥ 1,5, — точки (2; 1), (3; 3).

г) у = 2|х| – 3; |х| = 0, якщо х = 0.

Якщо x < 0, то |х| = –х; якщо x ≥ 0, то |x| = x.

–2х – З, якщо x < 0;

Маємо функцію: у = 2x – З, якщо x ≥ 0.

Точки для у = –2х – 3: (–1; –1), (–2; 1);

точки для у = 2х – 3: (0; –3), (1; –1).

ґ) у = |х + 1| – |xl; |x| = 0, якщо x = 0;

|x + 1| = 0, якщо x + 1 = 0; x = –1.

Якщо x < –1, то x + 1 < 0 і |x + 1| = –(x + 1) = –x – 1;

а x < 0 і |x| = –x, отже, у = –x – 1 – (–x);

у = –x – 1 + x; y = –1.

Якщо –1 ≤ x ≤ 0, то x + 1 ≥ 0 i |x + 1| = x + 1, a x ≤ 0 I |x| = –x,

отже, y = x + 1 – (–x); y = x + 1 + x; y = 2x + 1.

Якщо x > 0, то x + 1 > 0 і |x + 1| = x + 1 і x > 0, |x| = х.

отже, y = x + 1 – х; у = 1. Маємо функцію:

–1, якщо x < –1; – пряма, паралельна Ох; точка (–2; –1);

у = 2x + 1, якщо –1 ≤ x ≤ 0; – пряма; точки (–1; –1), (0; 1);

1, якщо x < 0; – пряма, паралельна Ох: точка (1; 1).

д) y = |x|x.

Область визначення: x ≠ 0. D: (–∞; 0) і (0; +∞).

Якщо x < 0, то |x| = –х;

якщо x > 0, то |x| = x. Маємо:

-xx, якщо x < 0; –1, x < 0;

y = y =

xx, якщо x > 0; 1, x > 0.

e) y = 6|x|. Область визначення х ≠ 0; D: (–∞; 0) i (0; +∞).

–6x, x < 0;

y =

6x, x > 0.

Для y = –6x, x < 0

x	–1	–2	–3
y	6	3	2

Для y = 6x, x > 0

x	1	2	3
y	6	3	2

є) у = х2+ 10х+25;

у = (x+5)2;

у = |x + 5|. |x + 5| = 0, якщо x = –5.

При x < –5 x + 5 < 0;

|x + 5| = –(х + 5) = –x – 5; y = –x – 5.

При x ≥ – 5 x + 5 > 0;

|x + 5| = x + 5; у = x + 5.

Маємо: у = –x – 5, x < –5; – пряма; точки (–6; 1), (–5; 0);

x + 5, x ≥ –5; – пряма; точки (–5; 0), (0; 5).

332. Функція попиту на товар: Q_D = 9 – р. Функція пропозиції товару: Q_s = 2р – 6. Тут Q_D — обсяг попиту і Q_s — обсяг пропозиції (млн штук за рік), р — ціна (грошові одиниці). Визначте рівноважну ціну (попит дорівнює пропозиції) і обсяг продажу. Як вплине на значення рівноважної ціни товару зменшення попиту на 20 %?

Попит — Q_D = 9 – p: пропозиція – Q_S = 2р – 6: рівновага – Q_D = Q_S;

9д – р = 2р – 6; Зр = 15; р = 5. Рівноважна ціна Q = 9 – 5 = 4. Якщо попит зменшиться на 20%, то Q_D = 0,8(9 – р) — 80% від попередньої, тоді Q’_D = Q_S: 0,8(9 – р) = 2р – 6; 7,2 – 0,8p = 2р – 6; 2,8p = 13,2; р= 337 і рівноважна ціна Q’ – 9 – 337 = 307. Тоді Q`Q = 307 :

: 1 = 3028 ≈ 1,07.

Отже, при зменшенні попиту на 20% рінноважна ціна збільшиться на 7%.

Відповідь: збільшиться на 7% .

333. Порівняйте значення виразів:

а) З2 і 20; 18 < 20, отже, З2 < 20;

б) З5 і 44; 45 > 44, отже, 35 > 44;

в)13 і 23; 13 > 12, отже, 13 > 23;

г) 37 і 8; 63 < 64, отже, 37 < 8;

ґ) 45 і 9; 80 < 81, отже, 45 < 9;

д) 52 і 7; 50 > 49, отже, 522 > 7.

334. У яких межах лежить значення виразу Зх – 2, якщо:

а) 1 < x < 4; З < Зx < 12; 1 < Зх – 2 < 10;

б) –5 < x < 0; –15 < Зx < 0; –17 < 3x – 2 < –2;

в) –10 ≤ x ≤ 10; –30 ≤ Зx ≤ 30; –32 ≤ Зx – 2 ≤ 28.

Відповідь: а) 1 < 3x – 2 < 10: б) –17 < Зх – 2 < –2; в) –32 ≤ Зх – 2 ≤

≤ 28.

335. Розв’яжіть нерівність:

a) 2x+33x+1 > 0. Тоді:

2x + 3 > 0; 2x + 3 < 0; x > –1,5; x < –1,5;

3x + 1 > 0; або 3x – 1 < 0; x > –13; або x < –13.

Звідки x > –13 або x < –1,5. Отже, х ∈ (–∞; –1,5) ∪ (–13; +∞).

б) x-61-x > –1; x-61-x + 1 > 0; x-6+1-x1-x > 0; -51-x > 0.

Звідки 1 – x < 0; x > 1. Отже, х ∈ (1; +∞).

в) 9-2xx ≥ 1; 9-2xx – 1 ≥ 0; 9-2x-xx ≥ 0; 9-3xx ≥ 0.

Звідки 9 – 3x ≥ 0; 9 – 3x ≤ 0; x ≤ 3; x ≥ 3;

x > 0; або x < 0; тоді x > 0; або x < 0.

Отже, х ∈ (0; 3].

Відповідь: а) (–∞; –1,5) ∪ (–13; +∞); б) (1; +∞); в) (0; 3].

345. Знайдіть область визначення функції:

а) у = –7х + З — лінійна функція; D = R;

б) y = х² – 4 — кгіадратична функція; D = R;

в) у = x+4; x + 4 ≥ 0; x ≥ –4; D = [–4; +∞);

г) y = 3x+9; x + 9 ≠ 0; x ≠ –9; D: (–∞; –9) i (–9; +∞);

ґ) y = -1x2+ 4; х² + 4 ≠ 0; тому D = R;

д) y = x1-x: 1 – x ≠ 0; x ≠ 1; D: (–∞; 1) і (1; +∞).

Відповідь: а) R; б) R; в) [–4; +∞); г) (–∞; –9) і (–9; +∞); ґ) R;

д) (–∞; 1) і (1; +∞),

346. Знайдіть область значень функції:

a) y = 0,01x; найменшого і найбільшого значень немає, тому область значень Е = R;

б) у = х²; найменше значення у = 0 при х = 0, тоді Е = [0; +∞);

в) у= 1-х2. Область визначення: 1 – х² ≥ 0; (1 – х)(1 + х) ≥ 0;

1 – x ≥ 0; 1 – x ≤ 0; x ≤ 1; x ≥ 1;

x + 1 ≥ 0; або 1 + x ≤ 0; звідки x ≥ –1; або x ≤ –1;

отже D = [–1; 1].

Найменше значення — 0; найбільше — 1 при x = 0. Отже, Е = [0; 1].

г) y = x³; E = R;

ґ) у = 2х^–1; у = 2x — обернена пропорційність, х ≠ 0, y ≠ 0.

Область значень Е: (–∞;0) і (0; +∞).

д) у = 1+ x2. Область визначення R, найменше значення — 1 при x = 0. Область значень E = [1; +∞).

Відповідь: а) R: б) [0; +∞); в) [0; 1]; г) R; ґ) (–∞; 0) і (0; +∞);

д) [1; +∞).

347. Області значень функцій у = х² і у = |x| однакові. Наведіть

приклади інших функцій з такими самими областями значень.

Область визначення D, область значень Е.

а) у = х² – 1; D = R; Е = [–1; +∞); найменше значення у = –1, х = 0;

б) у = 2- x3; D = R; Е = R,

в) у = 1x + 2; Dy: (–∞; 0) і (0; +∞); у ≠ 2, оскільки 1x ≠ 0, тому

Е: (–∞; 2) і (2; +∞);

г) у = 1 – x; D = [0; +∞); оскільки x ≥ 0, то найменше значення

у = 1 при x = 0, тому Е = (–∞; 1];

ґ) у = |x|; D = R; оскільки |х| ≥ 0, то Е = [0; +∞);

д) у = |x| + 2; D = R; оскільки |x| ≥ 0, то найменше значення у = 2 при x = 0.

Отже, Е = [2; +∞).

349. Функцію у = 1,5х – 2 задано на проміжку [–2; 5]. Знайдіть

її область визначення і область значень.

у = 1,5x – 2; D = [–2; 5]. Оскільки функція лінійна, то найменше значення у = 1,5 • (–2) – 2 = –5; найменше у = 1,5 • 5 – 2 = 5,5.

Е = [–5; 5,5].

Відповідь: D = [–2; 5]; Е = [–5; 5,5].

350. Побудуйте графік функції у = 0,5х², заданої на проміжку

[1; 4], і спроектуйте його на осі координат. Яка область

значень даної функції.

у = 0,5х²;

D = [1; 4];

при x = 1 у = 0,5:

при x = 4 y = 0,5 • 16 = 8;

E = [1; 8].

Відповідь: [1; 8].

351. Покажіть, що функція f(x) = х⁴ + 3 парна, a f(x) = x³ + х —

непарна.

Покажемо, що функція f(x) = х⁴ + З парна, а φ(х) = х³ + х непарна.

Область визначення функції f(x) = х⁴ + З — (–∞; ∞). Область визначення симетрична відносно початку координат і f(x) = f(–x), оскільки f(–x) = (–х)⁴ + З = x⁴ + 3.

Отже, функція f(x) = x⁴ + З парна.

Область визначення функції φ(х) = х³ + х — (–∞; ∞). Область визначення симетрична відносно початку координат і φ(x) = – φ(–x), оскільки φ(–x) = (–x)³ + (–х) = –(x³ + х). Отже, функція φ(х) = х³ +

+ х непарна.

352. Чи один і той самий зміст мають речення «функція у = f(x)

не є парною» і «функція у = f(x) — непарна»?

Відповідь: ці речення мають різний зміст. У першому реченні зазначається лише те, що функція не є парною, але не стверджується, що вона є непарною.

А у другому — точно вказується на те, що функція є непарною.

353. Покажіть, що функція f(x) = х² + x ні парна, ні непарна.

Покажемо, що функція f(x) = x² + х ні парна, ні непарна.

f(x) = x² + х; f(–x) = (–х)² + (–x) = x² – х; –f(x) = –х² – х. Очевидно, що f(–х) ≠ f(х) і f(–x) ≠ = –f(х), тобто дана функція ні парна, ні непарна.

354. Доведіть, що дана функція парна.

Область визначення заданих функцій симетрична відносно нуля.

а) у(х) = х⁴ + 3; у(–х) = (–х)4 + З = х⁴ + 3; у(–х) = у(х); функція парна;

б) у(х) = 1x2, x ≠ 0; y(–х) = 1(-x)2 = 1x2; у(–х) = y(х); функція парна;

в) у(х) = х² + x⁴; у(–х) = (–х)² + (–х)⁴ = х² + х⁴; у(–х) = у(х); функція парнa.

355. Доведіть, що дана функція непарна:

Область визначення симетрична відносно нуля.

а) у = 2х³; y(–х) = 2 • (–x)³ = –2x³; у(–х) = –y(x); функція непарна;

б) y = –x³; y(–х) = –(–x)³ = x³; у(–х) = –у(х); функція непарна;

в) y = х³ + x; y(–x)³ = (–x)³ + (–х) = –x³ – x = –(х³ + x); у(–х) = –у(х); функція непарна.

356. Покажіть, що дана функція ні парна, ні непарнa:

а) Область визначення симетрична відносно нуля.

y = x³ + 1; y(–х) = (–x)³ + 1 = –x + 1; у(–х) ≠ ± y(x); ні парна, ні непарна. Отже, функція у = x³ + 1 ні парна, ні непарна.

б) y = хx; x ≥ 0. Область визначення несиметрична відносно нуля, тому функція ні парна, ні непарна;

в) у = (х – 1)²; область визначення симетрична відносно нуля;

у(х) = (–x – 1)² = (x + 1)²; у(–х) ≠ ± y(x); ні парна, ні непарна.

357. Знайдіть нулі функції:

Для знаходження нулів функції складемо рівняння у = 0.

а) у = 2x + 3; 2x + З = 0; x = –1,5.

б) у = x² + 5x + 6; х² + 5х + 6 = 0; x₁ = –3; х₂ = –2.

в) у = x – 2; x – 2 = 0; x = 2; х = 4.

Відповідь: а) –1,5; б) –З, –2; в) 4.

358. На мал. 64 зображено графік функції у = f(x):

Знайдіть: а) область визначення і область значень функції; б) нулі функції; в) проміжки знакосталості; г) найбільше і найменше значення функції; ґ) проміжки, на яких функція зростає;

д) проміжки, на яких функція спадає.

а) Область визначення — R; область значень [–3; 1,5];

б) Нулі: x = –4,5; х = –3; x = –1; х = 2,5; х = 5;

в) у > 0, коли x ∈ (–4,5; –3); х ∈ (–1; 2,5); х ∈ (5; 6];

у < 0, коли x ∈ [–5; –4,5); х ∈ (–3; –1); х ∈ (2,5; 5);

г) найбільше значення max у = 4 (при х = –4, х = 6);

найменше значення min у = –З (при х = 3);

ґ) проміжки зростання; х ∈ (–5; –4); х ∈ (–2; 0); х ∈ (3; 6);

д) проміжки спадання: х ∈ (–4; –2); х ∈ (2; 3).

359. Скільки нулів має функція:

а) у = x + x³; х + х³ = 0; х(1 + х)² = 0; 1 + х² ≠ 0, тоді х = 0; один нуль;

б) у = 6; функція нулів не має, у ≠ 0;

в) y = 1 – |х|; 1 – |х| = 0; |х| = 1; x = ±1; два нулі;

г) у = –7х; –7x = 0; x = 0; один нуль.

Відповідь: а) 1; б) жодного; в) 2; г) 1.

360. Установіть проміжки знакосталості функції.

а) у = x + 3; x + З > 0; x > –3; х ∈ (–3; +∞) – знак «+».

x + 3 < 0; x < –3; x ∈ (–∞; –3) – знак «–».

б) y = x² – 4; x² – 4 > 0; (х – 2)(х + 2) > 0, тоді х – 2 > 0;

x + 2 > 0; або

x – 2 < 0; x > 2; х < 2;

x + 2 < 0; x > 2; або x < –2. Звідки х > 2 або х < –2.

На проміжках х ∈ (–∞; –2); х ∈ (2; +∞) — знак «+».

x² – 4 < 0, тоді х – 2 < 0; х – 2 > 0; х < 2; x > 2;

x + 2 > 0; або x + 2 < 0; x > –2; або x < –2.

Звідки x ∈ (–2; 2) — знак «–».

в) у = 3x. Область визначення х ≥ 0, за означенням x ≥ 0, тоді

у > 0, якщо x > 0. На проміжку x ∈ (0; +∞) — знак «+». Від’ємних значень функція не набуває.

Відповідь: а) «–» – на (–3; +∞), «–» на (–∞; –3); б) «+» на (–∞; –2), (2; +∞); «–» на (–2; 2); в) «+» на (0; +∞); «–» немає.

361. Які з функцій зростаючі, а які — спадні.

Якщо задані функції на своїй області визначення тільки зростаючі або тільки спадні, то:

а) у = 2х; x₁ = 0; x₂ = 1; y₁ = 2 • 0 = 0; y₂ = 2 • 1 = 2; x₁ < x₂ і

y₁ < y₂, тоді функція зростаюча;

б) y = –x – 2; x₁ = 0; x₂ = 1; y₁ = 0 – 2 = –2; у₂ = – 1 – 2 = –3;

х₁ < х₂; y₁ > y₂, тоді функція спадна;

в) у = x³; x₁ = 0; x₂ = 1; у₁ = 0³ = 0; y₂ = 1³ = 1; x₁ < x₂; у₁ < у₂, тоді функція зростаюча;

г) у = x; x₁ = 0; x₂ = 1; y₁ = 0 = 0; y₂ = 1 = 1; х₁ < х₂; у₁ < у₂, тоді функція зростаюча;

ґ) y = 2x5; x₁ = 5; x₂ = 10; у₁ = 2•55 = 2; у₂ = 2•105 = 4; х₁ < х₂;

у₁ < y₂, тоді функція зростаюча;

д) у = 5x2; y = 2,5х; x₁ = 0; х₂ = 1; у₁ = 2,5 • 0 = 0; y₂ = 2,5 • 1 =

= 2,5; x₁ < х₂; y₁ < у₂, тоді функція зростаюча;

е) у = 13 ; x₁ = 0; х₂ = 1; y₁ = 13 • 0 = 0; y₂ = 13 • 1 = 13; x₁ < х₂;

y₁ < y₂, тоді функція зростаюча;

є) y = -x5x; x ≠ 0; x₁ = 1; х₂ = 2; y₁ = -15•1 = –15; y₂ = -25•2 = –15; x₁ < x₂;

y₁ = y₂, тоді функція стала.

363. Знайдіть область значень функції у = 4 – х², заданої на

проміжку.

Найбільше значення функції у = 4 – х² у = 4 при х = 0. Область визначення симетрична відносно нуля. Функція спадна при х > 0.

а) на [–3; 3]; y(–3) = 4 – (–3)² = –5; у(З) = 4 – 3² = –5. Область значень у ∈ [–5; 4];

б) на [1; 7]; у(1) = 4 – 1² = 3; у(7) = 4 – 7² = –45. Область значень

у ∈ [–45; 3];

в) на [0; +∞); область значень у ∈ (–∞; 4].

364. Знайдіть область визначення і область значень функції.

а) у = 4 + х²; область визначення х ∈ R; найменше значення у = 4

при х = 0, тоді область значень [4; +∞);

б) у = З + x+2; область визначення: х + 2 ≥ 0; х ≥ –2; х ∈ [–2;

+∞); найменше значення у = З при х = –2, тоді область значень

[3; +∞);

в) у = 11+ x2; 1 + х² > 0 для будь–яких x, тому область визначення

х ∈ R; найбільше значення у = 1 при х = 0; 11+ x2 > 0 для будь–яких х, тоді область значень (0; 1].

Відповідь: а) [4; +∞) — область значень; R — область визначення; б) [3; +∞) — область значень; [–2; +∞) — область визначення;

в) (0; 1] — область значень; R — область визначення.

365. Знайдіть область визначення функції у = x³ – 8, якщо її

область значень [–35; 0].

Знайдемо область визначення функції у = х² – 8, коли областю її значень ∈ [–35; 0].

у = х³ – 8; х³ = у + 8; якщо у = –35, то х² = –35 + 8; х³ = –27;

х = –3; якщо у = 0, то х³ = 0 + 8; х³ = 8; x = 2. Отже, область визначення функції х³ – 8 на даному проміжку області значень — проміжок [–3; 2].

366. Доведіть, що функція у = f(x) парна, якщо:

а) f(x) = х⁴ + 3x²; f(–x) = (–x)⁴ + З(–x)²; f(–х) = x⁴ + 3x²; f(–x) =

= f(x), парна;

б) f(x) = Зх(х² – 2х); f(x) = Зх⁴ – 6х²; f(–х) = 3(–х)⁴ – 6(–х)²; f(–x) =

= Зх⁴ – 6х²; f(–х) = f(x); парнa;

в) f(x) = 4x2-4; f(–x) = 4(-x)2-4; f(–x) 4x2-4; f(–x) = f(x); парна;

г) f(x) = x2+1x2-1; f(–x) = (-x)2+1(-x)2-1; f(x) = x2+1x2-1; f(–x) = f(x); парна.

367. Доведіть, що функція у непарна, якщо.

a) у = x(1 – х²); y = x – x³, y(–x) = (–x) – (–x³); y(–x) = x + x³;

у(–x) = –(x – x³); y(–x) = –y(x); непарна;

6) y = 7х³ + x; y(–x) = 7(–x)³ + (–x); y(–x) = –7x³ – x; y(–x) = –(7x³ +

+ x); y(–x) = –y(x); непарна;

в) y = 3x + x3; y(–x) = 3-x + -x3; y(–x) = –3x – x3; y(–x) = –(3x + x3);

y(–x) = –y(x); непарна.

368. Які з функцій парні, які — непарні, які — ні парні, ні

непарні.

a) y = x³ – 1; y(–x) = (–x)² – 1; y(–x) = –x³ – 1; y(–x) = –(x³ + 1);

y(–x) ≠ ± y(x), ні парна, ні непарна;

б) у = –x² + 3; у(–х) = –(–x)² + 3; у(–х) = –х² + 3; у(–х) = у(х); парна;

в) у = х(1 – х); у = x – х²; у(–х) = (–х) – (–х)²; у(–х) = –х – х²; у(–х) =

= –х(1 + х); у(–х) ≠ ± у(x); ні парна, ні непарна;

г) у = 5x2; у(–х) = 5(-x)2; у(–х) = 5x2; y(–x) = y(x); парна;

ґ) у = x; область визначення х ≥ 0 не симетрична відносно нуля, тому функція ні парна, ні непарна;

д) y = 3x2+1x; у(–х) = 3(-x)2+1-x; y(–x) = –3x2+1x; y(–x) = –y(x); непарна.

370. He будуючи графіка функції, встановіть, при яких значеннях вона набуває додатних значень, якщо:

Для встановлення проміжків, на яких функція набуває додатних значень, складемо та розв’яжемо нерівність у > 0.

а) –2х + 5 > 0; 2x < 5; x < 2,5; (2,5; +∞);

б) 0,5х – З > 0; 0,5x > 3; х > 6; (6; +∞);

в) x+4 > 0; x + 4 > 0; x > –4; (–4; +∞);

г) Зх – x² > 0; x² – Зх + 2 < 0; корені тричлена х² – Зх + 2 х₁ = 1;

х₂ = 2; тоді (x – 1)(x – 2) < 0 звідки

x – 1 < 0; x – 1 > 0; x < 1; x > 1;

x – 2 > 0; або x – 2 < 0; x > 2; або x < 2.

Тоді x ∈ (1; 2);

ґ) 3 – 1x > 0; 3x-1x > 0; тоді 3x – 1 > 0; 3x – 1 < 0;

x > 0; або x < 0;

x > 13; x < 13;

x > 0; або x < 0. Звідки x ∈ (–∞; 0), x ∈ (13; +∞);

д) xx+1 > 0; x > 0; x < 0; x > 0; x < 0;

x + 1 > 0; або x + 1 < 0; x > –1; або x < –1;

тоді x ∈ (–∞; –1), x ∈ (0; +∞).

Відповідь: a) (2,5; +∞); б) (6; +∞); в) (–4; +∞); г) (1; 2);

ґ) (–∞; 0), (13; +∞); д) (–∞; –1), (0; +∞).

371. He будуючи графіка функції, встановіть, при яких значеннях вона набуває недодатних значень, якщо:

Для встановлення проміжків, на яких функція набуває недодатних значень, складемо та розв’яжемо нерівність у ≤ 0.

a) 5x – 1 ≤ 0; x ≤ 15; x ∈ (–∞; 15];

б) x – 4 ≤ 0; x ≤ 4; x ≥ 0;

x ≤ 16; x ∈ [0; 16].

в) (x + 1)(1 – x) ≤ 0; x + 1 ≤ 0; x + 1 ≥ 0; x ≤ –1; x ≥ –1;

1 – x ≥ 0; або 1 – x ≤ 0; x ≤ 1; або x ≥ 1;

звідки x ≤ –1, x ≥ 1, отже, x ∈ (–∞; –1], x ∈ [1; +∞).

г) (x + 2)³ ≤ 0; x + 2 ≤ 0; x ≤ –2; x ∈ (–∞; –2].

ґ) 6x + 2 ≤ 0; 6+2xx ≤ 0; 6 + 2x ≤ 0; 6 + 2x ≥ 0; x ≤ –3;

x > 0; або x < 0; x > 0;

x ≥ –3;

або x < 0; звідки x ∈ [–3; 0).

д) 1x-1 – 1 ≤ 0; 1-(x-1)x-1 ≤ 0; 1- x+1x-1 ≤ 0; 2- xx-1 ≤ 0;

2 – x ≤ 0; або 2 – x ≥ 0; x ≥ 2; або x ≤ 2;

x – 1 > 0; x – 1 < 0; x > 1 x < 1;

звідки x ∈ [2; +∞), x ∈ (–∞; 1).

Відповідь: a) (–∞; 15]; б) [0; 16]; в) (–∞; –1], [1; +∞); г) (–∞; –2];

ґ) [–3; 0); д) [2; +∞), (–∞; 1).

372. Доведіть, що функція:

а) у = Зх + 5 зростає на R;

б) у = 1 – x спадає на [0; ∞);

в) у = –x³ спадає на R;

г) у = 2х² зростає на [0; ∞).

а) у = Зх + 5; y₁ = 3x₂ + 5; y₂ = Зх₂ + 5;

y₁ – у₂ = 3x₁ + 5 – (Зх₂ + 5) = 3x₁ + 5 – 3x₂ – 5 = 3x₁ – Зх₂ = 3(x₁ –

– х₂) < 0, оскільки x₁ < x₂, то x₁ – x₂ < 0, тоді y₁ – y₂ < 0, отже, y₁ >

> у₂ і функція зростас на R.

б) у = 1 – x; у₁ = 1 – x1; у₂ = 1 – x2;

y₁ – y₂ = 1 – x1 – (1 – x2) = 1 – x1 – 1 + x2 = x2 – x1 > 0, оскільки x₂ > x₁; x2 > x1; тоді у₁ – у₂ > 0; у₁ > у₂ і функція спадає на [0; +∞).

в) у = –х³; y₁ = –x12; у₂ = –x23; y₁ – у₂ = –x12+ x23= x23 – x12 > 0, оскільки х₂ > х₁; x23 > x13; тоді y₁ > у₂ і функція спадає на R.

г) у = 2х²; x₁, x₂ ∈ [0; +∞); х₁ < х₂;

y₁ = 2x12; у₂ = 2x22; y₁ – y₂ = 2x12 – 2x22= 2(x12 – x22) < 0, оскільки

x₁ < х₂, тоді для невід’ємних значень х x12< x22; тоді у₁ – у₂ < 0 і функція зростаюча на [0; +∞).

373. Зростаючою чи спадною є функція:

а) у = x – 5. Область визначення R. Нехай х₁, х₂ ∈ R, х₁ < х₂, тоді

у₁ = х₁ – 5; у₂ = х₂ – 5; y₁ – y₂ = х₁ – 5 – (х₂ – 5) = х₁ – 5 – х₂ + 5 =

= х₁ – х₂ < 0, отже, у₁ < у₂ і функція зростаюча.

б) y = 2х³. Область визначення R. Нехай х₁, х₂ ∈ R, х₁ < x₂, тоді

у₁ = 2x13; y₂ = 2x23; у₁ – у₂ = 2x13 – 2x23 = 2(x13 – x23) < 0. Отже, у₁ <

< у₂ і функція зростаюча.

в) у = 3+ x. Область визначення З + х ≥ 0; х ≥ –3; х ∈ [–3; +∞).

Нехай x₁, х₂ ∈ [–3; +∞), х₁ < х₂, тоді у₁ = 3+ x1; у₂ = 3+ x2;

y₁ – y₂ = 3+ x1 – 3+ x2 < 0, оскільки З + x₁ < З + х₂ і 3+ x1 <

< 3+ x2, отже, у₁ < y₂ і функція зростаюча.

г) у = 13 – x. Область визначення х ≥ 0, х ∈ [0; +∞).

Нехай x₁, x₂ ∈ [0; +∞), х₁ < х₂, тоді у₁ = 13 – x1; у₂ = 13 – x2;

y₁ – y₂ = 13 – x1 – (13 – x2) = 13 – x1 – 13 + x2 = x2 – x1 > 0,

оскільки x₂ > x₁; x2 > x2; тоді y₁ > y₂ і функція спадна.

ґ) у = 8 – х³. Область визначення R. Нехай х₁, x₂ ∈ R, х₁ < x₂, тоді

y₁ = 8 – x23; у₁ – y₂ < 8 – x13– (8 – x23) = 8 – x13 – 8 + x23= x23– x13> 0.

оскільки x₂ > x₁; x23> x13. Отже, у₁ > y₂ і функція спадна.

д) у = x³ + x. Область визначення R. Нехай х₁, х₂ є R, х₁ < х₂, тоді

у₁ = x13+ х₁; y₂ = x23+ x₂; у₁ – у₂ = x13+ x₂ – (x23+ x₂) = x13 – x23+

+ х₁ – х₂ < 0, оскільки х₁ < х₂;

x13< x23; тоді x₁ – x₂ < 0; x13 – x23< 0, a сума від’ємних чисел — число від’ємне. Отже, у₁ < y₂ і функція зростаюча.

Відповідь: а) зростає; б) зростає; в) зростає; г) спадає: ґ) спадає;

д) зростає.

374. Укажіть проміжки спадання функції:

а) y = x⁴ + 3. Функція не набуває наіібільшого значення, але набуває найменшого у = З при x = 0. Визначимо поведінку функції на проміжках:

I (–∞; 0). Нехаіі х₁, х₂ ∈ (–∞; 0); x₁ < x₂, тоді

y₁ = x14+ 3; y₂ = x24+3; y₁ – y₁ = x14+ З – (x14+ 3) = x14 + З – x24– З =

= x14– x24> 0, оскільки для від’ємних чисел, якщо x₁ < x₂, то x14>

> x24. Тоді у₁ > y₂ і функція спадає на І.

II (0; –∞). Нехай x₃, x₄ ∈ (0; +∞); х₃ < x₄ тоді

y₃ = x34+ 3; у₄ = x44+ 3; y₃ – у₄ = x34+ З – x44– З = x34– x44< 0,

оскільки для додатних чисел, якщо x₃ < x₄, то x34< x44. Тоді y₃ < у₄ і функція на II зростає. Отже, проміжок спадання функції (–∞; 0).

б) у = |x – 3]. Найменше значення при x = З (у = 0). Поведінка на:

І (–∞; 3): x₁ < х₂; у₁ = |x₁ – 3|; у₂ = |x₂ – З|; у₁ – у₂ = |x₁ – 3| –

– |x₂ – 3|. На даному проміжку x₁ – З < 0 і x₂ – З < 0, тому |x₁ – 3| =

= З – x₁; |х₂ – 3| = З – x₂. Отже, у₁ – у₂ = З – x₁ – (З – x₂) = З – x₁ –

– З + x₂ = x₂ – x₁ > 0; у₁ > у₂. Отже, функція спадає. На II (3; +∞) функція зростає. Отже, проміжок спадання (–∞; 3).

в) у = |x| – x. Якщо x ≥ 0; у = x – x; у = 0; функція стала.

Якщо x < 0, то у = –x – x; у = –2x. Нехай x₁, x₂ ∈ (–∞; 0); x₁ < x₂;

y₁ = –2x₁; y₂ = 2x₂; у₁ = у₂ = –2x₁ + 2x₂ = 2(x₂ – x₁) > 0, оскільки

х₂ > х₁.

Отже, у₁ > y₂ і функція спадає на (–∞; 0).

Відповідь: а) (–∞; 0): б) (–∞; 3); в) (–∞; 0).

376. Які з даних функцій парні, які — непарні:

а) у = x|x|. При x > 0 у = х • х; у = х²; функція зростає на (0; +∞); при x < 0 у = x • (–x); у = –x²; функція зростає на (–∞; 0).

б) y = 4+ x2. Найменше значення при x = 0. Тоді на:

І (0; +∞), якщо x₁, x₂ ∈ (0; +∞) і х₁ < x₂, то у₁ = 4+x22;

y₂ = 4+x22; y₁ – y₂ = 4+x12 – 4-x22 < 0, оскільки x12 < x22;

4 + x12 < 4 + x22; 4+x12 < 4+x22. Отже, у₁ < y₂ і функція зростає.

Hа II (–∞; 0) функція спадає.

в) у = 4- x2. Область визначення 4 – x² ≥ 0; (2 – x)(2 + x) ≥ 0;

2 – x ≥ 0; 2 – x ≤ 0; x ≤ 2; x ≥ 2;

2 + x ≥ 0; або 2 + x ≤ 0; x ≥ –2; або x ≤ –2.

Звідки x ∈ [–2; 2].

Найбільше значення y = 2 при x = 0. Тоді на проміжках:

І [–2; 0); x₁, x₂ [–2; 0); y₁ = 4-x12; y₂ = 4-x22;

y₁ – y₂ = 4-x12 – 4-x22 < 0, оскільки x₂ < x₂, то x12 > x22 (для від'ємних x); 4 – x12 < 4 – x22; 4-x12 < 4-x22; y₁ < y₂ і функція зростаюча.

ІІ (0; –2]; 4-x12 > 4-x22; тоді y₁ < y₂ при x₁ < x₂, отже, функція спадна. Маємо проміжок зростання [–2; 0).

Відповідь: a) (–∞; 0), (0; +∞); б) (0; +∞); в( [–2; 0).

376. Які з даних функцій парні, які — непарні:

а) у = х⁴; у(–х) = (–х)⁴; у(–х) = х⁴; у(–х) = у(х); парна;

б) у = х⁵; у(–x) = (–5)⁵; у(–х) = –х⁵; y(–х)= –у(х); непарна;

в) у = 1 – x⁴; у(–х) = 1 – (–х) ⁴; у(–х) = 1 – х⁴; y(–х) = у(х); парна;

г) y = 1x3; y(–x) = 1(-x)3; y(–x) = –1x3; y(–x) = –y(x); непарна;

ґ) y = 5+ x2; y(–x) = 5+(-x)2; y(–x) = 5+ x2; парна;

д) y = 1- x2; область визначення 1 – x² ≥ 0; (1 – x)(1 + x) ≥ 0; звідки

1 – x ≥ 0; 1 – x ≤ 0; x ≤ 1; x ≥ 1;

1 + x ≥ 0; або 1 + x ≤ 0; x ≥ –1; або x ≤ –1; отже x ∈ [–1; 1].

Область визначення симетрична відносно нуля. Тоді: y(–x) =

= 1-(-x)2; y(–x) = 1- x2; y(–x) = y(x); парна.

Відповідь: а) парна; б) непарна; в) парна; г) непарна; ґ) парна;

д) парна.

377. Функція y = f(х) парна. На проміжку (–∞; –2) вона зростає, а на проміжку (–2; 0) спадає. Якою вона є на решті області визначення?

Оскільки у парної функції графік є симетричним відносно осі Оу, то на проміжку (0; 2) сфостає (на (–2; 0) спадає), а на (2; +∞) спадає (на (–∞; –2) зростає).

378. Функція у = f(х) непарна. На проміжку (–∞; –3) вона спадає, а на проміжку (–3; 0) зростає. Якою вона є на решті області визначення?

Оскільки у непарної функції графік є симетричним відносно початку координат, то на проміжку (0; 3) вона зростає (на (–З; 0) спадає), а па (3; +∞) спадає (на (–∞; –3) спадає.

379. Намалюйте схематично графік парної функції, яка на проміжку [–4; –2] зростає від 1 до 5, а на проміжку [–2; 0] спадає від 5 до –1.

Наприклад, рис.

На [0; 2] зростає від –1 до 5; на [2; 4] спадає від 5 до 1.

380. Намалюйте схематично графік непарної функції, яка на проміжку [–4; –1] спадає від 3 до –3, а на проміжку [–1; 0] зростає від –3 до 0.

Наприклад, рис.

На [0; 1] зростає від 0 до 3; на [1; 4] спадає від З до –3.

381. Опишіть властивості функцій, графіки яких зображено на малюнках 66 – 68.

Мал. 66. Область визначення R; область значень [0,5; +∞) нулів функція не має; функція парна; функція зростає на (–1; 0), (1; +∞); функція спадає на (–∞; –1), (0; 1).

Мал. 67. Область визначення R; область значень R; нулі функції

х = –4, х = 0, x = 4; функція непарна; функція зростає на (–∞; –2), (2; +∞); функція спадає на (–2; 2).

Мал. 68. Область визначення R; область значень R; функція ні парна, ні непарна; нулі функція x = –2, x = 4, x = 6; функція зростає на (–∞; 2), (5; +∞); функція спадає на (2; 5).

382. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості.

a) y = |x|.

Область визначення R; область значень [0; +∞); функція парна; нулі: x = 0; зростає на (0; +∞); спадає на (∞; 0).

б) у = |х – З|.

Область визначення R; область значень [0; +∞); функція ні парна, ні непарна; нулі: x = 3; зростає на (3; +∞); спадає на (–∞; 3).

в) у = |x| – 3. Область визначення R: область значень [–3; +∞); функція парна; нулі: |x| – З = 0; |x| = 3; x = ±3; зростає на

(0; +∞); спадає на (–∞; 0).

383. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості.

а) у = x2; у = |х|.

Область визначення R; область значень [0; +∞); функція парна;

нулі: x = 0; зростає на (0: +∞); спадає на (–∞; 0).

б) у = (x-2)2; у = |x – 2|.

Область визначоїня R; область значень [0; +∞); функція ні парна, ні непарна; нулі: x – 2; спадає на (–∞; 2); зростає на (2; +∞).

в) y = (4-x)2; у = |4 – х|.

Область визначення R; область значень [0; +∞); функція ні парна, ні непарна; нулі; x = 4; спадає на (–∞; 4); зростає на (4; +∞).

384. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості.

а) у = x-2x2-2x.

Область визначення;

x² – 2х ≠ 0; х(х – 2) ≠ 0; x ≠ 0; x ≠ 2,отже, x ∈ (–∞; 0), (0; 2),

(2; +∞).

Тоді у = x-2x(x-2); y = 1x.

Область значень

(–∞; 0), ∪ (0; 12) ∪ (0; +∞);

функція ні парна, ні непарна, оскільки області, визначення не симетрична відносго нуля; нулів немає; спадає на (–∞; 0), (0; 2),

(2; +∞).

б) y = x2-4x3-4x.

Область визначення: x³ – 4х ≠ 0; х(х² – 2) ≠ 0; x ≠ 0; x ≠ ±2.

Функція ні парна, ні непарна, оскільки область визначення несиметрична відносно нуля.

y = x2-4x(x2-4); y = 1x.

Нулів немає.

Функція спадає на (–∞; –2), (–2; 0), (2; 0); (2; +∞).

Область значень (–∞; –12), (–12; 0), (0; 12), (12; +∞).

385. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості.

a) y = 6x^–4; y = 6x.

Область визначення:

х ≠ 0: х ∈ (–∞; 0), (0; +∞).

Область значень (–∞; 0), (0; +∞); нулів немає;

функція спадає на (–∞; 0), (0; +∞); функція непарна.

б) y = x^–2; y = 1x2.

Область визначення: x ≠ 0; х ∈ (–∞; 0), (0; +∞).

Область значень (0; +∞); функція парна; нулів немає;

зростає на (–∞; 0); спадає на (0; +∞).

386. Дослідіть функцію та побудуйте її графік.

а) у = x² – 6. Область визначення R; область значень R; парна, оскільки у(–х) = (–x)² – 6; у(–х) = х² – 6 = у(х); точка перетину з Оу: х = 0, y = –6: нулі: x² – 6 = 0; х² = 6; х = ±6; знак «+» на

(–∞; –6), (6; +∞); знак «–» на (–6; 6).

400. На малюнку 80 зображено графік функції у = f(x). Пере­

малюйте його в зошит і побудуйте в тій самій системі координат графіки функцій у = –f(x) і у = 3 • f(x).

Перемалюємо графік функції у = f(x) 1 побудуємо в тій самій системі координат графіки функцій у = –f(х), у = 3 – f(x).

Щоб побудувати графік функції у = –f(x), треба відобразити графік функції у = f(x) симетрично відносно осі x.

Щоб побудувати графік функції y = З – f(x), треба графік функції

у = –f(x) перенести на З одиниці у напрямі осі у.

401. Побудуйте графік функції.

a) Графік функції y = x² відобразимо симетричну відносно осі Ox.

б) Графік функції y = x³ відобразимо симетрична відносно осі Ox.

в) Графік функції y = |x| відобразимо симетрично відносно осі Ox.

402. Побудуйте графік функції.

a) y = 2x.

Графік y = x розтягнемо у 2 рази від осі Ох.

б) y = 9x; y = 3x.

Графік y = x розтягнемо у 3 рази від осі Ох.

в) y = 16x; y = 4x. Графік y = x розтягнемо у 4 рази від осі Ох.

403. Побудуйте графік функції.

а) у = Зх².

Графік функції у = х² розтягнемо у З рази від осі Ох.

б) у = –Зх².

Графік функції у = х² розтягнемо у З рази від осі Ох і відобразимо

симетрично осі Ох.

в) у = –0,5x².

Графік у = х² стиснемо у 2 рази до осі Ох і відобразимо симетрично осі Ох.

404. Як треба перетворити графік функції у = x, щоб одержати графік функції у = –x? Чи правильно, що об’єднання графіків функцій у = x і y = –x є графіком рівняння у² = х?

a) Графік у = x треба відобразити симетрично відносно осі Ох. Так, графік рівняння у² = х; у = ±х — об’єднання графіків у = x і

у = –x.

405. Як перетворити графік функції у = Зх – 4, щоб одержати графік функції у = 4 – Зх? Виконайте побудову.

у = 4 – Зх = –(Зx – 4). Графік у = Зх – 4 треба відобразити симетрично відносно Ох. Виконайте побудову.

406. Побудуйте графіки функцій у = х₂ і у = x² – 4. Знайдіть їх

області значень. При яких значеннях значення функцій додатні, а при яких — від’ємні? Знайдіть координати перетину графіків з осями координат.

у = х². Область значень [0; +∞); нулі функції: x² = 0; x = 0;

додатні значення (–∞; 0), (0; +∞); від’ємних значень нема.

у = х² – 4. Область значень [–4; +∞); нулі функції: х² – 4 = 0;

х² = 4; x = ±2; додатні значення (–∞; –2), (2; +∞); від’ємні значення (–2; 2).

Точки перетину з осями: у = х²; вісь Оу: х = 0, у = 0 — (0; 0);

вісь Ох: у = 0 = х²; x = 0.

у = х² – 4; вісь Оу: х = 0; у = 0 – 4 = – 4 — (0; –4);

вісь Ох: у = 0; х² – 4 = 0; x = ±2 — (2; 0), (–2; 0).

407. Графіки яких функцій зображено на мал. 81, а, 61.

а) І у = –х² + 1; II у = х² + 2; III у = х² – 3;

б) І у = –x; II у = –x + 4; III у = x + 1.

408. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій.

a) y = 2x; y = 2x + 1; y = 2x – 3;

б) y = –x²; y = –x² + 2; y = –x² – 1.

409. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій.

а) Побудуйте графік функції у = x. Для побудови у = x – 1 перенесіть графік у = x на 1 вниз уздовж осі Оу. Для побудови

у = x + 2 перенесіть графік у = x на 2 одиниці вгору вздовж осі Оу.

б) Побудуйте графік у = 2х². Для побудови у = 2х² + 1 перенесіть у = 2х² на 1 вгору вздовж осі Оу. Для побудови у = 2х² – 1 перенесіть у = 2х² вниз вздовж осі Оу.

410. Як треба перетворити графік функції у = х², щоб одержати графік функції.

а) Графік у = х² треба перемістити на З одиниці вліво вздовж осі Ох.

б) Графік у = х² треба перемістити на З одиниці вправо вздовж осі Ох.

в) Графік у = х² треба перемістити на З одиниці вліво вздовж осі Ох і відобразити його симетрично відносно осі Ох.

411. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій.

а) Побудуйте у₁ = 2х; у₂ = 2(х – 1); у₂ = 2х – 2. Тоді графік у = 2х перемістіть на 2 одиниці вниз уздовж осі Оу. у₃ = 2(х + 3);

у₃ = 2х + 6. Тоді графік у = 2х перемістіть на 6 одиниць угору вздовж осі Оу. Виконайте побудови.

б) Побудуйте у = x² і відобразіть симетрично відносно осі Ох;

у = –(х + 2)²; побудуйте у = x², перемістіть на 2 одиниці вліво вздовж осі Ох і відобразіть симетрично відносно осі Ох; у = –(х – З)²; побудуйте у = х²; перемістіть на З одиниці вправо вздовж осі Ох і відобразіть симетрично відносно осі Ох. Виконайте побудови.

412. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій.

а) Побудуйте графік у₁ = 4x (гіпербола). Для побудови графік

у₂ = 4x-3 треба перемістити графік y1 = 4x на З одиниці вправо вздовж осі Ох. Для побудови у₃ = 4x+1 треба перемістити y₁ = 4x на 1 вліво вздовж осі Ох. Виконайте побудови.

б) Побудуйте графік у₁ = x. Для побудови графіка у₂ = x-1 треба перемістити у₁ = x на 1 одиницю вправо вздовж осі Ох. Для будови y₃ = x+2 треба перемістити у₁ = x на 2 одиниці вліво вздовж осі Ох. Виконайте побудови.

413. Графіки яких функцій зображено на мал. 82, а, б?

а) І y = –(х + 2)²; II у = (х – 1)²; III у = –(х – 3)²;

б) І у = (x + 3)²; II у = –(х – 2)³; III у = (х – 5)³.

414. Дано параболу у = х². Напишіть рівняння параболи, яку

можна одержати з даної перенесенням:

а) на 2 одиниці праворуч і 3 одиниці вгору;

б) на 4 одиниці ліворуч і 2 одиниці вниз.

у = x²; а) у = (x – 2)² + 3; б) у = (x + 4)² – 2.

415. Побудуйте графік функції у = (х + 1)² – 3.

Графік у = x² перемістити на 1 одиницю вліво вздовж осі Ох, після чого перемістіть його на З одиниці вниз вздовж осі Оу.

417. Функція у = f(x) на проміжку (–∞; а) спадає, а на проміжку

(а; ∞) — зростає. Якою є на цих проміжках функція: а) у = 2f(x);

б) y = 0,5f(x); в) y = –f(x)?

Побудуйте відповідні графіки.

а) у = 2f(x) на (–∞; а) спадає, на (а; +∞) зростає;

б) у = 0,5f(x) на (–∞; а) спадає, на (а; +∞) зростає;

в) у = –f(x) на (а; +∞) спадає; на (–∞; а) зростає. Проілюструйте графіками.

418. На мал. 83 зображено графік функції у = 4x^–2. Перемалюйте

його в зошит і побудуйте в тій самій системі координат графіки функцій:

Дано графік у = 4х²; у = 4x2. Тоді для у = 4x2 + 2 перемістіть у = 4x2 вгору на 2 одиниці вздовж осі Оу. Для у = 4x2 – 3 перемістіть у = 4x2 на З одиниці вниз вздовж осі Оу. Для у = 1 – 4x2 відобразити графік

у = 4x2 симетрично відносно осі Ох і підняти його на 1 одиницю вгору вздовж Оу.

420. Побудуйте графік функції:

421. Заповніть порожні клітинки таблиці. Якою формулою можна задати функцію у = f(x)?

y = x² + 5

x	–2	–1	0	1	2	3
f(x)	9	6	5	6	9	14
–f(x)	–9	–6	–5	–6	–9	–14
3f(x)	27	18	15	18	27	42

422. На мал. 84 зображено графік функції у = 3x. Перемалюйте

його в зошит і побудуйте в тій самій системі координат графіки функцій:

a) Графік у = 3x перемістіть на 2 одиниці вправо вздовж Ох.

б) Графік у = 3x перемістіть на 1 одиницю вліво вздовж Ох.

в) Графік у = 3x відобразіть симетрично відносно Ох і підніміть на З одиниці вгору вздовж осі Оу.

423. Побудуйте графік функції:

План побудови:а) 1) y = x3;2) перемістити вправо на 1 по Оx3) стиснути до Ох в 2 рази;	б) 1) у = х;2) перемістити вліво на З по Ох;3) розтягнути від Ох в З рази;
в) 1) у = х2;2) перемістити вправо на 2 по Ох3) розтягнути від Ох в 2 рази;	г) 1) у = 1х;2) перемістити вправо на З по Ох
ґ) 1) y = x2;2) перемістити вліво на 1 по Оx;3) стиснути до Ох і 2 рази;	д) 1) y = 1x;2) перемістити на З вліво по Ох;3) розтягнути від осі Ох в З рази;4) відобразити симетрично відносно Ох.

424. Побудуйте графік і дослідіть властивості функції:

а) у = 12x-3 + 4.

Побудуйте y₁ = 1x;

перемістіть на З право по Ох; розтягніть у 12 разів від Ох;

перемістіть на 4 вгору по Оу.

Властивості:

область визначення: (–∞; 3) і (3; +∞)

область значень: (–∞; 4) і (4; +∞); ні парна, ні непарна:

перетинає координатні осі в точці (0; 0);

знак «+» (–∞; 0) (3; +∞); знак «–» (0; 3); спадна.

б) Побудуйте y₁ = 1x;

перемістіть на 2 вліво по Ох; розтягніть у 6 разів від Ох;

перемістіть вниз на З по Оу.

Властивості:

область визначення: (–∞; –2) і (–2; +∞); область значень:

(–∞; –3) і (–3; +∞); ні парна, ні непарна; перетинає осі координат в (0; 0); знак «+» на (–∞; –2) і (–2; 0); знак «–» на (0; +∞); спадна.

в) y = x+2x+1;

y = x+1+xx+1; y = 1 + 1x+1.

Побудуйте y₁ = 1x; перемістіть на 1 вліво по Ох; перемістіть вгору на 1 по Оу.

Властивості: область визначення: (–∞; –1) і (–1; +∞); область

значень: (–∞; 1) і (1: +∞); ні парна, ні непарна; перетинає Ох в точці (–2; 0), Оу в точці (0; 2); знак «+» на (–∞; –2) і (–1; +∞);

знак «–» на (–2; –1); спадна.

427. Побудуйте графік функції.

а) у = 2|х| – 3. Графік y₁ = |х| розтягнути в 2 рази від Ох і перемістити вниз на З по Оу.

б) y = 1|x|.

Графік у₁ = 1x при x > 0 відобразити симетрично відносно Оу

(x < 0).

Об’єднання графіків — графік y = 1|x|.

в) у = |x|. Графік y₁ = x (x ≥ 0) відобразити симетрично відносно

Оу (х ≤ 0). Об’єднання графіків — графік у = |x|.

г) у = –|x| + 2. Графік y₁ = |х| відобразити симетрично відносно Ох і перемістити на 2 вгору вздовж Оу.

г) у = (|x| – 1)². Графік y₁ = x² перемістити на 1 право по Ох; залишити тільки ту частину графіка, що лежить у правій півплощині (для х ≥ 0) і відобразити її симетрично відносно Оу. Об’єднання графіків — графік у = (|х| – 1)².

д) у = |х|³ + 1. Графік у₁ = х³, що лежить у правій півплощині

(х ≥ 0) відобразити симетрично відносно осі Оу. Об’єднати ці частини, що є графіком функції у = |x|³ і перемістити на 1 вгору

по Оу.

428. Побудуйте графік функції.

а) у = |3x + 1|. Побудувати пряму у₁ = Зx + 1, Частину, що лежить

нижче від Ох, відобразити симетрично Ох.

б) у = |–х² + 4|. Побудувати у₁ = х², відобразити симетрично відносно Ох, перемістити на 4 вгору по Оу. Частини графіка, що лежать нижче Ох, відобразити симетрично відносно Ох.

в) у = |1 – x|. Побудувати у₁ = x, відобразити симетрично відносно Ох, перемістити на 1 вгору по Ох. Частину графіка, що лежить нижче від Ох, відобразити симетрично відносно Ох.

г) y = |15x – 1|. Побудувати пряму у₁ = 15х – 1. Частину, що лежить

нижче від Ох, відобразити симетрично Ох.

г) y = |6x – 3|. Побудувати y₁ = 6x і перемістити на З вниз по Оу. Частину графіка, що лежить нижче Ох, відобразити симетрично Ох.

д) у = |x² – 2|. Побудувати у₁ = x² i перемістити на 2 вниз по Оу. Частини графіка, що лежать нижче Ох, відобразити симетрично відносно Ох.

439. Побудуйте графік функції.

Побудуємо графіки функцій:

а) у = (х – 1)².

Спочатку побудуємо графік функції у = x², склавши для цього таблицю.

x	–3	–2	–1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Перенісши графік на 1 одиницю в напрямі осі х, дістанемо графік функції y = (x – 1)².

б) у = x² – 2х + 1;

дaну функцію запишемо у вигляді функції у = (х – 1)², графік якої побудовано у прикладі а).

в) у = x² – 6х + 9; дану функцію запишемо у вигляді у = (х – 3)². Спочатку побудуємо графік функції у = х², скориставшись таблицею, наведеною в прикладі а). Перенісши його на З одиниці в напрям і осі x, дістанемо графік функції у = (х – 3)², або у = x² – 6х + 9.

440. В яких точках вісь х перетинається з графіком функції:

Знайдемо, в яких точках перетинаються вісь х і графіки функцій.

Розв'язання. Вісь х перетинається з графіком функції в точках, у яких у = 0.

Отже; а) у = х(х – 2); якщо у = 0, то х(х – 2) = 0; х = 0; х = 2.

Відповідь: у точках х = 0 і x = 2.

б) у = –х(3х + 3); якщо у = 0, то –х(3х + 5) = 0; х = 0; Зх + 5 = 0;

х = –53.

Відповідь: у точках х = 0 і х = –35.

в) у = x2 – 2х; якщо у = 0, то х² – 2х = 0; х(х – 2) = 0; х = 0; х = 2.

Відповідь: у точках х = 0 і х = 2.

г) у = Зх² + 5х; якщо у = 0, то Зх² + 5х = 0; х(3х + 5) = 0; х = 0;

Зх + 5 = 0; x = –53.

Відповідь: у точках х = 0 і х = –53.

д) у = 2х² – 6х; якщо у = 0, то 2х² – 6х = 0; 2х(х – 3) = 0; х = 0;

x – З = 0; x = 3.

Відповідь: у точках х = 0 і х = 3.

е) у = –Зх² + 4х; якщо у = 0, то –Зх² + 4х = 0; –х(3х – 4) = 0; х = 0;

Зх – 4 = 0; x = 43.

Відповідь: у точках х = 0 і х = 43.

441. На мал. 92, а, б, в дано графіки квадратичних функцій.

Знайдіть для кожної з них за графіком:

а) знак дискримінанта;

б) знак першого коефіцієнта;

в) координати вершини параболи;

г) нулі функції;

ґ) проміжки, на яких функція зростає, спадає.

Мал. 92 а. а) D > 0; б) а > 0; в) (1; –1); г) х = 0; х = 2; ґ) спадає на (–∞; 1); зростає на (1; –∞).

Мал. 92 б. а) D > 0; б) а > 0; в) (1; 1); г) немає; ґ) спадає і зростає на (1; +∞);

Мал. 92 в. а) D > 0; б) а < 0; в) (2; 2); г) х = 0,5; х = 3,5;

ґ) зростає на (–∞; 2); спадає на (2; +∞).

442. Знайдіть координати вершини параболи — графіка функції:

Знайдемо координати вершини параболи — графіка функції.

Розв’язання. Вершина параболи виду у = ах² + bх + с має координати (–b2a; -b2+ 4ac4a). Отже:

a) y = x² + 4; a = 1; b = 0; c = 4; (–02 •1; -02+ 4 •4 •44 •1); (0; 4).

Відповідь: (0; 4).

б) y = 2x² – 6; a = 2; b = 0; c = –6; (–02 •2; -02+ 4 •2 •(-6)4 •2); (0; –6).

Відповідь: (0; –6).

в) y = x(x – 4); y = x² – 4x;

a = 1; b = 4; c = 0; (–(-4)2 •1; -(-4)2+ 4 •1 •04 •1); (2; –4).

Відповідь: (2; –4).

г) y = x(2x + 6); y = 2x² – 6x;

a = 2; = 6; c = 0; (–62 •2; -62+ 4 •2 •04 •2); (–1,5; –4,5).

Відповідь: (–1,5; –4,5).

д) y = –8x – 3x²;

a = –3; b = –8; c = 0; (–-82 •(-3); -(-8)2+ 4 •3 •04 •(-3)); (–43; 163).

Відповідь: (–43; 163).

443. Побудуйте графік функції:

а) у = (х – 1)² + 2.

Здійснити переміщення графіка y₁ = x² так, щоб вершина була в точці (1; 2);

б) у = (х + 2)² + 1.

Вершина параболи (–2; 1);

в) y = (x + 4)² + 2.

Вершина параболи (–4; 2);

г) y = (x – 4)² – 3.

Вершина параболи (4; –3).

Побудуйте за допомогою шаблону параболи у = x². Вітки спрямовані вгору.

444. Побудуйте параболу, виділивши квадрат двочлена:

a) у = x² + 4x + 5; x² + 4x + 5 = x² + 4х + 4 + 1 = (x + 2)² + 1; у =

= (x + 1)² + 1.

Координата вершини параболи (–2; 1), вітки спрямовані вгору.

6) у = х² – 6х + 5; х2 – 6х + 5 = х² – 6х + 9 – 9 + 5 = (х – 3)² – 4; у =

= (х – З)² – 4.

Вершина (3; –4), вітки вгору.

в) y = x² – 2x – 1; x² – 2x – 1 = x² – 2x + 1 – 1 – 1 = (x – 1)² – 2; y =

= (x – 1)² – 2.

Вершина (1; –2), вітки вгору.

г) у = 1 + 4х – х²; 1 + 4х – х² = –(х² – 4х – 1) = –(х² – 4x + 4 – 4 –

– 1) = –((x – 2)² – 5) = –(x – 2)² + 5, у = –(х – 2)² + 5.

Вершина (2; 5), вітки вниз.

ґ) у = 4х² – 4х + 5; 4x² – 4x + 5 = 4(x² – x + 54) = 4(x² – 2 • 12x +

+ (12)² – (12)² + 54) = 4((x – 12)² – 14 + 54) = 4((x – 12)² + 1) = 4(x – 12)² +

+ 4; y = 4(x – 12)² + 4.

Вершина (12; 4), вітки вгору, а = 4.

д) y = 5x² + 10x + 4; 5x² + 10x + 4 = 5(x² + 2x + 45) = 5(x² + 2x +

+ 1 – 1 + 45) = 5((x + 1)² – 15) = 5(x + 1)² – 1.

Вершина (–1; –1), вітки вгору; a = 5.

Виконайте побудову, скориставшись в а)– г) шаблоном параболи

у = х², у ґ) — параболи у = 4x², у д) — параболи у = 5x².

445. Побудуйте графік функції.

Оскільки у всіх випадках а)–г) у параболи у = ах² + bх + с а = 1, то знайдемо координати вершини і за допомогою шаблону побудуємо графік функції (парабола, вітки якої спрямовані вгору).

a) y = x² – 2x + 5; m = 22 •1 = 1; n = 1² – 2 • 1 + 5 = 4; вершина

(1; 4);

б) y = x² + 2x – 3; m = -22 •1 = –1; n = (–1)² + 2 • (–1) – 3 = –4; вершина (–1; –4);

в) y = x² + 2x + 4; m -22 •1 = –1; n = (–1)² + 2 • (–1) + 4 = 3; вершина (–1; 3);

г) y = x² – 2x – 3; m = 22 •1 = 1; n = 1² – 2 – 3 = –4; вершина (1; 4). Виконайте побудову.

447. Точка M (3; 5) є вершиною параболи у = х² + mх + n.

Знайдіть m i n.

Нехай у параболи у = х² + mх + n вершина М має координати (а; b), тоді а = -m2 •1 = -m2; b = у(а). За умовою а = З, b = 5, тоді З = -m2, звідки m = –6; 5 = у(3) = З² + (–6) • З + n; 5 = 9 – 18 + n; n = 14. Отже, m = –6, n = 14.

Відповідь: m = –6, n = 14.

448. Знайдіть р і q, якщо графік функції у = х² + рх + q проходить

через точки P (1; 4); Q (–1; 10).

у = х² + рх + q. Якщо Р(1; 4) належить графіку, то 4 = 1² + р • 1 +

+ q; р + q = 3; якщо Q(–1; 10) належить графіку, то 10 = (–1)² + р •

• (–1) + q; q – р = 9. Розв’яжемо систему рівнянь:

р + q = 3; 2q = 12; q = 6;

q – р = 9; 2р = –6; р = –3.

Відповідь: q = 6; р = –3.

449. Графік функції у = х² – 5х + с перетинає вісь у в точці A (0; 4). У яких точках він перетинає вісь х?

Оскільки А(0; 4) належить графіку y = x² – 5x + с, то 4 = 0² – 5 •

• 0 + с, звідки c = 4. Отже, у = x² – 5х + 4. Точки перетину з віссю Ох: у = 0, х² – 5х + 4 = 0; звідки x₁ = 1, x₂ = 4. Отже, точки (1; 0) і (4; 0).

Відповідь: (1; 0), (4; 0).

450. Графік функції у = х² – Зх + с перетинає вісь у в точці (0; 3). Чи перетинає він вісь х?

Оскільки A(0; 3) належить графіку у = x² – Зx + с, то З = 0² – З • 0 +

+ с і с = З, тоді у = х² – Зх + 3.

Знайдемо D = b² – 4ас; D = (–3)² – 4 • 1 • З = 9 – 12 = – З < 0. Отже, графік не перетинає вісь Ох.

Відповідь: ні.

451. Побудуйте графік функції, вкажіть проміжки, на яких

функція зростає (спадає):

Знайдемо абсциси точок, у яких графік перетинає вісь Ох (у = 0). Абсциса точки, що лежить посередині між ними, — абсциса вершини. Знайдемо координати вершини і двох допоміжних точок (або скористатись шаблоном).

а) у = х(х – 2); у = 0;

х(х – 2) = 0; x = 0, х = 2.

Абсциса вершини n = 2+02 = 1, тоді ордината n = y(1) = 1 • (1 – 2) =

= –1.

Вершина (–1; 1); вітки вгору, а = 1.

Допоміжні точки (0; 0), (2; 0).

б ) у = х(5 – x);

х(5 – х) = 0; x = 0; x = 5;

m = 5+02 = 2,5;

n = 2,5 • (5 – 2,5) = 2,5 • 2,5 = 6,25.

Вершина (2,5; 6,25); вітки вниз, а = –1.

Точки (0; 0), (5; 0).

в) у = х² – 6x;

x² – 6x = 0;

х(х – 6) = 0;

x = 0; x = 6;

m = 6+02 = 3;

n = 3² – 6 • З = –9.

Вершина (3; –9);

вітки вгору; точки (0; 0), (6; 0),

а = 1.

г) у = 2х – х²;

2х – х² = 0;

x(2 – x) = 0;

x = 0; x = 2;

m = 2+02 = 1;

n = 2 • 1 – 1² = 1.

Вершина (1; 1); вітки вниз; точки (0; 0). (2; 0);

а = –1.

ґ) у = Зх² + 12х;

3х² + 12x = 0;

Зх(х + 4) = 0;

x = 0; x = –4;

m = -4+02 = –2;

n = 3 • (–2)² + 12 • (–2) = –13.

Вершина (–2; 12); вітки вгору; а = 3; точки (0; 0), (–4; 0).

д) y = x – 2x²; x – 2х² = 0;

2x(12 = x) = 0; x = 0;

x = 12; m = 12+02 = 14; n = 14 – 2 • (14)² = 14 – 18 = 18.

Вершина (14; 18); вітки вниз, a = –2; точки (0; 0), (12; 0).

452. При яких значеннях аргументу дана функція має найменше значення.

а) y = х(х – 6); а > 0; вітки вгору; нулі функції x(x – 6) = 0; x = 0,

x = 6; m = 6+02 = 3; тоді n = З • (З – 6) = –9. Найменше значення –9.

б) у = (х – 3)² + 1; а > 0; вітки вгору; вершина (3; 1). Найменше значення 1.

в) y = x² + 2х; а > 0; вітки вгору; нулі х² + 2х = 0; х(х + 2) = 0;

х = 0, х = –2; m = -2+02 = –1; n = (–1)² + 2 • (–1) = –1. Найменше значення –1.

Відповідь: а) –9; б) 1; в) –1.

453. He будуючи графіка функції, виконайте завдання:

При якому значенні с графік функції у = х² – 5х + с:

а) проходить через початок координат;

б) дотикається до осі х;

в) перетинає вісь х у точці (3; 0);

г) перетинає вісь у в точці (0; –5)?

y = x² – 5x + c

а) (0; 0) належить графіку, тоді 0 = 0² – 5 • 0 + с, c = 0;

б) дискримінант дорівнює нулю; (–5)² – 4 • 1 • c = 0; 4c = 25;

с = 6,25;

в) A(3; 0) належить графіку, тоді 0 = З² – 5 • З + с, c = 6;

г) В(0; –5) належить графіку, тоді –5 = 0² – 5 • 0 + с, с = –5.

Відповідь: а) 0; б) 6,25; в) в; г) –5.

454. He будуючи графіка функції, виконайте завдання:

При якому значенні b графік функції у = х² + bх + 4:

а) дотикається до осі х;

б) не має спільних точок з віссю х;

в) перетинає вісь у точці А (4; 0);

г) перетинає вісь у точках, відстань між якими дорівнює З?

y = x² + bx + 4.

а) D = b² – 4 • 1 • 4 = 0; b² = 16; b = +4.

б) Якщо D < 0; b² – 16 < 0; (b – 4)(b + 4) < 0, тоді

b – 4 < 0; b – 4 > 0; b < 4; b > 4;

b + 4 > 0; або b + 4 < 0; b > –4; або b < –4.

Звідки –4 < b < 4; b ∈ (–4; 4).

в) А(4; 0); 0 = 4² + b • 4 + 4; 4b = –20; b = –5.

г) Нехай це точки (а; 0) і (а + 3; 0), тоді корені рівняння х² + bx +

+ 4 = 0 х₁ = а; х₂ = a + З і за теоремою Вієта:

4 = а(а + 3); а² + 3a – 4 = 0; a₁ = –4;

–b = a + a + 3; –b = 2a + 3, звідки –b₁ = 2a + 3; або

a₂ = 1;

–b₂ = 2a + 3.

Тоді –b₂ = 2 • (–4) + 3; b₁ = 5 або –b₂ = 2 • 1 + 3; b₂ = –5. Отже,

b = ± 5.

Відповідь: а) ±4; б) b ∈ (–4 ; 4); в) –5; г) +5.

455. Побудуйте графік квадратичної функції.

а) y = x² + x + 1. Для y₁ = х² + x;

нулі: x² + x = 0; x(x + 1) = 0; x = 0; x = –1;

m = -1+02 = –12; n = (–12)² + (–12) = 14 – 12 = –24.

Вершина (–12; –14).

У графіка y = x² + x + 1 вершина

(–12; –14 + 1); (–12; 34).

Допоміжні точки (0; 1), (–1; 1); вітки вгору; а = 1.

б) у = x² – (х + 2); у = х² – х – 2.

Для у₁ = х² – x нулі: x² – х = 0;

x(х – 1) = 0; x = 0; x = 1;

m = 1+02 = 12; n = (12)² – 12 – 2 = 14 – 22 = –14.

Вершина (12; –14).

У y = x² – (x + 2) вершина (12; –14 – 2); (12; –214).

Допоміжні точки (–1; 0), (2; 0); вітки вгору: a = 1.

456. Побудуйте графік квадратичної функції.

б) у = 1 – 2х – x²; у = –х² – 2x + 1;

у = –х(х + 1) – 1.

Для y₁ = –х(х + 2) нулі: –х(х + 2) = 0; x = 0;

x = –2; m = -2+02 = –1; n = –(–1) • (–1 + 2) = 1.

Вершина y₁ — (–1; 1).

Вершина у — (–1; 1 + 1); (–1; 2); вітки вниз; а = –1.

Допоміжні точки x = 0. у = 1, (0; 1);

у = 0; –x² – 2х + 1 = 0; х² + 2x – 1 = 0;

x_1,2 = –1 ± 1+1; x₁ = –1 + 2; х₂ = –1 – 2;

(–1 + 2; 0), (–1 – 2; 0).

г) у = 4х – (x² – 1);

у = –х² + 4x + 1.

Для у₁ = –x² + 4x нулі:

–x² + 4х = 0; –х(х – 4) = 0;

x = 0; x = 4; m = 4+02 = 2;

n = –2² + 4 • 2 = 4.

Верпіинн (2; 4).

Вершина у — (2; 4 + 1); (2; 5); вітки вниз; а = –1.

Допоміжні точки: –х² + 4x + 1 = 0; x² – 4x – 1 = 0;

x_1,2 = 2 ± 4+1; x₁ = 2 + 5; x₂ = 2 – 5; (2 + 5; 0), (2 – 5; 0); (0; 1).

458. Побудуйте графік квадратичної функції.

a) y = (x – 1)(x + 2),

Нулі: (x – 1)(x + 2) = 0; x = 1; x = –2;

m = -2+12 = –12;

n = (–12 – 1) – (–12 + 2) = –32 • 32 = –94 = –214.

Вершина (–12; –214).

Допоміжні точки (1; 0), (–2; 0): (0; –2).

Вітки вгору, a = 1.

г) у = 2(3 + х)(х – 1).

Нулі: 2(3 + x)(x – 1) = 0;

x = –3; x = 1;

m = -3+12 = –1; n = 2 • (3 – 1) • (–1 – 1) = –8.

Вершина (–1; 8); вітки вгору, а = 2.

Допоміжні точки (–3; 0), (1; 0), (0; –6).

459. Побудуйте графік квадратичної функції.

а) у – (2x – 1)² + 3;

y = 4(x – 12)² + 3. Вершина (12; 3).

Вітки вгору, a = 4.

Допоміжні точки (0; 4), (1; 4).

б) у = 1 – (х + 3)²;

у = –(х + 3)² + 1.

Вершина (–3; –1). Вітки вниз, а = –1.

Допоміжні точки (0; –8), (–2; 0), (–4; 0).

в) у = (0,5х + 2)² – 3;

у = (12х + 2)² – 3; у = 14(х + 4)² – 3.

Вертиима (–4; –3).

Вітки вгору. а = 14.

Допоміжні точки

(0; 1), (–2; –2), (–6; 2).

г) y = 4(0,5x + 1)² – 1;

у = 4(12x + 1)² – 1; у = 4 • 14(x + 2)² –1;

у = (x + 2)² – 1.

Вершина (–2; 1).

Вітки вгору, a = 1.

Допоміжні точки (0; 3), (–4; 3), (–1; 0), (–3; 0).

460. Побудуйте графік квадратичної функції.

в) y = –3x² + 6x – 1.

Вершина: m = -62 •(-3) = 1;

n = –3 + 6 • 1² + 6 • 1 – 1 = 2; (1; 2);

вітки вниз, а = –3.

Допоміжні точки (0; –1), (2; –1).

б) y = 2x² – 4x + 5.

Вершина: m = 42 •2 = 1;

n = 2 • 1² – 4 • 1 + 5 = 3; (1; 3);

вітки вгору, а = 2.

Допоміжні точки (0; 5), (2; 5).

461. Побудуйте графік квадратичної функції.

а) y = 0,5x² – x + 2.

Вершина: m = 12 •0,5 = 1;

n = 0,5 • 1² – 1 + 2 = 1,5; (1; 1,5).

вітки вгору, а = 0,5.

Допоміжні точки (0; 2), (2; 2), (–2; 6).

б) у = 0,3x² – 0,6х + 1.

Вершина: m = 0,62 •0,3 =1;

n = 0,3 • 1² – 0,6 • 1 + 1 = 0,7; (1; 0,7).

вітки вгору , а = 0,3.

Допоміжні точки (0; 1), (2; 1), (–1; 1,9).

462. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

a) y = x² + 2x; m = -22 •1 = –1; a > 0; тоді при х ∈ (–∞; –1) спадає, при х ∈ (–1; +∞) зростає.

б) у = 1 – х²; m = 02 •(-1) = 0; a < 0; тоді при х ∈ (–∞; 0) зростає при х ∈ (0; +∞) спадає.

в) у = x² – 4x + 3; m = 42 •1 = 2; a > 0; тоді при х ∈ (–∞; 2) спадає, при х ∈ (2; +∞) зростає.

г) y = x(x + 4); y = x² + 4x; m = -42 •1 = –2; a > 0; тоді при х ∈ (–∞;

–2) спадає, при х ∈ (–2; +∞) зростає.

ґ) y = (1 – х)²; m = 1 (вершина дотикається до Ох); а > 0; тоді при

х ∈ (–∞; 1) спадає, при х ∈ (1; +∞) зростає.

д) у = х² + х + 1; m = –12 •1 = –12; а > 0; тоді при х ∈ (–∞; –12) спадає, при х ∈ (–12; +∞) зростає.

463. При яких значеннях х дана функція має найменше значення:

У всіх заданих функцій перший коефіцієнт а > 0, тому найменше значення дорівнює ординаті n вершини параболи.

а) у = x² – 6х + 9, y = (x – 3)², тоді y_min = 0, оскільки вершина лежить на Ох:

б) у = x² + 4x + 7; m = -42 •1 = –2; n = (–2)² + 4 • (–2) + 7 = 3;

y_min = 3;

в) y = 4x² – 12x – 3; m = 124 •2 = 32; n = 4 • 92 – 12 • 32 – 3 = –12;

y_min = –12;

г) у = 4х² – 4х + 1; y = (2х – 1)². Вершина лежить на Ох, тому

y_min = 0.

Відповідь: a) 0; б) 3; в) –12; г) 0.

464. Знайдіть найбільше значення функції:

У всіх функцій перший коефіцієнт а < 0, тому найбільше значення у_max дорівнює ординаті n вершини параболи.

а) у = З – (x – 2)²; у = –(x – 2)² + 3. Вершина (2; 3), n = 3; y_max = 3;

б) у = –0,25(x + 5)². Вершина лежить на Оx, тому у_max = 0.

в) у = 6x – x² – 10; y = –х² + 6x – 10.

Вершина: m = -62 •(-1) = 3; n = –3² + 6 • 3 – 10 = –1; y_max = –1.

Відповідь: а) 3; б) 0; в) –1; в) 1,8.

465. а) Найменше значення функції у = х² – 6х + с дорівнює –5. Побудуйте її графік.

б) Найбільше значення функції у = с + 4х – 4х² дорівнює 4.

Побудуйте її графік.

а) у = х² – 6х + с; y_min = –5; отже, n = –5; m = 62 •1 = 3.

Вершина (3; –5);

–5 = З² – 6 • З + с; с = –5 + 9; с = 4; y = –x² + 6x + 4.

Допоміжні точки (0; 4), (1; –1), (2; –4).

б) у = с + 4x – 4x²;

у = –4x² + 4x + с;

а < 0, тому n = у_max = 4;

m = -42 •(-4) = 12.

Вершина (12; 4); 4 = –4 • (12)² + 4 • 12 + с;

с = 3, отже, у = –4х² + 4х + 3.

Допоміжні точки (0; 3), (1; 3), (–1; –5), (2; –5).

466. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:

а) y = x² i y = (x – 4)²; x² = (x – 4)²; x² = x² – 8x + 16; 8x = 16; x =

= 2; тоді у = 2² = 4. Точка (2; 4).

б) у = 2x² і у = –x² + 3; 2х² = –х² + 3; Зх² = 3; x² = 1; x = ± 1.

Якщо х = 1, то у = 2 • 1² = 2; якщо у = –1, то у = 2 • (–1)² = 2. Точки (1; 2), (–1; 2).

в) y = 3х² + 7 i y = Зx² + 2х + 1; Зх² + 7 = Зx² + 2х + 1; 2x = 6;

x = 3; тоді y = 3 • 3² + 7; y = 34. Точка (3; 34).

Відповідь: а) (2; 4); б) (1; 2), (–1; 2); в) (3; 34).

467. Знайдіть відстань між вершинами парабол, що є графіками

функцій:

a) у = (х – 3)² має вершину (3; 0); у = (х – 3)² + 7 має вершину

(3; 7); d = (3-3)2+ (7-0)2 = 7.

б) у = х² має вершину (0; 0); у = (х + 5)² має вершину (–5; 0);

d = (0+5)2+ (0-0)2 = 5.

в) у = х² – 2х + 5; m = 22 •1 = 1; n = 1² – 2 • 1 + 5 = 4; (1; 4);

у = х² – 2х – 4; m = 22 •1 = 1; n = 1² – 2 • 1 – 4 = –5; (1; –5);

d = (1-1)2+ (4+5)2 = 9.

г) y = x² + 4x + 5; m = -42 •1 = –2; n = (–2)² + 4 • (–2) + 5 = 1;

(–2; 1); y = –x² – 4x – 5; m = 42 •(-1) = –2; n = –(–2)² – 4 • (–2) – 5 =

= –1; (–2; –1); d = (-2+2)2+ (1+1)2 = 2.

Відповідь: а) 7; б) 5; в) 9; г) 2.

468. Знайдіть відстані від вершини параболи, рівняння якої

у = х² – 6х + 13, до осей х, у і початку координат.

у = х² – 6х + 13; m = 62 •1 = 3; n = З² – 6 • З + 13 = 4; (3; 4).

До осі Ох – 4; до осі Оу – 3; до (0; 0) d = (3-0)2+ (4-0)2 =

= 32+ 42 = 5.

Відповідь: до осі Ох — 4; до осі Оу — 3; до (0; 0) — 5.

469. Знайдіть значення b, якщо графік функції у = х² + bх

симетричний відносно прямої х = 3.

y = x² + bх. Вершина графіка (параболи) лежить на її осі симетрії, тоді m = 3 = -b2 •1; –b = 6; b = –6.

Відповідь: –6.

470. Побудуйте графік функції:

а) y = |х² – 4х + 3|. Будуємо у₁ = х² – 4х + З, після чого частину

графіка, розміщену нижче від осі Ох, відобразимо симетрично

відносно Ох.

Для у₁; m = 42 •1 = 2; n = 2² – 4 • 2 + З = –1;

(2; –1) – вершина; точки (1; 0), (3; 0), (0; 3); вітки вгору а = 1.

б) y = |x² + x – 6|; y₁ = x² + x – 6; m = -12 •1 = –12; n = (–12)² – 12 – 6 =

= –614; вершина (–12; –614);

а > 0, вітки вгору, а = 1.

Допоміжні точки (0; –6), (2; 0), (–3; 0).

в) y = |х² + 4x| + 3. Побудуємо y₁ = |x² + 4х| і перемістимо його на З вгору вздовж осі Оу.

Для побудови y₁ = |х² + 4x| скористаємось графіком у₂ = х² + 4х, перемістивши його частину, що лежить нижче Ох, симетрично відносно Ох.

у₂ = x² + 4х; нулі x² + 4х = 0;

х(х + 4) = 0; x = 0;

х = –4; m = -4+02 = –2;

n = (–2)² + 4 • (–2) = –4.

Вершина (–2; –4). Допоміжні точки (0; 0), (–4; 0); вітки вгору, a = 1.

г) y = |6x| – х² – 5; у = –x² + 6|x| – 5.

При x ≥ 0 |x| = x, при д: < 0 |x| = –х,

–x² + 6х – 5, x ≥ 0;

тоді у = –x² – 6х – 5, x < 0.

Графік складається з двох частин, побудуємо кожну окремо:

1) y = –x² + 6х – 5; m = -62 •(-1) = 3;

n = –З² + 6 • З – 5 = 4; (3; 4) — вершина;

а = –1; вітки вниз; точки (0; –5), (1; 0), (2; 3);

2) у = –х² – 6х – 5; m = 62 •(-1) = –3:

n = –(–3)² – 6 • (–3) – 4 = 4; (–3; 4) — вершина: а = –1; вітки вниз;

точки (0; –5), (–1; 0), (–2; 3).

481. Розв’яжіть нерівність.

а) x² – 4х < 0; а > 0; нулі f(x) = x² – 4х; x² – 4х = 0; х(х – 4) = 0;

х₁ = 0; х₂ = 4.

Див. I (1), тоді x ∈ (0; 4).

б) х² + 6x ≤ 0; a > 0; нулі f(x) = х² + 6х: х² + 6х = 0; х(х + 6) = 0; х₁ = –6; х₂ = 0.

Див. I (1), тоді x ∈ [–6; 0].

в) z² + 6z – 7 ≤ 0; а > 0; нулі f(z) = z² + 6z – 7; z² + 6z – 7 = 0; z₁ =

= –7; z₂ = 1.

Див. I 1) тоді z ∈ [–7; 1].

г) 6х² – z > 0; a > 0; нулі f(х) = 6х² – х; 6х² – х = 0; 6х(x – 16) = 0;

x₁ = 0; x₂ = 16. Див. І (1), тоді x ∈ (0; 16).

ґ) 2x² + 7х ≥ 0; а > 0; нулі f(x) = 2х² + 7х: 2x² + 7х = 0; 2х(х +

+ 3,5) = 0; х₁ = –3,5; х₂ = 0. Див. І (1), тоді х ∈ (–∞; –3,5] ∪ [0; +∞). д) y² – 4у – 5 < 0; а > 0; нулі f(y) = у² – 4у – 5: у² – 4у – 5 = 0; у₁ = –1; у₂ = 5.

Див, І (1). тоді у ∈ (–1; 5).

Відповідь: а) (0; 4); б) [–6; 0]; в) [–7; 1]; г) (0; 16); ґ) (–∞; –3,5] ∪ [0; +∞);

д) (–1; 5).

482. Розв’яжіть нерівність.

а) x² – 6х + 9 > 0; (х – 3)² > 0; а > 0; х – З = 0; х = З — точка дотику, тоді див. II (1); x ∈ (–∞; 3) ∪ (3; +∞).

б) y² – 8y + 16 < 0; (у – 4)² < 0; a > 0; у – 4 = 0; y = 4 — точка дотику, тоді див. II (1); у ∈ ∅. Розв’язків немає.

в) х² + 4х + 4 ≤ 0; (х + 2)² ≤ 0; а > 0; x + 2 = 0; x = –2 — точка дотику, тоді див. II (1); x = –2.

г) z² + z + 0,25 ≤ 0; (z + 0,5)² = 0; а > 0; z + 0,5 = 0; z = –0,5 — точка дотику, тоді див. II (1); z = –0,5.

ґ) x² > 2х – 1; х² – 2х + 1 > 0; (х – 1)² > 0; а > 0; х – 1 = 0; х = 1 – точка дотику, тоді див. II (1); x ∈ (–∞; 1) ∪ (1; +∞).

д) у² ≥ 4у – 4; у² – 4y – 4 ≥ 0; (у – 2)² ≥ 0; а > 0; у – 2 = 0; у – 2 — точка дотику, тоді див. II (1); у ∈ R.

Відповідь: а) (–∞; 3) ∪ (3; +∞); б) ∅; в) –2 ; г) –0,5; ґ) (–∞; 1) ∪ (1; +∞); д) R.

483. Розв’яжіть нерівність.

а) х² ≤ Зх – 2; х² – Зх + 2 ≤ 0; а > 0; нулі f(x) = х² – Зх + 2; х² – Зх +

+ 2 = 0; x₁ = 1; x₂ = 2. Тоді див. І (1), х ∈ (1; 2).

б) t² + 9 < 6t; t² – 6t + 9 < 0; (t – 3)² < 0; а > 0; t – З = 0; t = З — точка дотику, тоді див. II (1), t ∈ ∅, розв’язків немає.

в) x² – 4х + З > 0; а > 0; нулі f(х) = х² – 4х + 3; х² – 4х + З = 0; х₁ =

= 1; х₂ = 3. Тоді див. І (1); х ∈ (–∞; 1) ∪ (3; +∞).

г) x² + 10х + 25 ≥ 0; (x + 5)² ≥ 0; а > 0; x + 5 – 0; x = –5 — точка дотику. Тоді див. II (1): x ∈ R.

ґ) 9x² + 6x + 1 ≤ 0; (Зx + 1)² ≤ 0; а > 0; Зx + 1 = 0; х = 13 — точка дотику. Тоді див. II (1); х = –13.

д) х² – 2х + 9 < 0; а > 0; нулі f(x) = х² – 2х + 9 відсутні, оскільки

D = (–2)² – 4 • 1 • 9 < 0. Тоді див. III (1). Знайдемо вершину:

m = 22 •1 = 1; m = 1² – 2 • 1 + 9 = 8.

Оскільки а > 0 і n > 0, то x ∈ 0, розв’язків немає.

Відповідь: а) (1; 2); б) ∅; в) (–∞; 1) ∪ (3; +∞); г) R; ґ) –13; д) ∅.

484. Розв’яжіть нерівність.

а) 2х² – Зx + 1 ≥ 0; а > 0; нулі f(x) = 2х² – Зx + 1:

2x² – Зх + 1 = 0; x_1,2 = 3 ± 9-4 •2 •12 •2; х_1,2 = 3 ±14; х₁ = 12; x₂ = 1.

Тоді див. І (1); x ∈ (–∞; 12] ∪ [1; +∞).

б) х² + 8 < 6х; х² – 6x + 8 < 0; а > 0; нулі f(x) = х² – 6х + 8: х² –

– 6х + 8 = 0; x₁ = 2; x₂ = 4. Тоді див. І (1); x ∈ (2; 4).

в) 0,5x² – х – 2 > 0; х² – 2х – 4 > 0; нулі f(х) = х² – 2х – 4; х² – 2х –

– 4 = 0; х_1,2 = 1 ± 1+4; x₁ = 1 – 5; x₂ = 1 + 5. Тоді див. І (1);

х ∈ (–∞; 1 – 5) ∪ (1 + 5; +∞).

г) y² – 4у < 12; y² – 4у – 12 < 0; а > 0; нулі f(y) = у² – 4у – 12; у² –

– 4у – 12 = 0; у₁ = –2; у₂ = 6. Тоді див. І (1); у ∈ (–2; 6).

ґ) –x² + Зx – 2 > 0; а < 0; нулі f(x) = –x² + Зх – 2; –х² + Зх – 2 = 0;

x² – Зx + 2 = 0; x¹ = 1; x₂ = 2. Тоді див. І (2); x ∈ (1; 2).

д) 11z ≥ z² + 18; z² – 11z + 18 ≤ 0; а > 0; нулі f(z) = z² – 11z + 18;

z² – 11z + 18 = 0; z₁ = 2; z₂ = 9. Тоді див. І (1); z ∈ [2; 9].

Відповідь: а) (–∞; 12] ∪ [1; +∞); б) (2; 4); в) (–∞; 1 – 5) ∪ (1 + 5; +∞); г) (–2; 6);

ґ) (1; 2); д) [2; 9].

486. Розв’яжіть нерівність.

б) 2(z² + 5) > 9z; 2z² + 10 – 9z > 0; 2z² – 9z + 10 > 0; a > 0;

нулі f(z) = 2z² – 9z + 10: 2z² – 9z + 10 = 0; z_1,2 = 9 ± 81-4 •2 •104;

z₁ = 2; z₂ = 2,5.

Тоді див. І (1); z ∈ (–∞; 2) ∪ (2,5; +∞).

г) 8 – (5 – у)² > Зу; 8 – 25 + 10у – у² – Зу > 0; –у² + 7y – 17 > 0;

а < 0; нулі f(у) = –у² + 7у – 17; –y² + 7y – 17 = 0; –y² – 7y + 17 = 0;

D = (–7)² – 4 • 1 • 17 < 0; отже, f(у) не має нулів. Знайдемо координати вершини графіка f(y): m = -72 •(-1) = 72;

n = –(72)² + 7 • 72 – 17 = –494 + 492 – 17 = 1214 – 17 = –434 < 0; n < 0;

а < 0; тоді див. III (2); у ∈ ∅, розв’язків немає.

д) (х + 2)(x + 7) < 0; a > 0; нулі f(x) = (х + 2)(x + 7); x₁ = –2;

x₂ = –7(x + 2 = 0; x + 7 = 0). Тоді див. І (1); x ∈ (–7; –2).

Відповідь: б) (–∞; 2) ∪ (2,5; +∞); г) ∅; д) (–7; –2).

487. Розв’яжіть нерівність.

а) (x + 7)(х – 1) ≥ 0; a > 0; нулі f(x) = (х + 7)(х – 1); (х + 7)(х – 1) =

= 0; х₁ = –7; x₂ = 1. Тоді див. І (1); x ∈ (–∞; –7] ∪ [1; +∞).

в) (x – 2)(х + 3) < 0; а > 0; нулі f(x) = (х – 2)(х + 3); (x – 2)(х + 3) =

= 0; x₁ = –3; x₂ = 2. Тоді див. I (1); x ∈ (3; 2).

ґ) (t + 3)(t + 4 ) ≥ 0; а > 0; нулі f(t) = (t + 3)(t + 4): (t + 3)(t + 4) =

= 0; t₁ = –4; t₂ = –3. Тоді див. I (1); t ∈ (–∞; –4] ∪ [–3; +∞).

488. При яких значеннях х значення функції у = х² + Зх від’ємні, а при яких — додатні?

1) у < 0; x² + 3x < 0; x(x + 3) < 0; a > 0; нулі f(x) = x(x + 3); x(x +

+ 3) = 0; x₁ = –3; x₂ = 0. Тоді див. І (1); х ∈ (–3; 0);

2) у > 0. Див. І (1); x ∈ (–∞; –3) ∪ (0; +∞).

Відповідь: від’ємні при х ∈ (–3; 0); додатні при х ∈ (–∞; –3), (0; +∞).

489. При яких значеннях х значення функції у = f(х) додатні, а при яких — від’ємні, якщо:

а) f(x) = х² – 4; з’ясуємо проміжки, де f(x) > 0 і де f(x) < 0; a > 0.

Якщо x² – 4 = 0; (x – 2)(х + 2) = 0; нулі f(x): х = –2; х = 2. Тоді див. І (1). f(x) < 0, якщо x ∈ (–2; 2); f(x) > 0, якщо х ∈ (–∞; –2), (2; +∞).

б) f(x) = 9 – x²; a < 0; нулі f(x): 9 – x² = 0; (3 – x)(3 + x) = 0; х =

= –3; х = 3. Тоді див. I (2); f(x) > 0, якщо х ∈ (–3; 3); f(x) < 0, якщо х ∈ (–∞; –3), (3; +∞);

в) f(х) = x² + 6х – 7; а > 0; нулі f(х): х² + 6х – 7 = 0; х₁ = –7; х₂ = 1. Тоді див. III (1); f(x) > 0, якщо x ∈ (–∞; –7), (1; +∞); f(x) < 0, якщо x ∈ (– 7; 1);

г) f(x) = З + 2х – x²; f(x) = –x² + 2х + 3; а < 0; нулі f(x): –х² + 2х +

+ З = 0; х² – 2х – З = 0; x = –1; х = 3. Тоді див. І (2); f(x) > 0, якщо х ∈ (–1; 3); f(x) < 0, якщо x ∈ (–∞; –1) U (3; +∞).

Відповідь: а) «–» (–2; 2); «+» (–∞; –2), (2; +∞); б) «–» (–∞; –3), (3; +∞); «+» (–3; 3); в) «–» (–7; 1); «+» (–∞; –7), (1; +∞): г) «–» (–∞;

–1), (3; +∞); «+» (–1; 3).

490. Знайдіть область визначення функції:

а) у = x2- 4; х² – 4 ≥ 0; а > 0; (х – 2)(х + 2) ≥ 0; нулі f(x) = х² –

– 4: х = –2; x = 2. Тоді див. І (1): x ∈ (–∞; –2], x ∈ [2: +∞).

б) у = 1-x2; 1 – x² ≥ 0; а < 0; (1 – х)(1 + х) ≥ 0; нулі f(x) = 1 –

– х²; х = –1; x = 1. Тоді див. І (2); х ∈ [–1; 1].

в) y = x2- 5x+4; x² – 5x + 4 ≥ 0; а > 0; нулі f(x) = х² – 5х + 4;

х² – 5х + 4 = 0; x = 1; x = 4. Тоді x ∈ (–∞; 1], х ∈ [4; +∞).

г) у = x2- 4x; x² – 4х ≥ 0; а > 0: х(х – 4) ≥ 0, нулі f(x) = х² – 4х; x(х – 4) = 0; x = 0; x = 4. Тоді див. І (1); х ∈ (–∞; 0], х ∈ [4; +∞).

ґ) y = 2x2+ 1; 2х² + 1 ≥ 0; x² ≥ 0; 2х² + 1 > 0. Отже, х ∈ R.

д) у = x2- 4x+4; y = (x-2)2; (х – 2)² ≥ 0 для всіх х; х ∈ R.

Відповідь: а) (–∞; –2], [2; +∞); б) [–1; 1]; в) (–∞; 1], [4; +∞);

г) (–∞; 0], [4; +∞); ґ) R; д) R.

491. Знайдіть цілі розв’язки нерівності:

Знайдемо множину всіх розв'язків, після чого виберемо цілі.

а) х² + 5х – 6 < 0; а > 0; нулі: x² + 5х – 6 = 0; х = –6; х = 1.

Тоді див. І (1): x ∈ (–6; 1). Цілі: х = –5; –4; –3; –2; –1; 0.

б) x² – 5х – 6 ≤ 0; а > 0: нулі: х² – 5х – 6 = 0; х = –1; х = 6.

Тоді див. І (1); x ∈ [–1; 6]. Цілі: х = –1; 0; 1; 2: 3; 4; 5; 6.

в) x² – x – 6 < 0; а > 0; нулі: х² – х – 6 = 0; х = –2; х = 3.

Тоді див. І (1); x ∈ (–2; 3). Цілі: х = –1; 0; 1; 2.

г) 6 – x² ≥ х; х² + x – 6 ≤ 0; а > 0; нулі: х² + х – 6 = 0; х = –3; х =

= 2. Тоді див. І (1): x ∈ [–3; 2|. Цілі: х = –3; –2; –1; 0; 1; 2.

ґ) x² + 2х – 8 > 0; а > 0; нулі: х² + 2х – 8 = 0; х = –4; х = 2.

Тоді див. 1 (1); x ∈ (–∞; 2) ∪ (2; +∞). Цілих розв'язків безліч.

д) x² – 4х + 4 ≤ 0; (x – 2)² ≤ 0; a > 0; х = 2 — точка дотику (х – 2 =

= 0). Тоді див. II (1); x = 2.

Відповідь: а) –5; –4; –3; –2; –1; 0; б) –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; в) –1; 0; 1; 2: г) –3; –2; –1; 0; 1; 2; ґ) безліч: ,1) 2.

492. Розв’яжіть нерівність.

а) (2 – х)(3 – х) ≤ 2; 6 – Зх – 2х + х² – 2 ≤ 0; х² – 5х + 4 ≤ 0; а > 0;

нулі: х² – 5х + 4 = 0; x = 1; x = 4. Тоді за І (1): x ∈ [1; 4].

г) (x + 2)(х + 3) ≥ 10х; x² + Зх + 2х + 6 – 10х ≥ 0; x² – 5х + 6 ≥ 0; a > 0; нулі: x² – 5х + 6 = 0; x = 2; x = 3. Тоді за І (1): х ∈ (–∞; 2] ∪

∪ [3; +∞).

ґ) (3 – 2x)(x + 1) ≤ 2; 3x + 3 – 2x² – 2x ≤ 2; 2x² – x – 1 ≥ 0; x > 0;

нулі: 2x² – x – 1 = 0; x_1,2 = 1 ± 1+4 •2 •14; x_1,2 = 1 ±34; x = –12; x = 1.

Тоді за І (1): х ∈ (–∞; –12] ∪ [1; +∞).

493. Розв’яжіть нерівність.

б) 4(х² – 9) > x + 3; 4(х – 3)(х + 3) – (x + 3) > 0; (х + 3)(4(x – 3) –

– 1) > (x + 3)(4x – 12 – 1) > 0; (x + 3)(4х – 13) > 0; a > 0; нулі: (x +

+ 3)(4x – 13) = 0;

х = –3; x = 134 = 314. Тоді за І (1): x ∈ (–∞; –3) ∪ (314; +∞).

в) x(x – 2) > 2 – 3x²; x² – 2x – 2 + 3x² > 0; 4x² – 2x – 2 > 0; 2x² –

– x – 1 > 0; a > 0; нулі: 2x² – x – 1 = 0; x_1,2 = 1 ± 1+84; x_1,2 = 1 ±34; x = –12; x = 1. Тоді за I (1): x ∈ (–∞; –12) ∪ (1; +∞).

д) 3 – x < 3(x² + 3); 3 – x < 3x² + 9; 3x² + x + 6 > 0; a > 0;

нулі: 3x² + x + 6 = 0; D = 1 – 4 • 3 • 6 = –71 < 0; отже, нулів нема. Парабола f(x) = 3x² + x + 6 не перетинає Ох. Знайдемо її вершину:

m = -12 •3 = –16; n = 3 • (–16)² + (–16) + 6 = 112 – 16 + 6 = 6 – 112 = 51112 >

>0. Тоді за ІІІ (1): х ∈ R.

Відповідь: б) (–∞; –3) ∪ (314; +∞); в) (–∞; –12) ∪ (1; +∞); д) R.

494. Розв’яжіть нерівність.

a) x-3x+2 < 0; (x – 3)(x + 2) < 0; нулі: x = –2; x = 3; a > 0, тоді

х ∈ (–2; 3);

б) x+2x-7 > 0; (x + 2)(x – 7) > 0; нулі: x = –2; x = 7; a > 0, тоді

х ∈ (–∞; –2) ∪ (7; +∞);

в) 4-x2х+5 > 0; (4 – x)(2x + 5) > 0: нулі: х = 4; х = –2,5; a < 0

(коефіцієнт при х² дорівнює –2), тоді за І (2): х ∈ (–2,5; 4);

г) 2х-13-х < 0; (2x – 1)(3 – x) < 0; нулі: x = 12; x = 3; a < 0 (a = –2), тоді за І (2): х ∈ (–∞; 12) ∪ (3; +∞);

ґ) 3x-25-2x < 0; (3x – 2)(5 – 2x) < 0; нулі: х = 23; x = 52; a < 0 (a = –6), тоді за І (2): х ∈ (–∞;23) ∪ (52; +∞);

д) 4z-13-2z > 0; (4z – 1)(3 – 2z) > 0; нулі: z = 14; z = 32; a < 0 (a = –8),

тоді за І (2): z ∈ (14; 32).

Відповідь: а) (–2; 3); б) (–∞; –2) ∪ (7; +∞); в) (–2,5; 4); г) (–∞;12) ∪ (3; +∞); ґ) (–∞;23) ∪ (52; +∞); д) (14; 32).

495. Розв’яжіть нерівність.

а) x-1x+3 < 1; x-1x+3 – 1 < 0; x-1-(x+3)x+3 < 0; x-1-x-3x+3 < 0; -4x+3 < 0; оскільки –4 < 0, то x + 3 > 0; x > –3; x ∈ (–3; +∞).

б) x+4x-1 > 5; x+4x-1 – 5 > 0; x+4-5(x-1)x-1 > 0; x+4-5x+5x-1 > 0; -4x+9x-1 >

> 0;

(–4x + 9)(x – 1) > 0; нулі: (–4x + 9)(x – 1) = 0; x = 1; x = 94 = 214;

a < 0 (a = –4). Тоді ха І (2): х ∈ (1; 214);

в) 3x-12x+5 > 3; 3x-12x+5 –3 > 0; 3x-1-3(2x+5)2x+5 > 0; 3x-1-6x-162x+5 > 0;

-3x-162x+5 > 0; 3x+162x+5 < 0; (3x + 16)(2x + 5) < 0; нулі: (3x + 16)(2x +

+ 5) = 0; x = –163 = –513; x = –52 = –2,5; a > 0 (a = 6). Тоді за І (1):

х ∈ (–513; –2,5);

г) 7x+43-2x ≥ 2; 7x+43-2x – 2 ≥ 0; 7x+4-2(3-2x)3-2x ≥ 0; 7x+4-6+4x3-2x ≥ 0; 11x-23-2x ≥ 0; нерівність рівносильна системі: (11x – 2)(3 – 2x) ≥ 0;

3 – 2x ≠ 0.

Розв’яжемо нерівність (11x – 2)(3 – 2x) ≥ 0 і з її розв’язків вилучимо

х = 32. Нулі: (11x – 2)(3 – 2x) = 0; x = 211; x = 32; a < 0 (a = –22). Тоді за І (2): х ∈ (–∞; 311] ∪ [32; +∞).

Урахувавши умову, що х ≠ 32, маємо розв’язки заданої нерівності:

х ∈ (–∞;211] ∪ (32; +∞)

ґ) x22-x ≤ 3 – x; x22-x – 3 + x ≤ 0; x2- 32-x+ x(2-x)2-x ≤ 0;

x2- 6+2-2x- x22-x ≤ 0; 5x-62-x ≤ 0; (5x – 6)(2 – x) ≤ 0;

2 – x ≠ 0.

Розв’язки (5х – 6)(2 – х) ≤ 0: нулі: (5х – 6)(2 – х) = 0; х = 65; х = 2;

a < 0 (a = –5). Тоді за І (2): х ∈ (–∞; 152] ∪ [2; +∞).

Урахувавши умову, що 2 – х ≠ 0, х ≠ 2, маємо розв’язки заданої нерівності: х ∈ (–∞; 115] ∪ [2; +∞);

д) 22-x ≥ x-810-x; 22-x – x-810-x ≥ 0; 210-x- (x-8)(2-x)2-x(10-x) ≥ 0;

20-2x-2x+ x2+ 16+8x2-x(10-x) ≥ 0; x2- 12x+362-x(10-x) ≥ 0; тоді (x-6)22-x(10-x) ≥ 0.

(x – 6)² ≥ 0 для будь–якого x, але повинна виконуватись умова, що

(2 – x)(10 – х) ≠ 0, тобто x ≠ 2, x ≠ 10. Отже, вилучимо ці значення з R, тоді розв’язки заданої нерівності: x ∈ (–∞; 2) ∪ (2; 10) ∪ (10; +∞).

Відповідь: а) (–3; +∞); б) (1; 214); в) (–513; –2,5); г) х ∈ (–∞;211] ∪ [32; +∞).

ґ) (–∞; 115] ∪ [2; +∞); д) (–∞; 2) ∪ (2; 10) ∪ (10; +∞).

496. Розв’яжіть нерівність.

a) x + 5x + 7 ≥ 0; (x + 5)(x + 7) ≥ 0;

x + 7 ≠ 0. Розв’яжемо (x + 5)(x + 7) ≥ 0.

Нулі: (х + 5)(х + 7) = 0: х = –5; х = –7; a > 0.

Тоді за І (1) х ∈ (–∞; –7] ∪ [–5; +∞), але х ≠ –7, тому х ∈ (–∞; –7) ∪ [–5; +∞).

б) 2 - x3 - x ≤ 0; (2x – x)(3 – x) ≤ 0;

3 – x ≠ 0. Розв’язки (2 – x)(3 – x) ≤ 0: нулі:

(2 – x)(3 – x) = 0; x = 2; x = 3; a > 0 (a = 1). Тоді за І (1) х ∈ [2; 3], але х ≠ 3, тому х ∈ [2; 3].

в) х1 - х ≤ 0; x(1 – х) ≤ 0;

1 – х ≠ 0. Розв’язки x(1 – x) ≤ 0: x(1 – x) = 0;

x = 0; x = 1; a < 0 (a = –1). Тоді за І (2) х ∈ (–∞; 0] ∪ [1; +∞)], але х ≠ 1, тому х ∈ (–∞; 0] ∪ [1; +∞).

г) 2x + 1x - 7 < 1; 2x + 1x - 7 – 1 < 0; 2x + 1 - (x - 7)x - 7 < 0; 2x + 1 - x + 7x - 7 < 0; x + 8x - 7 < 0; (x + 8)(x – 7) < 0; нулі: (x + 8)(x – 7) = 0; x = –8; x = 7; a > 0. Тоді за І (1) х ∈ (–8; 7).

ґ) x + 31 + 3x ≤ 1; x + 31 + 3x – 1 ≤ 0; x + 3 - (1 + 3x)1 + 3x ≤ 0; x + 3 - 1 - 3x1 + 3x ≤ 0; -2x + 21 + 3x ≤ 0; x - 11 + 3x ≥ 0; (x – 1)(1 + 3x) ≥ 0;

1 + 3x ≠ 0.

Розв’язки (x – 1)(1 + 3x) ≥ 0; нулі: (x – 1)(1 + 3x) = 0; x = 1; x = –13;

a > 0 (a = 3). Тоді за І (1) х ∈ (–∞; –13] ∪ [1; +), але х ≠ –13, тому

х ∈ (∞–; –13) ∪ [1; +∞).

д) 5x - 11 - x ≥ 1; 5x - 11 - x – 1 ≥ 0; 5x - 1 - (1 - x)1 - x ≥ 0; 5x - 1 - 1 + x1 - x ≥ 0; 6x - 21 - x ≥ 0; 3x - 11 - x ≥ 0; (3x – 1)(1 – x) ≥ 0;

1 – x ≠ 0.

Розв’язки (3x – 1)(1 – x) ≥ 0; нулі: (3х – 1)(1 – х) = 0; x = 13; x = 1;

a < 0 (a = –3). Тоді I (2): [13; 1]. Урахувавши умову 1 – x ≠ 0, x ≠ 1, маємо: х ∈ [13; 1).

Відповідь: а) (–∞; –7) ∪ [–5; +∞); б) [2; 3); в) (–∞; 0] ∪ (1; +∞);

г) (–8; 7); ґ) (–∞; –13) ∪ [1; +∞); д) х [13; 1).

Розв’яжіть нерівність:

(Зх – 1)(x + 3) > x(1 + 5x); 3x² + 9x – x – 3x > x + 5x²; 5х² – Зx² +

+ x – 5x < 0; 2x² – 4x < 0; x² – 2x < 0; x(x – 2) < 0; у функції f(x) =

= x(x – 2) a > 0; нулі: x(x – 2) = 0; x = 0; x = 2, тоді маємо:

, звідки x ∈ (0; 2).

б) (х – 2)(х + 2) + х(х + 7) ≤ 0; х² – 4 + х² + 7х ≤ 0; 2х² + 7х – 4 < 0; у функції

f(x) = 2х² + 7х – 4 а > 0 (а = 2); нулі: 2х² + 7х – 4 = 0;

х_1,2 = -7±49+324; x_1,2 = -7± 94; x₁ = –4; x₂ = 12, тоді маємо:

, звідки

в)( 4)(2х – 3) – (5х – 6)(х – 3) ≥ 10;

2х² + 8х – Зх – 12 – 5х² + 15х + 6х – 18 – 10 ≥ 0;

–Зх² + 26х – 40 ≥ 0; Зх² – 26х + 40 ≤ 0; у функції f(x) = Зх² – 26х +

+ 40 а > 0; нулі: Зх² – 26х + 40 = 0; х_1,2 = 13±169-1203;

х_1,2 = 13± 73;x₁ = 2; x₂ = 623; тоді x ∈ [2; 623].

г) (x – 4)(3х + 1) < (2х – 6)(х – 2) + 4;

Зх² + x – 12х – 4 < 2х² – 4х – 6х + 12 + 4;

х² – x – 20 < 0; у функції f(x) = х² – х – 20 а > 0; нулі: х² – х – 20 = 0; х = –4; x = 5, тоді маємо х ∈ (–4; 5).

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів.

а) (х² – Зх + 2)(х + 7) ≥ 0; розкладемо тричлен х² – Зх + 2 на множники: х² – Зх + 2 = 0; x = 1; x = 2; тоді x² – Зх + 2 = (х – 1)(х –

– 2).

Отже, (х – 1)(х – 2)(х + 7) ≥ 0; f(x) = (х – 1)(х – 2)(х + 7); її нулі: х =

= 1, х = 2; х = –7, які розбивають R на проміжки знакосталості f(x):

Визначимо знаки f(x) на них:

1) (–∞; –7); f(–10) = (–10 – 1)(–10 – 2)(–10 + 7) < 0;

2) (–7; 1); f(0) = (0 – 1)(0 – 2)(0 + 7) > 0;

3) (1; 2); f(1,5) = (1,5 – 1)(1,5 – 2)(1,5 + 7) < 0;

4) (2; +∞); f(3) = (З – 1)(3 – 2)(3 + 7) > 0.

Отже, (х² – Зх + 2)(х + 7) ≥ 0, якщо х ∈ [–7; 1] ∪ [2; +∞).

б) (х² – 16)(х² – 25) < 0; (x – 4)(х + 4)(х – 5)(х + 5) < 0;

f(x) = (х – 4)(х + 4)(х – 5)(х + 5) = 0; нулі: х = –5; х = –4; х = 4;

х = 5.

Проміжки: (–∞; –5 ), (–5; –4), (–4; 4), (4; 5), (5; +∞); знаки на проміжках:

1) (–∞; –5); f(–6) = (–6 – 4)(–6 + 4)(–6 – 5)(–6 + 5) > 0;

2) (–5; –4); f(–4,5) = (–4,5 – 4)(–4,5 + 4)(–4,5 – 5)(–4,5 + 5) < 0;

3) (–4 ; 4); f(0) = (0 – 4)(0 + 4)(0 – 5)(0 + 5) > 0;

4) (4; 5); f(4,5) = (4,5 – 4)(4,5 + 4)(4,5 – 5)(4,5 + 5) < 0;

5) (5; +∞); f(6) = (6 – 4)(6 + 4)(6 – 5)(6 + 5) > 0. Тоді (х² – 16)(x² –

– 25) < 0, x ∈ (–5; –4) ∪ (4; 5).

в) (х⁴ + х² + 1)(х – 1)(х + 3) < 0. Тричлен x⁴ + х² + 1 набуває лише додатних значень, оскільки D = b² – 4ас = 1 – 4 • 1 • 1 < 0, а а > 0. Тоді нерівність рівносильна нерівності (х – 1)(x + 3) < 0. f(x) = (х –

– 1)(x + 3); нулі: х = –3; x = 1; проміжки знакосталості: (–∞; –3),

(–3; 1), (1; +∞); знаки:

1) (–∞; –3); f(–4) = (–4 – 1)(–4 + 3) > 0;

2 )(–3; 1); f(0) = (0 – 1)(0 + 3) < 0;

3) (1; +∞); f(2) = (2 – 1)(2 + 3) > 0. Отже, х ∈ (–3; 1).

Відповідь: а) [–7; 1] ∪ [2; +∞); б) (–5; –4) ∪ (4; 5); в) (–3; 1).

499. Розв’яжіть нерівність методом інтервалів.

а) (x – 3)(х + 2)(х² + 4x + 5) ≤ 0; x² + 4x + 5 > 0;

оскільки D = 16 – 4 • 1 • 5 < 0, а > 0; тоді задана нерівність рівносильна нерівності (х – 3)(x + 2) ≤ 0; f(x) = (x – 3)(x + 2); нулі: х = –2; х = 3, проміжки знакосталості: (–∞; –2), (–2; 3), (3; +∞). Знаки f(x):

1) (–∞; –2); f(–3) = (–3 – 3)(–3 + 2) > 0;

2) (–2; 3); f(0) = (0 – 3)(0 + 2) < 0;

3) (3; +∞); f(4) = (4 – 3)(4 + 2) > 0.

Отже, (х – 3)(x + 2)(x² + 4x + 5) ≤ 0, якщо х ∈ [–2; 3].

б) (x² – 1)(х² – 5x + 6) ≤ 0. Розкладемо x² – 5х + 6: х² – 5х + 6 = 0;

х = 2; х = З, тоді х² – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3). Маємо: (х – 1)(x + 1)(x –

– 2)(x – 3) ≤ 0.

У f(x) = (х – 1)(х + 1)(x – 2)(х – 3) нулі: x = –1, x = 1, x = 2, x = 4; проміжки знакосталості і знаки f(x):

1) (–∞; –1); f(–2) = (–2 – 1)(–2 + 1)(–2 – 2)(–2 – 3) > 0;

2) (–1; 1); f(0) = (0 – 1)(0 + 1)(0 – 2)(0 – 3) < 0;

3) (1; 2); f(1,5) = (1,5 – 1)(1,5 + 1)(1,5 – 2)(1,5 – 3) > 0;

4) (2; 3); f(2,5) = (2,5 – 1)(2,5 + 1)(2,5 – 2)(2,5 – 3) < 0;

5) (3; +∞); f(4) = (4 – 1)(4 + 1)(4 – 2)(4 – 3) > 0.

Отже, (х² – 1)(х² – 5x + 6) ≤ 0, якщо x ∈ [–1; 1] ∪ [2; 3].

в) (x² – Зx – 4)(x² – 2x – 15) > 0. Розкладемо тричлени:

х² – Зx – 4 = 0; x = 4; х = –1; x² – Зx – 4 = (x – 4)(х + 1); х² – 2х –

– 15 = 0; х = 5; x = –3; х² – 2х – 15 = (х + 3)(х – 5). Маємо: (х +

+ 1)(х – 4) (х + 3)(х – 5) > 0.

f(х) = (х + 1)(х – 4)(х + 3)(х – 5), її нулі: х = –З, х = –1, х = 4, х = 5; проміжки знакосталості і знаки f(х):

(–∞; –3); f(–4) = (–4 + 1)(–4 – 4)(–4 + 3)(–4 – 5) > 0;

2) (–3; –1); f(–2) = (–2 + 1)(–2 – 4)(–2 + 3)(–2 – 5) < 0;

3) (–1; 4); f(0) = (0 + 1)(0 – 4)(0 + 3)(0 – 5) > 0;

4) (4; 5); f(4,5) = (4,5 + 1)(4,5 – 4)(4,5 + 3)(4,5 – 5) < 0;

5) (5;+∞); f(6) = (6 + 1)(6 – 4)(6 + 3)(6 – 5) > 0.

Отже, (х² – Зх – 4)(х² – 2х – 15) > 0, якщо х ∈ (–∞; –3) U (–1; 4) ∪ (5; +∞).

Відповідь: а) [–2; 3]; б) [–1; 1] ∪ [2; 3]; в) (–∞; –3) ∪ (–1; 4) ∪ (5; +∞).

500. Розв’яжіть нерівність методом інтервалів.

а) (х² – 1)(3х – 2x² + 5) ≥ 0.

Розкладемо тричлен Зх – 2х² + 5 = –2х² – Зх + 5; –2х² – Зх + 5 = 0;

2х² + Зх – 5 = 0; х_1,2 = -3± 9 + 404; x_1,2 = -3±74; х₁ = –2,5; х₂ = 1.

Тоді –2х= – Зх + 5 = –2(х + 2,5)(х – 1).

Тоді маємо: –2(х – 1)(х + 1)(х + 2,5)(х – 1) ≥ О, звідки

(x – 1)(х + 1)(х + 2,5)(х – 1) ≤ 0; (х – 1)²(х + 1)(х + 2,5) ≤ 0;

f(x) = (x – 1)²(х + 1)(х + 2,5); її нулі: х = –2,5; х = –1; х = 1;

проміжки знакосталості і знаки f(х):

1) (–∞; –2,5); f(–3) = (–3 – 1)²(–3 + 1)(–3 + 2,5) > 0;

2) (–2,5; –1); f(–2) = (–2 – 1)²(–2 + 1)(–2 + 2,5) < 0;

3) (–1; 1); f(0) = (0 – 1)²(2 + 1)(0 + 2,5) > 0;

4) (1; +∞); f(2) = (2 – 1)²(2 + 1)(2 + 2,5) > 0.

Маємо: (х – 1)²(х + 1)(х + 2,5) ≤ 0, якщо х ∈ [–2,5; 1].

Отже, (х – 1)²(3х – 2х² + 5) ≥ 0, якщо х ∈ [–2,5; 1].

6) (х² + Зх – 10)(4 – х²) < 0; (х² + Зх – 10)(4 – х²) > 0.

Розкладемо х² + Зх – 10: х² + Зх – 10 = 0; х = –5; х = 2.

Тоді х² + Зх – 10 = (х + 5)(х – 2). Тоді маємо: (х + 5)(x – 2)(х –

– 2)(х + 2) > 0; (х + 5)(х – 2)²(х + 2) > 0. f(x) = (х + 5)(х – 2)²( x +

+ 2); її нулі х = –5, х = –2, x = 2; проміжки знакосталості і знаки f(x):

1) (∞; –5); f(–6) = (–6 + 5)(–6 – 2)²(–6 + 2) > 0;

2) (–5; –2); f(–4) = (–4 + 5)(–4 – 2)²(–4 + 2) < 0;

3) (–2; 2); f(0) = (0 + 5)(0 – 2)²(0 + 2) > 0;

4) (2; +∞); f(З) = (З + 5)(3 – 2)²(3 + 2) > 0.

Тоді (х + 5)(х – 2)²(x + 2) >0, якщо x ∈ (–∞; –5) ∪ (–2; 2) ∪ (2; +∞).

Отже, (х² + Зх – 10)(4 – х²) < 0, якщо х ∈ (–∞; – 5) ∪ (–2; 2) ∪ (2; +∞).

в) (x² – 6х + 9)(x² – 9) > 0; (х – 3)²(х – 3)(x + 3) > 0; (х – 3)³(х +

+ 3) > 0; f(x) = (х – 3)³(x + 3); її нулі х = –3; х = 3; проміжки знакосталості і знаки f(x):

1) (–∞; –3); f(–4) = (–4 – 3)³(–4 + 3) > 0;

2) (–3; 3); f(0) = (0 – 3)³(0 + 3) < 0;

3) (3; +∞); f(4) = (4 – 3)³(4 + 3) > 0.

Тоді маємо: (х – 3)³(x + 3) > 0, якщо х ∈ (–∞; –3) ∪ (3; +∞).

Отже, (х² – 6x + 9)(x² – 9) > 0, якщо х ∈ (–∞; –3) ∪ (3; +∞).

Відповідь: а) [–2,5; 1]; б) (–∞; –5) ∪ (–2; 2) ∪ (2; +∞); в) (–∞; –3) ∪ (3; +∞).

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів.

3x2 + 5x - 8x2 + 2x - 3 ≤ 0 рівносильно (3x² + 5x – 8)(x² + 2x – 3) ≤ 0;

x² + 2x – 3 ≠ 0.

Розв’яжемо нерівність (3x² + 5x – 8)(x² + 2x – 3) ≤ 0, невраховуючи умову, що х² + 2х – 3 ≠ 0, тобто х ≠ –3, x ≠ 1.

Розкладемо 3x² + 5x – 8; 3x² + 5x – 8 = 0; x_1,2 = -5± 25 + 966;

x_1,2 = -5 ± 116; x₁ = –166 = –83 = –223; x₂ = 1. Tоді 3x² + 5x – 8 = 3(x +

+ 223)(x – 1); x² + 2x – 3. Розкладемо x² + 2x – 3 = 0; x = –3; x = 1, тоді х² + 2х – 3 = (х + 3)(х – 1). Отже, 3(х + 223)(х – 1)²(х + 3) ≤ 0.

f(x) = 3(x + 223)(x – 1)²(x + 3); x = –3; x = –223; x = 1;

проміжки знакосталості і знаки f(x):

(–∞; –3); f(–4) = (–4 + 223)(–4 – 1)²(–4 + 3) > 0;

(–3; –223); f(–256) = (–256 + 223)(–256 – 1)²(–256 + 3) < 0;

(–223; 1) f(0) = (0 + 223)(0 – 1)²(0 + 3) > 0;

(1; +∞); f(2) = (2 + 223)(2 – 1)²(2 + 3) > 0.

Тоді (х + 223)(х – 1)²(x + 3) ≤ 0, якщо х ∈ [–3; –223]. Ураховуючи умову, що х ≠ –3, х ≠ 1, маємо x ∈ (–3; –223]. Отже, 3x2 + 5x - 8x2 + 2x - 3 ≤ 0, якщо x ∈ (–3; –223].

б) 2x2 - 34x - 1 ≥ x2; 2x2 - 34x - 1 – x2 ≥ 0; 2(2x2 - 3) - x(4x - 1)2(4x - 1) ≥ 0;

4x2 - 6 - 4x2 + x2(4x - 1) ≥ 0; x - 68(x - 14) ≥ 0. Ця нерівність рівносильна

(х – 6)(х – 14) ≥ 0;

х – 14 ≠ 0.

Розв’яжемо (x – 6)(x – 14) ≥ 0 без урахування умови х – 14 ≠ 0; х ≠ 14.

f(x) = (x – 6)(x – 14), її нулі x = 14; x = 6; проміжки знакосталості і знаки f(x):

(–∞; 14); f(0) = (0 – 6)(0 – 14) > 0;

(14; 6); f(1) = (1 – 6)(1 – 14) < 0;

(6; +∞); f(7) = (7 – 6)(7 – 14) ≥ 0, якщо x ∈ (–∞; 14] ∪ [6; +∞).

Отже, 2x2 - 34x - 1 ≥ x2, якщо x ∈ (–∞; 14) ∪ [6; +∞).

в) 1 > 8 - 3x3x2 - 2x - 16; 8 - 3x3x2 - 2x - 16 – 1 < 0;

8 - 3x - (3x2 - 2x - 16)3x2 - 2x - 16 < 0; 8 - 3x - 3x2 + 2x + 163x2 - 2x - 16 < 0; 3x2 - x + 243x2 - 2x - 16 < 0; 3x2 + x - 243x2 - 2x - 16 > 0.

Ця нерівність рівносильна нерівності (3x² + x – 24)(3x² – 2x – 16) > 0.

Розкладемо многочлени на множники:

3x² + x – 24; 3x² + x – 24 = 0; x_1,2 = -1±1+2886; x_1,2 = -1±176;

x = –3; x = 166 = 83 = 223. Отже, 3x² + x – 24 = 3(x + 3)(x – 223).

3x² – 2x – 16; 3x² – 2x – 16 = 0; x_1,2 = 2± 4 + 1926; x_1,2 = 2 ± 146;

x = –2; x = 166 = 223. Отже, 3x² – 2x – 16 = 3(x + 2)(x – 223). Тоді 3(x +

+ 3)(x – 223) · 3(x + 2)(x – 223) > 0; 9(x + 3)(x + 2)(x – 223)² > 0;

(x + 3)(x + 2)(x – 223)² > 0. f(x) = (x + 3)(x + 2)(x – 223)²; її нулі

x = –3, x = –2, x = 223; проміжки знакосталості і знаки f(x):

(–∞; –3); f(–4) = (–4 + 3)(–4 + 2)(–4 – 223)² > 0;

(–3; –2); f(–2,5) = (–2,5 + 3)(–2,5 + 2)(–2,5 – 223)² < 0;

(–2; 223); f(0) = (0 + 3)(0 + 2)(0 – 223)² > 0;

(223; +∞); f(3) = (3 + 3)(3 + 2)(3 – 223)² > 0. Тоді (x + 3)(x + 2)(x –

– 223) > 0, якщо x ∈ (–∞; –3) ∪ (–2; 223) ∪ (223; +∞).

Отже, 1 > 8 - 3x3x2 - 2x - 16, якщо x ∈ (–∞; –3) ∪ (–2; 223) ∪ (223; +∞).

Відповідь: a) (–3; –223]; б) (–∞; 14) ∪ [6; +∞); в) (–∞; –3) ∪ (–2; 223) ∪ (223; +∞).

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів.

5x2 - 9x - 211x - 2 - 5x2 > 0 рівносильна (5x² – 9x – 2)(11x – 2 – 5x²) > 0;

(5x² – 9x – 2)(5x² – 11x + 2) < 0. Розкладемо многочлени на множники: 5x² – 9x – 2; 5x² – 9x – 2 = 0; x_1,2 = 9 ± 81 + 4010; x_1,2 =

= 9 ± 1110; x₁ = –15; x₂ = 1; 5x² – 9x – 2 = 5(x + 15)(x – 1);

5x² – 11x + 2; 5x² – 11x + 2 = 0; x_1,2 = 11± 121 - 4010; x_1,2 = 11 ± 910; x₁ = 15;

x₂ = 1; 5x² – 11x + 2 = 5(x – 15)(x – 1) · 5(x – 15)(x – 1) < 0;

25(x + 15)(x – 15)(x – 1)² <0; (x + 15)(x – 15)(x – 1)² < 0.

f(x) = (x + 15)(x – 15)(x – 1)²; її нулі x = –15; x = 15; x = 1;

проміжки знакосталості і знаки f(x):

(–∞; –15); f(–1) = (–1 + 15)(–1 –15)(–1 – 1)² > 0;

(–15; 15); f(0) = (0 + 15)(0 – 15) (0 – 1)² < 0;

(15; 1); f(12) = (12 + 15)(12 – 15)(12 – 1)² > 0;

(1; +∞); f(2) = (2 + 15)(2 – 15)(2 – 1)² > 0. Тоді (x + 15)(x – 15)(x –

–1)² < 0, а отже, 5x2 - 9x - 211x - 2 - 5x > 0, якщо x ∈ (–15; 15).

б) 4 > 4 - 3x3x2-x - 4; 4 - 3x3x2 - x - 4 – 4 < 0; 4 - 3x - 4(3x2 - x - 4)3x2 - x - 4 < 0;

4 - 3x - 12x2 + 4x + 163x2 - x - 4 < 0; -12x2 + x + 203x2 - x - 4 < 0; 12x2 - x - 203x2 - x - 4 > 0

рівносильна (12x² – x – 20)(3x² – x – 4) > 0.

12x² – x – 20; 12x² – x – 20 = 0; x_1,2 = 1± 1 + 96024; x_1,2 = 1 ± 3124;

x₁ = –3024 = –54 = –114; x₂ = 3224 = 43 = 113; 12x² – x – 20 = 12(x + 114)(x –

– 113). 3x² – x – 4; 3x² – x – 4 = 0; x_1,2 = 1±1 + 486; x_1,2 = 1 ±76;

x₁ = –1; x₂ = 86 = 113; 3x² – x – 4 = 3(x + 1)(x – 113). Тоді

12(x + 114)(x – 113) · 3(x + 1)(x – 113) > 0; 36(x + 114)(x – 113)²(x +

+ 1) > 0; (x + 114)(x – 113)²(x + 1) > 0. f(x) = (x + 114)(x – 113)²(x + 1); її нулі x = –114; x = –1; x = 113; проміжки знакосталості і знаки f(x):

(–∞; –114); f(–2) = (–2 + 114)(–2 – 113)²(–2 + 1) > 0;

(–114; –1); f(–1110) = (–1110 + 114)(–1110 – 113)²(–1110 + 1) < 0;

(–1; 113); f(0) = (0 + 114)(0 – 113)²(0 + 1) > 0;

(113; +∞4); f(2) = (2 + 114)(2 – 113)²(2 + 1) > 0. Тоді

(x + 114)(x – 113)²(x + 1) > 0, якщо x ∈ (–∞; –114) ∪ (–1; 113) ∪ (113; +∞).

Отже, 4 > 4 - 3x3x2 - x - 4, якщо x ∈ (–∞; –114) ∪ (–1; 113) ∪ (113; +∞).

в) x + 11 - x < 2x; x + 11 - x – 2x < 0; x + 1 - 2x(1 - x)1 - x < 0;

x + 1 - 2x + 2x21 - x < 0; 2x2 - x + 11 - x < 0.

2x² – x + 1 > 0, оскільки D = 1 – 4 · 2 · 1 < 0 i a < 0.

Тоді 1 – x < 0; x > 1; x ∈ (1; +∞).

Відповідь: (1; +∞).

При яких значеннях х значення функції у = 2х + 2 більше

за відповідне значення функції:

Складемо за умовою нерівність і розв’яжемо її:

а) 2x + 2 > x² – Зх – 4; x² – Зх – 2x – 4 – 2 < 0; x² – 5x – 6 < 0; а > 0; нулі: x² – 5х – 6 = 0; x = –1; x = 6.

Тоді , отже, х ∈ (–1; 6).

б) 2х + 2 > 4х² + 9х – 13; 4х² + 9х – 2х – 13 – 2 < 0; 4х² + 7х – 15 <

< 0; а > 0; нулі: 4х² + 7х – 15 = 0;

x_1,2 = -7± 49 + 1208; x_1,2 = -7 ± 178; x₁ = 68 = 34; x₂ = -208 = –2,5.

Знаки:

, тоді х ∈ (–2,5; 34).

Відповідь: a) (–1; 6); б) (–2,5; 34).

Знайдіть область визначення функції:

у = 8 + 7х - х2; 8 + 7х – х² ≥ 0; х² – 7х – 8 ≤ 0; а > 0; нулі:

х² – 7х – 8 = 0; х = 8; х = –1. Знаки:

, тоді х ∈ [–1; 8].

б) у = 3 - 5х - 2х2; 3 – 5х – 2х² ≥ 0; 2х² + 5х – 3 ≤ 0; а < 0;

нулі: 2х² + 5х – 3 = 0; х_1,2 = -5±25 + 244; х_1,2 = -5 ± 74; х₁ = –3;

x₁ = 12.

Знаки: ; тоді х ∈ [–3; 12].

в) y = x2 - 44 + x - 5x2; 4 + x – 5x² > 0; 5x² – x – 4 < 0; нулі: 5x² – x –

– 4 = 0;

x_1,2 = 1 ± 1 + 8010; x_1,2 = 1 ± 910; x₁ = –0,8; x₂ = 1.

Звідки: тоді x ∈ (–0,8; 1).

г) y = x2 - xx2 - 3x - 4; x² – x ≥ 0;

x² – 3x – 4 ≠ 0;

x² – x ≥ 0; x(x – 1) ≥ 0; a > 0; нулі: x = 0, x = 1;

знаки: ; х ∈ [0; 1];

х² – Зх – 4 ≠ 0. Знайдемо корені тричлена х² – Зх – 4: х² – Зх – 4 =

= 0; х = –1, x = 4. Отже, x ≠ –1, x ≠ 4. Тоді х ∈ [0; 1) — область визначення.

ґ) y = x3 - x2 - 25x + 25 – 5x2 + 6x + 9; y = x3 - x2 - 25x + 25 –

– 5(x + 3)2; y = x3 - x2 - 25x + 25 – 5|x + 3|;

x³ – x² – 25x + 25 ≥ 0;

x + 3 ≠ 0;

х²(х – 1) – 25(х – 1) ≥ 0; (х – 1)(x² – 25) ≥ 0; (х – 1)(х – 5)(х + 5) ≥ 0;

нулі: f(x) = (х – 1)(х – 5)(х + 5): х = –5; х = 1; х = 5; знаки на проміжках:

1) (–∞; –5); f(–6) = (–6 – 1)(–6 – 5)(–6 + 5) < 0;

2) (–5; 1); f(0) = (0 – 1)(0 – 5)(0 + 5) > 0;

3) (1; 5); f(2) = (2 – 1)(2 – 5)(2 + 5) < 0;

4) (5; +∞); f(6) = (6 – 1)(6 – 5)(6 + 5) > 0.

Отже, (х – 1)(х² – 25) ≥ 0, якщо х ∈ [–5; 1] ∪ (5; +∞).

Оскільки x + 3 ≠ 0, то x ≠ –3, тоді область визначення у: х ∈ [–5; –3), х ∈ [–3; 1], x ∈ [5; +∞).

При яких значеннях b не має розв’язків нерівність.

a) x² + 2bx + 1 < 0. О скільки a = 1 > 0, то нерівність не має розв’язків, якщо тричлен х² + 2bх + 1 не має коренів. Це можливо за умови, що у тричлена aх² + bх + с D = b² – 4ас ≤ 0.

Отже; (2b)² – 4 · 1 · 1 < 0; 4b² – 4 < 0; b² – 1 < 0; (b – 1)(b + 1) ≤ 0; нулі: b = ±1; знаки (рис.), оскільки a > 0; тоді b ∈ [–1; 1]. Отже, нерівність не має коренів, якщо b ∈ [–1; 1].

б) bx² + 6x + 1 > 0; D = 6² – 4 · b · 1 = 36 – 4b.

Нерівність не має розв’язків, якщо:

D ≤ 0; 36 – 4b ≤ 0; 4b ≤ 36; b ≥ 9;

b < 0; b < 0; b < 0; V < 0.

Отже, таких значень b не існує.

в) (b – 1)x² + 3b > 2bx; (b – 1)x² – 2bx + 3b > 0; D = (–2b)² – 4 · (b –

– 1) · 3b;

D ≤ 0; 4b² – (4b – 4) · 3b ≤ 0; 4b² – 12b² + 12b ≤ 0;

b – 1 < 0; b < 1; b < 1;

8b² – 12b ≥ 0; 8b(b – 2,5) ≥ 0; b(b – 2,5) ≥ 0;

b < 1; b < 1; b < 1.

У нерівності b(b – 2) ≥ 0 розв’язки:

нулі: 0; 2,5; a > 0; знаки (рис.): тоді b ∈ (–∞; 0] ∪ [2,5; +∞).

Якщо b < 1, то b ∈ (–∞; 0].

г) b(х² + 1) ≤ 2bх + 9; bx² + b – 2bx – 9 ≤ 0; bx² – 2bx + b – 9 ≤ 0;

D = (–2b)² – 4 • ft • (b – 9) = 4b² – 4b² + 36b = 36b.

Тоді D ≤ 0; 36b ≤ 0; b ≤ 0;

b > 0; b > 0; b > 0. Отже, таких значень b не існує.

Відповідь: а) [–1; 1]; б) не існує; в) (–∞; 0]; г) не існує.

При яких значеннях m кожне дійсне число задовольняє

нерівність:

а) x² – mx + 4 > 0. Оскільки a = 1 > 0, то розв’язками нерівності будуть будь–які числа х із множини R у випадку, якщо D = b² –

– 4ас ≤ 0. D = (–m)² – 4 • 1 • 4 = m² – 16 ≤ 0; (m – 4)(m + 4) ≤ 0;

m = –4; m = 4; знаки (рис.); тоді m ∈ [–4; 4]. Отже, якщо m ∈ [–4; 4], то у нерівності х² – mх + 4 > 0 x — будь–яке дійсне число.

б) x² – 6x + m ≥ 0; тоді D ≤ 0;

a > 0; D = 36 – 4m.

Тоді оскільки a = 1 > 0, то 36 – 4m ≤ 0;

4m ≥ 36; m ≥ 9; m ∈ [9; +∞).

в) mx² + m + 3 < 4x; mx² – 4x + (m + 3) < 0, тоді

D < 0;

a < 0; D = 16 – 4 · m · (m + 3) = 16 – 4m² – 12m.

Тоді 16 – 4m² – 12m < 0; 4m² + 12m – 16 > 0; m² + 3m – 4 > 0;

m < 0; m < 0; m < 0.

Для нерівновності m² + Зm – 4 > 0: а > 0; нулі m = –4, m = 1; знаки (рис.); отже, m ∈ (–∞; –4) ∪ (1; m). Оскільки за умовою m < 0, то

m ∈ (–∞; –4).

г) mx² + 4x + 2m < 1; mx² + 4x + 2m – 1 < 0, тоді D < 0;

a < 0;

D = 16 – 4 · m · (2m – 1) = 16 – 8m² + 4m.

Тоді 16 – 8m² + 4m < 0; –8m² + 4m + 16 < 0; 2m² – m – 4 > 0;

m < 0; m < 0; m < 0.

У нерівності 2m² – m – 4 > 0 a = 2 > 0; нулі: 2m² – m – 4 = 0;

m = 1 ± 1 + 324; m = 1 - 334; m = 1 + 334. Тоді m ∈ (–∞; 1 - 334) ∪ (1 + 334; +∞). За умови m < 0 маємо m ∈ (–∞; 1 - 334).

Відповідь: а) [–4; 4]; б) [9; +∞); в) (–∞; –4); г) (–∞; 1 - 334)

Розв’яжіть систему нерівностей.

x² – 4x < 0; x(x – 4) < 0;

x² – x – 6 ≥ 0; (x – 3)(x + 2) ≥ 0. Маємо: [3; 4).

б) 4x² – 1 > 0; 4(x² – 14) > 0;

2x² – 5x + 3 < 0; 2(x – 1)(x – 1,5) < 0;

(x – 12)(x + 12) > 0;

(x – 1)(x – 1,5) < 0.

(2x² = 5x + 3 = 0; x_1,2 = 5 ± 25 - 244;

x₁ = 1; x₂ = 1,5; тому 2x² – 5x + 3 = 2(x – 1)(x – 1,5). Тоді х ∈ (1; 1,5).

Відповідь: а) [3; 4]; б) (1; 1,5).

Розв’яжіть систему нерівностей.

а) x² – 3 > 2x; x² – 2x – 3 > 0; (x – 3)(x + 1) > 0;

x² + 28 ≥ 11x; x² – 11x + 28 ≥ 0; (x – 4)(x – 7) ≥ 0;

х² – 2х – 3 = (х – 3)(x + 1), оскільки х = –1, х = З — корені;

х² – 11x + 28 = (х – 4)(х – 7), оскільки x = 4, x = 7 — корені.

Тоді x ∈ (3; 4] ∪ [7; +∞).

б) 3x² + 1 > 4x; 3x² – 4x + 1 > 0; 3(x – 13)(x – 1) > 0;

3x² + 2 ≤ 5x; 3x² – 5x + 2 ≤ 0; 3(x – 23)(x – 1) ≤ 0;

3x² – 4x + 1 = 0; x_1,2 = 2 ± 4 - 33; x_1,2 = 2 ± 13; x₁ = 13; x₂ = 1;

3x² – 5x + 2 = 0; x_1,2 = 5 ± 25 - 246; x_1,2 = 5 ± 16; x₁ = 23; x₂ = 1.

Отже, спільних розв’язків нерівностей немає, тому система не має розв’язків.

Відповідь: а) (3; 4] ∪ [7; +∞); б) ∅.

Розв’яжіть подвійну нерівність:

а) 0 < х² – 5х < 6 рівносильно системі

х² – 5х > 0; х² – 5х > 0; x(x – 5) > 0;

x² – 5х < 6; x² – 5x – 6 < 0; (x – 6)(x + 1) < 0;

(х² – 5х – 6 = 0; x = 6; x = –1).

Тоді x ∈ (–1; 0) ∪ (5; 6).

б) 1 < x² + 2 < Зx рівносильно системі

x² + 2 > 1; x² + 1 > 0; x² + 1 > 0;

x² + 2 < 3x; x² – 3x + 2 < 0; (x – 2)(x – 1) < 0;

рівносильно нерівності (х – 2)(х – 1) < 0, оскільки x² + 1 > 0 для будь–якого x. Тоді (рис.) і x ∈ (1; 2).

в) x < 2х + З < х² рівносильно системі

2х + 3 > х; x + 3 > 0; х > –3;

2х + 3 < х²; x² – 2x – З > 0; (х – 3)(x + 1) > 0;

отже, x ∈ (–3; –1) ∪ (3; +∞).

г) З < x² – 2x + З < x² рівносильно системі

x² – 2x + З > 3; x² – 2х > 0; х(х – 2) > 0;

x² – 2x + З < x²; –2x + 3 < 0; х > 1,5;

отже, x ∈ (2; +∞).

Відповідь: а) (–1; 0) ∪ (5; 6); б) (1; 2); в) (–3; –1) ∪ (3; +∞); г) (2; +∞).

Розв’яжіть графічно нерівність:

а) х² < x + 2; y₁ = x²; у₂ = х + 2;

графік у₁ — парабола, вершина (0; 0), а = 1; у₂ — пряма, що проходить через точки (0; 2), (–2; 0).

Графік y₁ вище графіка у₂ при х ∈ (–∞; –1) і x ∈ (2; –∞).

Отже, x² < x + 2 при х ∈ (–∞; –1) ∪ (2; +∞).

б) (х – 2)² ≥ |x|; у1 = (х – 2)² — парабола з вершиною в точці x = 2, а = 1; у₂ = |x|.

Графік y₁ не нижче графіка у₂ при х ∈ (–∞; 1] та x ∈ [4; +∞).

Отже, (х – 2)² ≥ x при x ∈ (–∞; 1] ∪ [4; +∞).

в) 2х² < 1 + x; у₁ = 2х² — парабола з вершиною (0; 0) і а = 2;

y₁ = 1 + x — графік у = x, піднятий на 1 по Оу. Оскільки область визначення y₂ = 1 + x, то розглянемо тільки x ≥ 0.

Графік y₁ нижче у₂ при х ∈ [0; 1).

Отже, 2х² < 1 + x при x ∈ [0; 1).

г) x² – 3,5x ≥ x; y₁ = x² – 3,5x — парабола, вершина m = 3,52 = 1,75;

n = (1,75)² – 3,5 · 1,75 = 1,75 · (1,75 – 3,5) = –1,75² = –4916 = –З116;

а = 1; y₂ = x, x ≥ 0. Розглянемо при x ≥ 0, тому графік у₁ не нижче у₂ при х ∈ [4; +∞).

Отже, х² – 3,5х ≥ x при x ∈ [4; +∞).

Зауваження. Абсцису точки перетину графіків можна знайти, склавши і розв’язавши рівняння x² – 3,5x = x; (х² – 3,5х)² = x;

x⁴ – 7x³ + 12,25x² – x = 0.

Побудуйте графік рівняння:

а) x + 2у = 0; у = –12х — пряма пропорційність, графік — пряма, щ0 проходить через точки (0; 0), (–2; 1). Є графіком функції.

б) ху = 12; у = 12х — обернена пропорційність. Є графіком функції, графік — гіпербола в І і III чвертях.

в) х² + у² = 9. Рівняння кола з радіусом З і центром в точці (0; 0). Не є графіком функції, оскільки кожному значенню х відповідає одне або два значення у.

г) х² – у = 2; у = х² – 2 — квадратична функція. Графік — парабола з вершиною в точці (0; –2) і коефіцієнтом а = 1.

ґ) у + x = 1; y = 1 – x. Графік є графіком піднятого на 1 по Оу графіка y₁ = x, симетрично відображеного відносно Оу. Є графіком функції.

д) y + 1 = (x + 1)³; у = (х + 1)³ – 1. Графік є графіком у₁ = х³, переміщеним вліво на 1 по Ох і піднятим на 1 по Оу. Є графком функції. Виконайте побудови.

Розв’яжіть графічно систему рівнянь.

а) у + х = 1; у = 1 – х;

y + x² =1; y = 1 – x².

Тоді побудуємо у₁ = 1 – x (пряма, що проходить через точки (0; 1) і (1; 0)) та у₂ = 1 – х₂ – (парабола у = х₂, симетрично відображена

відносно Ох і піднята на 1 по Оу). Точки перетину графіків А(0; 1) і В(1; 0). Тоді розв’язки системи рівнянь (0; 1), (1; 0).

б) 8y = x²; y = 18x²;

y – x = 0; y = x

Побудуємо графіки y₁ = 18x²; у₂ = x при x ≥ 0, оскільки x має зміст при x ≥ 0.

Точки перетину графіків А(0; 0) і В(4; 2).

Отже, розв’язки системи (0; 0) і (4; 2).

в) xy = 6; y = 6x;

y + 2 = 0; y = –2.

Будуємо графіки у₁= 6х (x ≠ 0), y₂ = –2.

x	–3	–2	–1	1	2	3
y	–2	–3	–6	6	3	2

Точка перетину графіків А (–3; –2).

Отже, розв’язки системи (–3; 2).

Відповідь: а) (0; 1), (1; 0); б) (0; 0), (4; 2); в) (–3; 2).

Розв’яжіть графічно систему рівнянь.

x² + y² = 18;

x – y = 0.

х² + y² = 18 — коло з центром у початку координат, яке проходить

через точку з координатами (3; 3), x – у = 0 — пряма у = х, для побудови якої достатньо дво точок. Графіки рівнянь перетинаються в точках з координатами (3; 3) і (–3; –3), які і є розв’язками системи.

Відповідь: (3; 3) і (–3; –3).

б) x² + y² = 1,

x + y = 1;

х² + у³ = 1 — коло радіусів r = 1 з центром у початку координат, х +

+ у = 1 — пряма у = 1 – х, для побудови якої достатньо двох точок:

якщо x = 0, то у = 1; якщо x = 1, то y = 0. Графіки рівнянь перетинаються в точках з координатами (0; 1) і (1; 0), які є розв’язками системи.

Відповідь: (0; 1) і (1; 0).

в) xy = 16,

х – у = 0;

xy = 16 – гіпербола у = 16x, для побудови вітки графіка при додатних х складемо таблицю.

x	1	2	4	8	10
y	16	8	4	2	1

Вітка гіперболи при від’ємних х буде симетричною першій відносно початку координат. x – у = 0 — пряма у = x, для побудови якої достатньо двох точок. Графіки рівнянь перетинаються в точках з координатами (4; 4) і (–4; –4), які і є розв’язками системи.

Відповідь: (4; 4) і (–4; –4).

Розв’яжіть графічно систему рівнянь.

y² = х.

у = х².

Для побудови графіка у² = х складемо таблицю.

y	–2	–1	0	1	2
x	4	1	0	1	4

Для побудови параболи у = х² складемо таблицю.

y	–2	–1	0	1	2
x	4	1	0	1	4

Точки перетину графіків мають координати (0; 0) і (1; 1), які і є розв’язками системи.

Відповідь: (0; 0) і (1; 1).

б) х – у² = 0, y² = х,

у – 2 = х; у = x + 2.

Параболу у² = х будуємо, скориставшись таблицею прикладу а). Для побудови прямої у = х + 2 достатньо двох точок: якщо х = 0, то у =

= 2; якщо х = –2, то у = 0. Графіки рівнянь не перетинаються, тобто

система не має розв’язків.

Відповідь: немає розв’язків.

в) xy – 8 = 0, y = 8x,

х² – у = 0; y = x².

у = 8x — для побудови вітки графіка при додатних x складемо таблицю.

x	1	2	4	8
y	8	4	2	1

Вітка гіперболи при від’ємних х буде симетричною першій відносно початку координат. Для побудови параболи у = х² складемо таблицю.

x	–2	–1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

Точка перетину графіків має координати (2; 4), які і є розв’язком системи.

Відповідь: (2; 4).

Розв’яжіть графічно систему рівнянь.

x² + y² = 25;

x² – y = 5;

x² + у² = 25 — коло з радіусом 5 і центром (0; 0);

у = x² – 5 — парабола.

Точки перетину графіків A (–3; 4), В(3; 4), С(0; –5).

Отже, розв’язки системи (–3; 4), (3; 4), (0; –5).

б) х² + у² = 18; — коло з радіусом 32 і центром (0; 0);

ху = 9; – гіпербола.

Точки перетину графіків А (–3; –3), В(3; 3).

Розв’язки системи (–3; –3), (3; 3).

в) x² + у² = 4; х² + у² = 4 — коло з R = 2 і центром (0; 0);

у – 2 = х; y = х + 2 — пряма.

Точки перетину A(–2; 0), В(1; 3).

Розв’язки системи (–2; 0), (1; 3).

Відповідь: а) (–3; 4), (3; 4), (0; –5) б) (–3; –3), (3; 3); в) (–2; 0),

(1; 3).

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки.

x – y = 3; x = 3 + y; x = 3 + y;

x² + y² = 9; (3 + y)² + y² = 9; 9 + 6y + 2y² = 9;

x = 3 + y; x = 3 + y; x = 3 – y; x = 3 + y;

2y² + 6y = 0; 2y(y + 3) = 0; тоді y = 0; або x = –3;

x = 3; x = 0

звідки y = 0; або y = –3.

Отже, розв’язки: (3; 0), (0; –3).

б) x – y = 3; x = 3 + y; x = 3 + y; x = 3 + y;

xy = 4; (3 + y)y = 4; y² + 3y – 4 = 0; тоді у = –4; або

x = 3 + y; x = –1; x = 4;

y = 1; звідки у = –4; або у = 1. Отже, розвязки: (–1; –4);

(4; 1).

в) xy – 2y = 4; x(x – 2) – 2(x – 2) = 4; x² – 2x – 2x + 4 = 4;

y = x – 2; y = x – 2; y = x – 2;

x² – 4x = 0; x(x – 4) = 0; x = 0; x = 0;

y = x – 2; y = x – 2; тоді y = x – 2; або y = х – 2;звідки

х = 0; x = 4;

у = –2; або y = 2. Отже, розв’язки (0; –2); (4; 2).

г) 3x + 4y = 8; 3x = 8 – 4y; 3x = 8 – 4y; 3x = 8 – 4y;

xy = 1; 3x = 3; (8 – 4y)y = 3; 8y – 4y² – 3 = 0;

3x = 8 – 4y;

4y² – 8y + 3 = 0.

Розв’яжемо рівняння 4y² – 8y + 3 = 0; y_1,2 = 4± 16 - 124;

y_1,2 = 4 ± 24; y₁ = 12; y₂ = 23. Отже, розв’язки: (2; 12), (23; 32).

Відповідь: а) (3; 0), (0; –3); б) (–1; –4), (4; 1); в) (0; –2) , (4; 2);

г) (2; 12), (23; 32).

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки.

x² + y² = 100,

x – 6 = 0;

х = 6; у² + 6² = 100; у² = 100 – 36; у² = 64; y₁ = –8; у₂ = 8.

Відповідь: (6; –8) і (6; 8).

б) x² + y² = 4,

x + 1 = 0;

x = –1; (–1)² + у² = 4; у² = З; y₁ = –3; y₂ = 3.

Відповідь: (–1; –3) і (1; 3).

в) x – y = 3, x = y + 3,

xy + 2 = 0; (y + 3)y + 2 = 0;

(y + 3)y + 2 = 0; y² + 3y + 2 = 0; D = 9 – 8 = 1;

y₁ = -3 -12 = –2; y₂ = -3 + 12 = –1; x₁ = –2 + 3 = 1; x₂ = –1 + 3 = 2.

Відповідь: (1; –2), (2; –1).

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки.

а) 3x + y = 7,

x – 2y² = 2;

x = 2 + 2y²; 3(2 + 2y²) + y = 7; 6 + 6y² + y – 7 = 0; 6y² + y – 1 = 0;

D = 1 + 24 = 25; y₁ = -1 -2512 = –12; y₂ = -1 + 2512 = 13;

x₁ = 2 + 2 · (–12)² = 52; x₂ = 2 + 2 · (13)² = 209.

Відповідь: (52; –12) і (209; 13).

б) 2x – у = 8,

2х² – у² =32;

у = 2х – 8; 2x² – (2х – 8)² = 32; 2х² – 4х² + 32х – 64 – 32 = 0;

–2x² + 32х – 96 = 0; х² – 16х + 48 = 0; D = 256 – 192 = 64;

х₁ = 16 - 642 = 4; x₂ = 16 + 642 = 12; y₁ = 2 • 4 – 8 = 0; y₂ = 2 •

• 12 – 8 = 16.

Відповідь: (4; 0), (12; 16).

Розв’яжіть систему рівнянь способом алгебраїчного додавання.

х + у – ху = –23;

x – y + xy = 49. Складемо почленно рівняння, звідки 2х = 26;

х = 13. Підставимо в перше рівняння: 13 + y – 13y = –23; –12y = –36;

y = 3. Отже, х = 13, у = 3 або (13; 3).

б) x² + xy = 15;

y² + xy = 10. Замість першого рівняння в системі запишемо суму рівнянь:

x² + 2xy + y² = 25; (x + y)² = 25; x + y = 5;

y² + xy = 10; y(y + x) = 10; y(y + x) = 10; або

x + y = –5; x + y = 5; x + y = –5;

y(y + x) = 10; тоді у · 5 = 10; або у · (–5) = 10; звідки

х + у = 5; х + у = –5;

у = 2; або у = –2.

Тоді x = 3; x = –3;

y = 2; або y = –2.

Отже, розв’язки: (3; 2), (–3; –2).

в) x² + y² = 10; x² + y² = 10;

(x – y)(x + y) = 8; x² – y² = 8.

Замість першого рівняння запишемо суму рівнянь, а замість другого — різницю.

2x² = 18; x² = 9; Тоді x = 3; або x = 3; або x = –3; або

2y² = 2; y² = 1; y = 1; y = –1; y = 1;

x = –3;

y = –1.

Отже, розв’язки: (3; 1); (–3; –1); (3; –1); (–3; 1).

г) x² + y² = 25; 2x² = 30; x² = 15;

x² – y² = 5; 2y² = 20; y² = 10.

Тоді x = 15; або x = 15; або x = –15; або x = –15;

y = 10; y = –10; y = 10; y = –10.

Отже, розв’язки: (15; 10); (15; –10); (–15; 10); (–15; –10).

Розв’яжіть систему рівнянь способом алгебраїчного додавання.

x² + y² = 41; x² + y² = 41;

xy = 2; | · 2 2xy = 40.

Запишемо замість першого рівняння їх суму:

x² + 2xy + y² = 81; (x + y)² = 81; x + y = 9; x + y = –9;

xy = 20; xy = 20; xy = 20; або xy = 20.

Розв’яжемо кожну систему окремо.

x + y = 9; x = 9 – y; x = 9 – y; x = 9 – y;

xy = 20; (9 – y)y = 20; 9y – y² – 20 = 0; y² – 9y + 20 = 0;

звідки x = 9 – y; або x = 9 – y; тоді х = 4; або х = 5;

у = 5; у = 4; у = 5; у = 4.

Отже, (4; 5), (5; 4).

x + y = –9; x = –0 – y; x = –9 – y; x = –9 – y;

xy = 20; xy = 20; (–9 – y)y = 20; –9y – y² – 20 = 0;

x = –9 – y; звідки x = –9 – y; або x = –9 –y; тоді x = –4; або

y² + 9y + 20 = 0; y = –5; y = –4; y = –5;

x = –5;

y = –4.

Отже, (–4 ; –5 ), (–5 ; –4 ).

Маємо розв’язки заданої системи (4; 5), (5; 4), (–4; –5), (–5; –4).

в) х² – 2 = ху,

у² +1 = ху.

Замість першого рівняння запишемо різницю рівнянь, а замість другого – суму.

x² – y² – 3 = 0; x² – y² = 3; (x – y)(x + y) = 3;

x² + y² – 1 = 2xy; x² – 2xy + y² = 1; (x – y)² = 1; тоді:

(x – y)(x + y) = 3; 1 · (x + y) = 3; x + y = 3; 2x = 4; x = 2;

x – y = 1; x – y = 1; x – y = 1; 2y = 2; y = 1.

(x – y)(x + y) = 3; –1 · (x + y) = 3; x + y = –3; 2x = –4;

x – y = –1; x – y = –1; x – y = –1; 2y = –2;

x = –2;

y = –1.

Отже, розв’язки (2; 1), (–2; –1).

г) x + y = 5xy; x + y = 5xy; –4x + 6y = 0; 6y = 4x;

x – y = xy; | · (–5) –5x + 5y = –5xy; x + y = 5xy; x + y = 5xy;

y = 23x; y = 23x; y = 23x; y = 23x; звідки

23x + x = 5x · 23x; 53x = 103x²; 103x² – 53x = 0; 53x(2x – 1) = 0;

y = 23x; тоді y = 0; Або y = 23x; y = 23x; y = 23 · 12; x =12;

x = 0; x = 0. 2x – 1 = 0; x = 12; x = 12; y = 13.

Отже, розв’язки (0; 0); (12; 13).

Розв’яжіть системи рівнянь:

а) x + y = 10; x = 10 – y; x = 10 – y;

x² + y² = 68; (10 – y)² + y² = 68; 100 – 20y + y² + y² = 68;

x = 10 – y; x = 10 – y;

2y² – 20y + 32 = 0; y² = 10y + 16 = 0; тоді

1) x = 10 – y; x = 8; 2) x = 10 – y; x = 2;

y = 2; y = 2; або у = 8; у = 8.

Розв’язки системи (2; 8); (8; 2).

б) x + y = 20; x + y = 20; x + y = 20; x + y = 20;

x² – y² = 80; (x – y)(x + y) = 80; (x – y) · 20 = 80; x – y = 4;

2x = 24; x = 12;

2y = 16; y = 8.

Розв’язки системи (12; 8).

Розв’ яжіть системи рівнянь:

а) xy – y = 42; x = 2 + y; x = 2 + y;

x – y = 2; (2 + y)y – y = 42; 2y + y² – y = 42;

x = 2 + y; тоді 1) x = 2 + y; x = –5; або 2) x = 2 + y;

y² + y – 42 = 0; y = –7; y = –7; y = 6;

x = 8;

y = 6. Отже, розв’язки (–5; –7); (8; 6).

б) xy – x = 40; y = x – 2; y = x – 2;

x – y = 2; x(x – 2) – x = 40; x² – 2x – x – 40 = 0;

y = x – 2; тоді 1) y = x – 2; y = –7; або 2) y = x – 2;

x² – 3x – 40 = 0; х = –5; х = –5; x = 8;

x = 8;

y = 6. Отже, розв’язки (–5; –7); (8; 6).

Розв’яжіть системи рівнянь:

а) x + y = 10; y = 10 – x;

x(x – y) = 24y; x(x – 10 + x) = 24(10 – x);

y = 10 – x; y = 10 – x; y = 10 – x;

2x² – 10x – 240 + 24x = 0; 2x² + 14x – 240 = 0; x² + 7x – 120 = 0.

Тоді 1) y = 10 – x; y = 25; або 2) y = 10 – x; y = 2;

x = –15; x = –15; x = 8; x = 8.

Отже, розв’язки (–15; 25); (8; 2).

б) x + y = 10; y = 10 – x; y = 10 – x; тоді

x² = 32y; x² = 32(10 – x); x² + 32x – 320 = 0;

y = 10 – x; x = 50; або 2) y = 10 – x; y = 2;

x = –40; x = –40; x = 8; x = 8.

Отже, розв’язки (–40; 50); (8; 2).

533. Побудуйте графік рівняння:

а) у² – x = 1; у² = x + 1. Об’єднання прямих у = х + 1 і у = –(х + 1). Ні, не функція.

б) х² + у² = 9. Коло з центром (0; 0) і радіусом 3. Ні, не функція.

в) (х – 1)² + (у + 3)² = 1. Коло з центром (1; –3 ) і радіусом 1. Ні.

г) х² + у² – 2х = 3; y² = –х² + 2х + 3.

Об’єднання графіків у = –х² + 2х + З і y = –(–х² + 2х + 3). Ні.

y = –х² + 2х + 3; вершина m = -2-2 = 1; n = –1² + 2 · 1 + 3 = 4;

(1; 4), а = –1; нулі: –х² + 2х + З = 0; х² – 2х – З = 0; x = 3; x = –1.

2) y = –(–x² + 2x + 3): y = x² – 2x – 3; вершина m = 22 = 1; n = 1² –

– 2 – З = –4; (1; –4); нулі: х = З, х = –1, а = 1. Ні.

ґ) х² – у² = 0; у² = х². Об’єднання парабол у = х² і у = –х². Ні.

д) x² + 1 + y² – 2у = 0; х² + y² – 2y + 1 = 0; х² + (у – 1)² = 0.

Це можливо, якщо x = 0, у = 1, отже, точка (0; 1). Виконайте побудови.

534. Розв’яжіть графічно систему рівнянь.

а) y = 6x – x² – 7;

y = |x| – 1.

Побудуємо у = –x² + 6х – 7 — параболу з вершиною m = -6-2 = 3;

n = – 9 + 6 · З – 7 = 2; (3; 2); вітки вниз, а = 1;

додаткові точки (0; –7), (1; –2).

у = |x| – 1 — графік у = |х| переміщено на 1 вниз по Оу.

Точки перетину A(2; 1), В(3; 2).

Отже, розв’язки (2; 1), (3; 2).

б) у = х² – 2х – 1; — парабола;

y = 3x + 1;

у = x² – 2х + 1 – 1 – 1;

у = (х – 1)² – 2; — гіпербола.

Точка перетину A(3; 2).

Отже, розв’язки системи (3; 2).

Відповідь: а) (2; 1), (3; 2); б) (3; 2).

536. Розв’яжіть графічно систему рівнянь.

а) х² + у² = 32; x² + y² = 32; — коло з центром (0; 0),

|х| – у = 0; y = |x|;

R = 42.

Точки перетину А (–4; 4) і В(4; 4).

Отже, розв’язки (–4; 4), (4; 4).

б) х² – у = 0; у = х² — парабола,

|x| – y = 0; y = |х|.

вершина (0; 0)

Точки перетину А (–1; 1); В(1; 1).

Отже, розв’язки (–1; 1), (1; 1).

Відповідь: а) (–4; 4), (4; 4); б) (–1; 1), (1; 1).

537. Розв’яжіть систему рівнянь.

a) x² – ху = 3,36,

Зx + y = 2;

у = 2 – Зх; х² – x(2 – Зх) = 3,36; х² – 2х + Зх² = 3,36;

4х² – 2х – 3,36 = 0; 2х² – х – 1,68 = 0;

D = 1 + 13,44 = 14,44; D = 14,44 = 3,8;

1 = 1 + 3,84 = 1,2; x₂ = 1 - 3,84 = –0,7; y₁ = 2 – 3 · 1,2 = –1,6;

y₂ = 2 – 3 · (–0,7) = 4,1.

Відповідь: (1,2; –1,6) i (–0,7; 4,1).

б) x² – y² = 2,

3x + y = –4; y = –(4 + 3x); x² – (4 + 3x)² = 2; x² – 16 – 24x – 9x² –

– 2 = 0; –8x² – 24x – 18 = 0; 4x² + 12x + 9 = 0; D = 144 – 144 = 0;

x = –128 = –32'; y = –(4 + 3 · (–32)) = –(8 - 92) = 12.

Відповідь: (–32; 12).

в) x² + y² = 25, x² + y² = 25.

(x – 8)(x – 3) = 0; x₁ = 8; x₂ = З

1) 9 + у² = 25; у² = 16; y₁ = 4; y₂ = –4;

2) 64 + y² = 25; у² = 25 – 64; у² = –39 — рівняння не має розв’язків.

Відповідь: (3; 4) і (3; –4), Примітка: у підручнику подано неповну відповідь.

г) х² – у² = 50,

х(у + 1) = 0; x(y + 1) = 0 або у + 1 = 0; x = 0 або у = –1;

1) 0² – у² = 50; у² = –50 – рівняння нe має розв’язку;

2) x² – (–1)² = 50; х² = 51; х₁ = 51; х₂ = –51.

Відповідь: (51; –1) i (–51; –1).

538. Розв’яжіть систему рівнянь.

a) x + y = 8,

1x + 1y = 43;

x + y = 8,

y + xxy = 43; 8xy = 43; x ≠ 0 i y ≠ 0; 4xy = 24; xy = 6;

x + y = 8, x = 8 – y,

xy = 6; y(8 – y) = 6;

8y – y² – 6 = 0; y² – 8y + 6 = 0; D = 64 – 24 = 40; y₁ = 8 + 2102 =

= 4 + 10; y₂ = 8 - 2102 = 4 – 10; x₁ = 8 – 4 – 10 = 4 – 10; x₂ =

= 8 – 4 + 10 = 4 + 10.

Відповідь: (–4 – 10; 4 + 10) і (4 + 10; 4 – 10).

б) 2x – y = 0. y = 2x,

1x – 1y = 16; y - xxy = 16; x ≠ 0 i y ≠ 0; 1y = 16; y = 6; 6 = 2x; x = 3.

Відповідь: (3; 6).

539. Розв’яжіть систему рівнянь.

a) xy – x – y = 7;

xy + x – y = 13. Віднімемо від другого перше рівняння:

2x = 6; x = 3; x = 3; x = 3;

xy – x – y = 7; 3y – 3 – y = 7; 2y = 10; y = 5.

Відповідь: (3; 5).

б) x + y + xy = 5;

x + y – xy = 4. Додамо і віднімемо від першого рівняння друге:

2x + 2y = 9; x + y = 4,5; x = 4,5 – y; x = 4,5 – y;

2xy = 1; xy = 0,5; (4,5 – y)y = 0,5; y² – 4,5y + 0,5 = 0.

Тоді

1) x = 4,5 – y; x = 9 + 734; або 2) x = 4,5 – y; x = 9 - 734;

y = 9 - 734; y = 9 - 734; y = 9 + 734; y = 9 + 734.

Розв’язки (9 + 734; 9 -73 4), (9 - 734; 9 + 734).

в) xy + yx = 3415; x2 + y2xy = 3415; 34xy = 3415; xy = 15 | · 2;

x² + y² = 34; x² + y² = 34; x² + y² = 34; x² + y² = 34;

2xy = 30; xy = 15;

x² + 2xy + y² = 64; (x + y)² = 64; тоді:

1) xy = 15; x = 8 – y; x = 8 – y; x = 8 – y;

x + y = 8; (8 – y)y = 15; y² – 8y + 15 = 0; тоді y = 3;

x = 5; x = 8 – y; x = 3;

y = 3; або y = 5; y = 5.

Розв’язки (5; 3), (3; 5).

2) xy = 15; x = –8 – y; x = –8 – y; x = –8 – y;

x + y = –8; (–8 – y)y = 15; –8y² – y² – 15 = 0; –y² + 8y + 15 = 0

тоді x = –8 – y; x = –5; або x = –8 – y; x = –3;

y = –3; y = –3; y = –5; y = –5.

Розв’язки (–5; –3), (–3; –5). Розв’язки заданої системи:

(5; 3), (3; 5), (–5; –3), (–3; –5).

540. Розв’яжіть систему рівнянь.

a) x² + 2y² = 3; x² + 2y² = 3; x² + 2(2 – x) = 3;

x + y² = 2; y² = 2 – x; y² = 2 – x;

x² – 2x + 4 – 3 = 0; x² – 2x + 1 = 0; (x – 1)² = 0; x – 1 = 0;

y² = 2 – x; y² = 2 – x; y² = 2 – x; y² = 2 – x;

x = 1; x = 1; x = 1; x = 1;

y² = 2 – 1; y = ±1; тоді y = 1; або y = –1.

Отже, розв’язки (1; 1); (1; –1).

в) x² – xy = 0; xy = x²; 4y = x · xy; 4y = x · x²;

x²y – 4y = 0; 4y = x²y; xy = x²; xy = x²;

4y = x³; y = x34.

Підставимо в x² – xy = 0, тоді x² – x · x34 = 0; 4x² – x⁴ = 0; x²(4 – x²) =

= 0; або 4 – x² = 0; звідки х = ±2. Отже, якщо х = 0, то у = 04 = 0;

(0; 0); якщо х = 2, то у = 234 = 2; (2; 2); якщо х = –2, то y = (-2)34 =

= –2; (–2; –2).

Розв’язки системи (0; 0); (2; 2); (–2; –2).

541. Розв’яжіть системи рівнянь з праць відомих авторів.

a) x + y = 10; y = 10 – x; y = 10 – x; y = 10 – x;

x² = 4xy; x² = 4x(10 – x); x² = 40x – 4x²; 5x² – 40x = 0;

y = 10 – x; тоді 1) y = 20 – x; y = 10; або 2) y = 10 – x;

5x(x – 8) = 0; x = 0; x = 0; x = 8;

y = 2;

x = 8.

Розв’язки системи (0; 10); (8; 2).

б) x + y = 10; x = 10 – y; x = 10 – y;

yx + xy = 216; y2 + x2xy = 136; 6(y² + x²) = 13xy;

x = 10 – y; x = 10 – y;

6(y² + (10 – y)²) = 13y(10 – y); 6(y² + 100 – 20y + y²) = 130y – 13y²;

12у² + 600 – 120у – 130у + 13y² = 0; 25у² – 250y + 600 = 0; у² – 10у + 24 = 0; у₁ = 6; у₂ = 4. Тоді x₁ = 10 – 6 = 4; x₂ = 10 – 4 = 6. Отже, маємо (4; 6), (6; 4).

Відповідь: а) (0; 10); (8; 2); б) (4; 6), (6; 4).

542. Розв’яжіть системи рівнянь з праць відомих авторів.

a) x + y = 12; x = 12 – y; x = 12 – y; x = 12 – y;

xyx - y = 412; xyx - y = 92; 2xy = 9(x – y); 2y(12 – y) = 9(12–y–y);

2у(12 – у) = 9(12 – 2y); 24у – 2у² = 108 – 18y; 2у² – 42у + 108 = 0;

y² – 21у + 54 = 0; звідки у₁ = 18; у₂ = З, тоді х₁ = 12 – 18 = –6;

х₂ = 12 – З = 8. Отже, (–6; 18), (8; 3),

б) x + y = 10; x + y = 10; x = 10 – y;

(xy + 10)(yx + 10) = 12223; 10(x2 + y2)xy = 653; 30(x² + y²) = 65xy;

30((10 – у)² + у²) = 65y(10 – у); 30(100 – 20y + у² + у²) = 650у –65у²;

60y² – 600у + 3000 – 650у + 65у² = 0; 125у² – 1250у + 3000 = 0;

у² – 10у + 24 = 0; у₁ = 6; у₂ = 4; тоді х₁ = 10 – 6 = 4; х₂ = 10 – 4 =

= 6. Отже, (4; 6), (6; 4).

Відповідь: а) (–6; 18), (8; 3); б) (4; 6), (6; 4).

544. Розв’яжіть систему рівнянь.

a) x² + y² = 2;

y² + x = 2. Віднімемо від першого рівняння друге:

x² – y² + y – x = 0; x² – y² – (x – y) = 0; (x – y)(x + y) – (x – y) = 0;

x² + y = 2; x² + y = 2; x² + y = 2;

(x – y)(x + y – 1) = 0; звідки 1) x – y = 0; або 2) x + y – 1 = 0;

x² + y = 2; x² + y = 2; x² + y = 2;

1) x = y; x = y; x = y; x = y; x = –2;

x² + x = 2; x² + x – 2 = 0; тоді х = –2; або х = 1; у = –2;

або х = 1;

у = 1. Отже, (–2; –2), (1; 1).

2) x + y – 1 = 0; y = 1 – x; y = 1 – x; y = x – 1;

x² + y = 2; x² + 1 – x = 2; x² – x – 1 = 0; x = 1 - 52;

y = 1 – 1 - 52; y = 2 -1 + 52; y = 1 + 52; y = 1 – x;

x = 1 - 52; x = 1 - 52; x = 1 - 52; або x = 1 + 52;

y = 1 – 1 + 52; y = 1 - 52;

x = 1 + 52; x = 1 + 52.

Отже, (1 - 52; 1 + 52), (1 + 52; 1 - 52).

в) x + y = 3; (x + y)² = 32; x + 2xy + y = 9;

xy = 4; xy = 4; xy = 2;

x + 2 · 2 + y = 9; x + y = 5; x = 5 – y; x = 5 – y;

xy = 4; xy = 4; y(5 – y) – 4 = 0; y² – 5y + 4 = 0;

x = 5 – y; або x = 5 – y; x = 4; або x = 1;

y = 1; y = 4; y = 1; y = 4.

Відповідь: (4; 1); (1; 4).

г) x + y = 5; x + 2xy + y = 25; x + 2 · 6 + y = 25;

x · y = 6; xy = 6; xy = 36;

x + y = 13; x = 13 – y; x = 13 – y; x = 13 – y

xy = 36; y(13 – y) – 36 = 0; y² – 13y + 36 = 0; y = 4;

або x = 13 – y; x = 9; або x = 4;

y = 9; y = 4; y = 9.

Відповідь: (9; 4), (4; 9).

545. Розв’яжіть систему рівнянь.

a) x² + у² = 90,

x(x – 3y) = 0;

x(x – 3у) = 0; x = 0 або x – 3y = 0; x = 0 або x = 3y;

1) при x = 0

0² + у² = 90; y² = 90; y₁ = 90; y₁ = 310; y₂ = –90; y₂ = –310;

2) при у = Зу; (3у)² + у² = 90; 9у² + y² = 90; 10у² = 90; y² = 9; у₃ = 3; у₄ = –3; x₃ = 2 · З = 9; x₄ = 2 · (–3) = –9.

Відповідь: (0; 310) ; (0; –310) і (9; 3); (–9; –3).

б) (x + y)(x – y) = 0, x² – y² = 0,

x² + y² = 64; x² + y² = 64;

2x² = 64; x² = 32; x₁ = 32 = 42; x₂ = –32 = –42;

(x + y)(x – y) = 0; x = –y або x = y;

1) x₁ = 42; y₁ = 42; 2) x₂ = –42; y₃ = –42; y₄ = 42.

Відповідь: (42; 42); (42; –42) i (–42; –42); (–42; 42).

в) x²y² + xy = 72;

x + y = 6;

xy = t : t² + t – 72 = 0; D = 1 + 288 = 289; t₁ = -1 + 2892 = 8;

t₂ = -1 - 2892 = –9; xy = 8 або xy = –9;

1) x + y = 6, x = 6 – y,

xy = 8; (6 – y)y = 8; –y² + 6y – 8 = 0; D = 36 – 32 = 4;

y₁ = -6 + 4-2 = 2; y₂ = -6 -4-2 = 4; x₁ = 6 – 2 = 4; x₂ = 6 – 4 = 2;

2) x + y = 6, x = 6 – y,

xy = –9; (6 – y)y = –9; –y² + 6y + 9 = 0; D = 36 + 36 = 2 · 36;

D = 62;

y₁ = -6 + 62-2 = 3 – 32; y₂ = -6 -62-2 = 3 + 32; x₁ = 6 – 3 + 32 =

= 3 + 32; x₂ = 6 – 3 – 32 = 3 – 32.

Відповідь: (4; 2) і (2; 4); (3 – 32; 3 + 32) і (3 + 32; 3 – 32).

546. Розв’яжіть систему рівнянь способом заміни змінних.

a) 5(x + y) + 2xy = –19;

x + y + 3xy = –35. Заміна x + y = u; xy = v. Тоді:

5u + 2v = –19; 5u + 2v = –19; 5u + 2v = –19; 5u + 2v = –19;

u + 3v = –36;|·(–5) –5u – 15v = 175; –13v = 156; v = –12;

5u – 24 = –19; 5u = 5; u = 1;

v = –12; v = –12; v = –12.

Урахувавши заміну, маємо:

x + y = 1; x = 1 – y; x = 1 – y; x = 1 – y;

xy = –12; y(1 – y) + 12 = 0; y² – y – 12 = 0; y = –3; або

x = 1 – y; x = 4; або x = –3;

y = 4; y = –3; y = 4.

Відповідь: (4; –3), (–3; 4).

в) x³ + y³ = 28; (x + y)(x² – xy + y²) = 28; 4(x² – xy + y²) = 28;

x + y = 4; x + y = 4; x + y = 4;

x² – xy + y² = 7; x² + 2xy + y² – 3xy = 7; (x + y)² – 3xy = 7;

x = 4 – y; x + y = 4; x + y = 4;

16 – 3xy = 7; 3xy = 9; xy = 3; x = 4 – y;

x + y = 4; x + y = 4; x + y = 4; y(4 – y) – 3 = 0;

x = 4 – y; x = 4 – y; x = 4 – y; x = 3; x = 1;

y² – 4y + 3 = 0; y = 1; або y = 3; y = 1; або y = 3.

Відповідь: (3; 1); (1; 3).

г) x³y³ = –8;

x³ + y³ = –7. Заміна: x³ = u; y³ = v. Тоді:

uv = –8; u = –7 – v; u = –7 – v; u = –7 – v;

u + v = –7; v(7 – v) = –8; –7v – v² + 8 = 0; v² + 7v – 8 = 0;

u = –7 – v; u = –7 – v; u = 1; u = –8;

v = –8 або v = 1; v = –8; або v = 1.

Урахувавши заміну, маємо:

1) x³ = 1; x = 1; 2) x³ = –8; x = –2;

y³ = –8; y = –2; y³ = 1; y = 1.

Відповідь: (1; –2), (–2; 1).

547. Розв’яжіть систему рівнянь способом заміни змінних.

a) 2xy – 3 · xy = 15;

xy + xy = 15. Заміна: xy = u; xy = v. Тоді.

2u – 3v = 15; 5u = 60; u = 12; u = 12;

3u + 3v = 45; u + v = 15; 12 + v = 15; v = 3.

Урахувавши заміну, маємо:

xy = 12; xy = 12; 3y² = 12; y² = 4; y = 2; або y = –2;

xy = 3; x = 3y; x = 3y; x = 3y; x = 6; x = –6.

Відповідь6 (6; 2), (–6; –2).

б) 1x + 1y = 54; x + yxy = 54; x + yxy = 54;

x² + y² = 17; x² + y² + 2xy – 2xy = 17; (x + y)² – 2xy = 7.

Заміна: x + y = u; xy = v. Тоді:

uv = 54; v = 4u5; v = 4u5; v = 4u5;

u² – 2v = 17 = 0; u² – 2 · 4u5 = 17; u² – 1,6u – 17 = 0; u = –3,4;

v = –2,72;

u = –3,4.

(u² – 1,6u – 17 = 0; u_1,2 = 0,8 ± 0,64 + 17; u_1,2 = 0,8 ± 4,2;

u₁ = –3,4; u₂ = 5) або v = 4;

u = 5.

Урахувавши заміну, маємо:

1) x + y = –3,4; x = –3,4 – y; x = –3,4 – y;

xy = –2,72; y(–3,4 – y) + 2,72 = 0; y² + 3,4y – 2,72 = 0;

x = –3,4 = y; x = –1,7 + 5,61; x = –1,7 – 5,61;

y = –1,7 – 5,61; y = –1,7 – 5,61; або y = –1,7 + 5,61;

2) x + y = 5; x = 5 – y; x = 5 – y; x = 5 – y;

xy = 4; y(5 – y) – 4 = 0; y² – 5y + 4 = 0; y = 1;

x = 4; x = 5 – y; x = 1;

y = 1; або y = 4; y = 4.

Відповідь: (–1,7 + 5,61; –1,7 – 5,61); (–1,7; –5,61; –1,7 + 5,61);

(4; 1); (1; 4).

в) 1x + 1y = 32; y + xxy = 32; x + yxy = 32;

1x2 + 1y2 = 54; y2 + x2x2y2 = 54; x2 + 2xy + y2 - 2xyx2y2 = 54;

x + yxy = 32; x + yxy = 32; x + yxy = 32;

(x + y)2 - 2xyx2y2 = 54; (x + yxy)2 – 2xyx2y2 = 54; (32)² – 2xy = 54;

x + yxy = 32; x + yxy = 32; x + yxy = 32; x + y = 3; x = 3 – y;

2xy = 94 – 54; 2xy = 1; xy = 2; xy = 2; y(3 – y) = 2;

x = 3 – y; x = 3 – y; x = 2; x = 3 – y; x = 1;

y² – 3y + 2 = 0; y = 1; y = 1; або y = 2; y = 2.

Відповідь: (2; 1), (1; 2).

г) 1x + 1y = 13; x +yxy = 13;

x² + y² = 160; (x + y)² – 2xy = 160.

Заміна: x + y = u; xy = v, тоді:

uv = 13; v = 3u; v = 3u; v = 48;

u² – 2v = 160; u² – 6u – 160 = 0; u = 16; u = 16 або

v = –30;

u = –10.

Урахувавши заміну, маємо:

1) x + y = 16; x = 16 – y; x = 16 – y; x = 16 – y;

xy = 48; y(16 – y) – 48 = 0; y² – 16y + 48 = 0; y = 12;

або x = 16 – y; x = 4; або x = 12;

y = 4; y = 12; y = 4;

2) x + y = –10; x = –10 – y; x = –10 – y;

xy = –30; y(–10 – y) + 30 = 0; y² + 10y – 30 = 0;

x = –10 – y; x = –10 – y; x = –5 – 55 x = –5 + 55

y = –5 + 55; або y = –5 – 55; y = –5 + 55 або y = –5 – 55.

Відповідь: (–5 – 55; –5 + 55); (–5 + 55; –5 –55); (4; 12); (12; 4).

548. Розв’яжіть систему рівнянь способом заміни змінних.

a) х² + у² – ху = 12; х² + у² – ху = 12; х² + у² – ху = 12;

x³ + у³ = 72; (х + у)(х² – ху + у²) = 72; 12(х + у) = 72;

х² + у² + 2ху – 3ху = 12; (х + y)² – Зху = 12; 6² – 3хy = 12;

х + у = 6; х + у = 6; x + у = 6;

3xy = 24; ху = 8; х = 6 – у; x = 6 – y;

х + у = 6; x + у = 6; y(6 – y) – 8 = 0; y² – 6y + 8 = 0;

x = 6 – y; x = 4; x = 6 – y; x = 2;

y = 2; y = 2; або y = 4; y = 4.

Відповідь: (4; 2), (2; 4).

в) x(1 + xy) = 1,5; x · x + yy = 1,5; (x + y) · xy = 1,5;

y(1 + yx) = 6; y · x + yx = 6; (x + y) · yx = 6.

Заміна: x + y = u; xy = v, тоді yx = 1v.

uv = 1,5; u = 6v; u = 6v; v = 12; v = –12;

uv = 6; 6v² = 1,5; v² = 14; u = 3; або u = –3.

Урахувавши заміну, маємо:

1) x + y = 3; y = 2x; y = 2x; y = 2;

xy = 12; x + 2x = 3; x = 1; x = 1;

2) x + y = –3; y = –2x; x = 3;

xy = –12; x – 2x = –3; y = –6.

Відповідь: (1; 2); (3; –6).

г) xy – xy = 26;

xy – yx = 26. Заміна: xy = u; xy = v, тоді yx = 1v.

u – v = 26; u – v = 26; u – v = 26; u – v = 26; u = 26 + v;

u – 1v = 26, –v + 1v = 0; -v2 + 1v = 0; v² = 1; v = 1;

u = 27; u = 25;

v = 1; або v = –1.

Урахувавши заміну, маємо:

1) xy = 27; x = y; y = 33; y = –33;

xy = 1; y² = 27; x = 33; або x = –33;

2) xy = 25; x = –y; x = –y;

xy = –1; –y² = 25; y² = –25 – неможливо, тому в цьому випадку розв’язків немає.

Відповідь: (33; 33); (–33; –33).

549. Знайдіть числа а і b, якщо:

a) 8ab = 8; ab = 1; a = 1b;

3a + 4b = 8; 3a + 4b = 8; 3b + 4b – 8 = 0;

3b + 4b – 8 = 0; | · b ≠ 0

3 + 4b² – 8b = 0; 4b² – 8b + 3 = 0; b_1,2 = 4 ± 16 - 124; b_1,2 = 4 ± 24; b₁ = 12; b₂ = 32. Тоді a₁ = 1 : 12 = 2; a₂ = 1 : 32 = 23.

Відповідь: a = 2; b = 12 або a = 23; b = 32.

б) a² – 0,5b = 1; b = a – 1;

a – b = 1; a² – 0,5(a – 1) = 1; a² – 0,5a + 0,5 – 1 = 0;

a² – 0,5a – 0,5 = 0; a₁ = 1; a₂ = –0,5. Тоді b₁ = 1 – 1 = 0; b₂ = –0,5 –

– 1 = –1,5.

Відповідь: a = 1; b = 0 або a = –0,5; b = –1,5.

в) a² + ab – 5 = 10; b(b + a) = 10;

b² + ab = 10; a(a + b) = 15; віднімемо від першого рівняння друге і поділимо перше рівняння на друге. b² – a² + 5 = 0;

ba = 23;

b = 2a3; b = 2a3; b = 23a; a = 3; a = –3;

(2a3)² – a² + 5 = 0; 49a² – a² = –5; a² = 9; b = 2; або b = –2.

Відповідь: a = 3; b = 2 або a = –3; b = –2.

г) 2a + b = 0; b = –2a; b = –2a;

a² + b² – 6b = 0; a² + 4a² – 6 · (–2a) = 0; a² + 4a² + 12a = 0;

b = –2a; 5a(a + 2,4) = 0; a = 0; a = –2,4;

5a² + 12a = 0; b = –2a; b = 0; або b = 4,8.

Відповідь: a = 0; b = 0 або a = –2,4; b = 4,8.

ґ) a + b = –1; b = –1 – a; b = –1 – a;

a² + b – 2a = –1; a² – 1 – a – 2a + 1 = 0; a² – 3a = 0;

b = –1 – a; a = 0; a = 3;

a(a – 3) = 0; b = –1; або b = –4.

Відповідь: a = 0; b = –1 або a = 3; b = –4.

д) a – b = 3; a – b = 3; a = 3 + b;

3(a – 2)(b + 1) (a – 2)(b + 1); (3 + b – 2)(b + 1) = 1;

a = 3 + b; b + 1 = 1; b = 0; b + 1 = –1; b = –2;

(b + 1)² = 1; a = 3 + b; a = 3; або a = 3 + b; a = 1.

Відповідь: a = 3; b = 0 або a = 1; b = –2.

550. Знайдіть відстань між точками перетину прямої і кола, рівняння яких х – у = 7 і х² + у² = 169.

Розв'язання. Відстань між двома точками з координатами (x₁; у₁) і (х₂; у₂) визначається за формулою d = (x2-x1)2 + (y2-y1)2. Оскільки координати точок перетину повинні задовольняти обидва рівняння, то спочатку розв’яжемо систему рівнянь:

x – y = 7,

х² + у² = 169; x = 7 + y, тоді (7 + y)² + y² = 169; 49 + 14y + 2y²–

– 168 = 0; 2у² + 14у – 120 = 0; y² + 7y – 60 = 0; D = 49 + 240 =

= 289;

y₁ = -7 + 2892 = 5; y₂ = -7 - 2892 = –12;

x₁ = 7 + y₁ = 7 + 5 = 12; x₂ = 7 + y₂ = 7 – 12 = –5.

Отже, точки перетину прямої і кола мають координати (12; 5) і (–5;

–12). Тоді відстань між ними становить

d – (-5 - 12)2+ (-1-5)2 = (-17)2 + (-17)2 = 2 · 172 =

= 172.

Відповідь: 172.

551. Знайдіть відстань між точками перетину кіл, рівняння яких х² +

+ у² = 25 і (х – 4)² + (у – 4)² = 1.

Розв’язання. Відстань між двома точками з координатами (x₁; у₁) і (х₂; у₂) визначається формулою d = (x2 - x1)2+ (y2 - y1)2. Оскільки координати точок перетину повинні задовольняти обидва рівняння, то розв’яж емо систему цих рівнянь, спростивши спочатку друге.

(х – 4)² + (у – 4)² = 1; x² – 8х + 16 + у² – 8y + 16 = 1; х² + y² – 8x –

– 8у = –31.

х² + у² = 25,

x² + y² – 8y = –31; 25 – 8х – 8у = –31; 8х + 8y = 56; x + у = 7;

y = 7 – х. Тоді x² + (7 – х)² = 25; x² + 49 – 14x + x² – 25 = 0; 2x² –

– 14y + 24 = 0; х² – 7х + 12 = 0; D = 49 – 48 = 1;

x₁ = 7 - 12 = 4; x₂ = 7 - 12 = З; у₁ = 7 – x₁ = 7 – 4 = 3; y₂ = 7 –

– x₂ = 7 – 3 = 4. Отже, точки перетину кіл мають координати (4; 3) і (3; 4). Тоді відстань між ними становить d= (4 - 3)2+ (3 - 4)2 =

= 1 + 1 = 2.

Відповідь: 2.

556. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 21, а добуток

становить 90.

Нехай одне число a, друге — b, Тоді:

а + b = 21; а = 21 – b;

ab = 90; (21 – b)b = 90; 21b – b² – 90 = 0; b² – 21b + 90 = 0; b₁ = 6; b₂ = 15.

Тоді a₁ = 21 – 6 = 15; a₂ = 21 – 15 = 6. Отже, одне число 6, друге — 15.

Відповідь: 6 і 15.

557. Знайдіть два числа, різниця яких дорівнює 1,1, а добуток – 0,6.

Одне число а, друге — b.

a – b = 1,1; a = 1,1 + b;

ab = 0,6; b(1,1 + b) = 0,6; b² + 1,2b – 0,6 = 0; b₁ = –1,5; b₂ =

= 0,4. Тоді a₁ = 1,1 – 1,5 = –0,4; a₂ = 1,1 + 0,4 = 1,5.

Відповідь: –0,4 і –1,5 або 1,5 і 0,4.

558. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 31, а сума їх квадратів — 625.

Якщо одне число а, а друге b, то:

a + b = 31; a = 31 – b;

a² + b² = 625; (31– b)² + b² = 625.

Тоді 961 – 62b + b² + b² = 625; 2b² – 62b + 336 = 0; b² – 31b + 168 =

= 0; b₁ = 7; b₂ = 24. Тоді a₁ = 31 – 7 = 24; a₂ = 31 – 24 = 7.

Маємо: одне число 7, друге — 24.

Відповідь: 7 і 24.

559. Середнє геометричне двох чисел дорівнює 3. Знайдіть ці числа, якщо одне з них більше від другого на 9,1.

Нехай одне число x, а друге — y і х більше від у на 9,1. тоді х – у =

= 9,1.

Середнє геометричне цих чисел xy дорівнює З, тоді xy = 3. Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

x – у = 9,1; x = 9,1 + y; х = 9,1 + у;

xy = 3; xy = 9; у(9,1 + у) – 9 = 0;

y² + 9,1y – 9 = 0; y₁ = –10; у₂ = 0,9. Тоді x₁ = 9,1 – 10 = –0,9; x₂ =

= 9,1 + 0,9 = 10.

Відповідь: –0,9 і –10 або 10 і 0,9.

560. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 90 см, а гіпотенуза — 41 см. Знайдіть катети трикутника.

Нехай довжини катетів прямокутного трикутника х см і у см (х > 0,

у > 0), тоді його периметр Р = x + у + 41 = 90. За теоремою Піфагора x² + y² = 41².

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

x + y + 41 = 90; x + y = 49; x = 49 – y;

x² + у² = 1681; x² + y² = 1681; (49 – y)² + y² = 1681;

2401 – 98y + y² + y² – 1681 = 0; 2y² – 98y + 720 = 0; y² – 49y +

+ 360 = 0; y₁ = 9; y₂ = 40, тоді x₁ = 49 – 9 = 40; x₂ = 49 – 40 = 9. Отже, один катет 9 см , другий — 40 см.

Відповідь: 9 см і 40 см.

561. Знайдіть два числа, якщо:

а) їх різниця дорівнює 2, а різниця квадратів — 88;

б) їх півсума дорівнює 9,5, а сума квадратів — 185;

в) їх сума дорівнює 20, а добуток — 84.

Нехай задані числа а і b. Тоді:

a) a – b = 2; a – b = 2; а – b = 2; a – b = 2;

a² – b² = 88; (a – b)(a + b) = 88; 2 • (a + b) = 88; a + b = 44;

2a = 46; a – 23;

2b = 42; b = 21.

Відповідь: 23 і 21.

6) a + b2 = 9,5; a + b = 19; a + b = 19;

a² + b² = 185; a² + b² = 185; (19 – b)² + b² – 185 = 0;

361 – 38b + 2b² – 185 = 0; 2b² – 38b + 176 = 0; b² – 19b + 88 = 0;

b₁ = 8; b₂ = 11. Тоді a₁ = 19 – 8 = 11; a₂ = 19 – 11 = 8. Отже, числа 8 і 11.

Відповідь: 8 i 11.

в) a + b = 20; a = 20 – b;

ab – 84; b(20 – b) – 84 = 0; b² – 20b + 84 = 0; b₁ = 6;

b₂ = 14, тоді a₁ = 20 – 6 = 14; a₂ = 20 – 14 = 6. Числа 6 і 14.

Відповідь: 6 і 14.

562. Знайдіть катети прямокутного трикутника, в якого:

а) гіпотенуза дорівнює 13 дм, а площа — 30 дм²;

б) периметр дорівнює 30 см, а сума катетів — 17 см;

в) гіпотенуза дорівнює 17 см, а периметр — 40 см.

Позначимо довжини катетів прямокутного трикутника за х і у (x > 0, у > 0). Тоді:

a) x² + y² = 132; x² + у² = 169; х² + 2ху + у² – 2xy = 169;

12xу = 30; ху = 60; xу = 60;

(х + y)² – 120 = 169; (x + y)² = 289; x + y = 17;

xy = 60; ху = 60; xy = 60;

х = 17 – у;

у(17 – y) – 60 = 0; у² – 17у + 60 = 0; y₁ = 5; у₂ = 12. Тоді x₁ = 17 –

– 5 = 12; x₂ = 17 – 12 = 5. Отже, катети 5 дм і 12 дм.

Відповідь: 5 дм і 12 дм.

б) Гіпотенуза с трикутника за теоремою Піфагора; с² = х² + у², тоді

с = x2+y2. P∆ = x2+y2. Маємо:

х + у = 17; x + y = 17; x = 17 – у;

х + у + x2+y2 = 30; 17 + x2+y2 = 30; x2+y2 = 13;

x = 17 – y;

x² + y² = 169;

(17 – y)² + у² = 169; 289 – 34y + у² + у² = 169; 2у² – З4у + 120 =

= 0; у² – 17у + 60 = 0; y₁ = 5; у₂ = 12. Тоді x₁ = 12; х₂ = 5. Отже, катети 5 см і 12 см.

в) P∆ = x + y = 17; x² + y² = 172.

x + y + 17 = 40; x – y = 23; x = 23 – y;

x² + y² = 289; х² + y² = 289; (23 – у)² + у² = 289;

529 – 46у + у² + у² = 289; 2у² – 46y + 240 = 0; у² – 23у + 120 = 0; у₁ = 8; у₂ = 15.

Тоді x₁ = 23 – 8 = 15; х₂ = 23 – 15 = 8. Отже, катети 8 см і 15 см.

Відповідь: 8 см і 15 см.

563. Знайдіть сторони прямокутника, діагональ якого дорівнює 10 м, а площа — 48 м².

Нехай довжина сторін прямокутника х м і у м (х > 0, у > 0), тоді його площа ху = 48. Діагональ розбиває прямокутник на прямокутні трикутники, тоді x² + у² = 10². Маємо:

ху = 48; ху = 48; ху = 48;

x² + y² = 100; (x + у)² – 2xy = 100; (х + y)² – 96 = 100;

ху = 48; x + y = 14; x = 14 – y;

(х + y)² = 196; xy = 48; y(14 – y) = 48;

y² – 14y + 48 = 0; y₂ – 14y + 48 = 0; y₁ = 6; y₂ = 8.

Тоді x₁ = 8; x₂ = 6. Отже, сторони прямокутника 6 м і 8 м.

Відповідь: 6 м і 8 м.

564. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо один з них менший від гіпотенузи на 2 см, а другий — на 25 см.

Побачимо довжини катетів трикутника за х см і у см (x > 0, у > 0). Тоді гіпотенуза — (х + 2) см або (у + 25) см і х + 2 = у + 25. За теоремою Піфагора x² + y² = (х + 2)². Отже,

x + 2 = у + 25; x = у + 23; x = y + 23;

x² + у² = (x + 2)²; x² + y² = x² + 4x + 4; y² – 4x – 4 = 0;

x = y + 23;

y² – 4(y + 23) – 4 = 0;

y² – 4y – 92 – 4 = 0; y² – 4y – 96 = 0; y₁ = 12; _y2 = –8 < 0.

Тоді x = 12 + 23; х = 35. Отже, катети 12 см і 35 см.

Відповідь: 12 см і 35 см.

565. Внутрішній і зовнішній контури рамки — квадрати. Сторона одного з них дорівнює діагоналі другого (мал. 107). Знайдіть сторони цих квадратів, якщо площа рамки дорівнює 32 см².

Нехай зовнішня сторона рамки має довжину х см, а внутрішня —

у см (x > 0, у > 0). Площа зовнішнього квадрата х², внутрішнього — у², а рамки — х² – у² = 32. Оскільки діагональ внутрішнього дорівнює стороні зовнішнього, то у² + у² = х²; 2у² = х². Маємо:

x² – y² = 32;

2у² = х²; 2y² – y² = 32; y² = 32; y = 42; x² = 2 • 32; x² = 64;

х = 8.

Отже, сторона зовнішнього – 8 см, внутрішнього — 42 см.

Відповідь: 8 см і 42 см.

566. Знайдіть внутрішній і зовнішній радіуси кільця, якщо їх різниця дорівнює 5 см, а площа кільця — 125π см² (мал. 108).

Нехай x см і у см (x > 0, у > 0) — довжини радіусів кіл, х – у = 5. Площа більшого πх², меншого πу², а площа кільця πх² – πу² = 125π, звідки х² – у² = 125.

Маємо: x – y = 5; x – y = 5; x – y = 5;

x² – y² = 125; (x – y)(x + y) = 125; 5(x + y) = 125;

x – y = 5; 2x = 30; x = 15;

(x + y) = 25; 2y = 20; y = 10. Отже, радіус більшого 15 см, меншого 10 см.

Відповідь: 15 см і 10 см.

567. Знайдіть довжини ребер прямокутного паралелепіпеда, якщо довжина одного з них, площа поверхні й об’єм паралелепіпеда дорівнюють відповідно 8 см, 158 см² і 120 см³.

Нехай довжини невідомих ребер х см і у см (x > 0, у > 0). Об’єм цього прямокутного паралелепіпеда 8ху = 120; площа поверхні

2(ху + 8х + 8у) = 158. (Нагадаємо, що у прямокутного паралеле–піпеда з ребрами а, b і с V = аbс, S_пов = 2(ab + bc + ac).)

Маємо систему:

8xy = 120; xy = 15; xy = 15;

2(ху + 8x + 8y) = 158; ху + 8х + 8у = 79; 15 + 8x + 8у = 79;

xy = 15; xy = 15; x = 8 – y;

8(x + y) = 64; x + y = 8; y(8 – y) = 15;

y² – 8y + 15 = 0; y₁ = 3; y₂ = 5. Тоді x₁ = 5; х₂ = 3. Отже, довжини ребер 3 см, 5 cм і 8 см.

Відповідь: 3 см, 5 см, 8 см.

568. Один комбайнер може зібрати врожай пшениці з ділянки на 24 год швидше, ніж другий. Якщо комбайнери працюватимуть разом, то можуть завершити роботу за 35 год. За який час кожний комбайнер

може зібрати весь урожай?

Нехай перший комбайнер може зібрати врожай за х год, а другий — за у год. (х > 0, у > 0), а разом за 35 год, тоді, оскільки один може зібрати на 24 год. швидше, то у – x = 24. Перший за 1 год. збирає 1x частину врожаю, другий 1y частику, а разом 135 частину. Маємо систему:

y – x = 24; y = 24 + x;

1x + 1y = 135; 1x + 1y = 135; 1x + 124 + x = 135; 24 + x + xx(24 + x) = 135;

24 + 2x24x + x2 = 135;

35(24 + 2x) = 24x + x²; х² + 24 – 70x – 840 = 0; x² – 46x – 840 = 0; х₁ = 60; х₂ = –14 < 0. Тоді у = 24 + 60; у = 84. Отже, перший може зібрати врожай за 60 годин, а другий — за 84 години.

Відповідь: 60 год. і 84 год.

569. Сума квадратів двох чисел дорівнює 20, а добуток — 8. Знайдіть ці числа.

х, у – числа.

x² + y² = 20; (x + y)² – 2xy = 20; (x + y)² – 16 = 20;

xy = 8; xy = 8; xy = 8;

(x + y)² = 36;

xy = 8;

1) x + y = 6; x = 6 – y; x = 6 – y; x = 5 – y;

xy = 8; y(6 – y) = 8; y² – 6y + 8 = 0; y = 2; або

x = 6 – y; x = 4; x = 2;

y = 4; y = 2; або y = 4;

2) x + y = –6; x = –6 – y; x = –6 – y; y² + 6y + 8 = 0;

xy = 8; xy = 8; y(–6 – y) = 8; x = –6 – y;

x = –6 – y; x = –6 – y; x = –4; x = –2;

y = –2; або y = –4; y = –2; або y = –4.

Отже, числа 4 і 2 або –4 і –2.

Відповідь: 4 і 2 або –4 і –2.

570. Чисельник звичайного нескоротного дробу на 3 менший від

знаменника, а якщо до обох його членів додати по 10, то значення дробу збільшиться вдвічі. Який це дріб?

Нехай чисельник дробу х, а знаменник у (х > 0, у > 0) і у – х = 3.

Якщо до чисельника і знаменника додати по 10, одержимо дріб x + 10y + 10, який у 2 рази більший, ніж xy отже, x + 10y + 10 = 2xy. Маємо систему:

y – x = 3; y = 3 + x;

x + 10y + 10 = 2xy; x + 103 + x + 10 = 2x3 + x; x + 1013 + x = 2x3 + x;

(x + 10)(3 + х ) = 2х(13 + x); Зх + х2 + 30 + 10x = 26х + 2х2; х2 +

+ 13x – 30 = 0; х = 2; x = –15 — не задовольняє умову (при х = –15 отримаємо скоротний дріб);

x = 2; у = З + 2; у = b. Отже, мали дріб 25.

Відповідь: 25.

571. Автомат виготовляє однакові деталі. Якби він щохвилини

виготовляв на одну деталь більше, то 720 деталей виготовив би на

1 год швидше. Скільки деталей виготовляє автомат за одну годину?

Нехай автомат виготовляє х деталей за 1 годину (х > 0), а 720 деталей за у годин ( у > 0), тобто за 720х год; у = 720х, звідки ху =

= 720. Якби автомат виготовляв за 1 хвилину на 1 деталь більше, то за 1 годину — на 60 більше, тобто х + 60 деталей за годину. Тоді 720 деталей за 720х + 60 = у – 1. Маємо: 720 = (x + 60)(y – 1).

xy = 720; xy = 720; xy = 720;

(x + 60)(y – 1) = 720; xy – x + 60y – 60 = 720; x – 60y + 60 =0;

xy = 720; x = 60y – 60;

x – 60y = –60; y(60y – 60) = 720;

60y² – 60у – 720 = 0; у² – у – 12 = 0; у₁ = 4; у₂ = –З < 0. Тоді y = 4;

x = 60 · 4 – 60 = 180. Отже, автомат виготовляє за годину 180 деталей.

Відповідь: 180 деталей.

572. Замовлення на випуск 150 машин завод мав би виконати за кілька днів. Але вже за два дні до строку, випускаючи щодня 2 машини понад план, він не тільки виконав замовлення повністю, а й випустив ще б машин додатково. За скільки днів завод мав би виконати замовлення?

Нехай за планом завод мав виконати замовлення за х днів (х > 0), випускаючи в день по у машин. Тоді ху = 150. Завод працював (х – 2) дні, випускаючи в день по (у + 2) машин і випустив (150 + 6) машин, тоді (x – 2)(у + 2) = 156.

Маємо систему:

xy = 150; xy = 150; xy = 150;

(x – 2)(y + 2) = 156; xy + 2x – 2y – 4 = 156; 150 + 2x – 2y = 160;

xy = 150; xy = 150; x = 5 + y;

2x – 2y = 10; x – y = 5; y(5 + y) = 150;

у² + 5y – 150 = 0; у₁ = 10; y₂ = –15 < 0. Тоді у = 10, x = 5 + 10 =

= 15. Отже, завод мав би виконати завданїтя за 15 днів.

574. Бригада лісорубів повинна була заготовити протягом кількох днів 216 м³ дров. Перші три дні вона працювала, як передбачалось, а потім щодня заготовляла на 8 м³ більше, тому вже за день до строку заготовила 232 м³ дров. Скільки кубометрів дров заготовляла бригада щодня?

Нехай бригада за планом повинна була заготовляти щодня х³ дров і за у днів заготувати 216 м³ (x > 0, у > 0), тоді ху = 216. За перші три дні бригада заготувала Зx м³ дров, а в наступні дні заготовляла на 8 м³ більше, тобто (х + 8) м³ дров. Перевиконуючи план, бригада працювала (у – З – 1) день, оскільки за день до строку вже заготувала 232 м³ дров, або Зx + (у – 4)(х + 8) = 232. Маємо

систему:

xy = 216; xy = 216;

3x + (y – 4)(x + 8) = 232; 3x + xy + 8y – 4x – 32 = 232;

xy = 216; xy = 216; xy = 216;

xy – x + 8y = 264; 216 – x + 8y = 264; 8y – x = 48,

x = 8y – 48;

y(8y – 48) = 216;

8y² – 48y – 216 = 0; y² – 6y – 27 = 0; y₁ = 9; y₂ = –3 < 0. Тоді x =

= 8 · 9 – 48 = 24.

Отже, за день бригада заготовляла 24 м³ дров.

Відповідь: 24 м³.

575. Одна труба може наповнити басейн водою на 36 хв швидше, ніж друга. Якщо спочатку половину басейну наповнить одна труба, а потім половину басейну — друга, то він наповнюватиметься на півгодини довше, ніж одночасно обома трубами. За скільки хвилин може наповнити басейн водою кожна труба?

Нехай перша труба може наповнити басейн за х хвилин, а друга — за (x + 36) хвилин (x > 0) і нехай, працюючи разом, вони наповню–ють басейн за у хвилин (у > 0). Тоді за 1 хвилину вони наповнюють: перша – 1x частину басейна, друга – 1х + 36 частину, разом – 1у частину і 1x + 1x + 36 = 1y. Для заповнення половини басейну перша труба працюватиме x2 хвилин, друга – х + 362 = х2 + 18 (хвилин), тоді на заповнення басейну у такій послідовності піде на 30 хвилин більше часу, тобто у + 30, отже, х2 + х2 + 18 = у + 30. Маємо систему:

x2 + x2 + 18 = y + 30; x + 18 = y + 30; y = x – 12;

1x + 1x + 36 = 1y; x + 36 + xx2 + 36x = 1y; 2x + 36x2 + 36x = 1x - 12;

тоді (2х + 36)(x – 12) = x² + З6x; 2x² – 24д + З6x – 432 = x² + З6x;

x² – 24x – 432 = 0; звідки х₁ = 36, х₂ = –12 < 0. Отже, перша труба може наповнити басейн за 36 хвилин, тоді друга – за x + 36 = 72 хвилини.

Відповідь: 36 хв і 72 хв.

577. Поїзд мав би проїхати шлях від станції А до станції В за 4 год. Однак на відстані 150 км від А його було затримано на 20 хв. Щоб прибути до В за розкладом, він пройшов решту шляху зі швидкістю, більшою від початкової на 15 км/год. Знайдіть відстань від А до В.

Нехай запланована швидкість поїзда х км/год, а відстань АВ — у км

(х > 0, у > 0). На подолання за планом необхідно 4 години, тому

yx = 4, у = 4x. 150 км поїзд їхав із запланованою швидкістю і

витратив 150x години. Шлях, що залишився (у – 150), він пройшов із швидкістю (x + 15) км/год і витратив y - 150x + 15 год. Затримка в 20 хв — 13 год. Отже, 150x + y - 150x + 15 + 13 = 4. Маємо систему:

y = 4x;

150x + y - 150x + 15 + 13 = 4; 150x + 4x - 150x + 15 = 323;

150(x + 15) + x(4x - 150)x2 + 15x = 113; 150x + 2250 + 4x2 - 150xx2 + 15x =

= 113;

3(2250 + 4x²) = 11(x² + 15x); 6750 + 12x² = 11x² + 165x; x² –

– 165x + 6750 = 0; x₁ = 75; x₂ = 90. Тоді y₁ = 4 • 75 = 300; y₂ =

= 4 · 90 = 360. Отже, відстань АВ = 300 км або АВ = 360 км.

Відповідь: 300 км або 360 км.

579. Шлях між селами A i B складається з підйому і спуску. Вело– сипедист, рухаючись на спуску зі швидкістю на 6 км/год більшою, ніж на підйомі, шлях від А до В долає за 2 год 40 хв, а від В до А — на 20 хв швидше. Знайдіть швидкості велосипедиста на підйомі й спуску та довжину підйому від А до В, якщо відстань від А до В

дорівнює 36 км.

Нехай від А до В довжина підйому АС — х км, тоді спуску СВ — (36 –

– x) км (0 < x < 36). Нехай швидкість на підйом і у км/год, тоді на спуску – (у + 6) км/год. Час на шляху АВ такий: xy + 36 - xy + 6 = 223

(40 хв – 23 год). На шляху ВА: ВС — підйом, СА — спуск, тоді час на шляху ВА: 36 - ху + ху + 6 = 213 (на 20 хв = 13 год швидше). Отже,

xy + 36 - xy + 6 = 83; x(y + 6) + y(36- x)y(y + 6) = 83;

36 - xy + xy + 6 = 73; (36 - x)(y + 6) + xyy(y + 6) = 73;

xy + 6x + 36y - xyy(y + 6) = 83; 6x + 36yy2 + 6y = 83;

36y + 216 - xy - 6x + xyy(y + 6) = 73; 36y - 6x + 216y2 + 6y = 73;

3(6x + 36y) = 8(y² + 6y); 18x + 108y = 8y² + 48y;

3(36y – 6x + 216) = 7(y² + 6y); –18x + 108y + 648 = 7y² + 42y;

18x + 108y = 8y² + 48y; 18x = 8y² – 60y;

216y + 648 = 15y² + 90y; 15y² – 126y – 648 = 0;

9x = 4y² – 30y;

5y² – 42y – 216 = 0; 5y² – 42y – 216 = 0; y_1,2 = 21 ± 441 + 10805;

y_1,2 = 21 ± 395; y₁ = 605 = 12; y₂ = 21 - 395 = -185 < 0.

Тоді y + 6 = 12 + 6 = 18.

Отже, швидкість на підйомі 12 км/год , на спуску — 18 км/год.

Знайдемо x: 9x = 4 · 12² – 30 • 12; 9х = 576 – 360 = 216; х = 24. Отже, довжина АС = 24 км.

Відповідь: довжина підйому від A до В 24 км; швидкість на підйомі 12 км/год, на спуску — 18 км/год.

580. Теплохід пройшов за 9 год 100 км за течією річки і 64 км —

проти течії. Іншим разом за такий самий час він пройшов 80 км за течією і 80 км — проти течії. Знайдіть власну швидкість теплохода і швидкість течії річки.

Нехай власна швидкість теплохода х км/год, а течії річки у км /год (x > 0, y > 0, у < х). Швидкість теплохода за течією (х + у) км/год, проти — (х – у) км /год. На 100 км за течією необхідно 100x + y год, а на 64 км проти течії – 64х - у год, усього – 100х + у + 64х - у = 9. На 80 км за течією необхідно 80х + у год, а на 80 км проти течії – 80х - у год,

усього – 80х + у + 80х - у = 9. Маємо систему:

100x + y + 64x - y = 9; 100(x - y) + 64(x + y)x2 - y2 = 9;

80x + y + 80x - y = 9; 80 · (x - y + x + yx2 - y2) = 9;

100x - 100y + 64x + 64yx2 - y2 = 9; 164x - 36yx2 - y2 = 9;

(80 · 2xx2 - y2) = 9; 16xx2 - y2 = 9;

тоді 164x – З6у = 160x; 164x – 160x = З6у, 4х = Зу; х = 9у.

Підставимо в одне з рівнянь:

809y + y + 809y - y = 9; 8010y + 808y = 9; 8y + 10y = 9; 18y = 9; y = 189 = 2.

Якщо y = 2, то x = 9 · 2 = 18. Отже, швидкість теплохода 18 км/год, течії — 2 км/год.

Відповідь: 18 км/год; 2 км/год.

581. Швидкість одного літака на 100 км/год більша від швидкості

другого. Тому перший долає відстань 980 км на 0,4 год довше, ніж другий — відстань 600 км. Знайдіть швидкості літаків.

Нехай x км/год і у км/год — швидкості літаків і х – y = 100 (х > 0,

у > 0). 980 км перший долає зa 980x год, а 600 км другий долає за 600у год. За умовою 980х – 600у = 0,4. Маємо систему:

x – y = 100; x – y = 100; x = 100 + y; x = 100 + y;

980x – 600y = 0,4; 980x – 600y = 25; 490x – 300y = 15; 490y - 300xxy = 15;

490y - 300(100 + y)y(100 + y) = 15; 490y - 30000 - 300y100y + y2 = 15;

190y - 30000100y + y2 = 15;

950y – 150000 = 100y + у²; у² – 850y + 150000 = 0; у₁ = 250; у₂ =

= 600; тоді x₁ = 100 + 250 = 350; х₂ = 100 + 600 = 700.

Отже, швидкості літаків 250 і 350 км/год або 600 і 700 км/год.

583. Із села в місто, відстань між якими 20 км, виїхав велосипедист,

а через 15 хв слідом за ним другий. Наздогнавши першого, другий велосипедист повернувся назад і прибув до села за 45 хв до прибуття першого велосипедиста в місто. Знайдіть швидкість першого велосипедиста, якщо другий їхав зі швидкістю 15 км/год.

Позначимо швидкість першого велосипедиста за х км/год (х > 0), а за у км — відстань від села, на якійx другий велосипедист наздогнав першого. Перший проїхав у км за yx год, а другий — за y15 год, що на 15 хв = 14 год. менше (пізніше виїхав), отже, ух – у15 = 14. Відстань до міста, що залишилось проїхати, (20 – у) км, її перший подолав за 20 - ух год. Тим часом другий повернувся до села за ух год. на

45 хв = 34 год. раніше, ніж перший прибув до міста. Отже, 20 - ух –

– ух = 34. Маємо систему:

yx – y15 = 14; yx – y15 = 14; y · 15 - x15x = 14;

20 - yx – y15 = 34; 20 - yx – yx = 12; 20 - y - yx = 12;

y = 14 : 15 - x15x; y = 15x4(15 - x); x = 40 – 4 · 15x4(15- x);

20 - 2yx = 12; x = 40 – 4y; x + 15x15 - x – 40 = 0;

x(15 - x) + 15x - 40(15 - x)15 - x = 0;

15x – x² + 15x – 600 + 40x = 0;

15 – x ≠ 0;

–х² + 70x – 600 = 0; x² – 70x + 600 = 0; x₁ = 10; x₂ = 60 —

неможливо за умовою задачі. Отже, швидкість першого

велосипедиста 10 км/год.

Відповідь: 10 км/год.

584. З пункту А одночасно і в одному напрямку виїхали два

велосипедисти зі швидкостями 18 км/год і 24 км/год. Через 1 год слідом за ними виїхав автомобіль, який наздогнав спочатку одного велосипедиста, а через 10 хв — і другого. Знайдіть швидкість автомобіля.

Позначимо за х км/год (x > 0) швидкість автомобіля, а за у год. — відстань від пункту A, на якій автомобіль наздогнав першого велосипедиста (у > 0). На це він витратив yx год, а перший велосипедист (y18 + 1) год. (автомобіль виїхав через годину). Відстань, на якій автомобіль наздогнав другого велосипедиста: (y +

+ x6) км (х6 км – проїхав автомобіль за 10 хв). Час автомобіля на цьому шляху у + х6х год, а другого велосипедиста – (у + х624 + 1) год. Тоді

y x = y18 – 1; yx = y18 – 1; yx = y18 – 1;

y + x6x = y + x624 – 1; yx + x6x = y24 + x144 – 1; yx + 16 = y24 + x144 – 1;

yx = y18 – 1; yx = y - 1818; x = 18yy - 18;

16 = y24 – y18 + x144; 16 = y(124 – 118) + x144; 16 = –y72 + x144;

16 = –y72 + x144; y72 = x144 – 16; y72 = x - 24144; y = 72(x - 24)144;

y = x - 242.

Тоді x = 18 · x - 242x - 242 - 18= 9(x - 24)x - 24 - 362 = 18(x - 24)x - 60.

звідки х(х – 60) = 18(x – 24); x² – 60x – 18x + 432 = 0; х² – 78х +

+ 432 = 0; x_1,2 = 39 ± 1521 - 432; х_1,2 = 39 ± 33; x₁ = 72; x₂ = 6 — не задовольняє мову задачі. Отже, швидкість автомобіля

72 км/год.

Відповідь: 72 км /год.

Завдання для самостійної роботи

Варіант І

1. Побудуйте графік функції: а) у = –х²; б) у = 2 + x.

а) у = –х². Параболу y₁ = х² відобразити симетрично відносно Ох;

б) y = 2 + x. Графік у₁ = x перемістити на 2 вгору по Оу.

2. Розв’яжіть нерівність.

x² – 2х < 0; х(х – 2) < 0; вітки вгору (а > 0); нулі x = 0, x = 2.

Тоді ; x ∈ (0; 2).

3. Площа прямокутника дорівнює 180 см², а його периметр становить 54 см. Знайдіть сторони прямокутника.

Сторони прямокутника x см і у см (x > 0, y > 0). Р = 2(x + y);

S = ху. Тоді

ху = 180; xy = 180; x = 27 – y;

x + y = 542; x + y = 27; y(27 – y) = 180;

у² – 27у + 180 = 0; у₁ = 12; у₂ = 15. Тоді х₁ = 27 – 12 = 15; x₂ = 27 –

– 15 = 12.

Отже, сторони прямокутника 12 см і 15 см.

Відповідь: 12 см і 15 см.

4. Побудуйте графік функції у = x² – 2x – 3, дослідіть її.

у = х² – 2х – 3. Область визначення R; область значень [–4; –∞);

у(–х) = (–х)² – 2 (–х) – З = х² + 2х – З ≠ ± у(х); функція ні парна, ні непарна; вершина (m; n); m = 22 = 1; n = 1² – 2 • 1 – З – 4; (1; –4);

допоміжні точки (0; –3); нулі функції: х² – 2х – З = 0; х = 3; х = –1.

Набуває додатних значень на (–∞; –1), (3; +∞); від’ємних на (–1; 3).

Спадає на (–∞; 1); зростає на (1; +∞).

Варіант II

1. Побудуйте графік функції: а) у = –x; б) у = х² – 4.

а) y = –x. Графік у₁ = x відобразіть симетрично відносно Ох;

б) y = x² – 4. Параболу у₁ = х² перемістіть вниз на 4 по Оу.

2. Розв’яжіть нерівність.

2х – х² > 0; а < 0; вітки параболи вниз; х(2 – x) > 0; нулі x = 0,

x = 2.

Тоді і x ∈ (0; 2)

Відповідь: х ∈ (0; 2).

3. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює 61 см. Знайдіть довжини катетів цього трикутника, якщо його площа —

330 см².

Нехай довжини катетів х см і у см (х > 0, у > 0), тоді S = 12 ху. х² +

+ y² = 61².

Отже, xy2 = 330; ху = 660; ху = 660;

x² + y² = 612; x² + y² = 3721; (x + y)² – 2xy = 3721;

xy = 660; xy = 660; xy = 660;

(x + y)² = 3721 + 1320; (x + y)² = 5041; x + y = 71;

x = 71 – y;

y(71 – y) = 660;

у² – 71у + 660 = 0; у₁ = 11; у₂ = 60, тоді х₁ = 71 – 11 = 60; x₂ = 71 –

– 60 = 11.

Отже, катети 11 см і 60 см.

4. Побудуйте графік функції у = х² + 2х – 3, дослідіть її.

у = х² + 2х – 3. Область визначення R; область значень [–3; +∞);

у(–х) = (–x)² + 2(–х) – 3 = x² – 2х – З ≠ ± y(x); ні парна, ні непарна;

нулі: x² + 2х – З = 0; x = –3; x = 1.

Вершина (m; n): m = -22 = –1;

n = (–1)² + 2 · (–1) – З = –4; (–1; –4).

Допоміжні точки (0; –3).

Набуває додатних значень (–∞; –3), (1; +∞);

від’ємних (–3; 1). Спадає на (–∞; –1); зростає на (–1; +∞).

Варіант III

1. Побудуйте графік функції: а) у = х^–1; б) у = х² + 2.

a) у = x^–1; y = 1x — гіпербола;

б) у = x² + 2 — парабола, y₁ = х², переміщена на 2 вгору по Оу.

2. Розв’яжіть нерівність.

x² + Зx ≤ 0; вітки параболи вгору, а > 0; x(x + 3) ≤ 0; нулі x = 0,

x = –3.

Тоді і x ∈ [–3; 0].

Відповідь: [3; 0].

3. Сума площ двох квадратів дорівнює 65 м², а сума їх периметрів — 44 м. Знайдіть сторони цих квадратів.

Нехай сторони квадратів мають довжини х м і у м (х > 0, у > 0), їх площі х² і у², а периметри 4х і 4у.

Тоді x² + y² = 65; x² + y² = 65; x = 11 – y;

4x + 4y = 44; x + y = 11; (11 – y)² + y² = 65;

(11 – у)² + y² = 65; 121 – 22y + y² + у² = 65; 2у² – 22у + 56 = 0; у² –

– 11y + 28 = 0; у₁ = 4; у₂ = 7, тоді x₁ = 11 – 4 = 7; x₂ = 11 – 7 = 4.

Отже, сторони квадратів 4 м і 7 м.

Відповідь: 4 м і 7 м.

4. Побудуйте графік функції у = 4х – х² і дослідіть її.

у = 4х – х². Область визначення R;

область значень (–∞; 4]; вітки параболи вниз, а < 0;

нулі: 4x – x² = 0; x(4 – х) = 0; х = 0; х = 4;

вершина (m; n): m = 4 + 02 = 2; n = 4 · 2 – 2² = 4; (2; 4).

Допоміжна точка (0; 0);

у(–x) = 4 · (–x) – (–x)² = –4х – х² = –(4х + x²) ≠ ± y(х);

ні парна, ні непарна. Набуває додатних значень (0; 4); від’ємних на (–∞; 0), (4; +∞).

Спадає на (2; +∞); спадає на (–∞; 2).

Варіант IV

1. Побудуйте графік функції: а) у = х^–3; б) у = 4 – х².

а) у = –х² — кубічна парабола, симетрично відображена відносно Ох;

б) у = 4 – х² — парабола y₁ = х², симетрично відображена відносно Ох і переміщена на 4 вгору по Оу.

2. Розв’яжіть нерівність.

x² – 4х ≥ 0; вітки параболи вгору, а > 0; нулі х(х – 4) = 0; х = 0;

х = 4.

Тоді і х ∈ (–∞; 0] ∪ [4; +∞).

Відповідь: (–∞; 0] ∪ [4; +∞).

3. Площа прямокутника дорівнює 120 см², а його периметр — 46 см. Знайдіть сторони та діагональ прямокутника.

Нехай сторони прямокутника мають довжини х см і y см. Тоді:

ху = 20; хy = 20; х = 23 – у;

2(х + у) = 46; х + у = 23; у(23 – у) – 120 = 0;

у² – 23у + 120 = 0; у₁ = 8; у₂ = 15. Тоді x₁ = 23 – 8 = 15; х₂ = 23 –

– 15 = 8. Отже, сторони 8 см і 15 см. За теоремою Піфагора d² = 8² +

+ 15²; d² = 289; d = 17. Діагональ 17 cм.

Відповідь: 17 см.

4. Побудуйте графік функції у = х² – 5х + 4, дослідіть її.

у = x² – 5х + 4; область визначення R;

область значень [–2,25; +∞);

у(–х) = (–х)² – 5 · (–1) + 4 = x² + 5x + 4 ≠ ± y(х);

ні парна, ні непарна; вітки параболи вгору, а > 0;

вершина m = 52 = 1,5;

n = 2,5² – 5 · 2,5 + 4 = 6,25 – 12,5 + 4 = –2,25; (2,5; –2,25).

Нулі: x² – 5x + 4 = 0; x = 1; x = 4.

Допоміжні точки (0; 4).

Набуває додатних значень (–∞; 1), (4; +∞); від’ємних (1; 4).

Спадає на (–∞; 2,5); зростає на (2,5; +∞).

Готуємося до тематичного оцінювання

Тестові завдання № 2

1. R — це область визначення функції:

в).

2. Парною є функція:

в).

3. На проміжку (0; ∞) зростаючою є функція:

г).

4. Скільки нулів має функція.

б) х = 0, х = –4.

5. Парабола — це графік функції:

б).

6. Розв’язком нерівності х² + 2х + 3 > 2 є проміжок:

б) x² + 2х + 3 – 2 > 0; x² + 2х + 1 > 0; (х + 1)² > 0 для всіх х, окрім х + 1 = 0, тому x ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; +∞).

7. Симетричним відносно точки (0; 0) є графік функції:

в)

8. Розв’язком системи рівнянь є точка:

г) у = х² + 4;

4x + у = 0; 4х + х² + 4 = 0; х² + 4х + 4 = 0; (x + 2)² = 0;

x = –2;

у = (–2)² + 4 = 8; (–2; 8).

9. Областю значень функції є проміжок:

г ) у = x² – 2х – 1; у = х² – 2х + 1 – 2; у = (х – 1)² – 2. Координати вершини параболи (1; –2). Найменше значення –2, оскільки вітки напрямлені вгору. Область значень [–2; +∞).

10. Функція у = 2х – x² набуває найбільшого значення, якщо:

б) Вітки параболи спрямовані вниз, тому найбільше значення біля вершини. у = 2х – х²; вершина (m; n): m = -2-2 = 1; отже, найбільше значення при x = 1.

Типові завдання до контрольної роботи № 2

1. Побудуйте графік функції у = 2х + 3. Знайдіть її область

визначення та область значень. Установіть нулі функції та проміжки знакосталості.

у = 2х + 3.

Область визначення R; область значень R.

Нулі функції; у = 0; 2х + З = 0; x = –1,5.

Набуває додатних значень при х ∈ (–1,5; +∞); від'ємних — при x ∈

(–∞; –1,5).

Графік — пряма, що проходить через точки (0; 3), (–1,5; 0).

2. Функцію задано формулою f(х) = (2х + З)². Знайдіть:

у = (2х + 3)²;

а) f(0) = (2 · 0 + 3)² = 9;

б) f(–4) = (2 · (– 4) + 3)² = (–5)² = 25;

в) f(3,5) = (2 · 3,5 + 3)² = 10² = 100.

3. Побудуйте графік та дослідіть властивості функції:

а) у = –х² + 1. Парабола y₁ = х² відображена симетрично відносно Ох і переміщена на 1 вгору по Оу.

Область визначення R; область значень (–∞; 1];

у(–х) = –(–x)² + 1 = –x² + 1 = у(х); парна; нулі: –x² + 1 = 0; x² = 1;

x = ± 1; перетинає Оу в; у = 0 + 1 = 1: (0; 1);

зростає на (–∞; 0); спадає на (0; +∞).

Набуває від’ємних значень на (–∞; –1), (1; +∞); додатних значень — на (–1; 1).

б) y = (х + 1)² – 4. Парабола з вершиною (–1; –4), вітки вгору. Область визначення R; область значень [–4; +∞).

y(–x) = (–x + 1)² – 4 ≠ ± у (х); ні парна, ні непарна. Нулі:

(х + 1)² – 4 = 0; (x + 1)² = 4; x + 1 ± 2; x = 1; x = –3.

Точка на Оу: у = (0 + 1)² – 4 = –3; (0; –3).

Набуває від’ємних значень при х ∈ (–3; 1); додатних значень — при x ∈ (–∞; –3), х ∈ (1; +∞).

Спадає на (–∞; –1); зростає на (–1; +∞).

4. Розв’яжіть нерівність:

а) (x + 5)(x – 3) > 0. Розглянемо f(x) = (x + 5)(х – 3); вітки параболи вгору (а = 1); нулі функції: х = –5, х = 3.

Тоді , отже, x ∈ (–∞; –5) ∪ (3; +∞).

б) –5x² + Зx + 2 ≤ 0; 5x² – 3x – 2 ≥ 0; f(x) = 5х² – Зх – 2; вітки вгору

(а = 5); нулі: 5x² – 3x – 2 = 0; x_1,2 = 3± 9 + 4010; x_1,2 = 3 ± 710;

x₁ = –0,4; x₂ = 1.

Тоді , отже, x ∈ (–∞; –0,4] ∪ [1; +∞).

Відповідь: (–∞; –0,4] ∪ [1; +∞).

5. Побудуйте графік функції:

а) у =x² + 4x + 3; графік – парабола; вершина (m; n):

m = -42 = –2; n = (–2)² + 4 · (–2) + З = –1; (–2; –1);

вітки вгору; нулі функції: x² + 4x + 4 = 0; x = –3; x = –1;

точка перетину з Оу:

у = 0² + 4 · 0 + З = З; (0; 3).

б) у = |6х – x² – 5|.

Побудуємо графік функції у₁ = 6х – х² – 5 і його частину, що лежить нижче осі Ох, відобразимо симетрично відносно Ох.

у₁ = 6х – х² – 5; у₁ = –x² + 6х – 5; парабола з вершиною (m; n):

m = -6-2 = 3; n = –З² + 6 • З – 5 = 4; (3; 4); нулі функції:

–x² + 6x – 5 = 0; x² – 6x + 5 = 0; х₁ = 1; x₂ = 5; вітки спрямовані вниз (а = –1). Точка перетину з Оу : у = –5 (0; –5).

6. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

a) x² + у = 1; у = 1 – х²; – А

x – у + 1 = 0; у = x + 1; – Б

А — парабола: вершина (0; 1); Б — пряма; точки (0; –1), (–1; 0).

Точки перетину графіків А (–1; 0), В(0; 1). Розв’язки: (–1; 0), (0; 1).

Відповідь: (–1; 0), (0; 1).

б) x² + y² – 4 = 0; х² + у² = 4; — А

х² – у + 2 = 0; y = x² + 2; — Б

А — коло з центром (0; 0), R = 1; Б — парабола, вершина (0; 2); вітки вгору. Точка перетину А (0; 2).

Розв’язки: (0; 2).

Відповідь: (0; 2).

7. Розв’яжіть систему рівнянь:

а) x² + y² = 17; y = 3x + 1;

3x – y + 1 = 0; x² + (3x + 1)² = 17;

x² + 9x² + 6x + 1 – 17 = 0; 10x² + 6x – 16 = 0; 5x² + 3x – 8 = 0;

x_1,2 = -3±9 + 16010; x_1,2 = -3 ± 1310; x₁ = –1,6; x₂ = 1. Тоді

y₁ = 3 · (–1,6) + 1 = –3,8; y₂ = 3 · 1 + 1 = 4.

Отже розв’язки (–1,6; –3,8), (1; 4).

Відповідь: (–1,6; –3,8), (1; 4).

б) x² – xy – 3 = 0; x² – xy = 3;

x² – xy + 2 = 0; x² – xy = –2; система розв’язків не має.

Відповідь: ∅.

8. Якщо деяке двоцифрове число поділити на суму цифр, то в частці одержимо 8, в остачі буде 5, а якщо поділити його на добуток цифр, то в частці одержимо 10, а в остачі буде 1. Знайдіть це число.

Нехай у цьому числі х десятків і у одиниць (х ∈ N , у ∈ N). Тоді маємо число 10х + у . При діленні на x + y частка 8, остача 5, тоді 10x +

+ у = 8(x + y) + 5. При діленні на ху частка 10, остача 1, тоді

10x + у = 10ху + 1. Маємо систему:

10x + у = 8(x + y) + 5; 10x + у – 8х – 8у = 5; 2x – 7y = 5;

10x + у = 10xy + 1; 10x + y = 10xy + 1; 10x + y = 10xy + 1;

x = 5 + 7y2;

10 · 5 + 7y2 + y = 10 · 5 + 7y2 · y + 1;

5(5 + 7y) + y = 5(5 + 7y)y + 1; 25 + 35y + y = 25y + 35y² + 1;

35y² – 11y – 24 = 0; y1,2 = 11 ±121 + 336070; y1,2 = 11 ± 5970;

y1 = -4870 ∉ N; y2 = 1.

Отже, у = 1, тоді х = 5 + 7 · 12 = 6. Отже, задане число 10 · 6 + 1 =

= 61.

Відповідь: 61.

9. Розв’яжіть нерівність:

а) (х + 5)²(х – 3)(1 + х) > 0; f(x) = (x + 5)²(x – 3)(1 + x).

Нулі многочлена: х = –5, x = З, x = –1.

Проміжки знакосталості:

І (–∞; –5); f(–6) = (–6 + 5)²(–6 – 3)(–6 + 1) > 0;

II (–5; –1); f(–2) = (–2 + 5)²(–2 – 3)(–2 + 1) > 0;

IIІ (–1; 3); f(0) = (0 + 5)²(0 – 3)(0 + 1) < 0;

IV (3; +∞); f(4) = (4 + 5)²(4 – 3)(4 + 1) > 0.

x ∈ (–∞; –5) ∪ (–5; –1) ∪ (3; +∞).

б) x3 - 16xx3 - 5x2 + 4 ≤ 0 рівносильно системі: (x³ – 16)(x³ – 5x² + 4x) ≤ 0;

x³ – 5x² + 4x ≠ 0.

Розв’яжемо нерівність (х³ – 16x)(x³ – 5^х2 + 4x) ≤ 0 без урахування умови x³ – 5x² + 4 ≠ 0.

х(х² – 16) · x(х² – 5x + 4) ≤ 0; x²(x – 4)(x + 4)(x – 1)(x – 4) ≤ 0;

(розкладемо x² – 5x + 4: х² – 5х + 4 = 0; x₁ = 1; х₂ = 4, тоді

х² – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4))

х²(х – 4)²(х + 4)(x – 1) ≤ 0. f(x) = x²(x – 4)2(x + 4)(х – 1), нулі;

x = 0, x = 4, x = –4, x = 1. Проміжки знакосталості:

(–∞; –4); f(–5) = (–5)²(–5 – 4)²(–5 + 4)(–5 – 1) > 0;

(–4; 0); f(–1) = (–1)²(–1 – 4)²(–1 + 4)(–1 – 1) > 0;

(0; 1); f(0,5) = (0,5)²(0,5 – 4)²(0,5 + 4)(0,5 – 1) < 0;

(1; 4); f(2) = (2)²(2 – 4)²(2 + 4)(2 – 1) > 0;

(4; +∞); f(5) = (5)²(5 – 4)²(5 + 4)(5 – 1) > 0. Отже, x ∈ [–4; 0] ∪ [0; 1].

За умовою x³ – 5х² + 4х ≠ 0; x(x² – 5x + 4) ≠ 0; х(х – 1)(х + 4) ≠ 0; тоді х ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 4. Урахувавши цю умову, маємо розв’язки заданої нерівності: x ∈ [–4; 0) ∪ (0; 1).

Відповідь: [–4; 0) ∪ (0; 1).

10. Знайдіть, при яких значеннях с рівняння має два різних дійсних корені.

Це справджується при умові, що квадратне рівняння виду ах² + bх +

+ с = 0 має D = b² – 4ас > 0. Тоді: (с + 1)х² + (Зс – 2)х – с = 0;

D = (Зс – 2)² – 4(с + 1) • (–c) = 9с² – 12с + 4 + 4с² + 4с = 13c² – 8с +

+ 4; 13с² – 8с + 4 > 0; дискримінант цього тричлена D₁ = 64 –

– 16 · 134 < 0, отже, нулів у тричлена немає. Вітки параболи y =

= 13с² – 8с + 4 спрямовані вгору, тому 13c² – 8с + 4 > 0 для всіх значень х ∈ R. Отже, при будь–якому дійсному с рівняння має два різних дійсних корені.

601. Знайдіть об’єм цеглини, розміри якої 250 x 120 x 65 мм.

Розв’язання. Цеглина має форму прям окутного паралелепіпеда. Тому треба знайти об’єм прямокутного паралелепіпеда, який має розміри цеглини, тобто довжину помножити на ширину і помножити на висоту.

Отже, V_{цеглини} = 250 • 120 · 65 = 1950000 мм³.

Відповідь: 1950 см³.

602. Корова прив’язана на галявині до кілка мотузкою завдовжки

8 м. Яку площу вона випасає?

Розв'язання. Корова може випасти траву в будь–якій точці, яка віддалена від кілка на відстань, не більш у від 8 м, тобто вона випасує коло радіусом 8 м. Отже, потрібно знайти площу кола радіуса r = 8 м.

S_випасу = πr² = 3,14 · 64 = 200,96 = 201 м².

Відповідь: = 201 м³.

603. Щоб підняти відро з криниці, треба зробити 12 обертів

коловорота. Знайдіть глибину криниці, якщо діаметр вала коловорота становить 24 см.

Побудуйте математичні моделі задач 604 і 605 у вигляді секторних

діаграм. Дайте відповіді на запитання.

Розв’язання. Глибина криниці дорівню є довжині ланцюга, який з’єднує відро з валом коловорота. Оскільки після 12 обертів з ланцюга на вал коловорота намотається 12 кіл діаметром, що дорівнює діаметру вала, то довжина ланцюга дорівнюватиме сумі довжин 12 кіл діаметром 24 см.

h = 12 · πd = 12 · 3,14 • 24 = 904,32 см, тобто глибина криниці — приблизно 904 см , або = 9 м.

Відповідь: = 9 м.

613. Два ковалі, працюючи разом, виконують певну роботу за 8 днів. За скільки днів виконав би цю роботу другий коваль, якщо перший може виконати її за 12 днів?

Розв’язання. Візьмемо всю роботу за рдиницю, а кількість днів, за які її виконає другий коваль, – за х. Тоді продуктивність першого становить 112, продуктивність другого – 1х, а продуктивність спільної роботи ковалів – (112 + 1х), або 18. Отже, маємо рівняння, яке є математичною моделлю задачі: 112 + 1х = 18.

112 + 1х = 18; 2х + 24 - 3х24х = 0; х ≠ 0; 24 – х = 0; х = 24.

Відповідь: другий коваль може виконати роботу за 24 дні.

614. а) Одна бригада може виконати роботу за 3 год, друга — за 5 год. За скільки годин виконали б цю роботу обидві бригади разом?

б) Однією з двох труб басейн можна наповнити за 3 год, а другою — за 5 год. За скільки годин наповниться басейн, якщо відкрити обидві труби?

в) Від станції А до станції В і від В до А одночасно виїхали два автомобілі. Через скільки годин вони зустрінуться, якщо відомо, що перший автомобіль відстань AB долає за 3 год, а другий — за 5 год?

а) Розв’язання. Візьмемо всю роботу за одиницю. Тоді продуктив–ність першої бригади становить 13, а другої — 15, продуктивність обох бригад — 13 + 15 = 5 + 315 = 815 = 11,875, тобто разом вони виконають роботу за 1,815 год, що становить 1 годину і 52,5 хв.

Відповідь: за 1 год. 52,5 хв.

б) Розв'язання. Приймемо увесь об’єм басейну за одиницю. Тоді за годину перша труба наповнить 13, а друга 15, а разом — 13 + 15 =

= 5 + 315 = 815 = 11,875, тобто разом вони заповнять басейн за 1,875 години, що становить 1 годину і 52,5 хв.

Відповідь: за 1 год. 52,5 хв.

в) Розв'язання. Разом до зустрічі автомобілі проїдуть відстань АВ. Отже, необхідно знайти час, за який вони подолають цю відстань. За одну годину перший автомобіль проїде AB3, а другии – AB5, а разом –

AB3 + AB5 = 5AB + 3AB15 = 8AB15 = AB1,875. Отже, разом вони подолають відстань АВ за 1,875 години, що становить 1 годину і 52,5 хв.

615. У їдальні є дві перші страви — борщ і суп, три другі — голубці, вареники та млинці, два напої — чай і компот. Скільки різних обідів з трьох страв може запропонувати їдальня?

Розв'язання. Нехай перший теплохід рухався на південь зі швидкістю х км/год, тоді другий рухався на захід зі швидкістю (х + 6) км/год.

За 2 год. перший подолав 2х км, а другий — 2(х + 6) = (2х + 12) км. Побудувавши схему їх руху, дістанемо прямокутний трикутник. Тому, скориставшись теоремою Піфагора, дістанемо рівняння, яке буде математичною моделлю задачі (2х)² + (2х + 12)² = 60².

Звідки: 4х² + 4х² + 48x + 144 – 3600 = 0; 8x² + 48х – 3456 = 0;

х² + 6х – 432 = 0; D = 36 + 1728 = 1764; D = 1764 = 42;

x₁ = -6 - 422 < 0 — не задовольняє умову задачі;

x₂ = -6 + 422 = 18.

Отже, швидкість першого теплохода становить 18 км/год, а швидкість другого — 18 + 6 = 24 км/год.

Відповідь: 18 км/год і 24 км/год.

621. У розіграші першості з футболу було зіграно 55 матчів, кожна команда грала з кожною іншою по одному разу. Скільки команд брало участь у розіграші?

Прзначимо загальну кількість команд х. Тоді кожна з них зіграла

(x – 1) ігор. Усього було зіграно x(x - 1)2 ігор, що за умовою задачі становить 55. Розв’яжемо рівняння: x(x - 1)2 = 55; x² – x – 110 = 0; х₁ = 11, x₂ = –10 — не задовольняє умову. Отже, у розіграші брали участь 11 команд.

Зауваження. Хоча кожна з х команд зіграла (x – 1) матч, загальна кількість ігор становить x(x - 1)2, б0 в кожному матчі одночасно грають дві команди.

622. Катер за 4 год пройшов 24 км за течією річки і 20 км — проти течії. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість катера дорівнює 12 км/год.

Позначимо швидкість течії за х км/год.

	V (км/год)	S(км)	Т(год)
За течією	12 + х	24	2412 + х
Проти течії	12 – х	20	2012 - х

За умовою весь шлях каїер пройшов за 4 год. Розв’яжемо рівняння:

2412 + x + 2012 - x = 4; 24\12-x12 + x + 20\12+x12 - x – 4\144-x2 = 0;

288 – 24х + 240 + 20х – 57х + 4х2 = 0;

4х² – 4х – 48 = 0;

х² – x – 12 = 0;

x₁ = –З — не задовольняє умову задачі,

x₂ = 4. Отже, швидкість течії — 4 км/год.

623. Знайдіть сторони прямокутника, знаючи, що його периметр

дорівнює 74 см, і якщо одну зі сторін збільшити на 3 см, а другу — зменшити на 2 см, то площа прямокутника зменшиться на 20 см.

Оскільки периметр прямокутника дорівнює 74 см, то сума двох суміжних сторін – 74 : 2 = 37 (см). Позначимо одну сторону х см, тоді друга — (37 – х) см, а площа прямокутника становить х(37 –

– х) см². Після зміни сторони дорівню ватимуть (х + 3) см і (37 – х –

– 2) = (35 – х) см , а площа — (х + 3)(35 – х). За умовою різниця площ становить 20 см². Складемо і розв'яжемо рівняння:

x(37 – x) – (х + 3)(35 – x) = 20;

37x – x² – 35x + x² = 105 + Зx – 20 = 0;

5х – 125 = 0; 5x = 125; x = 25.

Одна сторона дорівнює 25 см , друга 37 – 25 = 12 (см).

624. Дві вежі, одна заввишки 40, а друга — 30 футів, розташовані на відстані 50 футів одна від одної. До розміщеної між ними криниці злітаються одночасно з обох веж два птахи. Якщо птахи летять з однаковою швидкістю, то вони водночас долітають до криниці.

Знайдіть відстань від криниці до веж.

Нехай АВ = 3, футів і DE = 40 футів — дані вежі, АЕ = 50 футів — відстань між ними. С — криниця. Оскільки птахи злітають одночасно,

летять з однаковою швидкістю і долітають до криниці одночасно, то відстань, яку вони пролітають, однакова: ВС = CD. Нехай АС = х

футів, тоді СЕ = (50 – х) футів. За теоремою Піфагора:

З ∆АВС ВС² = АВ² + АС² = 30² + х² = 900 + х², з ∆CDE CD² = DE² +

+ СЕ² = 40² + (50 – х²) = 1600 + 2500 – 100х + х².

Розв’яжемо рівняння;

90 + x² = 1600 + 2500 – 100х + х²;

100х = 3200; x = 32;

50 – 32 = 18 (футів).

Таким чином, відстані від криниці до венс дорівнюють 32 і 18 футів.

625. Дві бригади мулярів, працюючи разом, можуть виконати роботу за 4 дні. За скільки днів кожна бригада окремо могла б виконати цю роботу, якщо перша зробить це на 6 днів раніше, ніж друга?

Нехай перща бригада може виконати всю роботу за х днів, тоді за один день вона виконує 1x частину роботи. Відповідно друга бригада виконає всю роботу за (х + 6) днів, а за один день вона виконує 1x + 6 частину роботи. Працюючи разом, дві бригади за день виконають (1x + 1x + 6) частину роботи, що за умовою дорівнює 14

(всю роботу разом виконую ть за 4 год). Маємо рівняння:

1x + 1x + 6 = 14; 1x + 1x + 6 – 14 = 0;

4х + 24 + 4х – х² – 6х = 0;

–x² + 2х + 24 = 0; х² – 2х – 24 = 0;

x₁ = 6; x₂ = –4 — не задовольняє умову задачі. Отже, перша бригада виконала б роботу за 6 днів, а друга — за 6 + 6 = 12 днів.

626. Двома екскаваторами різної потужності, що працювали разом, вирили котлован за 6 год. Якби одним з них вирили б половину котловану, а потім другим — решту, то всю роботу було б закінчено за 12,5 год. За скільки годин кожним екскаватором окремо можна виконати всю роботу?

Нехай перший екскаватор вириє котлован за х год, а другий — за у

год. Тоді за 1 годину вони вириють відповідно 1x i 1y частину котловану, що разом становить 16 : 1x + 1y = 16.

Половину котловану перший екскаватор вириє за 12х год, другий —

за 12у год, що разом за умовою становить 12,5 год: 12х + 12у = 12,5.

Розв’яжемо систему рівнянь:

1x + 1y = 16, 1x + 1y = 16, 125 - y + 1y – 16 = 0,

12x + 12y = 12,5; x + y = 25; x = 25 – y;

6y + 150 – 6y – 25y + y² = 0, y² – 25y + 150 = 0,

x = 25 – y; x = 25 – y;

y = 15 y = 10, y = 15, y = 10,

x = 25 – 15; або x = 25 – 10; x = 10; або x = 15.

Отже, один з екскаваторів може виконати роботу за 10 год, інший — за 15 год.

627. Двома насосами, що працювали разом, наповнили танкер

нафтою за 5 год. Якби потужність І насоса була удвічі меншою, а потужність II — вдвічі більшою за початкову, то танкер наповнили б за 4 год. За скільки годин кожним насосом, що працював би окремо з початковою потужністю, можна наповнити танкер нафтою?

Нехай перший насос наповнить танкер за х год, а другий — за у год. Тоді за 1 год. перший насос наповнить 1x, другий — 1y частину танкера, разом — 15 частину. При зменшенні потужності вдвічі перший насос за 1 год. наповнить 12x частину танкера, другий при збільшенні потужності вдвічі — 2y частину, разом за 1 год. 14. Розв’яжемо систему рівнянь:

1x + 1y = 15, · 2 1x + 1y = 15,

12x + 2y = 14; 1x + 4y = 12. Віднімемо від другого рівняння перше:

3y = 12 – 15 : 3y = 310; y = 10. 1x + 110 = 15; 1x = 110; x = 10.

Кожний насос, працюючи окремо, наповнить танкер за 10 годин.

628. Є 10–відсотковийі 15–відсотковий розчини солі. Скільки треба взяти кожного розчину, щоб мати 100 г 12–відсоткового розчину?

Розв’язання. Якщо треба взяти х г 10–відсоткового розчину, то 15–відсоткового розчину треба взяти (40 – х) г. Тоді в 10–відсотковом у розчині буде О, ї х г солі, а в 15–відсотковому — 0,15(40 – х ) г солі. У сумі це дорівнюватиме кількості солі в 40 г утвореного 12–відсоткового розчину, тобто 0,12 • 40 = 4,8 г. Отже, маємо

рівняння, яке є математичною моделлю задачі: 0,1х + 0,15(40 – х) =

= 4,8.

0,1x + 0,15(40 – х) = 4,8; 0,1x + 6 – 0,15x = 4,8; –0,05х = –1,2; х =

= 24.

Отже, 10–відсоткового розчину треба взяти 24 г, а 15–відсоткового розчину — 40 – 24 = 16 г.

Відповідь: 24 г 10–відсоткового і 16 г 15–відсоткового.

629. Є два розчини солі. Концентрація солівпершому — 0,25, а в другому — 0,4. На скільки кілограмів більше треба взяти одного розчину, ніж другого, щоб одержати розчин масою 100 кг, концентрація солі в якому 0,37?

	Маса розчину (кг)	Доля солі	Маса солі (кг)
1–й розчин	х	0,25	0,25 х
2–й розчин	у	0,4	0,4 у
3–й розчин	100	0,37	0,37 · 100

x + y = 100, 25x + 25y = 2500,

0,25x + 0,4y = 0,37 · 100; 25x + 40y = 3700; 15y = 1200;

у = 80. x = 100 – у, x = 100 – 80, x = 20. Отже, одного розчину треба взяти 80 кг, другого — 20 кг. Тобто одного розчину потрібно взяти на 60 кг більше, ніж, другого.

630. Ціна меблів після двох послідовних знижок на р % зменшилася

з 12 500 до 8 000 грн. На скільки відсотків зменшувалася ціна щоразу?

Після зниження на р% ціна стала 12500 (1 – р100), після другого зниження – 12500 (1 – р100) · (1 – р100) = 12500 (1 – р100)², що за умовою становить 8000 грн. Маємо рівняння:

12500(1 – р100)² = 8000; (1 – р100)² = 800012500;

(1 – р100)² = 0,64; 1 – р100 = 0,8; р100 = 0,2; р = 20.

Відповід: ціна щоразу зменшувалась на 20%.

631. У дитячому кафе фруктовий салат “Екзотика», що складається

на 34 із персиків, коштує 24 грн. Якою буде ціна салату, якщо персики замінити: а) сливами, що вдвічі дешевші за персики;

б) плодами, що в k разів дорожчі за персики? Врахуйте, що вартість компонентів салату становить 50 % його загальної вартості.

Компоненти салату кош тують 50 % від 24 грн, тобто 12 грн. Персики коштують 34 від 12 грн: 12 · 34 = 9 (грн).

Тоді решта компонентів коштує 12 – 9 = З (грн).

а) Якщо персики замінити сливами, які коштують вдвічі менше за персики, тобто 4,5 грн, то салат кош туватиме 2 · (З + 4,5) =

= 15 (грн.).

б) Плоди коштують 9k грн., всі компоненти — (3 + 9k) грн., салат — 2 · (3 + 9k) грн.

632. Попит і пропозиція певного товару описуються рівняннями:

Q_D = 750 – 23р, Q_s = 150 + 97р, де Q_D — обсяг попиту (млн штук за рік), Q_s — обсяг пропозиції (млн штук за рік), р — ціна, грн. Знайдіть рівноважну ціну та обсяг продажу. Як зміняться попит і пропозиція,

якщо ціна товару становитиме 6 грн.?

Рівноважна ціна — це ціна, при якій попит і пропозиція рівні:

750 – 23 р = 150 + 97 р; 120р = 600; р = 5.

Рівноважна ціна — 5 грн.

Обсяг продажу при цій ціні: Q_D = Q_S = 750 – 23 · 5 = 635 (млн. штук).

Якщо ціна товару становитиме 6 грн., тобто збільшиться на 1 грн, матимемо:

Q_D = 750 – 23 (р + 1) = 750 – 23р – 23 — попит зменшиться на 23 млн. штук;

Q_s = 150 + 97 (р + 1) = 150 + 97р + 97 — пропозиція збільшиться на 97 млн. штук.

633. Для виробництва продукції фірма закупила устаткування,

вартість якого — 200 000 грн. Передбачається, що термін експлуатації устаткування — 10 років, після чого, у зв’язку із закінченням терміну експлуатації, воно може бути продано тільки на брухт за ціною 19 700 грн. Установіть, якою буде поточна вартість устаткування через 2 і через 5 років його експлуатації, якщо щороку амортизаційні відрахування залишаються сталими.

Амортизаційні відрахування щороку: (200000 – 19700) : 10 =

= 18030 (грн.).

Через 2 роки вартість устаткування: 20 0000 – 18 030 · 2 =

= 163 940 (грн).

Через 5 років: 200000 – 18 030 • 5 = 109 850 (грн).

634. У фермера є 600 м металевої сітки, якою хоче обгородити загін для телят. Яку форму загону слід обрати, щоб він мав найбільшу площу?

Слід обрати форму круга, оскільки круг має найбільшу площу серед всіх плоских фігур з одним периметром.

635. Учні фізико–математичних класів ліцею підготували наукові проекти з математики, фізики та інформатики. 3 математики — 48 проектів, фізики — 30, а з інформатики — 40. Із математики і фізики роботи виконали 6 учнів, математики й інформатики — 9, із фізики й

інформатики — 7. Двоє учнів мають наукові проекти із усіх трьох предметів. Скільки учнів не підготували проект з жодного із цих трьох предметів, якщо у фізико–математичних класах ліцею навчаються 100 учнів?

Проекти підготували: тільки з математики 48 – (6 – 2) – (9 – 2) – 2 =

= 35; тільки з фізики

30 – (6 – 2) – (7 – 2) – 2 = 19; тільки з інформатики

40 – (9 – 2) – (7 – 2) – 2 = 26. Усього проекти підготували

35 + 19 + 26 + 7 + 4 + + 5 + 2 = 98 (учнів).

Отже, не підготували жодного проекту 2 учні.

636. У 9–А класі навчаються 36 учнів. З’ясувалося, що на канікулах

тільки двоє учнів не були ні в кіно, ні в театрі, ні в цирку. Проте в кіно були 25 учнів, у театрі — 11, а в цирку — 17. Шестеро учнів ходили і в кіно, і в театр, четверо — в театр і цирк, а десятеро — в кіно і в цирк. Скільки учнів були на канікулах і в кіно, і в театрі, і в цирку?

Нехай і в кіно, і в театрі, і в цирку були x учнів. У кіно були:

25 – (6 – х) – (10 – х) – х = 25 – 16 + х = 9 + х.

У театрі: 11 – (6 – х) – (4 – х) – х = 1 + х.

У цирку: 17 – (10 – x) – (4 – x) – x = З + x.

Усього в класі учнів

(9 + х) + (1 + х) + (3 + x) + (6 – x) + (4 – x) + (10 – х) + x + 2 =

= x + 35, що за умовою дорівнює 36.

x + 35 = 36, x = 1.

Відповідь: 1 учень.

637. З двох міст, відстань між якими 120 км, назустріч один одному одночасно виїхали мотоцикліст і велосипедист. Зустрілися вони через 3 год. Знайдіть їхні швидкості, знаючи, що всю відстань мотоцикліст проїхав на 2,5 год швидше, ніж велосипедист.

Нехай х км/год — швидкість велосипедиста, а у км/год — швидкість мотоцикліста. Тоді швидкість їх зближення (х + у) км/год. За З год. вони разом проїдуть 3(х + у) = 120, х + у = 40.

Велосипедист проїде всю відстань за 120х год, мотоцикліст — за

120у год. За умовою 120х – 120у = 2,5. Розв’яжемо систему рівняннь:

x + y = 40, x = 40 – y,

20x – 120y = 2,5; 12040 - y – 120y – 2,5 = 0;

x = 40 – y, x = 40 – y,

120y – 4800 + 120y – 100y + 2,5y² = 0; 2,5y² + 140y – 4800 = 0;

x = 40 – y, x = 40 – у,

y² + 56y – 19200; y = 24 або у = –80 – не задовольняє умову задачі.

х = 40 – 24, x = 16,

y = 24; y = 24.

Швидкість велосипедиста – 16 км/год, мотоцикліста – 24 км/год.

638. Два поїзди вийшли з міст А і В, відстань між якими 900 км,

і зустрілися на середині шляху. Знайдіть їхні швидкості, якщо

швидкість першого на 5 км/год менша від швидкості другого, а виїхав перший з А на 1 год раніше, ніж другий із В.

Нехай швидкість другого поїзда х км/год, тоді швидкість першого —

(х – 5) км/год. До зустрічі кожний із поїздів проїхав половину шляху, тобто 450 км. Перший поїзд подолав цю відстань за 450x - 5 год, другий — 450x год. За умовою перший поїзд їхав на 1 год. більше, ніж другий. Маємо рівняння:

450x - 5 – 450x = 1; 450x - 5 – 450x – 1 = 0;

450х – 450x + 2250 – х² + 5х = 0;

х² – 5х – 2250 = 0;

x₁ = 50, х₂ = –45 — не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість другого поїзда — 50 км/год, швидкість першого 50 – 5 = 45 (км/год).

639. Відстань між містами A i B — 90 км. З них одночасно назустріч один одному виїхали два мотоциклісти. З якими швидкостями вони їхали, якщо після зустрічі перший їхав до В 1 год 15 хв, а другий до А — 48 хв?

Згідно з доведеною формулою,

t² = 11560 · 4860; t² = 75 · 48602; t = 6060 = 1 (год) (t > 0).

Тобто до зустрічі кожний мотоцикліст проїхав 1 год. Тоді вся похздка тривала для першого t1' = 2 год. 15 хв = 13560 год, для другого t2' = 1 год.

48 хв = 10860 год.

V₁ = 90t1' = 90135 = 90 · 60135 = 40 (км/год);

v₂ = 90t2' = 90 : 10860 = 90 · 60108 = 50 (км/год)

640. З пунктів А і В, відстань між якими 24 км, вирушили одночасно два автомобілі назустріч один одному. Після їх зустрічі автомобіль, що вийшов з А, прийшов до В через 16 хв, а другий автомобіль

прийшов до А через 4 хв. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

Пояснення аналогічно №639.

t² = t₁ · t₂; t² = 1660 · 460; t² = 64602; t = 860 год. = 8 хв.

Весь час руху кожного автомобіля становить t1' = 8 + 16 = 24 (хв) =

= 2460 год;

t2' = 8 + 4 = 12 (хв) = 1260 (год);

V₁ = 24t1' = 24 : 2460 = 60 (км/год), V₂ = 24t2' = 24 : 1260 = 120 (км/год).

641. 3 двох міст, відстань між якими 350 км, одночасно назустріч

один одному виїхали два мотоциклісти. Через 3 год після початку руху їм залишилося проїхати до зустрічі 20 км. Знайдіть швидкості мотоциклістів, якщо їх різниця дорівнює 10 км/год.

Нехай швидкість першого мотоцикліста х км/год, другого — (х + 10) км/год. За 3 год. вони разом проїхали 3(x + x + 10) км. Складемо і розв’яжемо рівняння: 3(x + x + 10) + 20 = 350; 6x + 50 = 350;

6x = 300; x = 50 V₁ = 50 км/год; V₂ = V₁ + 10 = 50 + 10 =

= 60 (км/год).

643. Однією дорогою зі сталими швидкостями їдуть мотоцикліст

і велосипедист, а назустріч їм іде пішохід. Коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста, вони були на відстані 8 км від пішохода.

Коли мотоцикліст зустрів пішохода, велосипедист відстав від мотоцикліста на 4 км. На скільки кілометрів мотоцикліст випереджатиме велосипедиста в момент, коли велосипедист зустрінеться з пішоходом (мал. 117)?

Скористаємось математичною моделлю на мал. 117. У ∆OPB MK ∥ OP, тоді ∆MKB ~ ∆POB PBMB = OBKB = OPMK = 84 = 21. Отже, MK – середня лінія

∆OPB. У ∆OBC BC ∥ MK, K – середина ОВ. Тоді за теоремою Фалеса М – середина ОС і МК – середня лінія ∆ОВС, МК = 12ВС; ВС = 2МК = 8 (км). Отже, мотоцикліст випереджатиме велосипедиста на 8 км.

644. Круговою доріжкою завдовжки 2 км рухаються в одному

напрямку два ковзанярі, які сходяться через кожні 20 хв. Визначте швидкість кожного ковзаняра, якщо перший з них пробігає коло на

1 хв швидше від другого.

Позначимо швидкість першого ковзаняра V₁ км/год, другого – V₂ км/год (V₁ > V₂).

Одне коло вони пробігають відповідно за 2V1 год. і 2V2 год.

За умовою 2V2 – 2V1 = 160.

За кожні 20 хв. перший ковзаняр обганяє другого на коло – 2 км:

20 хв = 13 год, 13V₁ – 13V₂ = 2. Розв’яжемо систему рівнянь.

2V2 – 2V1 = 160, 2V2 – 2V1 – 160 = 0, 2\60(V2+6)V2 – 2\60V2V2 + 6 – 1\V22+6V260 = 0,

V13 – V23 = 2; V₁ – V₂ = 6; V₁ = V₂ + 6;

120V₂ + 720 – 120V₂ – V22 – 6V₂ = 0;

V₁ = V₂ + 6;

–V22 – 6V₂ + 720 = 0, V₂ = –30

V₁ = V₂ + 6; V₁ = V₂ + 6 – не задовольняє умову або V₂ = 24

V₂ = 24, V₂ = 24,

V₁ = 24 + 6; V₁ = 30.

Швидкість першого ковзаняра 30 км/год, другого – 24 кмгод.

645. Поліна, Галина, Данило та Валентин працюють на кондитер–ській фабриці в різних цехах, де виробляють карамель, шоколад, печиво, торти. Валентин, Данило і той, хто працює в цеху, де випікають торти, разом навчалися в кулінарному училищі. Поліна та Галина ходять на роботу пішки, а той, хто працює в карамельному

цеху, та Данило постійно їздять на роботу на власних авто. Людина, яка працює в цеху, де виробляють печиво, ніколи не була знайома ні з працівником цеху, де виробляють шоколад, ні з Галиною. Хто в якому цеху працює?

	Карамель	Шоколад	Печиво	Торти
Поліна	0	0	1	0
Галина	0	0	0	1
Данило	0	1	0	0
Валентин	1	0	0	0

Валентин і Данило не випікають торти. Поліна, Галина і Данило не працюютьу карамельному цеху, тоді там працює Валентин. Людина, яка випікає печиво, не знайома принаймні з двома робітникам и, значить, вона не навчалася в кулінарному училищі, а отже, не знайома з Валентином, Данилом і Галиною. Це — Поліна.

Заповнивши клітинки в рядках і стовпчиках, де стоять одиниці, нулям и, побачимо: шоколад виготовляє Данило, торти — Галина.

646. Побудуйте графік функції.

у = 2х + 3х02у37

648. Який з дробів більший:

а) 34 = 0,75; 45 = 0,8; 0,75 < 0,8; 34 < 45;

б) 1 – 4748 = 148; 1 – 4950 = 150; 148 > 150; 4748 < 4950;

в) 56 = 0,8 (3); 56 > 0,833.

649. Значення якого виразу більше:

(3215 – 7,2) : 56 = (32,2 – 7,2) : 56 = 25 : 56 = 25 · 65 = 30,

(2114 + 4,75) · 1213 = 26 · 1213 = 26 · 1213 = 24, 30 > 24,

(3215 – 7,2) : 56 > (2114 + 4,75) · 1213.

650. Скоротіть дріб:

a) x2 + 2xx2 + 7x + 10 = x(x + 2)(x + 2)(x + 5) = xx + 5;

б) x2 - 4x + 3x2 - 9 = (x - 3)(x - 1)(x - 3)(x + 3) = x - 1x + 3;

в) x2 + 3x + 2x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 1) = x + 2x + 3.

651. Знайдіть 50 % від: а) 200; б) 35; в) 0,5; г) 1 год.

50% = 0,5 = 12

200 • 0 ,5 = 100; б) 35 • 0,5 = 17,5; в) 0,5 • 0,5 = 0,25; г) 1 год. •

• 0,5 = 30 хв.

652. Знайдіть 25 % від: а) 80; б) 16; в) 0,4; г) 1 грн.

25% = 0,25 = 14

а) 80 : 4 = 20; б) 16 : 4 = 4; в) 0,4 : 4 = 0,1; г) 1 грн : 4 = 25 к.

653. Знайдіть число, 10 % якого дорівнює:

10% = 0,1 = 110

а) 7 : 0,1 = 70; б) 200: 0,1 = 2000; в) 3,5 : 0,1 = 35;

г) 1 : 0,1 = 10; ґ) 0,5 : 0,1 = 5.

654. Знайдіть відсоткове відношення чисел:

a) 5 : 25 = 0,2 = 20 %; б) 25 : 20 = 1,25 = 125%;

в) 12 : 14 = 12 · 41 = 2 = 200%; г) 16 : 13 = 16 · 31 = 12 = 50%.

655. Виразіть у відсотках відношення:

а) 1 : 4 = 0,25 = 25%; б) З : 12 = 0,25 = 25%;

в) З : 15 = 0,2 = 20%; г) 5 : 50 = 0,1 = 10 %.

656. На скільки відсотків число 20 більше від 10? На скільки

відсотків число 10 менше від 20?

1) З’ясуємо, скільки процентів становить число 20 від числа 10:

10 – 100%

20 – х %

x = 20 · 10010 = 200%

200% – 100% = 100%.

Відповідь: на 100%.

2) Аналогічно:

20 – 100% x = 10 · 10020 = 50%

10 – х%

100% – 50% = 50%.

Відповідь: на 50 %.

657. Ціна на яблука зросла на 300 %. У скільки разів зросла їх ціна?

Початкова ціна — 100%. Нова ціна – 100% + 300% = 400%.

400% : 100% = 4.

Відповідь: у 4 рази.

658. Запишіть у вигляді десяткових дробів:

а) 2 % = 0,02; б) 35% = 0,35; в) 216% = 2,16; г) 5,4% = 0,054.

659. Запишіть у вигляді відсотків:

а) 0,4 = 40%; б) 0,53 = 53%; в) 13,7 = 1370%; г) 24 = 2400%.

660. Знайдіть:

1. а) 42%, 0,42; 350 · 0,42 = 147 (грн);

б) 0,6% = 0,006; 5 • 0,006 = 0,03 (кг);

в) 12% = 0,12; 0,54 • 0,12 = 0,0648 (м);

г) 125% = 1,25; 4 · 1,25 = 5 (год).

2. a) 60% = 0,6.

30 : 0,6 = 50; 90 : 0,6 = 150; 120 : 0,6 = 200; 150 : 0,6 = 250;

1,8 : 0,6 = 3; 2,4 : 0,6 = 4;

6) 2,5% = 0,025.

15 : 0,025 = 600; 45 : 0,025 = 1800; 60 : 0,025 = 2400;

125 : 0,025 = 5000; 7,5 : 0,025 = 300; 1,7 : 0,025 = 68.

661. Знайдіть число:

a) 45% = 0,45; 270 : 0,45 = 600; б) 0,3% = 0,003; 0,3 : 0,003 = 100.

662. Запишіть у відсотках відношення:

a) 7 : 10 = 0,7 = 70%; б) 21 : 140 = 0,15 = 15%; в) 0,39 : 2,6 =

= 0,15 = 15%.

663. Скільки відсотків площі великого квадрата (мал. 121) позначено:

Квадрат складається зі 100 клітинок, це 100%.

а) 32 %; б) 16 %; в) 10 %; г) 10 %.

664. Скільки кілограмів жиру містяться в 50 кг молока, жирність якого 3,8 %?

3,8% = 0,038. 50 · 0,038 = 1,9 (кг).

665. Руда містить 54 % заліза. Скільки заліза можна виплавити

з 5 000 т такої руди?

54% = 0,54. 500 · 0,54 = 2700 (т).

666. Скільки кілограмів солі містяться в 1 кг 7–відсоткового

розчину?

1 кг – 100%

х кг – 7% х = 1 · 7100 = 0,07 (кг).

667. У магазин завезли 1 000 кг яблук, з них 20 % першого

сорту, 30 % — другого, а решта — третього сорту. Скільки кілограмів яблук кожного сорту завезли в магазин?

1) 20 % = 0,2; 1000 · 0,2 = 200 (кг) – яблук 1 сорту.

2) 30 % = 0,3; 1000 • 0,3 = 300 (кг) — яблук II сорту.

3) 1000 – (200 + 300) = 500 (кг) – яблук ІІІ сорту.

668. Довжина прямокутника 65 см, а ширина становить 40 %

довжини. Знайдіть периметр прямокутника.

1) 40 % = 0,4; 65 · 0,4 = 26 (см) – ширина;

2) Р = (65 + 26) · 2= 182 (см).

669. Посадовий оклад службовця — 2 000 грн. З нового року його обіцяють підвищити на 20 % . Яким стане посадовий оклад службовця?

І спосіб. 2000 грн – 100%

х грн – 20%. х = 2000 · 20100 = 400 (грн.)

2000 + 400 = 2400 (грн).

ІІ спосіб. 1) 100% + 20% = 120%;

2) 2000 грн – 100%

х грн – 120%; х = 2000 · 120100 = 2400 (грн).

670. При виготовленні розсолу для соління огірків треба 0,76 кг солі на відро води (12 кг). Виразіть у відсотках міцність розчину.

0,76 : 12 = 0,06 (3) = 6%.

671. Із 1050 зернин пшениці 1000 зернин зійшло. Який відсоток

схожості має насіння?

1050 зерен – 100% х = 1000 · 1001050 = 95% (грн).

1000 зерен — х%.

672. Банк обслуговує 50 000 клієнтів: 21 000 — юридичні особи, а решта — фізичні. Скільки відсотків становлять: а) юридичні особи;

б) фізичні особи?

1) 50 000 кл. 100%

21000 кл. — х %.

х = 21000 · 10050000 = 42% – юридичні особи.

2) 100% – 42 % = 58 % — фізичні особи.

674. Тракторист мав зорати 25 га, а зорав — 27 га. На скільки

відсотків він виконав завдання? На скільки відсотків перевиконав завдання?

1) 25 га – 100% х = 27 · 10025 = 108%

27 га – х %.

2) 108% – 100% = 8 % — перевиконання зявдання.

677. Довжина прямокутника 54 см, а ширина — на 20 % менша.

Знайдіть площу прямокутника.

Якщо довжина — 100 %, то ширина становить 100% — 20 % = 80%

80% = 0,8; 54 · 0,8 = 43,2 (см).

S = 54 • 43,2 = 2332,8 (см²).

678. Площа прямокутника дорівнює 96,8 см². Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 20 % менша за другу.

Нехай одна сторона х см , тоді друга — 0,8х. Площа прямокутника

S = х · 0,8х = 0,8². 0,8х² = 96,8; х² = 121; х = 11 (х > 0)

11 · 0,8 = 8,8 (см). Сторони прямокутника 11 см і 8,8 см.

679. Площа прямокутника дорівнює 96,8 см². Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 20 % більша за другу.

Задача аналогічна № 678.

680. В одній книжці на 20 % сторінок менше, ніж у другій. На скільки відсотків у другій книжці сторінок більше, ніж у першій?

У другій книжці сторінок 100 %, у першій на 20 % менше, тобто 80%. Визначимо процентне відношення кількості сторінок у другій книзі щодо третьої: 100 : 80 = 1,25 = 125 %; 125% – 100% = 25%. Отже, у другій книжці на 25% сторінок більше.

681. Яка була ціна товару до переоцінки, якщо після підвищення

її на 20 % цей товар коштує 450 грн.?

120% — 450 грн. х = 450 · 00120 = 375 (грн)

100% — х грн.

682. Ціна краму спочатку знизилась на 10 %, а потім ще раз на 10 %. На скільки відсотків вона змінилась після двох переоцінок?

Розв’язання. Ціна знижувалась кожного разу на 10 %, тобто після зниження становила 90 % від попередньої. Нехай спочатку ціна краму дорівнювала х. Після першого зниження вона становила 0,9х, після другого — 0,9х · 0,9 = 0,81х, тобто становила 81 % від початкової ціни.

Отже, ціна знизилась на 100 – 81 = 19 %.

Відповідь: 19 %.

683. Ціна на автомобіль спочатку підвищилась на 20 %, а потім знизилась на 20 % . Як змінилась ціна на автомобіль після цих двох переоцінок?

Розв'язання. Нехай спочатку ціна на автомобіль дорівнювала х. Після підвищення вона становила 1,2х, а після зниження — 1,2х · 0,8 = 0,96х, тобто становила 96 % від початкової ціни. Отже,

ціна знизилась на 100 – 96 = 4%.

Відповідь: знизилась на 4 %.

684. Сума двох чисел на 20 % більша від їх різниці. Знайдіть

відношення цих чисел.

x – y – 100%

x + y – 120%

(x + y) – (x – y) = 120% – 100%;

x + y – x + y = 20%;

2y = 20%;

y = 10%

x = 120% – y = 120% – 10% = 110%;

xy = 110%10% = 11.

Відповідь: xy = 11.

685. Півсума двох чисел на 30 % більша від їх різниці. Знайдіть

відношення цих чисел.

x – y – 100%

12(x + y) – 130%

(x + y) – 260%

(x + y) – (x – y) = 260% – 100%;

2y = 160%; y = 80%

x = 100% + y = 100% + 80% = 180%

xy = 18080 = 2,25.

686. У двох баках міститься 140 л бензину. Якщо з першого бака

12,5 % бензину перелити до другого, то в обох баках бензину стане

порівну. Скільки літрів бензину в кожному баці?

Нехай у першому баці x л, в другому — у л. Маємо: х + у = 140.

Після переливання в першому баці стане (х – 0,125x) л, у другому — (у + 0,125x) л, за умовою — порівну:

x – 0,125х = у + 0,125x. Розв’яжемо систему рівнянь:

x + y = 140, x + y = 140, x + у = 140,

x – 0,125x = у + 0,125x; x – y – 0,25x = 0; 0,75х – у = 0;

1,75x = 140; x = 80;

у = 140 – x = 140 – 80 = 60 (л). У баках 80 л і 60 л бензину.

687. Завод збільшив випуск продукції за перший рік на 20 %, а за другий — на 25 %. Як зріс випуск продукції на заводі за ці два роки?

Розв’язання. Нехай продуктивність заводу була х. За перший рік вона стала дорівнювати 1,2x, а за другий — 1,2x · 1,25 = 1,5x, тобто становила 150% від початкової. Отже, за два роки випуск продукції зріс на 50 %.

Відповідь: зріс на 50 %.

688. Обсяг робіт на будівництві збільшився на 50 %, а продуктив–ність праці — на 20 %. Як змінилась кількість робітників?

Розв'язання. Початковий обсяг робіт був 1, а початкова кількість

робітників — x. Тоді продуктивність праці становила 1x. Потім обсяг робіт збільшився на 50 %, тобто став 1,5, а кількість робітників — у. Отже, продуктивність виросла до 1,5y і становила 1,2 · 1x. Отже, маємо рівняння 1,5y = 1,2 · 1x, з якого дістаємо відношення кількості робітників – yx = 1,51,2 = 1,25, тобто робітників збільшилось за 5%ю

Відповідь: збільшилось на 25%.

689. До 18 кг 10–відсоткового розчину кислоти долили 2 кг води. Визначте відсоткову концентрацію нового розчину.

1) 18 кг – 100% х = 18 · 0100 = 1,8 (кг) – маса кислоти.

х кг – 10%

2) 188 + 2 = 20 кг – маса нового розчину.

3) 20 кг – 100% х = 1,8 · 100%20 = 9%

1,8 кг – х %

690. Скільки треба змішати 10–відсоткового і 20–відсоткового розчинів солі, щоб мати 1 кг 12–відсоткового розчину?

	Маса розчину(кг)	Солі %	Маса солі (кг)
1 – й	х	10	0,1х
2 – й	у	20	0,2у
Новий розчин	1	12	0,12 · 1

х + у = 1, х + у = 1, у = 0,2;

0,1х + 0,2у = 0,12; х + 2у = 1,2; х = 0,8.

Треба взяти 0,8 кг 10 % розчину солі і 0,2 кг 20%.

691. Скільки кілограмів 7–відсоткового розчину слід долити до 5 кг 5–відсоткового розчину, щоб він став 6–відсотковим?

	Маса розчину (кг)	Маса речовини (кг)
7 – відсотковий	х	0,07х
5 – відсотковий	5	0,05 · 5
6 – відсотковий	х + 5	0,06(х + 5)

0,07х + 0,25 = 0,06x + 0,3;

0,01х = 0,3 – 0,25;

0,01х = 0,05;

х = 5. Треба долити 5 кг 7–відсоткового розчину.

692. Скільки прісної води треба долити до 100 кг морської, яка містить 5 % солі, щоб концентрація солі в ній дорівнювала 1,5 %?

1) 100 кг – 100% х = 5 · 100100 = 5 (кг) – маса солі.

х кг – 5%

2) У новому розчині ці 5 кг солі становитимуть 1,5%.

5 кг – 1,5%

х кг – 100% х = 5 · 1001,5 = 33313 (кг) – маса нового розчину.

3) 33313 – 100 = 23313 (кг) – маса прісної води.

695. Скільки води треба долити до 10 кг розчину солі, концентрація

якого 5 %₀, щоб одержати розчин концентрацією 3 %₀?

Розв'язання. Оскільки проміле — це 11000 частина, то в даному розчині знаходиться 10 · 0,005 = 0,05 кг солі.

Оскільки 0,05 кг солі в х кг нового розчину становитимуть З проміле, то маємо рівняння 0,003х = 0,05; х = 0,050,003; х = 16,7. Отже, маса нового розчину – приблизно 16,7 кг, тобто до початкового розчину треба долити приблизно 16,7 – 10 = 6,7 кг води.

Відповідь: ≈ 6,6 кг.

696. Скільки треба змішати розчину солі концентрацією 2 %_о і розчину солі концентрацією 10 %_о, щоб одержати 800 г розчину, концентрація якого 7 %_о?

Розв'язання. Нехай треба змішати х г розчину солі концентрацією 2 проміле та у г розчину солі концентрацією 10 проміле, тобто маємо рівняння х + у = 800. До нового розчину з першого розчину потрапить солі 0,002 г, а з другого – 0,01у г, що в сумі становитиме 0,007 · 800 = 5,6 г. Отже, маємо друге рівняння 0,002х + 0,01у =

= 5,6. Складемо систему рівнянь:

х + у = 800, x + y = 800,

0,002х + 0,01у = 5,6;| – 100; –0,2х – у = –560;

0,8x = 240; x = 300; 300 + у = 800; у = 500.

Отже, треба змішати 300 г розчину солі концентрацією 2 проміле і 500 г розчину солі концентрацією 10 проміле.

Biдповідь: 300 г і 500 г.

697. Скільки золота 375–ї проби треба сплавити із 30 г золота 750–ї проби, щоб одержати сплав золота 500–ї проби?

Розв'язання. Нехай сплавивши х г золота 375–ї проби з 30 г золота 750–ї проби, одержимо у г золота 500–ї проби. Тоді маємо рівняння

х + 30 = у. У х г золота 375–ї проби міститься 0,375 х г чистого золота, а в 30 г золота 750–ї проби міститься 0,75 · 30 = 22,5 г чистого золота, що в сумі становитиме вміст чистого золота в золоті 500–ї проби, тобто 0,5у г. Отже, маємо друге рівняння 0,375х +

+ 22,5 = 0,5у. Складемо систему;

х + 30 = у, x + 30 = y,

0,375х + 22,5 = 0,5у| –2; –0,75x – 45 = –y;

0,25x – 15 = 0; 0,25х = 15; x = 60.

Отже, треба взяти 60 г 375–ї проби.

Bідповідь: 60 г.

698. Із молока жирністю 5 % виготовляють сир жирністю 15,5 %, при цьому залишається сироватка жирністю 0,5 %. Скільки сиру одержують із 100 кг молока?

	Маса продукту(кг)	% жиру	Маса жиру (кг)
Сир	х	15,5	0,155х
Сироватка	у	0,5	0,05у
Молоко	100	5	0,05 · 100

х + у = 100, х + у = 100, 5х + 5у = 500,

0,155х + 0,005у = 0,05 · 100; 155 + 5у = 5000; 155х + 5у = 5000;

450х = 4500 : х = 30.

Відповідь: 30 кг сиру.

699. На першому полі 65 % площі засіяно житом. На другому полі під жито відвели 45 % площі. Відомо, що на обох полях житом засіяно 53 % загальної площі. Яку частину всієї засіяної площі становить перше поле?

Нехай площа першого поля х, другого – у, тоді загальна площа —

(х + у).

Маємо рівняння: 0,65x + 0,45y = 0,53 (x + y);

0,65х + 0,4у = 0,53x + 0,53у;

0,65х – 0,53x = 0,53у – 0,45y;

0,12х = 0,08y. За властивісгю пропорції yx = 0,120,08 = 32.

Площі першого і другого полів пропорційні відповідно числами 2 і З, тоді загальна площа – числу 5. Площа першого поля становить 25 від загальної.

701. 3 молока одержують 20 % вершків, а з вершків — 25% масла. Скільки треба молока, щоб одержати 10 кг масла?

1) 10 кг – 25% х = 10 · 10025 = 40 (кг) – маса вершків.

х кг – 100 %

2) 40 кг – 20%

х кг – 100 % х = 40 · 10020 = 200 (кг) – маса молока.

702. Руда містить 60 % заліза. З неї виплавляють чавун, який

містить 98 % заліза. Із скількох тонн руди виплавляють 1000 т чавуну?

Розв'язання. У 1000 т чавуну міститься 1000 · 0,98 = 980 т заліза. Нехай потрібно х т руди, щоб добути 980 т заліза, яке становить 60 % від маси руди, тобто 980х = 0,6; х = 9800,6; х = 1663.

Відповідь: = 1663 т.

703. Яблука під час сушіння втрачають 84 % своєї маси. Скільки свіжих яблук треба висушити, щоб одержати 40 кг сушених?

Розв’язання. Нехай потрібно взяти х кг свіжих яблук, щоб одержати 40 кг сухих, що становлять 100 – 84 = 16 % від початкової маси. Отже, 400,16 = 0,16;

Відповідь: 250 кг.

704. Під час прожарювання кавові зерна втрачають 12,5 % своєї маси. Скільки кілограмів непрожарених зерен потрібно, щоб одержати 42 кг прожарених?

Сирі кавові зерна становлять 100 %. При прожарюванні втрачається 12,5 % — волога, тоді залишається 100 % – 12,5 % = 87,5 %.

42 кг — 87,5 % х = 42 · 10087,5 = 48 (кг) — маса непрожарених зерен.

х — 100 %.

705. Свіжі гриби містять 90 % води, а сухі — 12 %. Скільки вийде сухих грибів із 44 кг свіжих?

1) 100 % – 90 % = 10% — процентний вміст сухої речовини в свіжих грибах.

2) 100% – 12 % = 88% — процентний вміст сухої речовини в сухих грибах.

3) 44 • 0,1 = 4,4 (кг) — маса сухої речовини в свіжих грибах, це становить 88 % сухих.

4,4 кг — 88 % х = 4,4 · 10088 = 5 (кг).

х кг — 100%.

706. Свіжі гриби містять 90 % води, а сухі — 12 %. Скільки треба висушити свіжих грибів, щоб одержати 10 кг сухих?

1) 10 кг – 100 %

х кг – 88% х = 88 · 10100 = 8,8 (кг) — маса сухої речовини в 10 кг сухих грибів.

2) 8,8 кг — 10 % х = 8,8 · 10 = 88 (кг) — маса свіжих грибів.

х кг – 100 %

707. Вологість свіжих грибів дорівнювала 99 %. Коли гриби

підсушили, їх вологість зменшилась до 98 %. Як змінилась маса грибів?

Розв'язання. Нехай свіжі гриби важать х, а підсушені — у. Тоді свіжі гриби мали вологи 0,99х, а підсушені — 0,98у. Отже, кількість вологи, що випарувалась, дорівнює різниці мас вологи в свіжих і підсушених грибах, тобто (0,99х – 0,98у), або різниці мас свіжих і підсушених грибів, тобто (х – у).

Звідси маємо рівняння

х – у = 0,99х – 0,98у: х – 0,99х = –0,98у + у; 0,01х = 0,02у; xy = 0,020,01; xy = 2, тобто маса свіжих грибів вдвічі більша від маси підсушених.

Відповідь: зменшилась удвічі.

708. Фірма взяла в банку кредит 250 000 грн. на 5 років під простих 3 %. Визначте: а) скільки гривень фірма поверне банку через 5 років; б) який прибуток одержить банк?

а) Через 5 років фірма має повернути банку 3 % · 5 = 15 % та саму суму кредиту, тобто 115% від 25 0000 : 250000 • 1,15 =

= 287 500 (грн).

б) 287 500 – 250000 = 37500 (грн) — прибуток банку.

709. Підприємець вніс до банку 15 000 грн. під складні 5 % річних. Якою буде сума його вкладу через 4 роки?

P₄ = 15000(1 + 5100)⁴ = 1500 · 1,05⁴ ≈ 18232,59 (грн).

710. Підприємству надано 50 000 грн. у кредит на шість місяців за ставкою 8 % річних. Яку суму підприємство має повернути банку через півроку?

За користування кредитом протягом року підприємство мало заплатити банку 50 000 • 0,08 грн = 4000 грн. Але оскільки кредит надано на 6 місяців, то слід заплатити 612, тобто 12 цієї суми — 2000 грн. Отже, підприємство має повернути банку 52000 грн.

711. На вклад у розмірі 90 000 грн. строком на 5 років банк

нараховує 18 % річних. Яка сума буде на рахунку в кінці строку, якщо нарахування відсотків здійснюється за схемою складних відсотків: а) щопівроку; б) щоквартально?

a) P_n = 90000 (1 + 18100 · 2)^2·5 = 90000 · 1,09¹⁰ ≈ 213062 (грн);

б) P_n = 90000 (1 + 18100 · 4)^4·5 = 90000 · 1,045²⁰ ≈ 217054 (грн).

712. Вкладник поклав до банку 200 000 грн. під 17 % річних. Які відсоткові гроші він матиме через два роки?

Прості відсотки: 200000 • 0,17 · 2 = 68000 (грн).

Складні відсотки:

200000 · (1 + 17100)² – 200000 = 273780 – 200000 = 73780 (грн).

713. За якої умови покладений до банку капітал через два роки збільшиться на 44 %?

1) У випадку простих відсотків щороку капітал має зростати на

44 % : 2 = 22 %.

2) Якщо капітал покладений до банку під складні відсотки, скористаємось відповідною формулою. Позначимо х — покладений капітал:

x · (1 + r100)² = 1,44x; (1 + r100)² = 1,44; 1 + a100 = 1,2; a100 = 0,2; a = 20.

Відповідь: 20 %.

714. Через скільки років капітал, покладений до банку під 25 % річних, збільшиться в 2 рази? (Скористайтеся калькулятором.)

Збільщення у 2 рази означає на 100 %.

1) У випадку простих процентів капітал подвоїться через

100% : 25 % = 4 роки.

2) Складні проценти (див. № 713): х · (1 + 25100)ⁿ = 2x; 1,25ⁿ = 2;

n ≈ 3,1.

715. Говорять, що в 1723 р. гетьман Павло Полуботок поклав до англійського банку великий капітал з України під 4 % річних. У скільки разів збільшився б той капітал до наших днів?

Розв'язання. Застосуємо формулу складних відсотків: A_n = A₀ · (1 +

+ p100), де в нашому випадку р = 4, а n — кількість років, протягом яких гроші знаходились у банку, тобто n = 2002 – 1723 = 279.

A₂₇₉ = A₀ (1 + 4100)²⁷⁹, A279A0 = 1,04²⁷⁹; A279A0 = 56532,95.

Отже, капітал збільшився приблизно у 56 533 рази.

Відповідь: у 56 533 рази.

716. Щороку населення Землі зростає приблизно на 2 %. Скільки людей житиме в 2025 p., якщо в 2000 р. їх було 6 млрд?

6 · (1 + 2100)²⁵ = 6 · 1,02²⁵ ≈ 6 · 1,64 ≈ 9,84 (млрд. чол).

717. Обчисліть.

а) –6^–3 = –163 = –1216; б) –0,1^–6 = –10⁶ = –1000000;

в) (–0,4)^–4 = (1-0,4)⁴ = (104)⁴ = (52)⁴ = 62516 = 39,0625;

г) (–0,3)^–5 = –10,35 = –(103)⁵ = –100000243 = –411 · 127243.

718. Обчисліть.

а) 28 ·104 = 28 · 104 = 2⁴ · 10² = 16 · 100 = 1600;

б) (-0,3)2·106 = 0,9 · 106 = 0,3 · 10³ = 300;

в) (-5)4·0,12 = |–5|² · 0,1 = 25 · 0,1 = 2,5.

719. Розв’яжіть усно рівняння.

а) x² – Зx – 18 = 0; x₁ = 6, x₂ = –З; б) x² – 16х + 60 = 0; x₁ = 10,

x₂ = 6.

720. Розв’яжіть усно рівняння.

а) х² + 16x + 48 = 0; x₁ = –12, x₂ = –4; б) x² + 4x – 21 = 0; x₁ = –7, х₂ =3.

721. Які з наведених у прикладах чисел можна віднести до

точних, а які — до наближених:

а) у школі навчаються 900 учнів;

б) маса Місяця 7,35 • 10²² кг;

в) площа басейну 600 м²;

г) товарний поїзд складається з 60 вагонів;

ґ) прискорення вільного падіння дорівнює 9,8 м/с²;

д) клавіатура комп’ютера містить 113 клавіш, а клавіатура

фортепіано — 87;

е) потомство однієї інфузорії туфельки на рік становить 75 • 10¹⁰⁸ особин;

є) африканська антилопа імпала може стрибнути у довжину на 7,5 м, а кенгуру — на 12 м;

ж) рецепт овочевої запіканки має 9 компонентів?

Точні — а, г, д, ж. Наближені — б, в, ґ, е, є.

722. Вимірявши довжину рейки ранком і опівдні, одержали різні її

значення: 8,234 м і 8,237 м. Яка довжина цієї рейки? Чи можна

визначити абсолютну похибку якого–небудь її наближеного значення?

1 = (8,234 + 8,237) : 2 = 8,2355. Абсолютну похибку за правилом знайти неможливо, бо ми не знаємо точної довж ини рейки.

723. Товщина книжки m = 35 ± 1 мм. Назвіть наближене значення

товщини книжки і межу його абсолютної похибки.

Наближене значення 35 мм, межа абсолю тної похибки – 1 мм.

724. Вивозячи з кар’ єру руду, 45–тонний самоскид зробив 13 рейсів. Чи можна стверджувати, що він вивіз 585 т руди?

Ні, це наближене значення.

725. Назвіть десяткові знаки в числах: 2,325; 0,007; 20,7.

З, 2, 5; 0, 0, 7; 7.

726. Скільки значущих цифр мають числа: 327; 1,005; 0,028;

1001?

3; 4; 2; 4.

727. Об’ єм Землі дорівнює 1 083 000 000 000 км³. Скільки значущих цифр має це наближене значення?

Чотири.

728. Діаметр молекули води дорівнює 0,0000003 мм. Скільки

десяткових знаків і скільки значущих цифр має це наближене

значення?

7 десяткових знаків; одна значуща цифра.

729. Округліть число:

а) 37,2539 з точністю до сотих;

б) 0,02578 з точністю до тисячних;

в) 6 548 371 з точністю до тисяч.

Округлимо числа;

а) 37,2539 з точністю до соти х; 37,2539 ≈ 37,25;

б) 0,02578 з точністю до тисячних; 0,02578 ≈ 0,026;

в) 6 548 371 з точністю до тисяч; 6 548 371 ≈ 6 548000.

730. Запишіть у вигляді подвійної нерівності вираз:

а) x = 4,96 ± 0,03; 4,93 ≤ x ≤ 4,99;

б) x = 37,9 ± 0,2; 37,7 ≤ x ≤ 38,1;

в) x = 3,05 ± 0,01; 3,04 ≤ x ≤ 3,06;

г) x = 73 ± 1; 72 ≤ х ≤ 74;

ґ) х = 79,25 ± 0,05; 79,20 ≤ х ≤ 79,30;

д) x = 97000 ± 1000; 96000 ≤ x ≤ 98000.

731. Маса атома Гідрогену дорівнює 1,0783 (а. о. м.). Округліть це число послідовно до тисячних, сотих, десятих, цілих і знайдіть відповідні абсолютні похибки наближення.

До тисячних; 1,0783 ≈ 1,078; |1,0783 – 1,078| = 0,0003.

До сотих: 1,0783 ≈ 1,08; |1,0783 – 1,08| = 0,0017.

До десятих: 1,0783 ≈ 1,1; |1,0783 – 1,1| = 0,0217.

До цілих; 1,0783 ≈ 1; |1,0783 – 1| = 0,0783.

732. Маса яблука більша від 310 г і менша від 320 г. Назвіть

наближене значення маси яблука і межу абсолютної похибки.

Відповідь: Наближене значення маси — 315 г, межа абсолютної похибки — 5 г.

733. Перетворивши число 13 у десятковий дріб, знайшли його

наближене значення 0,333. Знайдіть абсолютну похибку.

Перетворивши число 13 у десятковий дріб, знайшли його наближене значення 0,333. Знайдіть абсолютну похибку.

13 – 0,333 = 13 – 3331000 = 1000 - 9993000 = 13000. Отже, абсолютна похибка – 13000.

734. Чи правильно, що:

З’ясуємо, чи правильні наведені рівності:

а) 13 = 0,33 ± 0,01; – так, бо 0,32 < 13 < 0,34;

б) 13 = 0,33 ± 0,02; – ні, бо 0,328 < 13 і 13 > 0,332;

в) 16 = 0,166 ± 0,001; – так, бо 0,165 < 16 < 0,167;

г) 16 = 0,166 ± 0,0005; – ні, бо 0,1655 < 16 і 16 > 0,1665.

735. Швидкість світла у вакуумі (у метрах за секунду) —

299 792 458 ± 2, а швидкість звуку в повітрі — 331,6 ± 0,1 м/с. Назвіть наближене значення швидкості світла і швидкості звуку та відповідні межі абсолютних похибок.

Швидкість світла: наближене значення 299792458, межа абсолютної похибки – 2. Швидкість звуку: наближене значення 331,6, межа абсолютної похибки – 0,1.

736. Знайдіть наближене значення і межу абсолютної похибки виразу:

а) + 4,13 ≤ а ≤ 4,15 2,59 ≤ b ≤ 2,61 6,72 ≤ a + b ≤ 6,76 a + b = 6,74 ± 0,02;	б) + 4,13 ≤ а ≤ 4,15 2,59 ≤ b ≤ 2,61 10,6967 ≤ ab ≤ 10,8315 ab = 10,7641 ± 0,0674;
+ 4,13 ≤ а ≤ 4,15 2,61 ≤ –b ≤ –2,59 1,52 ≤ a – b ≤ 1,56 a – b = 1,54 ± 0,02;

737. Користуючись правилами підрахунку цифр, знайдіть суму, різницю, добуток і частку наближених значень m = 12,31 і n = 5,407.

При додаванні і відніманні наближених значень у результаті збережемо два додаткових знаки (як у числа m, де їх менше):

+ 12,31?

5,407? 12,31 + 5,407 ≈ 6,91

17,71??

_12,31?

5,407?

6,91??

При множенні і діленні наближених чисел слід зберегти в результаті стільки значущих цифр, скільки має наближене число, у якого їх менше. У нашому випадку в обох чисел значущ их цифр — чотири.

x 12,31?

5,407?

?????

8617?

0000? mn ≈ 66,55

4921?

6155?

66,55?????

13,31 : 5,407 ≈ 2,276678 ≈ 2,277

738. Знаючи, що діаметр стовбура липи дорівнює 57 см, учень

обчислив площу поперечного перерізу стовбура: 2550,5 см². Чи правильна ця відповідь? Якщо неправильна — виправіть.

r = 57 : 2 = 28,5 (см); S = πr² = 3,14 · 28,5² ≈ 2550 (см²).

У обох множників значущих цифр три, тому й у результаті їх має бути три.

739. Знайдіть площу поверхні та об’єм кавуна, діаметр якого

дорівнює 45 см.

S = 4πR² = 4π · (D4)² = 4π · D24 = πD² = 3,14 · 45² ≈ 6400 (см²) – дві значущі мцифри, як у множника 45.

V = 34 πR³ = 43 π · D38 = 3,14 · 456 ≈ 24 (см³).

740. Сторона квадрата а = 8 ± 0,5. Знайдіть його площу.

S = a²; x 7,5 ≤ a ≤ 8,5

7,5 ≤ a ≤ 8,5

56,25 ≤ a2 ≤ 72,25

S = 64,25 ± 8.

741. Сторона квадрата а = 0,7 ± 0,05. Знайдіть довжину його

діагоналі.

Діагональ квадрата знаходять за формулою d = а2.

+ 0,65 ≤ а ≤ 0,75

1,41 ≤ 2 ≤ 1,42

0,9165 ≤ a2 ≤ 1,065

d = 1,9815 ± 0,07425.

742. Перетворивши звичайний дріб 23 у десятковий, одержали 0,6667. Знайдіть абсолютну похибку цього наближення. Знайдіть наближене значення числа 23 з точністю до тисячних і його абсолютну похибку.

1) |0,6667 – 23| = 6667\310000 – 2\100003 = 20001-2000030000 = 130000;

2) 23 = 0,667; |0,667 – 23| = 667\31000 – 2\100003 = 20001-20003000 = 13000.

743. Знайдіть (з точним урахуванням похибок) суму, різницю, добуток і частку наближених значень a = 3,24 ± 0,02 і b = 1,17 ±

± 0,03.

Знайдемо суму, різницю, добуток і частку наближених значень, точно враховуючи похибки а = 3,24 + 0,02 і b = 1,17 ± 0,03.

3,22 ≤ а ≤ 3,26 і 1,14 ≤ b ≤ 1,20.

Сума: 3,22 + 1,14 ≤ а + b ≤ 3,26 + 1,20; 4,36 ≤ а + b ≤ 4,46;

а + b = 4,41 ± 0,05.

Різниця: 1,14 ≤ b ≤ 1,20; 1,20 ≤ –t ≤ –1,14;

3,22 ≤ а ≤ 3,26 і –1,2 ≤ –b ≤ –1,14; 3,22 – 1,2 ≤ а – b ≤ 3,26 – 1,14;

2,02 ≤ a – b ≤ 2,12; а – b = 2,07 ± 0,05.

Добуток: 3,22 • 1,14 ≤ аb ≤ 3,26 • 1,20; 3,67 ≤ а • b ≤ 3,91;

аb = 3,79 ± 0,12.

Частка: ab = a • 1b; 1,14 ≤ b ≤ 1,20; 11,20 ≤ 1b ≤ 11,14;

0,833 ≤ 1b ≤ 0,877 і 3,22 ≤ a ≤ 3,26; 3,22 • 0,833 ≤ ab ≤ 3,26 • 0,877;

2,68 ≤ ab ≤ 2,86; ab = 2,77 ± 0,09.

744. Знайдіть наближене значення дробу mn.

Знайдемо наближене значення і межу абсолютної похибки дробу mn, якщо відомо, що 3,24 ≤ m ≤ 3,25 і 1,73 ≤ n ≤ 1,74.

mn = m • 1n; 11,74 ≤ 1n ≤ 11,73; 0,575 ≤ 1n ≤ 0,578;

3,24 • 0,575 ≤ mn ≤ 3,25 • 0,578; 1,86 ≤ mn ≤ 1,88; mn = 1,87 ± 0,01.

745. Знайдіть абсолютну і відносну похибки, які допускають,

округлюючи числа:

a) |2,54 – 2,6| = 0,04; 0,042,5 = 0,016;

б) |23 – 0,67| = |23 – 67100| = |200-201300| = 1300;

1300 : 0,67 = 1300 : 67100 = 100300•67 = 1201;

в) |–0,327 – (–0,33)| = 0,003; 0,003|-0,33| = 3330 = 1110;

г) |7,52 • 10⁵ – 7,5 • 10⁵| = 0,02 • 10⁵; 0,02•1057,5•105 = 2750 = 1375;

ґ)|2,58 • 10^–7 – 2,6 • 10^–7| = 0,02 • 10^–7; 0,02•10-72,6•10-7 = 2260 = 1130.

746. Покажіть, що для малих значень α правильна наближена рівність (1 + α)² ≈ 1 + 2α. Користуючись нею, знайдіть наближені значення.

(1 + α²) = 1² + 2 • 1 • α + α² = 1 + 2α + α².

При малих значеннях α значення α² прямує до нуля. Отже, рівність правильна.

а) 1,03² = (1 + 0,3)² ≈ 1 + 2 • 0,3 = 1 + 0,6 = 1,6;

б) 1,002² = (1 + 0,002)² ≈ 1 + 2 • 0,002 = 1 + 0,004 = 1,004;

в) 0,97² = (1 + (–0,03))² ≈ 1 + 2 • (–0,03) = 1 – 0,06 = 0,94;

г) 0,998² = (1 + (–0,002))² ≈ 1 + 2 • (–0,002) = 1 – 0,004 = 0,996.

748. Гепард розвинув швидкість 34,5 м/с. Виразіть цю швидкість у кілометрах за годину, округліть до цілих і знайдіть абсолютну похибку наближення.

34,5 м/с = 34,5•36001000 км/год = 124,2 км/год = 124 км /год.

|124,2 – 124| = 0,2 — абсолютна похибка.

749. Чи можна увімкнути в коло прилад з опорoм 44 ±0,5 Ом, щоб при напрузі 215 ± 15 В сила струму не перевищувала 6 А?

Залежність між опором r, та напругою u та силою струму l виражається формулою:

l = ur.

u = 215 ± 15 В;

r = 44 ± 0,5 Ом;

ur = u • lr;

x 200 ≤ u ≤ 230

144,5 ≤ 1r ≤ 143,5, 43,5 ≤ r ≤ 44,5,

20044,5 ≤ ur ≤ 23013,5

4,49 ≤ Ur ≤ 5,29.

Відповідь: так.

750. Дано наближені значення: z = 7,48 ± 0,01 і t = 3,24 ± 0,02.

Знайдіть (з точним урахуванням похибок) значення виразу:

7,47 ≤ z ≤ 7,49 : 3,22 ≤ t ≤ 3,26;

a) z – t = z + (–t).

7,47 ≤ z ≤ 7,49

x 13,26 ≤ 1t ≤ 13,22, zt = 2,31 ± 0,02

2,29 ≤ zt ≤ 2,33

в) + 55,80 ≤ z² ≤ 56,10

3,22 ≤ t ≤ 3,26 z² + t = 59,19 ± 0,17

59,02 ≤ z² ≤ 59,36

751. Відомо, що х = 2,15 ±0,05. Знайдіть відповідне значення функції.

2,10 ≤ x ≤ 2,20

a) 4,41 ≤ x² ≤ 4,84, x² = 4,625 ± 0,215;

б) 0,1 ≤ х – 2 ≤ 0,2; 0,001 ≤ (x – 2)³ ≤ 0,008 (x – 2)³ = 0,0045 ±

± 0,0035;

в) 10,2 ≤ 1x-2 ≤ 10,1; 5 ≤ 1x-2 ≤ 10;

25 ≤ (1x-2)² ≤ 100 (x – 2)^–2 = 62,5 ± 37,5.

752. Знайдіть за правилами підрахунку цифр суму, різницю, добуток, частку наближених значень x = 21,37 і у = 9,832.

Зйайдемо суму, різницю, добуток і частку наближених значень х =

= 21,37 і y = 9,832, використавши правила підрахунку цифр.

х + у = 21,37 + 9,832 = 31,20; х – у = 21,37 – 9,832 = 11,54;

x • у = 21,37 • 9,832 – 210,1; xy = 21,379,832 = 2,174.

753. Дано наближені значення а = 2,23 і b = 3,75. Знайдіть

значення виразу:

Знайдемо значення виразу, якщо подано наближені значення а =

= 2,23 і b = 3,75.

а) а² + b = (2,23)² + 3,75 = 4,97 + 3,75 = 8,72;

б) 2а – b = 2 • 2,23 – 3,75 = 4,46 – 3,75 = 0,71;

в) ab – а² = 2,23 • 3,75 – (2,23)² = 8,36 – 4,97 = 3,39.

754. Порівняйте точність вимірювань товщини d людської волосини і діаметра D Сонця, якщо d = 0,15 ± 0,005 мм, a D = 1 392 000 ±

±1 000 км.

Знайдемо межу відносної похибки кожного вимірювання:

0,0050,15 • 100% ≈ 3,33%; 10001392000 • 100% ≈ 0,07%;

3,33% > 0,07%, тоді діаметр Сонця обчислено точніше, ніж людська волосина.

755. Необхідно перевезти 1 000 ± 20 м³ бетону. Скільки рейсів має зробити самоскид, щоб виконати цю роботу, якщо кузов містить

2,25 ± 0,02 м³.

Кількість бетону; 980 ≤ а ≤ 1020. Місткість кузова; 2,23 ≤ b ≤ 2,27

980 ≤ а ≤ 1020

ab = a • 1b x 12,27 ≤ 1b ≤ 12,23 ab = 444,5 ± 12,85.

431,7 ≤ аb ≤ 547,4.

756. Порівняйте числа.

а) 1,3⁸ < 1,4⁸; б) 0,7¹² > 0,8¹²; в) (–1,5)⁹ < (–1,6)⁹;

г) (–0,3)¹⁵ < (–0,7)¹⁵.

757. Скільки розв’язків має рівняння.

а) один; б) один; в) три; г) два; ґ) два; д) один.

758. Побудуйте графік функції:

а) у – 1,4х² + 3 Параболу у = х² розтягнути вздовж осі ординат в 1,4

рази. Вершину перемістити в точку (0; 3).

б) у = (х + 3)² – 2 Графік цієї функції — парабола у = х², яку перемістили на З одиниці ліворуч і на 2 — вниз.

в) y = x(x – 2) + 1; у = х² – 2х + 1; y = (x – 1)². Вершина (1; 0).

г) у = 5 – x(х – 2); у = 5 – x² + 2х; у = –x² + 2х + 5; виділимо квадрат двочлена: у = –(х² – 2х + 5);

у = –(x² – 2x + 1 – 1 – 5); у = –(x – 1)² + 6.

Вітки параболи напрямлені вниз. Координати вершини — (1; 6)

759. Якою з погляду теорії ймовірностей є подія: а) при падінні грального кубика випадуть п’ять очок; б) дитина народиться 30 лютого; в) перестановкою букв у слові «зебра» одержати слово «береза»; г) вибране навмання двоцифрове число виявиться меншим за 100; ґ) побудований графік непарної функції виявиться симетричним відносно початку координат.

а) випадкова; б) неможлива; в) неможлива; г) достовірна;

ґ) достовірна.

760. Яка ймовірність того, що при падінні грального кубика випаде: а) два очки; б) парна кількість очок; в) кількість очок, кратна З?

Число всіх подій – 6 (грані кубика).

a) P = 16; б) P = 36 = 12; в) P = 26 = 13.

761. Беруть навмання пластинку доміно. Яка ймовірність того, що вона: а) є дублем; б) не є дублем?

a) P = 728 = 14; б) P = 2128 = 34.

762. Опишіть простір елементарних подій для даного експерименту: а) встановлення дня народження довільно обраного учня; б) визначення кількості коренів квадратного рівняння; в) установлення кількості спільних точок кола і гіперболи, побудованих в одній системі координат.

а) 365 подій — день народження учня може бути в будь–який день

року;

б) Ω = {рівняння не має коренів, рівняння має один корінь, рівняння має два корені}:

в) Ω = {немає спільних точок, одна спільна точка, дві спільних точки, три спільних точки, чотири спільних точки}.

763. Знайдіть імовірність того, що ваш товариш народився:

а) в середу; б) навесні; в) у вересні; г) 1 січня.

a) n = 7 P(A) = 17; б) P(A) = 14; в) P(A) = 112; г) P(A) = 1365.

764. У 9–А класі навчаються 20 учнів, 25 % з яких — відмінники. Доводити теорему синусів навмання викликають одного учня. Яка ймовірність того, що це буде відмінник?

І спосіб. 25% від 20; 20 : 4 = 5 (учнів) Р(A) = 520 = 14 = 0,25.

ІI спосіб. За умовою відношення кількості відмінників до числа учнів в класі дорівнює 25% = 0,25. А це і є вірогідність того, що викликаний учень — відмінник.

765. Набираючи номер телефону, абонент забув першу цифру і набрав її навмання. Яка ймовірність того, що потрібний номер він набрав правильно?

Першою цифрою номера може бути одна з 9 цифр, отже, Р(А) = 19.

766. Пофарбований з усіх боків дерев’яний кубик розпиляли на 125 рівних кубиків і зсипали їх у торбину. Яка ймовірність того, що беручи з торбини кубик навмання, візьмете такий, у якого пофарбовано: а) три грані; б) тільки дві грані; в) тільки одна грань (мал. 125)?

а) Три грані пофарбовано у 8 кубиків біля вершин куба.

P(A) = 8125 = 0,064.

б) Дві грані пофарбовано у 3 кубикіа на кожному з 8 ребер, тобто у 24 кубиків.

P(A) = 24125 = 0,192.

в) Одна грань пофарбована у 9 • 6 = 54 кубиків. P(A) = 54125 = 0,432.

767. З букв, написаних на окремих картках, склали слово ТОТОЖНІСТЬ. Потім ці картки перевернули, перетасували і взяли навмання одну з них. Яка ймовірність того, що на ній виявиться:

а) буква Т; б) буква О; в) буква Н?

a) 310; б) 210 = 0,2; в) 110 = 0,1.

768. У торбині 5 білих і 7 чорних куль. Яка ймовірність того що, беручи навмання, виймуть з неї: а) білу кулю; б) чорну кулю?

Усього можливостей вибору 5 + 7 = 12.

а) Сприятливих подій 5: Р(A) = 512.

б) Сприятливих подій 7: Р(А) = 712.

769. У мішечку 10 згорнутих папірців. На двох із них написаноно «ні», а на решті — «так». Яка ймовірність того, що на взятому навмання папірці виявиться слово «так»?

«Так» написано на 8 папірцях, отже, сприятливих подій 8. Загальна кількість подій 10. Р(А) = 810 = 0,8.

770. В ящику 10 червоних і 5 жовтих куль. З нього вийняли одну кулю червоного кольору і відклали вбік. Після цього з ящика беруть ще одну кулю навмання. Яка ймовірність того, що вона виявиться жовтою?

Після того як з ящика вийняли червону кулю, в ньому залишилось всього 9 + 5 = 14 куль, з них 5 жовтих. Р(A) = 514.

771. У змаганнях беруть участь 25 учнів першої школи, 15 — другої і

10 — третьої. Яка ймовірність того, що першим виступатиме учень з

першої школи?

Загальна кількість подій 25 + 15 + 10 = 50, сприятливих — 25.

P(A) = 2550 = –0,5.

772. Пасажир чекає трамвай № 1 або № 3 на зупинці, де зупиняються трамваї № 1, 3, 4 і 9. Вважаючи, що всі трамваї підходять однаково часто, знайдіть імовірність того, що першим прийде до зупинки трамвай, якого чекає пасажир.

Усього елементарних подій 4, сприятливих — 2. Р(А) = 24 = 0,5.

773. На 1000 білетів лотереї припадає 1 виграш 1000 грн., 10 виграшів по 200 грн., 50 — по 100 грн., 100 — по 50 грн. Решта білетів невиграшні. Знайдіть імовірність виграшу на один білет, не меншого від 100 грн.

Виграш, не менший від 100, — це виграш 100 грн, 200 грн. 1000 грн. Таких подій 1 + 10 + 50 = 61. Загальна кількість елементарних подій — 1000, P(A) = 611000 = 0,061.

774. У партії зі 100 деталей 75 деталей першого сорту, 15 — другого, 8 — третього і 2 деталі браковані. Яка ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться першого або другого сорту?

Загальна кількість можливостей вибору однієї деталі із 100 – 100. Сприятливих подій стільки, скільки деталей першого і другого сорту разом:

75 + 15 = 90. Р(A) = 90100 = 0,9.

775. Із 10 карток, занумерованих числами від 1 до 10, виймають одну. Яка ймовірність того, що її номер виявиться меншим за 7 і більшим за З?

Число всіх можливих випадків — 10, а число сприятливих подій дорівнює 3 (4 , 5, 6). Р = 310 = 0,3.

776. В урні є 30 жетонів з номерами від 1 до 30. Яка ймовірність того, що перший витягнутий з урни навмання жетон не міститиме цифри 6?

Несприятливих подій, коли на жетоні є цифра 6, — три (на жетоні

числа 6, 16, 26). Отже, сприятливих подій m = 27 з n = 30

можливих. Р = 2730 = 910 = 0,9.

777. 3 15 карток, нумерованих числами від 1 до 15, виймають одну. Яка ймовірність того, що номер вийнятої картки виявиться:

а) кратним 3; б) кратним 4?

Загальна кількість подій — 15.

а) Числа, кратні 3: З, 6, 9, 12, 15. Їх 5. Р = 515 = 13.

б) Числа, кратні 4: 4, 8, 12. Таких чисел 3. Р = 315 = 15 = 0,2.

778. Зі 100 науковців установи англійською володіють 90,

німецькою — 85, 80 осіб — обома цими мовами. Знайдіть імовірність того, що вибраний навмання науковець з цієї установи: а) володіє англійською або німецькою; б) не знає ні англійської, ні німецькою.

Тільки англійською мовою володіє 90 – 80 = 10 осіб.

Тільки німецькою мовою володіє 85 – 80 = 5 осіб.

Хоча б однією мовою володіє 10 + 80 + 5 = 95 осіб, жодною мовою не володіє 100 – 95 = 5 осіб.

а) Р = 95100 = 0,95;

б) Р = 5100 = 0,05.

779. Підкидають два гральних кубики. Яка ймовірність появи хоча б однієї шістки?

Для підкидання двох кубиків простір елементарних подій містить 36 елементів (див. приклад З §18). Сприятливих подій три: число 6 винало на першому кубику, на другому, на обох. Р = 336 = 112.

780. Беруть навмання пластинку доміно. Яка ймовірність того, що на ній є: а) всього 9 очок; б) більш ніж 9 очок; в) менш ніж 9 очок?

Простір елементарних подій містить 28 елементів — кількість пластинок доміно.

а) Усього 9 очок мають дві пластинки: 4 + 5, 6 + 3 Р = 228 = 114.

б) Більше, ніж 9 очок мають З пластинки: 5 + 5, 5 + 6, 6 + 6. Р = 328.

в) Менше, ніж 9 очок мають 23 пластинки: 28 – (2 + 3) = 23. Р = 2328.

781. Пофарбований дерев’яний кубик розпиляли на 1000 рівних кубиків і зсипали їх у торбину. Яка ймовірність того, що беручи з торбини навмання один кубик, ви візьмете такий, який має:

а) принаймні одну пофарбовану грань; б) тільки дві пофарбовані грані?

Загальна кількість елементарних подій n = 1000. Виміри куба

10 x 10 x 10.

а) Принаймні одну пофарбовану грань мають усі кубики, що утворюють поверхню куба: 8 кубиків на вершинах, у яких зафарбовано по три грані, 8 • 12 = 96 кубиків на ребрах куба з двома зафарбованими гранями, 64 • 6 = 384 кубики з однією зафарбованою гранню.

m = 7 + 96 + 384 = 488. P = 4881000 = 0,488.

б) P = 961000 = 0,096.

782. Знайдіть імовірність того, що вибране навмання двоцифрове число кратне 5.

Усього двоцифрових чисел n = 99 – 9 = 90. Кількість двоцифрових чисел, кратних 5, m = 18. Р = 1890 = 0,2.

783. Одночасно підкидають дві однакові монети. Знайдіть

імовірність події: а) А = {випав один герб і одна решка};

б) B = {випало не менше одного герб}.

Простір елементарних подій складається з чотирьох подій: A₁ =

= {випало два герба}, A₂ = {випали число та герб}, A₃ = {випали герб та число}, А₄ = {випали два числа}.

а) Події А сприяють події А₁, і А₂, P(A) = 24 = 0,5.

б) Події В сприяють події А₁, A₂, A₃, Р(A) = 34 = 0,75.

784. Стрілець у незмінних умовах робить 5 серій пострілів по мішені. В кожній серії — 100 пострілів. Результати стрільби занесено в таблицю. Знайдіть відносну частоту влучення в мішень: а) в кожній серії; б) у перших 300 пострілах; в) в останніх 300 пострілах;

г) у всіх 500 пострілах. Сформулюйте гіпотезу про ймовірність влучення в мішень.

Відносна частота влучання в ціль х₁ — це відношення кількості влучань до загальної кількості пострілів.

a) x₁ = 69100 = 0,69; x₂ = 64100 = 0,64; x₃ = 72100 = 0,72; x₄ = 78100 =

= 0,78; x₅ = 65100 = 0,65.

б) x_1–3 = 69+64+72300 = 205300 = 0,68; в) x_3–5 = 72+78+65300 = 215300 =

= 0,72;

г) x_1–5 = 69+64+72+78+65500 = 348500 = 0,696

Можна припустити, що ймовірність влучання в ціль – 0,7.

785. Перевірили 500 довільно вибраних деталей і виявили, що 5 із них — браковані. Скільки бракованих деталей можна очікувати в партії з 3 500 штук?

Ймовірність знаходження бракованої деталі дорівнює 5500 = 0,01. Тоді в партії з 3500 штук можна очікувати 3500 • 0,01 = 35 бракованих деталей.

787. Функцію задано формулою f(x) = –5х + 3. Знайдіть f(0,1);

f(–2,5); f(–10); f(0,3); f(–1,2).

f(0,1) = –5 • 0,1 + 3 = 2,5;

f(–2,5) = –5 • (–2,5) + 3 = 15,5;

f(–10) = –5 • (–10) + 3 = 53

f(0,3) = –5 • 0,3 + 3 = 1,5;

f(–1,2) = –5 • (–1,2) + 3 = 9.

788. Розв’яжіть рівняння.

а) 1 – 4x – 5x² = 0; 5x² + 4х – 1 = 0;

I спосіб. D = b² – 4ас = 4² – 4 • 5 • (–1) = 16 + 20 = 36;

x₁ = -b+ D2a = -4+ 362•5 = -4+610 = 0,2;

x₂ = -b+ D2a = -4-610 = –1.

II спосіб. «Перекинемо» перший коефіцієнт до вільного члена:

y² + 4у – 5 = 0, звідси y₁ = –5, y₂ = 1. x₁ = -55 = –1; x₂ = 15 = 0,2.

б) –Зх² + 5х + 2 = 0; Зx² – 5x – 2 = 0;

y² – 5y – 6 = 0; y₁ = 6; y₂ = –1

x₁ = 63 = 2; x₂ = -13 = –13.

789. Розв’яжіть нерівність:

а) (Зх – 1)(х + 3) > х(1 + 5х);

Зх² + 9х – x – З > x + 5x²;

Зх² – 5x² + 9х – x – x – З > 0

–2х² + 7х – З > 0; помножимо обидві частини нерівності на (–1):

2х² – 7х + З < 0.

Знайдемо корені квадратного тричлена:

2х² – 7х + З = 0;

y² – 7х + 6 = 0;

y₁ = 6; у₂ = 1

x₁ = 62 = 3; x₂ = 12 = 0,5.

Зобразимо схематично графік функції y = 2х² – 7х + З і визначимо проміжки, на яких у < 0;

Відповідь: (0,5; 3).

б) х² + 8х + 8 ≤ Зх²; x² – Зх² + 8х + 8 ≤ 0;

–2х² + 8х + 8 ≤ 0;

x² – 4х – 4 ≥ 0;

х² – 4х – 4 = 0,

D = b² – 4ас = (–4)² – 4 · 1 · (–4) = 16 + 16 = 32;

x₁ = 4 + 422 = 2 + 22; x₂ = 4 - 422 = 2 – 2.

Відповідь: (–∞; 2 – 2] ∪ [2 + 2; ∞).

790. Побудуйте графік функції:

а) Будуємо графік функції у = х² – х, а потім частину графіка, для якої у < 0, відображаємо симетрично осі абсцис, у = х² – x

1) Знайдемо координати вершини параболи:

x₀ = –b2a = –-12 · 1 = –0,5;

y₀ =(0,5)2 – 0,5 = 0,25 – 0,5 = –0,5.

2) Точки перетину з осями координат:

при x = 0 у = 0 (0; 0)

у = 0, якщо х² – x = 0; х(х – 1) = 0; x₁ = 0, х₂ = 1.

Маємо: (0; 0), (1; 0).

б) у = х² – |х|

Для побудови графіка функції у = f(|x|) треба побудувати графік функції у = f(х), частину графіка, яка лежить у правій півплощині і на осі ординат залишити без змін, а замість частини в лівій півплощині побудувати симетричну правій відносно осі ординат.

791. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки:

а) мода – 8, медіана – 7, середнє значення:

3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 + 10 + 1114 =

= 9414 = 61014 = 657.

б) мода – 12, медіана – 12. Вибірка має парне число значень, тому її медіана дорівнює півсумі її серединних значень. 12 + 122 = 12.

Середнє значення: 9 + 10 + 10 + 11 + 12 + 12 + 2 + 13 + 15 + 15 + 16 + 1712 ≈

≈ 13.

792. У конкурсі «Кенгуру» брали участь 2 000 осіб рівня «Кадет».

На мал. 130 зображено відповідність між кількістю учасників (%) і кількістю балів, яку вони набрали. Яку інформацію про результати конкурсу можна одержати за допомогою даної гістограми?

Найбільшу кількість балів набрали 19,7 % учасників (мода вибірки). Можна визначити, який процент учасників отримав 10, 20, 30 балів тощо.

793. Укажіть центральні тенденції вибірки і відносну частоту

кожного її значення, якщо вибірку подано у формі такої частотної

таблиці.

Мода — 0°, медіана 0°, середнє значення — 0°. Відносні частоти визначимо, поділивши кількість кожного значення на кількість усіх значень: 1 + З + 6 + 17 + 13 + 8 + 2 = 50.

150 = 0,02 = 2 %; 350 = 0,06 = 6 %; 650 = 0,12 = 12 %; 1750 = 0,34 =

= 34 %; 1350 = 0,26 = 26 %; 850 = 0,16 = 16 %; 250 = 0,04 = 4 %.

794. Знайдіть середнє арифметичне усіх цілих чисел х таких, що:

а) Усі цілі числа х такі, що 10 ≤ х ≤ 90 утворюють упорядковану вибірку з 81 елемента. Середнє арифметичне цих чисел — медіана даної вибірки, її 41–те значення. Це число 50.

б) Аналогічно а. Відповідь: 15. в) 0.

795. Дано 100 чисел; з них число 2 трапляється 15 разів, число

4 — 40, число 8 — 20, число 9 — 20, число 10 — 5 разів. Знайдіть їхнє середнє арифметичне.

Середнє арифметичне кількох чисел — це частка від ділення суми всіх чисел на їх кількість:

2 · 15 + 4 · 40 + 8 · 20 + 9 · 20 + 10 · 5100 =

= 30 + 60 + 160 + 180 + 50100 = 580100 = 5,8.

796. Вимірявши зріст 40 учнів у сантиметрах, одержали таку

частотну таблицю.

Побудуйте відповідну гістограму. Визначте відносну частоту кожного значення.

Відносні частоти: 340 = 0,075 = 7,5 %;

540 = 0,125 = 12,5 %; 440 = 0,1 = 10 %;

240 = 0,05 = 5 %; 640 = 0,15 = 15 %;

1040 = 0,25 = 25 %; 140 = 0,025 = 2,5 %.

797. За таблицею побудуйте гістограму розподілу дітей, які

відвідують гурток малювання, за роками народження.

798. Дано 50 чисел: з них число 2 трапляється 10 разів, число

З — 20 і число 5 — 20 разів. Знайдіть їх середнє арифметичне.

Розв'язання. Знаходимо середнє арифметичне:

2 · 10 + 3 · 20 + 5 · 2050 = 20 + 60 + 10050 = 18050 = 3,6.

Відповідь: 3,6.

799. Чому дорівнює середнє арифметичне перших 99 натуральних

чисел?

Знайдемо, чому дорівнює середнє арифметичне перших 99 натуральних чисел. Оскільки 1; 2; 3; 4; ...; 99 – арифметична прогресія з непарним числом членів, то її середнім арифметичним буде її середній член, тобто 50. У цьому можна переконатися, знайшовши середнє арифметичне, тобто розділивши суму вказаних чисел на їх кількість, а₁ = 1, а₉₉ = 99, d = 1, т = 99, тому

(1 + 2 + З + ... + 98 + 99): 99 = 1 + 992 ≤ 99 : 99 = 1002 = 50.

Відповідь: 50.

800. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки:

Знайдемо моду, медіану і середнє значення цих вибірок.

а) 2, З, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8.

Мода цієї вибірки дорівнює 6, бо 6 зустрічається найчастіше.

Вибірка має парне число (10) значень, тому медіана дорівнює півсумі п’ятого і шостого значень, тобто 6 +6 2 = 6. Отже, медіана дорівнює 6.

Середнє значення вибірки 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 6 + 7 + 7 + 810 =

= 5,3.

б) 12, 17, 11, 13, 14, 15, 16, 13, 13.

Мода даної вибірки дорівнює 13, бо 13 зустрічається найчастіше.

Щоб знайти медіану, треба спочатку упорядкувати вибірку: 11, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 16, 17. Вибірка має парне число (10) значень, тому медіана дорівнює півсумі п’ятого і шостого значень, тобто

13 + 142 = 13,5. Отже, медіана дорівнює 13,5. Середнє значення

11 + 12 + 13 + 13 + 13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 1710 = 13,9.

801. Робочий стаж учителів однієї школи вказано в таблиці.

Знайдіть середнє значення, моду і медіану цієї вибірки даних.

1) Мода — 12.

2) Вибірка містить 24 значення (парна кількість).

Медіана — середнє арифметичне 12 і 123–го значень:

12 + 122 = 12 .

3) Середнє значення:

(1 + 2 · З + З · 2 + 7 · 1 + 10 · З + 12 · 4 + 13 · 1 + 14 · 2 + 17 · З +

+ 18 · 2 + 21 + 26) : 24 = (1 + 6 + 6 + 7 + 30 + 48 + 13 + 28 +

+ 51 + 36 + 21 + 26) : 24 = 273 : 24 = 11,375.

802. Учні класу написали контрольну роботу з алгебри. З них 4 одержали оцінки четвертого рівня навчальних досягнень, 16 — третього, 12 — другого ІЗ — першого рівня. Зведіть ці дані в таблицю і побудуйте за нею кругову і стовпчасту діаграми.

Оцінка	4	3	2	1
Кількість учнів	4	16	12	3

4 + 16 + 12 + 3 = 35.

35 учнів — 360°;

1 учень — приблизно 10°;

4 учні — 40°;

16 учнів — 160°;

12 учнів – 120°;

3 учні – 30°.

804. Щоб з’ясувати, скільки і яких кашкетів слід пошити, виміряли в сантиметрах обводи голів 35 вибраних курсантів. Результати виявились такими.

Побудуйте відповідну гістограму та обчисліть центральні тенденції

вибірки. Знайдіть відносну частоту кожного значення даної вибірки.

Мода — 56. Медіана — 56. Середнє, значення;

(1 · 53 + 7 · 54 + 10 · 55 + 12 · 56 + З · 57 + 58 + 59) : 35 =

= (53 + 378 + 550 + 672 + 171 + 58 + 59) : 35 = 1941 : 35 = 55.

Відносні частоти:

135 ≈ 0,03 ≈ 3 %;

735 ≈ 0,2 ≈ 20 %;

1035 ≈ 0,29 ≈ 29 %;

1235 ≈ 0,34 ≈ 34 %;

335 ≈ 0,09 ≈ 9 %.

805. Опитавши 60 чоловіків про розміри їхнього взуття, склали таку таблицю.

Складіть частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму. Визначте частоту і відносну частоту кожного значення вибірки.

27,5	28	25,5	28	29	28,5	26	28	27,5	29,5	26,5	30,5
26,5	27,5	29,5	27,5	26	30	27,5	27	29	27	28,5	27,5
29,5	25,5	27	28,5	28	27	28	25	26	28	30	27
27	28,5	29	26	26,5	28,5	26,5	27,5	28	29,5	26,5	29
28	27,5	28,5	27,5	29	27	28	29	27	26,5	28,5	27,5

Складемо частотну таблицю і побудуємо відповідну гістограму, визначимо частоту і відносну частоту кожного її значення, використавши таблицю опитування 60 чоловіків про їхні розміри взуття.

Щоб знайти відносну частоту розміру, треба кількість чоловіків, які мають взуття цього розміру, поділити на 60. Якщо отримане число помножити на 100 %, то дістанемо відносну частоту розміру у відсотках. Приклад для розміру 26,5: 660 = 110 = 0,1; 0,1 · 100% =

= 10%. Виконавши аналогічні дії для решти розмірів, дістанемо результати, занесені в таблицю.

Розмірвзуття	25	25,5	26	26,5	27	27,5	28	28,5	29	29,5	30	30,5
Кіль–кістьчолові–ків(часто–та)	1	2	4	6	8	10	9	7	6	4	2	1
Від–нос–начас–тотау відсот–ках	1,67	3,33	6,67	10	13,33	16,67	15	11,67	10	6,67	3,33	1,67

806. На уроці фізкультури 11 дівчат–дев’ятикласниць у стрибках у висоту показали такі результати: 90 см, 125 см, 125 см, 130 см,

130 см, 135 см, 135 см, 135 см, 135 см, 140 см, 140 см. Який результат найкраще характеризує спортивну підготовку дівчат цього класу?

135 см — це мода даної вибірки.

807. Шість учасників математичної олімпіади за розв’язування задач набрали менше 3 балів, десять — від 3 до 6, тридцять два — від 7 до 9, сорок п’ять — від 10 до 12, сімнадцять — від 13 до 15, вісім — від 16 до 18, п’ять — понад 18 балів. Складіть за цими результатами частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму.

Бали	до 3	3 – 6	7 – 9	10 –12	13–15	16–18	> 18
Кількістьучнів	6	10	32	45	17	8	5

808. Щоб з ’ясувати, як часто різні голосні звуки трапляються в українській мові, можна підрахувати, скільки літер, що позначають голосні звуки, є в різних текстах. Полічивши голосні в «Заповіті» Т. Шевченка, одержали дані, наведені в таблиці (п’ять рисок IIII означають число 5). Побудуйте за таблицею гістограму. Знайдіть

центральні тенденції цієї сукупності літер. Візьміть текст з історії, фізики, хімії, математики такого самого обсягу, як «Заповіт», використайте такий самий набір голосних і з ’ясуйте, чи зберігаються виявлені тенденції.

Мода — 0. Медіана — 1.

809. Пекарня випікає кілограмові калачі. Під час перевірки виявилось, що маса трьох зі ста калачів менша від 1 кг на 31—40 г, п’ятнадцяти — на 21—ЗО г, двадцяти — на 11— 20 г, тридцяти — на 1— 10 г; маса сімнадцяти калачів більша від 1 кг на 1—9 г, а двох — на 10— 19 г. Складіть частотну діаграму і побудуйте відповідну гістограму.

Розв'язання. 3 + 15 + 20 + 30 + 17 + 2 = 87 — кількість калачів зі ста, маса яких не дорівнювала 1 кг. Тоді 1 кг важив кожен із 100 –

– 87 = 13 калачів. Складемо частотну таблицю, в якій однією з характеристик буде різниця між масою калача і 1 кг.

Різницяу масі	–(40–31)	–(30–21)	–(20–11)	–(10–1)	0	0–9	10–19
Кількість калачів	3	15	20	30	13	17	2

За таблицею будуємо гістограму.

Різниця у масі

Визначимо центральні тенденції.

Мода – 10 — –1 грам, бо кількість калачів, що потрапили до цього класу, найбільша.

Оскільки кількість випробуваних калачів — 100 (парне число), то медіаною буде півсума балів, які будуть сорок дев’ятим і п’ятдесятим членами упорядкованої, вибірки різниць мас. Упорядковану вибірку балів подачо у вигляді таблиці.

Різницяу масі	–(40–31)	–(30–21)	–(20–11)	–(10–1)	0	0–9	10–19
Номерчленавибірки	1–3	4–18	19–38	39–68	69–81	82–98	99–100

З таблиці видно, що сорок дев’ятий і п’ятдесятий члени вибірки псітрапляють у проміжок –10 – –1 грам, тобто їх півсума теж потра–пить до цього проміжку. Отже, медіана — 10 – –1 грам.

Помноживши найменшу і найбільшу різницю мас кожного проміжку на кількість калачів, що потрапили до нього, дістанемо відповідно найменшу і найбільшу різницю мас, яку могли мати ці калачі разом.

Отже, разом моли мати різницю три калачі від –120 до –93 г. п’ятнадцять — від 450 до –315 г, двадцять — від –400 до –220 г, тридцять – від – 300 до –30 г, тринадцять — 0, сімнадцять — від 17 до 170 г, два — від 20 до 38 г. Усі калачі могли разом мати різницю у масі

від –120 – 450 – 400 – 300 + 0 + 17 + 20 = –1233;

до 93 – 315 – 220 – 30 + 0 + 170 + 38 = –450 грамів.

Розділивши кожне з отриманих значень на кількість калачів, тобто на 100, дістанемо, що середнє значення становить 12,3 — –4 ,5 грами. Отже, в середньому калач легший на 4,5 – 12,3 грами.

Відповідь: мода – маса калача менша на 1 – 10 грам, медіана — маса калача менша на 1 – 10 грам, середнє значення — маса калача менша на 4,5 – 12,3 грама.

810. Розміри денної виручки (у тисячах гривень) у 30 випадково

вибраних магазинах такі.

Складіть частотну таблицю на 5 інтервалів і побудуйте відповідну гістограму.

Виручка(тис. грн)	1 – 20	21 – 40	41 – 60	61 – 80	Більше 80
Кількістьмагазинів	3	6	6	10	5

811. Розв’яжіть нерівність:

a) x + 7x - 3 < 0 x = –7, x = 3.

Відповідь: (–7; 3).

б) x +4 x - 5 0; x = –4, x = 5

Відповідь: (–∞; –4) ∪ (5; +∞).

в) Перетворимо нерівність так, щоб у правій частині стояв 0.

2 - zz + 3 ≤ 3; 2 - zz + 3 – 3^z+3 ≤ 0; 2 - z - 3z - 9z + 3 ≤ 0;

-4z - 7z + 3 ≤ 0; 4z + 7z + 3 ≥ 0; z = –1,75, z = –3

рис. 23. Відповідь: (∞; –3] ∪ (–1,75; +∞].

г) 5 - yy + 12 ≥ 7; 5 - yy + 12 – 7^\y+12 ≥ 0; 5 - y - 7y - 84y + 12 ≥ 0; -8y - 79y + 12 ≥ 0;

8y + 79y + 12 ≤ 0; y₁ = –9,875; y = –12.

Відповідь: [–12; –9,875].

812. Із 100 студентів–першокурсників 60 вивчають англійську мову, 30 — німецьку, 10 — французьку. Знайдіть імовірність того, що вибраний навмання студент цього факультету вивчає німецьку або французьку мову.

Простір елементарних подій — 100. Кількість подій, що сприяють даній: 30 + 10 = 40. Р(A) = 40100 = 0,4.

813. Дано наближені значення: а = 1,83 • 10⁶ і с = 5,36 • 10⁷.

Користуючись правилами підрахунку цифр, обчисліть значення виразу:

а = 1,83 • 10⁶, с = 5,36 • 10⁷ = 53,6 • 10⁶.

а) а + с = 1,83 • 10⁶ + 53,6 • 10⁶ = (1,83 + 53,6) • 10⁶ = 55,4 • 10⁶;

б) ас = 1,83 • 10⁶ – 53,6 • 10⁶ = 98,1 • 10¹²;

в) с – а = 53,6 • 10⁶ – 1,83 • 10⁶ = (53,6 – 1,83) • 10⁶ = 51,8 • 10⁶.

814. Густина алюмінію становить 2,7 • 10³ кг/м³. Знайдіть масу алюмінієвого куба, ребро якого дорівнює:

V_к = а³

а) V = 0,2³ = 0,008 (м³); m = 0,008 • 2,7 • 10³ = 0,0216 • 10³ =

= 2,16 • 10 (кг);

б) V = (10^–3)³ = 10^–9 (м³); m = 10^–9 • 2,7 • 10³ = 2,7 • 10^–6 (кг);

в) V = (2,5 • 10^–2)³ = 15,625 • 10^–6 (дм³)= 1,5625 • 10^–10 (м³);

m = 1,5625 • 10^–10 • 2,7 • 10³ ≈ 4,2 • 10–7 (кг).

816. Назвіть 5 перших членів послідовності чисел, обернених до натуральних.

1, 12, 13, 14, 15.

817. Назвіть 5 перших членів послідовності простих чисел.

2, З, 5, 7, 11.

818. Продовжіть послідовність натуральних чисел:

а) які діляться на 3: 3, 6, 9, 1 2 ,... ;

б) які діляться на 5: 5, 10, 15, ... ;

в) які не діляться на 3: 1, 2, 4, 5, 7 , ... ;

г) кожне з яких на 3 більше за попереднє: 1, 4, 7 , ....

а) З, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... б) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...

в) 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,... г) 1, 4, 7, 10, 13, 16,...

819. Розгляньте послідовності:

а) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...;

б) 1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1 , ...;

в) 5, 55, 555, 5555, 55555, 555555, ...;

Для кожної послідовності вкажіть такі члени: 1) другий, п’ятий і сьомий; 2) наступний за третім; 3) попередній сьомому; 4) які містяться між другим і шостим.

а) 1) а₂ = З , а₅ = 81, а₇ = 729.

2) а₃₊₁ = 27;

3) a_7–1 = a₆ = 243;

4) 9, 27, 81. б) 1) –1, 1, 1; 2) –1; 3) –1; 4) 1, –1, 1. в) 1) 55, 55555, 5555555; 2) 5555; 3) 555555; 4) 555, 5555, 55555.

820. Який член послідовності x₁, х₂, х₃, х₄, ..., х_n, ... :

а) наступний за х₃, х₇, х₃₉, х₁₂₁, х_n+1, х_3n;

б) попередній відносно х₅, х₇₁, x₉₉, х₁₂₃, х_n+1, х_3n?

a) x₄; x₈; x₄₀; x₁₂₂; x_n+2; x_3n+1;

б) x₄; x₇₀; x₉₈; x₁₂₂; x_n, x_3n–1.

821. Скінченною чи нескінченною є послідовність:

а) простих чисел;

б) чисел, протилежних натуральним;

в) правильних дробів зі знаменником 10;

г) неправильних дробів зі знаменником 10;

ґ) правильних дробів із чисельником 10;

д) неправильних дробів із чисельником 10;

е) двоцифрових чисел;

є) цифр у десятковому записі числа π?

Випишіть п’ять перших членів кожної послідовності.

a) нескінченна; б) нескінченна; в) скінченна; г) нескінченна;

ґ) нескінченна; д) скінченна; е) скінченна; є) нескінченна.

а) 2, 3, 5, 7, 11; б) –1, –2, –3, –4, –5; в) 110; 210; 310; 410; 510;

г) 1010; 1110; 1210; 1310; 1410; ґ) 1011; 1012; 1013; 1014; 1015; д) 101; 102; 103; 104; 105;

е) 10, 11, 12, 13, 14; є) 3, 1, 4, 1, 5.

822. Напишіть п’ять перших членів послідовності, n–й член якої

задається формулою:

а) а₁ = 2 (1 – 1) = 0; а₂ = 2(2 – 1) = 2; а₃ = 2(3 – 1) = 4; a₄ = 2(4 –

– 1) = 6; a₅ = 2(5 – 1) = 8;

б) х₁ = х₂ = х₃ = х₄ = х₅ = 12;

в) у₁ – З • 1 + (–1)¹ = 3 – 1 = 2; у₂ = 3 • 2 + (–1)² = 6 + 1 = 7;

y₃ = З • З + (–1)³ = 9 – 1 = 8; у₄ = 3 • 4 + (–1)⁴ = 12 + 1 = 13;

у₅ = 3 • 5 + (–1)⁵ = 15 – 1 = 14.

г) b₁ = 1 – 1² = 0; b₂ = 1 – 2² = 1 – 4 = –З; b₃ = 1 – 3² = 1 – 9 = –8;

b₄ = 1 – 4² = 1 – 16 = –15; b₅ = 1 – 5² = 1 – 25 = –24;

ґ) с₁ = 2 • 1² = 2; c₂ = 2 • 2² = 8; с₃ = 2 • 3² = 18; с₄ = 2 • 4² = 32; c₅ = 2 • 5² = 50.

д) z₁ = 1 + (–1)² = 1 – 1 = 0; z₂ = 1 + (–1)² = 1 + 1 = 2; z₃ = 1 +

+ (–1)³ = 0; z₄ = 1 + (–1)⁴ = 2; z₅ = 1 + (–1)⁵ = 1 – 1 = 0.

823. Послідовність задано формулою а_n = 2n + 3. Знайдіть:

a_n = 2n + 3

а) a₃ = 2 • 3 + 3 = 6 + 3 = 9; б) a₆ = 2 • 6 + 3 = 12 + 3 = 15;

в) a₁₅ = 2 • 15 + 3 = 30 + 3 = 33;

г) a₁₀₀ = 2 • 100 + 3 = 200 + 3 = 203.

824. Напишіть сім перших членів послідовності, заданої формулою:

a) a_n = 3n – 2; a₁ = 3 • 1 – 2 = 1; a₂ = 3 • 2 – 2 = 6 – 2 = 4;

а₃ = 3 • 3 – 2 = 9 – 2 = 7; a₅ = 3 • 5 – 2 = 15 – 2 = 13; a₆ = 3 • 6 –

– 2 = 18 – 2 = 16; a₇ = 3 • 7 – 2 = 21 – 2 = 19;

б) a_n = n² + 1; a₁ = 1² + 1 = 2; a₂ = 2² + 1 = 5; a₃ = 3² + 1 = 10;

a₄ = 4² + 1 = 17; a₅ = 5² + 1 = 26; a₆ = 6² + 1 = 37; a₇ = 7² + 1 = 50;

в) a_n = 2 – 5n; a₁ = 2 – 5 • 1 = –3; a₂ = 2 – 5 • 2 = 2 – 10 = –8;

a₃ = 2 – 5 • 3 = 2 – 15 = –13; a₄ = 2 – 5 • 4 = 2 – 20 = –18;

a₁ = 2 – 5 • 5 = 2 – 25 = –23; a₆ = 2 – 5 • 6 = 2 – 30 = –28;

a₇ = 2 – 5 • 7 = 2 – 35 = –33;

г) aⁿ = n² – n; a₁ = 1² – 1 = 0; a₂ = 2² – 2 = 4 – 2 = 2; a₃ = 3² – 3 =

= 9 – 3 = 6; a₄ = 4² – 4 = 16 – 4 = 12; a₅ = 5² – 5 = 25 – 5 = 20; a₆ =

= 6² – 6 = 36 – 6 = 30; a₇ = 7² – 7 = 49 – 7 = 42.

825. Напишіть кілька перших членів послідовності квадратів

натуральних чисел. Який її n–й член?

Напишемо кілька перших членів та n–й член послідовності квадратів натуральних чисел.

1²; 2²; 3²; 4²; ...; n², або 1; 4; 9; 16; ...; n².

826. Напишіть кілька перших членів і n–й член послідовності

кубів натуральних чисел.

Напишемо кілька перших членів та n – 1 член послідовності кубів натуральних чисел.

1³; 2³; З³; 4³; …; n³, або 1; 8; 27; 64; ...; n³.

827. Напишіть кілька перших членів послідовності натуральних

чисел, кратних 3. Обчисліть її сороковий член.

Напишемо кілька перших членів послідовності натуральних чисел, що кратні 3: 3; 6; 9; 12; 15 ....

Обчислимо її сороковий член: a_n = Зn; а₄₀ = З • 40 = 120.

828. Напишіть кілька перших членів послідовності, n–й член якої

а_n = n² – 1. Знайдіть а₁₀, а₂₀, а₁₀₀.

Напишемо кілька перших членів послідовності, n – й член якої a_n =

= n² – 1.

а₁ = 1² – 1 = 0; а₂ = 2² – 1 = 3; а₃ = 3² – 1 = 8; a₄ = 4² – 1 = 15; a₆ =

= 5² – 1 = 21.

Отже, перші члени послідовності — 0; 3; 8; 15...

Знайдемо а₁₀, а₂₀, a₁₀₀.

a₁₀ = 10² – 1 = 99; a₂₀ = 20² – 1 = 400 – 1 = 399;

a₁₀₀ = 100² – 1 = 10000 – 1 = 9999, тобто а₁₀ = 99; а₂₀ = 399;

a₁₀₀ = 9999.

829. Напишіть скінченну послідовність, задану формулою:

a) a₁ = 4 • 1 – 3 = 1; a₂ = 4 • 2 – 3 = 5; a₃ = 4 • 3 – 3 = 9; a₄ = 4 •

• 4 – 3 = 13; a₅ = 4 • 5 – 3 = 17; a₆ = 4 • 6 – 3 = 21; a₇ = 4 • 7 – 3 = 25; a₈ = 4 • 8 – 3 = 29.

б) b₁ = 11 + 1 = 12; b₂ = 22 + 1 = 23; b₃ = 33 + 1 = 34; b₄ = 44 + 1 = 45;

b₅ = 55 + 1 = 56; b₆ = 66 +1 = 67; b₇ = 77 + 1 = 78; b₈ = 88 + 1 = 89;

b₉ = 99 + 1 = 910; b₁₀ = 1010 + 1 = 1011.

в) с₁ = 1² + 2 • 1 = З; c₂ = 2² + 2 • 2 = 8; c₃ = З² + 2 • З = 15;

с₄ = 4² + 2 • 4 = 24; c₅ = 5² + 2 • 5 = 35; с₆ = 6² + 2 • 6 = 48;

с₇ = 7² + 2 • 7 = 63; c₈ = 8² + 2 • 8 = 80.

г) у₁ = 2¹ + 1 = З; y₂ = 2² + 1 = 5; y₃ = 2³ + 1 = 9; у₄ = 2⁴ + 1 =

= 17; y₅ = 2⁵ + 1 = 33; у₆ = 2⁶ + 1 = 65; y₇ = 2⁷ + 1 = 129; у₈ = 2⁸ +

+ 1 = 257.

330. Знайдіть тридцятий член послідовності, заданої формулою:

а) а₃₀ = 2 • 30 + 7 = 67; б) b₃₀ = 2• 30² – 30= 1770;

в) c₃₀ = (–1)³⁰ + З = 1 + З = 4; г) x₃₀ = 0,5 • 30(30 + 1) = 465.

831. Дано послідовність, n–й член якої а_n = 5n + 8. Наскільки

її двадцятий член більший від дев’ятнадцятого?

a₂₀ – a₁₉ = 5 • 20 + 8 – (5 – 19 + 8) = 5 • 20+ 8 – 5 • 19 – 8 =

= 5(20 – 19) = 5.

Відповідь: на 5.

832. Дано послідовність, n–й член якої а_n = n • Зⁿ. У скільки разів її двадцятий член більший від вісімнадцятого?

а₂₀ = 20 • 3²⁰, a₁₈ = 18 • 3¹⁸;

a20a18 = 20 · 32018 · 318 = 2 · 10 · 318·322 · 9 · 318 = 10

Відповідь: у 10 разів.

833. Знайдіть шостий, восьмий і десятий члени послідовності,

n–й член якої b_n = 2ⁿ.

Знайдемо шостий, восьмий і десятий члени послідовності, n–й член якої b_n = 2ⁿ. b₆ = 2⁶ = 64; b₈ = 2⁸ = 256; b₁₀ = 2¹⁰ = 1024.

834. Чи правильно, що а_n = bn – 3 — формула n–го члена послідов–ності натуральних чисел, які при діленні на 5 дають остачу 2?

З’ясуємо, чи є a_n = 5n – З формулою n – го члена послідовності натуральних чисел, що при діленні па 5 дають остачу 2.

Правильно, бо a_n = 5n – З = (5n – З – 2) + 2 = (5n – 5) + 2 = 5(n – 1) + 2, тобто дану формулу можна подати у вигляді суми 2 і числа, кратного 5.

835. Напишіть формулу n–го члена послідовності натуральних

чисел, які при діленні на 7 дають остачу 3.

Напишемо формулу n – го члена послідовності натуральних чисел, які при діленні на 7 дають остачу 3.

Перші члени послідовності натуральних чисел, які при діленні на 7 дають остачу 3: 3; 10; 17; 24 ...

Перші члени послідовності натуральних чисел, які діляться на 7 без остачі: 7; 14; 21; 28 ...

Порівнявши їх, можна зробити висновок, що різниця членів з однаковими порядковими номерами дорівнює 4. Отже n – й член першої послідовності буде на 4 меншим від n–го члена другої. Тобто формула n–го члена послідовності натуральних чисел, які при діленні на 7 дають остачу З, має вигляд а_n = 7n – 4, де n — натуральне число.

836. Перший член послідовності дорівнює 7, а кожний наступний

на 2 більший від попереднього. Напишіть кілька її перших членів.

Напишемо кілька перших членів послідовності, перший член якої дорівнює 7, а кожний інший на 2 більший від попереднього; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; ...

837. Перший член послідовності дорівнює 5, а кожний наступний

на 3 менший від попереднього. Напишіть кілька її перших членів. Зростаюча чи спадна ця послідовність?

Напишемо кілька перших членів послідовності, перший член якої дорівнює 5, а кожний інший на З менший від попереднього. З’ясуємо, зростаючою чи спадною є ця послідовність.

5; 2; –1; –4; –7; ... Послідовність спадна, оскільки кожний її член, починаючи з другого, менший від попереднього,

838. Послідовність 1, 3, 6, 10, 15, ... називають послідовністю

трикутних чисел (мал. 132). Напишіть 4 наступних члени цієї послідовності.

21, 28, 36, 45, 55.

839. Напишіть п’ять перших членів послідовності, яка задається рекурентною формулою:

a) a₁ = 2, a₂ = –2a₁ = –2 • 2 = –4, a₃ = –2a₂ = –2 • (–4) = 8,

a₄ = –2a₃ = –2 • 8 = –16, a₅ = –2a₄ = –2 • (–16) = 32;

б) a₁ = –1, a₂ = 1, a₃ = a₂ + a₁ = –1 + 1 = 0, a₄ = a₃ + a₂ = 0 + 1 = 1, a₅ + a₄ + a₃ = 1 + 0 = 1;

в) a₁ = 15, a₂ = a1 – 5 = 15 – 5 = 10, a₃ = a₂ – 5 = 10 – 5 = 5,

a₄ = a₃ – 5 = 5 – 5 – 0, a₅ = a₄ – 5 = 0 – 5 = –5;

г) c₁ = –2, c₂ = 3, c₃ = 2c₁ + c₂ = 2 • (–2) + 3 = –1, c₄ = 2c₂ + c₃ = 2 • 3 + (–1) = 5; c₅ = 2с₃ + с₄ = 2 • (–1) + 5 = 3.

840. Послідовність чисел Фібоначчі можна задати рекурентною

формулою: a₁ = 1, а₂ = 1, а_n+2 = а_n+1 + а_n або формулою

n–го члена:

Знайдіть п’ять перших членів цієї послідовності двома способами і порівняйте їх.

3a рекурентною формулою: a₁ = 1, a₂ = 1; a₃ = a₂ + a₁ = 1 + 1 =

= 2; a₄ = a₃ + a₂ = 2 + 1 = 3; a₅ = a₄ + a₃ = 3 + 2 = 5.

3a формулою n–ro члена:

a₁ = 15[1 + 52)¹ – (1 - 52)¹] = 15 • 1 + 5 - 1 + 52 = 15 •

• 252 = 1;

a₂=15[1 + 52)² – (1 - 52)²] = 15 • 1 + 25 +5- 1 +2 5 - 54 =

= 15 • 454 = 1;

a₃ = 15[1 + 52)³ – (1 - 52)³] = 15 • 16 +8 5 - 16 + 858 = 15 •

• 25 = 2;

a₄ = 15[1 + 52)⁴ – (1 - 52)⁴] = 15 • 56 + 245 -56 +24 5 16 =

= 15 • 48516 = 3;

a₅ = 15[1 + 52)⁵ – (1 - 52)⁵] = 15 • 176 + 805 - 176 +80 5 32 =

= 15 • 160532 = 5.

Відповідь: 1, 1, 2, 3, 5.

841. Послідовність a₁, а₂, а₃, а₄, ... така, що a₁ = –5 і а_і+1 – а_і = З

для кожного натурального числа і. Знайдіть а₂, а₅, а₁₀.

Знайдемо a₂, a₅, a₁₀ послідовності a₁, a₂, а₃, a₄, ... такої, що a₁ =

= –5 і a_і+1 – а₁ = 3 для кожного натурального числа i.

а_і+1 = а_і = З; а_і+1 = а_і + З; а_і+2 = а_і+1+1 = а_і+1 + 3 = а_і + 3 + 3 = а_і + 2 • 3, тобто а_і+n = а_і + Зn. Нехай і = 1, тоді:

а₂ = а₁₊₁ = а₁ + З • 1 = –5 + З = –2; а₅ = а₁₊₄ = а₁ + З • 4 = –5 +

+ 12 = 7; а₁₀ = а₁₊₉ = а₁ + 3 • 9 = –5 + 27 = 22. Отже, а₂ = –2,

а₅ = 7, а₁₀ = 22.

842. Починаючи з якого номера всі члени послідовності:

а) а_n = Зn + 1 більші за 50;

б) с_n = n² – 5 більші за 220;

в) х_n = 200 – Зn менші за 12;

г) b_n = n² – n не менші за 110;

ґ) а_n= n + 1n не більші за 1,01?

а) Зn + 1 > 50, 3n > 50 – 1, Зn > 49, n > 1613.

Відповідь: починаючи з 17–го номера.

б) n² – 5 > 220, n² – n – 110 > 0.

Розв’яжемо цю квадратну нерівність.

n² – n – 110 > 0. n₁ = 11, n₂ = –10.

Відповідь: починаючи з 11–го номера.

в) 200 – Зn < 12, –3n < 12 – 200 , Зn > 200 – 12 , Зn > 188, n > 62,7.

Відповідь: починаючи з 63 го номера.

ґ) n + 1n ≤ 1,01; n + 1\100n – 101100 ≤ 0;

100n + 100 - 101n100n ≤ 0; 100 - n100n ≤ 0,

оскільки n — ціле додатне число, n ≠ 0, то 100 – n ≤ 0, –n ≤ –100,

n ≥ 100.

Відповідь: починаючи з 100–го номера.

843. Для яких номерів члени послідовності:

а) а_n = Зn – 5 більші за 40, але менші за 150;

б) b_n = 200 – 2n більші за 50, але менші за 170;

в) с_n = 2ⁿ + 1 більші за 8, але менші за 30;

г) х_n = 4 – 7n більші за –40, але менші за –10;

ґ) y_n = n+2 більші за 10, але менші за 10?

a) 40 < 3n – 5 < 150; 40 + 5 < 3n < 150 + 5; 45 < 3n < 155; 453 <

< n < 1553; 15 < n < 5123.

Відповідь: від 16–го по 51–й номери.

б) 50 < 200 – 2n < 170; 50 – 200 < –2n < 170 – 200; –150 < –2n < –30;

30 < 2n < 150; 15 < n < 75

Відповідь: з 16–го по 74 номери.

в) 8 < 2ⁿ + 1 < 30; 8 – 1 < 2ⁿ < 30 – 1; 7 < 2ⁿ < 29.

Очевидно, що 4 < 2ⁿ < 32, 2² < 2ⁿ < 2⁵, тоді 2 < n < 5.

Відповідь: З і 6 номери.

ґ) 10 < n+2 < 10. Оскільки номер елемента – це натуральне число, і функція у = x зростає на всій області визначення, то піднесемо до квадрата кожну частину нерівності: 10 < n + 2 < 100, 8 < n < 102.

Відповідь: від 9–го до 101–го елементів.

844. Скільки додатних членів містить послідовність, задана

формулою:

Спочатку визначимо номер останнього додатного члена;

а) –Зn + 374 > 0, – Зn > 374, n < 124,7; n = 124.

Відповідь: 124 члени.

б) –n² + 70n + 800 > 0; n² – 70n – 800 < 0;

n₁ = 80, n₂ = –10 – 10 < n < 80

Оскільки n — натуральне число, то 1 ≤ n < 80.

Відповідь: 79 членів.

845. Послідовність задано формулою а_n = n² – 15n. Скільки в ній від’ємних членів?

n² – 15n < 0. n(n – 15) < 0, n₁ = 0, n₂ = 15.

0 < n < 15.

Відповідь: 14 членів.

846. Чи є серед членів послідовності а_n = 7n – 2 такі, що:

а) закінчуються цифрою 0;

б) діляться на 13;

в) діляться на 2 і не діляться на 3;

г) при діленні на 27 дають остачу 1?

а) Число, яке закінчується на 0, ділиться на 10.

7n – 2 = 10n – Зn – 2 = 10n – (Зn + 2).

Перший доданок ділиться на 10. Якщо вираз (Зn + 2) ділиться па 10, то і число (7n – 2) ділиться на 10. При n = 6 Зn + 2 = З • 6 + 2 =

= 18 + 2 = 20.

Відповідь: так.

б) При n = 4 а₁ = 7 • 4 – 2 = 26 — ділитьс я на 13.

в) При т = 4 a₄ = 7 • 4 – 2 = 28 – 2 = 26 — ділиться на 2 і не ділиться на 3.

г) При n = 12 а₁₂ = 7 • 12 – 2 = 84 – 2 = 82 = 81 + 1 = 27 • З + 1 — остача при діленні а₁₂ на 27 дорівнює 1. 847. За умовою 7k – 1 =

= 8р + З, 7k – 8р = З + 1, 7k – 8р = 4. Враховуючи, що k і р —

натуральні числа, k = 4, р = З: 7 • 4 – 8 • З = 28 – 24 = 4.

849. Підберіть одну з можливих формул n–го члена послідовності. Задайте кожну послідовність у вигляді таблиці і графіка.

а) а_n = Зn – 1

n	1	2	3	4	5
an	2	5	8	11	14

б) b_n = 2ⁿ

n	1	2	3	4	5
bn	2	4	8	16	32

в) c_n = (–1)ⁿ

n	1	2	3	4	5
cn	1	–1	1	–1	1

г) a_n = 0,5 – 0,5(–1)ⁿ

n	1	2	3	4	5
an	1	0	1	0	1

ґ) b_n = n - 1n

n	1	2	3	4	5
bn	0	12	23	34	45

д) c_n = n + 1n

n	1	2	3	4	5
cn	2	32	43	54	65

850. Підберіть одну з можливих формул n–го члена послідовності. Задайте кожну послідовність у вигляді таблиці і графіка.

a) a_n = 3 · 2^n–1

n	1	2	3	4	5
an	3	6	12	24	48

б) b_n = –2^2n–1 – 1

n	1	2	3	4	5
bn	1	7	31	127	511

в) c_n = –2(n – 1)

n	1	2	3	4	5
cn	0	–2	–4	–6	–8

г) a_n = (–1)ⁿ · n

n	1	2	3	4	5
an	–1	2	–3	4	–5

ґ) b_n = nn + 1

n	1	2	3	4	5
bn	12	23	34	45	56

д) c_n = n + 2n + 1

n	1	2	3	4	5
cn	32	43	54	65	76

851. Напишіть два різних n–них члени послідовностей, першими

членами яких є: 1, 3, 5, 7.

Напишемо два різні n – і члени послідовностей, перші члени яких: 1; 3; 5; 7.

1) a_n = 2n – 1 — n –й член послідовності непарних чисел;

2) b_n = 2n – 1 + (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) — n – й член послідовності, кожний член якої дорівнює сумі непарного числа і добутку (n – 1)(n –

– 2)(n – 3)(n – 4), який для перших чотирьох членів послідовності дорівню є 0.

852. Доведіть, що n–й член послідовності трикутних чисел (див.

задачу 838) дорівнює сумі перших n натуральних чисел.

Позначимо трикутне число з індексом і Т_і.

T₁ = 1,1 = 1 · 22 = 1(1 + 1)2; T₂ = 1 + 2 = 3 3 = 2 · 32 = 2(2 + 1)2;

T₃ = 1 + 2 + 3 = 6 6 = 3 · 42 = 3(3 + 1)2;

T₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 10 = 4 · 52 = 4(4 + 1)2;

T₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 15 = 5 · 62 = 5(5 + 1)2;

T₆ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 21 = 6 · 72 = 6(6 + 1)2.

Висновок: T_n = n(n + 1)2.

853. Нескінченна послідовність 0, 2, 0, 2, 0 , ... така, що сума

кожних двох її сусідніх членів дорівнює 2. Чи правильно, що її n–й член а_n = 1 + (–1)ⁿ?

Так.

854. Послідовність задано формулою а_n = (–1)ⁿ. Знайдіть суму її перших членів: а) ста; б) тисячі; в) тисячі одного.

а_n = (–1)ⁿ

Задана послідовність починається так:

–1, 1, –1, 1, –1, 1..... тобто члени з непарними номерами дорівнюють 1, з парними — (–1). Оскільки –1 + 1 = 0, то сума парної кількості перших членів дорівнює 0, непарної — (–1).

а) 0: б) 0; в) –1.

855. Перемалюйте в зошит малюнок 133 і доповніть його двома

квадратами так, щоб їх сторони дорівнювали наступним членам послідовності Фібоначчі.

856. Зростаючими чи спадними є послідовності, задані такими

формулами:

а) a_n+1 = 9(n + 1) – 10; а_n = 9n – 10;

а_n+1 – a_n(n + 1) – 10 – 9n + 10 = 9n – 9 – 9n = 9 > 0

a_n+1 > a_n, послідовність зростаюча.

б) b_n+1 = 10 – 9(n + 1), b_n = 10 – 9n;

b_n+1 – b_n = 10 – 9 (n + 1) – 10 + 9n = –9n – 9 + 9n = –9 < 0,

b_n+1 < b_n, послідовність спадна.

в) c_n+1 – c_n = 5 – (n + 1)² – 5 + n² = 5 – n² – 2n – 1 – 5 + n² = –2n – 1 <

< 0 (n – натуральне число), с_n+1 < c_n, послідовність спадна.

г) x_n+1 – x_n= 1(n + 1)2 + 1 – 1n2 + 1 = n2 + 1 - n2 - 2n - 1 - 1(n2 + 1)((n + 1)2 + 1) =

= -2n - 1(n2 + 1)((n + 1)2 + 1) < 0, x_n+1 > x_n, послідовність зростаюча.

ґ) y_n+1 – y_n = 3(n + 1) + 4(n + 1) + 2 – 3n + 4n + 2 = 3n + 7n + 3 – 3n + 4n + 2 =

= 3n2 + 6n + 7n + 14 - 3n2 - 4n - 9n - 12(n + 3)(n + 3) =

= 2(n + 3)(n + 2) > 0, y_n+1 > y_n, послідовність зростаюча.

д) z_n+1 – z_n = (n + 1)² + 2(n + 1) – 3 – n² – 2n + 3 = n² + 2n + 1 +

+ 2n + 2 – n² – 2n + 3 = 2n + 3 > 0, z_n+1 > z_n, послідовність зростаюча.

857. Доведіть, що послідовність а_n = 8n – 7 — зростаюча.

a_n+1 – a_n = 8(n + 1) – 7 – 8n + 7 = 8n + 8 – 8n = 8 > 0, послідовність зростаюча.

858. Доведіть, що послідовність а_n = n + 1n — спадна.

Дано: а_n = n + 1n.

Довести: послідовність спадна.

Доведення: a_n = n + 1n

a_n+1 = (n + 1) + 1n + 1 = n + 2n + 1, порівняємо n + 1n і n + 2n + 1

q = 13 і n2 + 2nn · (n + 1), отже, a_n > a_n+1, значить, послідовність спадна.

859. Знайдіть найбільший член послідовності.

а) Знайдемо найбільший член послідовності a_n = 6n – n² – 5.

6n – n² – 5 = –(n² – 6n + 5) = –(n – 3)² + 4, цей вираз набуває найбільшого значення, якщо (n – 3)² = 0, n = З, отже, a₃ = 6 · 3 –

– 3² – 5 = 18 – 9 – 5 = 4.

Відповідь: 4.

б) Знайдемо найбільший член послідовності a_n = –n² + 2n + 3.

–n² + 2n + З = –(n² – 2n – 3) = –(n – 1)² + 4, цей вираз набуває найбільшого значення, якщо (n – 1)² = 0, а n = 1. a₁ = –1 + 2 + З = 4.

Відповідь: 4.

860. Знайдіть найбільший від’ємний член послідовності, заданої

формулою n–го члена:

а) Знайдемо наіібільший від’ємний член послідовності а_n = n² – 35,

n ∈ N.

n² – 35 < 0;

(n – 35) (n + 35) < 0.

0 < n < 35, отже, 35 ≈ 5,8;

тоді 0 < n ≤ 5, тоді найбільший від’ємний член послідовності

a₅ = 25 – 35 = –10.

Відповідь: –10.

б) аналогічно а) 0,25n – 10,75 < 0. 0,25n < 10,75. n < 43, отже,

n = 42.

а₄₂ = 0,25 · 42 – 10,75 = –0,25.

Відповідь: –0,25.

861. Яке з чисел –20, –10, –5, 4, 9 є членом послідовності, n–й член якої а_n = 2n² – 7n?

Розв’язок: n–й член послідовності задано формулою a_n = 2n² – 7n, перевіримо, які з чисел: –20, –10; –5; 4, 9 є членами цієї послідовності.

–20 = 2n

2n² – 7n + 20 = 0. D = b² – 4ас, D = 49 – 160 < 0, отже, –20 не є членом цієї послідовності.

Аналогічно перевіряємо інші числа. Членами послідовності будуть числа – 5 і 4.

Відповідь: –5; 4.

862. Членом якої послідовності є число –12:

Розв'язок: Перевіримо, членом якої послідовності є число –12.

а) 12 = 7n² – 11. 7n² + 1 = 0. n² = –17, коренів немає, отже. –12 не є членом цієї послідовності.

Аналогічно перевіряємо інші послідовності. –12 є членом послідов–ності б): ґ).

Відповідь: б); ґ).

870. Напишіть п’ять перших членів арифметичної прогресії, якщо:

а) a₁ = 7; d = 2. а₂ = 9; а₃ = 11; a₄ = 13; а₁₅ = 15;

б) a₁ = 0,5; d = –10. a₂ = –9,5; а₃ = –19,5; а₄ = –29,5; a₅ = –39,5;

в) а₁ = –14; d = 14. а₂ = 0; а₃ = 14; а₄ = 12; а₅ = 34;

г) а₁ = 9; d = 0. а₂ = 9; а₃ = а₄ = a₅ = 9.

871. Напишіть сім перших членів арифметичної прогресії, якщо:

а) а₁ = 2; d = 5. a₂ = 7; a₃ = 12; а₄ = 17; а₅ = 22;

б) а₁ = –3; d = 4. а₂ = 1; a₃ = 5; a₄ = 9; a₅ = 13;

в) а₁ = 0; d = 7. а₂ = 7; a₃ = 14; a₄ = 21; a₅ = 28;

г) a₁ = 4; d = –1, а₂ = 3; a₃ = 2; а₄ = 1; а₅ = 0.

872. В арифметичній прогресії:

а) a₁ = 5, d = –4. Знайдіть а₇, а₂₀;

б) а₁ = 9, d = 4. Знайдіть а₁₅, а₃₂.

а) a_n – ар. пр.. a₁ = 5, d = 4.

Знайти: a₇; a₂₀. a_n = a₁ + d(n – 1)

a₇ = 5 – 4 · 6 – 19. a₂₀ = 5 – 4 • 19 = –71.

Відповідь: a₇ = –19; a₂₀ = –71.

6) a_n – ap. пр., a₁ = 9. d = 4.

Знайти: a₁₅; a₃₂. a₁₅ = 9 + 4 · 14 = 65. a₃₂ = 9 + 4 · 31 = 133.

Відповідь: a₁₅ = 65; a₃₂ = 133.

873. В арифметичній прогресії а₂ = 14, а₃ = 25. Знайдіть d, а₁₀, а₂₀.

a) a_n — ap. пр.. a₂ = 14. a₃ = 25.

Знайти: d; a₁₀; a₂₀. d = 25 – 14 = 11. a₁ = a₂ – d

a₁ = 14 – 11 = 3. a₁₀ = 3 + 11 · 9 = 102. a₂₀ = 3 + 11 • 19 = 212.

Відповідь: d = 3; a₁₀ = 102; a₃₀ = 212.

874. Знайдіть різницю і десятий член арифметичної прогресії:

a) a_n – ap. пр., 2; 7; 12; ...

Знайти: d; a₁₀. d = 7 – 2 = 5. a₁₀ = 2 + 5 • 9 = 47.

Відповідь: d = 5; a₁₀ = 47.

6) a_n — ap. пр., 3; 1; –1; ...

Знайти: d; a₁₀. d = 1 – 3 = –2. a₁₀ = 3 – 2 • 9 = –15.

Відповідь: d = –2; a₁₀ = –15.

в) an – aр. пр., 12; 23; 16; …

Знайти: d; a_10. d = 13 – 12 = –16; a₁₀ = 12 – 16 · 9 = –1.

Відповідь: d = –16; a = –1.

г) a_n – ар. пр., –57; –37; –17.

Знайти: d; a₁₀. d = –37 – (–57) = 27; a₁₀ = –57 + 27 · 9 = 137 = 167.

Відповідь: d = 27; a₁₀ = 167.

874. Знайдіть різницю і десятий член арифметичної прогресії:

а) an — ар. пр., a₁₁ = 25. d = 2.

Знайти: а₁.

25 = а₁ + 2 · 10. а₁ = 6.

Відповідь: 5.

в) an — ар. пр., a₈ = 9. d = 0,3.

Знайти: а₁.

9 = а₁ + 0,3 · 7. а₁ = 6,9.

Відповідь: 6,9.

б) а_n — ар. пр., a₃₆ = 5.

Знайти: а₁.

5 = а₁ – 1 · 35. а₁ = 40.

Відповідь: 40.

г) а_n — ар. пр., a₂₁ = –50. d = 3.

Знайти: а₁.

–50 = а₁ + З • 20. а₁ = –110.

Відповідь: –110.

875. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо:

а) а_n — ар. пр., а₁ = 5. а₇ = 95.

Знайти: d.

95 = 5 + 6d; 6d = 90. d = 15.

Відповідь: 15.

в) а_n — ар. пр., a₁ = –1,5. а₁₀ = –24.

Знайти: d.

–24 = –15 + 9d; 9d = –9. d = –1.

Відповідь: –1.

б) а_n — ар. пр., a₁ = 23. а₅ = 1,5.

Знайти: d.

1,5 = 2,3 + d · 4. 4d = 0,8. d = –0,2.

Відповідь: –0,2.

г) а_n — ар. пр., a₁ = –17. а₇ = 97.

Знайти: d.

97 = –17 + 6d; 6d = 114. d = 19.

Відповідь: 19.

877. В арифметичній прогресії а₁₇ = 53, d = 3. Знайдіть а₁, а₅, а₁₁, а₂₁.

a_n — ар. пр., a₁₇ = 5З. d = 3.

Знайти: a₁, a₅, a₁₁, a₂₁.

53 = a₁ + 3 · 16. a₁ = 53 – 48. a₁ = 5. a₅ = 5 + 3 · 4 = 17. a₁₁ = 5 +

+ 3 • 10 = 35. a₂₁ = 5 + 3 • 20 = 65.

Відповідь: a₁ = 5; a₅ = 17; a₁₁ = 35; a₂₁ = 65.

878. В арифметичній прогресії а₁₀ = 5, а₁₁ = –4. Знайдіть а₁, d, а₅, а₂₁.

a_n — ap. пр., a₁₀ = 5. a₁₁ = –4.

Знайти: a₁; d; a₅; a₂₁.

d = 4 – 5 = –9. 5 = a₁ – 9 · 9. a₁ = 5 – 81. a₁ = –76. a₅ = –76 – 94 =

= –112. a₂₁ = –76 – 9 · 20 = –256.

Відповідь: a₁ = –76; d = –9; a₅ = –112; a₂₁ = –256.

879. В арифметичній прогресії а₂₅ = 5, а₂₇ = 4. Знайдіть а₇, а₂₀.

a_n — ap. пр., a₂₅ = 5. a₂₇ = 4.

Знайти: a₇; a₂₀.

a_n = a_m + d(n – m);

a₂₇ = a₂₅ + d(27 – 25); 5 = 4 + 2d; 2d = 1. d = 12; 4 = a₇ + 12 · 20 ;

a₇ = 4 – 10 = –6. 5 = a₂₀ + 5 • 12; а₂₀ = 2,5.

Відповідь: a₇ = –6; a₂₀ = 2,5.

880. В арифметичній прогресії а₄ = 2, а₆ = 3. Знайдіть а₄₀, а₄₁.

a_n – aр. пр., а₄ = 2. а₆ = 3.

Знайти: а₄₀; а₄₁.

3 = 2 + d · 2. 2d = 1. d = 12

a₄₀ = 3 + 12 · (40 – 6); a₄₀ = 20. a₄₁ = 2012.

Відповідь: a₄₀ = 20; a₄₁ = 2012.

881. Знайдіть n–й член арифметичної прогресії:

а) ÷ 2; 5; 8; ...d = 5 – 2 = 3.аn = 2 + 3(n – 1);an = Зn – 1.	б) ÷ 7; 6; 5...d = 6 – 7 = –1.an = 7 – 1 • (n – 1);an = 7 – n + 1.an = 8 – n;
в) ÷ 13; 23; …d = 23 – 13 = 13;an = 13 + 13 · (n – 1);an = 13n;	г) ÷ 2; 112; 1…;d = 112 – 2 = –12;an = 2 – 12(n – 1);an = 2 – 12n + 12;an = 212 – 12n.

882. Запишіть формулу n–го члена арифметичної прогресії;

а) ÷ 7; 12; ...

d = 12 – 7 = 5. a_n = 7 + 5(n – 1); a_n = 5n + 2.

б) ÷ –25; –19; ...

d = –19 – (–25) = 6. a_n = –25 + 6(n – 1);

a_n = –25 + 6n – 6. a_n = 6n – 31.

в) ÷ –2,5; 0,5; ...

d = 0,5 – (–2,5) = 3. a_n = –2,5 + 3(n – 1);

а_т = –2,5 + Зn – 3. а_т = Зn – 5,5.

г) ÷ –4,5; –3,7; ...

d = –3,7 + 4,5 = 0,8. а_n = –4,5 + 0,8(n – 1);

а_n + 0,8n – 0,8. а_n = 0,8n – 5,3.

883. Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії:

a) a_n – ар. пр., а₁ = –3,5. а₁₀ = 10.

Знайти: S₁₀.

S_n = (-3,5 + 10) · 102 = –125.

Відповідь: –125.

б) a_n – ар. пр., а₁ = 66. а₁₀ = –6.

Знайти: S₁₀.

S₁₀ = (66 - 6) · 102 = 300.

Відповідь: 300.

в) a_n – ар. пр., а₁ = –3,5. а₁₀ = 2.

Знайти: S₁₀.

S₁₀ = (-2,5 + 2) · 102 = 2,5.

Відповідь: 300.

г) a_n – ар. пр., а₁ = 20. а₁₀ = 21,8.

Знайти: S₁₀.

S₁₀ = 20(20 + 21,8) · 102 = 209.

Відповідь: 209.

884. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, якщо:

a) a_n — ар. пр., a₁ = 95. S₁₀ = 500.

Знайти: a₁; d.

500 = (a1 + 95) · 102; 500 = (a₁ + 95) · 5| : 5; a₁ + 95 = 100. a₁ = 5.

95 = 5 + d · 9. d = 10.

Відповідь: a₁ = 5; d = 10.

б) a_n — ap. пр., a₁₅ = 47. S₃₀ = 1500.

Знайти: a₁; d.

a₁ + d · 14 47, a₁ + 14d = 47,

(2a1 + 29d) · 302 = 1500; 2a₁ + 29d = 100|: 2;

a₁ + 14d = 47, a₁ + 14d = 47, a₁ + 14 · 6 = 17, a₁ = –37,

a₁ + 14, d = 59; 0,5d = 3; d = 6; d = 6.

Відповідь: a = –37; d = 6.

885. Знайдіть суму перших ста членів арифметичної прогресії:

a) a_n — ap. пр., 50; 49; 48; ...

Знайти: S₁₀₀.

d = 49 – 50 = –1. S₁₀₀ = (2 ·50 - 1 ·99) ·1002 = 50.

Відповідь: 50.

б) a_n — ap. пр., –50; –49; –48; ...

Знайти: S₁₀₀.

d = –49 + 50 = 1. S100 = -100 + 1 · 99) · 002 = –50.

Відповідь: –50.

в) a_n — ap. пр., 2; 7; 12; 17; ...

Знайти: S₁₀₀.

d = 7 – 2 = 5. S₁₀₀ = (4 · 5 · 99)· 1002 = 24950

Відповідь: 24 950.

г) a_n — ap. пр., 16; 13; 10; 7; ...

Знайти: S₁₀₀.

S₁₀₀ = (2 · 16 - 3 · 99)· 1002 = –13250.

Відповідь: –13 250.

886. Знайдіть суму перших сорока членів арифметичної прогресії, якщо:

а) a_n — ap. пр., а₁ = 2. d = 3.

Знайти: S₄₀.

S₄₀ = (4 + 3 · 39)· 402 = 2420.

Відповідь: 2420.

б) a_n — ap. пр., а₁ = –18. d = 5.

Знайти: S₄₀.

S₄₀ = (-18 · 2 + 5 · 39)· 402 = 3180.

Відповідь: 3180.

в) a_n — ap. пр., а₁ = 3. d = –0,2.

Знайти: S₄₀.

S₄₀ = (6 - 0,2 · 39) · 402 = –36.

Відповідь: –36

г) a_n — ap. пр., а₁ = 7. а50 = 252.

Знайти: S₄₀.

252 = 7 + d · 49. 49d = 245. d = 5.

S₄₀ = (14 + 5 · 39)· 402 = 4180.

Відповідь: 4180.

887. В арифметичній прогресії відомі перший член a₁ і різниця d. Знайдіть суму її перших n членів S_n, якщо:

Знайдемо перших Sn членів наведених арифметіичних прогресій, в яких перший член і різниця d. Для цього застосуєм о формули

a_n = a₁ + (n – 1) · d і S_n = a1 + an2 · n.

а) a₁ = 3, d = 2; n = 32; a₃₂ = З + 31 · 2 = 65; S₃₂ = 3 + 652 · 32 =

= 1088;

б) a₁ = 4, d = 4; n = 25; a₂₅ = –4 + 24 · 4 = 92; S₂₅ = -4 + 922 · 25 =

= 1100;

в) а₁ = 15, d = –2; n = 40; a₅₀ = 15 + 39 · (–2) = –63;

S₄₀ = 15 - 632 · 40 = –960;

г) а₁ = –5, d = –7; a12 = 12; а₁₂ = –5 + 11 · (–7) = –82; S₁₂ = -5 - 822 · 12 = –522;

д) а₁ = 0, d = 7; n = 35; a₃₅ = 0 + 34 • 7 = 238; S₃₅ = 0 + 2382 · 35 =

= 4165;

е) a₁ = 8, d = 0; n = 50; a₅₀ = 8 + 59 · 0 = 8;

S₅₀ = 8 + 8 2 • 50 = 400.

888. Знайдіть 20–й член і суму двадцяти членів арифметичної прогресії 3, 7, 11, 15, ... .

÷ 3; 7; 11; 15; …

Знайти: a₂₀, S₃₀.

d = 7 – 3 = 4. a₂₀ = 3 + 4 · 19 = 79. S₂₀ = (3 + 79) · 202 = 820.

Відповідь: a₂₀ = 79; S₂₀ = 820.

889. Знайдіть суму шістдесяти перших натуральних чисел.

÷ 1; 2; 3 …

Знайти: S₆₀.

d = 2 – 1 = 1. S₆₀ = (1 + 60) · 602 = 1830.

Відповідь: 1830.

890. Учитель запропонував знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 40; вважав, що школярі довго додаватимуть сорок чисел. А малий Карл Гаусс (згодом відомий німецький математик) завдання виконав за хвилину. Як він міркував? Спробуйте завдання виконати усно.

Розв'язання. Карл Гаусс, розглянувш и задану послідовність натуральних чисел, помітив, що сума будь–яких двох членів, рівновіддалеиих від її кінців, дорівню є сумі двох інших таких членів і дорівню є сумі крайніх членів. А оскільки членів 40, то таких сум удвічі менше. Тому, взявши суму крайніх членів і помноживши на кількість сум, Гаусс дістав шукану суму, тобто

S = (1 + 40) · 402 = 20 · 41 = 820.

891. Знайдіть суму перших ста натуральних чисел.

Знайдемо суму перших ста натуральних чисел. Маємо арифметичну прогресію, в якій a₁ = 1, a₁₀₀ = 100. Тоді

S₁₀₀ = a1+a1002 · 100, S₁₀₀ = 1 + 1002 · 100 = 101 · 50 = 5050.

892. Знайдіть суму перших ста непарних натуральних чисел.

Знайдемо суму перших ста непарних натуральних чисел. Послідовність непарних натуральних чисел 1, 3. 5, ..., тобто d = 2.

a_n = a₁ + (n – 1) · d; a₁₀₀ = 1 + (100 – 1) · 2 = 199; S₁₀₀ =

= a1 + a1002 · 100; S₁₀₀ = 1 + 1992 · 100 = 10000.

893. Ресора складається з десяти сталевих смуг (мал. 136). Довжина верхньої смуги 105 см, а кожна інша на 9 см коротша від попередньої. Знайдіть суму довжин усіх смуг ресори.

a_n – aр. пр., a₁ = 105. d = –9.

Знайти: S₁₀. S₁₀ = (2 · 105 - 9 · 9)2 = 645.

Відповідь: 645.

894. Людям, які копають криницю, обіцяно за перший метр заплатити 30 крб., а за кожний наступний — на 20 крб. більше, ніж за попередній метр. Скільки вони одержать за копання 12–метрової криниці?

Розв’язання. Оскільки сума грошей, яка буде сплачуватись за кожний наведений метр, починаючи з другого, збільшується на однакове число, то маємо арифметичну прогресію, в якій а₁ = 30,

d = 20, n = 12. Тоді, виходячи з формули n–го члена: a_n = а₁ + (n –

– 1)d, сума, сплачена за 12–й метр, становитиме a₁₂ = 30 + 11 · 20 =

= 250 грн. Скористапппісь формулою суми n перших членів ариф– метичної прогресії S_n = a1 + an2n, знайдемо загальну кількість грошей: S₁₂ = 30 + 2502 · 12 = 1680 грн.

Відповідь: 1680 грн.

895. В арифметичній прогресії a₁ = 0,1, d = 2. Знайдіть a₉, а_n, а_3р.

а_n — ар. пр., a1 = 0,1. d = 2.

Знайти: a₉, a_n, a_3p.

а₉ = 0,1 + 2 · 8 = 16,1. an = 0,1 + 2 · (n – 1) = 2n – 1,9.

a3p = 0,1 + 2(3p – 1) = 6p – 1,9.

Відповідь: a₉ = 16,1; a_n = 2n – 1,9; a_3p = 6p – 1,9.

896. Знайдіть a₁, d, a₂₁, a₁₀₀, якщо.

Знайдемо a₃₀ арифметичної прогросії а₁, а₂, a₃, a₄, якщо:

а) а₃ = 3; а₄ = 4; d = а₄ – a_З = 4 – 3 = 1; а₁ = a₃ – 2d = З – 2 · 1 = 1;

а₃₀ = 1 + 1 · 29 = 30;

б) а₅ = 9; а₇ = 13; d = a7 - a52 = 13 - 92 = 2; a₁= а₅ – 4d = 9 – 8 = 1;

a₃₀ = 1 + 29 · 2 = 59;

в) а₁ = 8; a₅ – а₃ = 6, d = a5 - a32 = 62 = З; а₃₀ = 8 + 29 • З = 95;

г) а₂ = 5, а₅ – а₄ = 12; a₅ = a₁ + 4d; d = a5 - a44 = 124 = 3; a₁ = а₂ –

– З = 2; a₃₀ = 2 + 29 · З = 89.

897. a₁, а₂, а₃, а₄, ... — арифметична прогресія. Знайдіть a₁, d, a₂₁, a₁₀₀, якщо.

а) an — ар. пр., a₁ = 10. а₇ = 19.

Знайи: а₁; d, a2₁, а₁₀₀; a₁ + 3d = 10

a₁ + 6d = 19

Відповідь: a₁ = 1; d = 3; а₂₁ = 61; a₁₀₀ = 298.

б) an — ар. пр., а5 = 5,2. а9 = 6,8.

Знайти: а₁, d; а₂₁, а₁₀₀ a₁ + 4d = 5,2

a₁ + 8d = 6,8

4d = 1,6. d = 0,4. а₁ + 4 · 0,4 = 5,2. a₁ = 3,6. а₂₁ = 3,6 + 0,4 • 20 =

= 11,6. a₁₀₀ = 3,6 + 0,4 • 99 = 7, 56.

Відповідь: а₁ = 3,6; d = 0,4; a₂₁ = 11,6; a₁₀₀ = 7,56.

в) а_n — ар. пр., a₅ = 8,2. a₁ = 4,7.

Знайти: а₁; d; а₂₁; а₁₀₀ а₁ + 4d = 8,2

a₁ + 9d = 4,7

5d = –3,5. d = –0,7. a₁ + 4 · (–0,7) = 8,2. a₁ = 11. а₂₁ = 11 – 0,7 ·

· 20 = –3. a₁₀₀ = 11 – 0,7 · 99 = –58,3.

Відповідь: а₁ = 11; d = –0,7; а₂₁ = –3; a₁₀₀ = –58,3.

900. Які з чисел –23, –14, –З, 1, 3, 14, 23 є членами арифметичної

прогресії, n–й член якої:

а) a_n = 5n – 19. –23 = аn – 19. 5n = –4. n = –0,8. –23 не є членом ар. пр. –14 = 5n – 19. 5n – 5. n = 1. –14 є членом ар. пр.

–3 = 5n – 19. 5n = 16. n = 315. –3 не є членом ар. пр.

1 – 5n – 19. 5n = 20. n = 4. 1 є членом ар. пр.

3 = 5n – 19. 5n = –22. n = –4,4. 3 не є членом ар. пр.

3 = 5n – 19. 5n = –22. n = –4,4. 3 не є членом ар. пр.

14 = 5n – 19. 5n = 33. n = 6,6. 14 не є членом ар. пр.

23 = 5n – 19. 5n = 42. n = 8,4. 23 не є членом ар. пр.

б) b_n = 0,1n + 11. –23 = 0,1n + 11. 0,1n = –34. n = –340. –23 не є членом ар. пр.

–14 = 0,1n + 11. 0,1n = –25. n = –250. –14 не є членом ар. пр.

–3 = 0,1n + 11. 0,1n = –14. n = –140. –3 не є членом ар. пр.

1 = 0,1n + 11. 0,1n = –10. n = –100. 1 не є членом ар. пр.

3 = 0,1n + 11. 0,1n = –8. n = –80. 3 не є членом ар. пр.

14 = 0,1n + 11. 0,1n = 3. n = 30. 14 є членом ар. пр.

23 = 0,1n + 11. 0,1n = 12. n = 120. 23 є членом ар. пр.

в) a_n = 97 – 2n; –23 = 97 – 2n

2n = 120. n = 60. –23 не є членом ар. пр.

–14 = 97 – 2n; 2n = 111. n = 55,5. –14 не є членом ар. пр.

–3 = 97 – 2n; 2n = 100. n = 50. –3 є членом ар. пр.

1 = 97 – 2n; 2n = 96. n = 48. 1 є членом ар. ар.

3 = 97 – 2n; 2n = 94. n = 47. 3 є членом ар. пр.

14 = 97 – 2n; 2n = 83. n = 41,5. 14 не є членом ар. пр.

23 = 97 – 2n; 2n = 74. n = 37. 23 є членом ар. пр.

901. Скільки від’ ємних членів має арифметична прогресія:

а) ÷ –10,3; –8,6; ...

Знайти: скільки від’ємних членів?

d = –8,6 – (–10,3) = 1,7. –10,3 + 1,7(n – 1) < 0. –10,3 + 1,7n – 1,7 < 0.

1,7n – 12 < 0. 1,7n < 12. n < 7110.

Відповідь: 7.

6) ÷ –37,5; –35,7; ...

Знайти: скільки від’ємних членів?

d = –3 5 ,7 – (–3 7 ,5 ) = 1,8. –3 7 ,5 + 1,8(п – 1) < 0. –3 7 ,5 + 1,8н – 1,8 < 0.

1,8n < 39,3. n < 21,8(3).

Відповідь: 21.

902. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія:

а) ÷ 2,5; 2,3; 2,1; ...

Знайти: скільки додатних членів?

d = 2,3 – 2,5 = –0,2. 2,5 – 0,2(n – 1) > 0. 2,5 – 0,2n + 0,2 > 0.

–0,2n > –2,7. n < 13,5.

Відповідь: 13.

б) ÷ 176; 151; 126; ...

Знайти: скільки додатних членів?

d = 151 – 176 = –25. 176 – 25(n – 1) > 0. 176 – 25n + 25 > 0. –25n >

> – 201. n < 8,04.

Відповідь: 8.

903. Скільки від’ ємних членів має арифметична прогресія:

а) ÷ –32; –30; –28; ...

Знайти: скільки від’ємних членів?

d = –30– (–32) = 2. –32 + 2(n – 1) < 0. –32 + 2n – 2 < 0. 2n < 34.

n < 17.

Відповідь: 16.

б) ÷ –812; –8; –712; . . .

Знайти: скільки від’ ємних членів?

d = –8 – (–812) = 12

–812 + 12(n – 1) < 0

–812 + 12n – 12 < 0

12n – 9 < 0; 12n < 9; n < 18.

Відповідь: 17.

904. Скільки членів арифметичної прогресії 10, 16, 22, ... міститься

між числами 110 і 345?

÷ 10; 16; 22; ...

Знайти: скільки членів прогресії міститься між числами 110 і 345?

d = 16 – 10 = 6. n = 40,1(6)

а₁₈ = 10 + 6 · 17 = 112.

110 = 10 + 6(n – 1)

110 – 10 + 6 = 7n

n = 1723

345 = 10 + 6(n – 1)

345 = 10 + 6n – 6. 6n = 341. n = 56,8(3)

а₅₆ = 10 + 6 · 55 = 340. 56 – 18 = 38.

Відповідь: 38 членів.

905. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії,

заданої формулою n–го члена:

а) ар. пр. c_n = 5n – 3. с₁ = 5 · 1 – З = 2; с₂ = 5 · 2 – З = 7. d = 7 –

– 2 = 5.

Відповідь: с₁ = 2; d = 5.

б) ар. пр. a_n = 2n + 10. a₁ = 2 · 1 + 10 = 12; a₂ = 2 ·2 + 10 = 14.

d = 14 – 12 = 2.

Відповідь: а₁ = 12; d = 2.

в) ар. пр. a_n = –З – 0,5n; а₁ = –З – 0,5 · 1 = –3,5; a₂ = –З – 0,5 · 2 = = –4. d = –4 – (–3,5) = –0,5.

Відповідь: a₁ = –3,5d = –0,5.

906. Чи є арифметичною прогресією послідовність, n–й член якої:

а) a_n = Зn + 1. а₁ = З · 1 + 1 = 4; а₂ = З · 2 + 1 = 7; a₃ = З · З +

+ 1 = 10. d = 3: так;

б) b_n = 5 – 4n; b₁ = 5 – 4 · 1 = 1; b₂ = 5 – 4 · 2 = –3; b₃ = 5 – 4 · 3 =

= –7. d = –4

в) c_n = 2ⁿ + 1. с₁ = 2¹ + 1 = З; с₂ = 2² + 1 = 5; с₃ = 2³ + 1 = 9.

5 = 3 + 92

5 = 6, не — правильно. Послідовність не є прогресією.

907. Ha стороні CA кута ACB від його вершини відкладено рівні

відрізки і через їх кінці проведено паралельні прямі (мал. 137).

Знайдіть довжини відрізків A₃B₃, A₇B₇, A_nB_n, якщо A₁B₁ = 2,5 см.

Розв'язання. Оскільки відрізки A₁B₁, A₃B₃, A₇B₇, A_nB_n паралельні, то трикутники А₁СВ₁, А₂СВ₂, А₃СВ₃, A_nCB_n, подібні, отже,

A3B3A1B1 = CA3CA1; A7B7A1B1 = CA7CA1; AnBnA1B1 = CAnCA1. Звідси послідовність довжин відрізків задається формулою А_kВ_k = kАВ.

Тоді A₃B₃ = ЗАВ = З · 2,5 = 7,5 (см);

А₇В₇ = 7 • 2,5 = 17,5 (см);

A_nB_n = n · 2,5 = 2,5n (см).

Відповідь: 7,5 cм; 17,5 см; 2,5n см.

908. a₁, а₂, а₃, а₄, ... — арифметична прогресія, с — довільне число. Доведіть, що послідовність ca₁, са₂, са₃, са₄, ... — так само арифметична прогресія.

÷ а₁; а₂; а₃; a₄ Довести: ÷ са₁; са₂; ca₃; са₄.

Доведення: Оскільки ÷ а₁; а₂; а₃; а₄; ..., то а₂ = a1 + a22.

Перевіримо властивість арифметичної прогресії:

ca₂ = ca1 + ca22; са₂ = c(a1 + a3)2 | : с a₂ = a1 + a32, отже, ÷ са₁; са₂; са₃; са₄ — арифметична прогресія.

909. a₁, а₂, а₃, ... і x₁, х₂, х₃, ... — арифметичні прогресії. Доведіть, що арифметичною прогресією є і послідовність a₁ + x₁, a₂ + x₂,

a₃ + x₃, ... .

Дано: ÷ а₁; а₂; а₃; ... ÷ х₁; х₂; х₃.

Довести: ÷ a₁ + х₁; a₂ + х₂; а₃ + х₃; ...

Доведення: Оскільки ÷ а₁; а₂; а₃; ... і ÷ x₁; х₂; х₃, то

a₂ = a1 + a32 і x₂ = x1 + x32, тоді додамо ці рівності:

а₂ + х₂ = x1 + a1 + x3 + a32

Перевіримо властивість арифметичної прогресії:

а₂ + х₂ = а1 + х1 + а3 + х22 – правильно, отже, дана послідовність – прогресія.

910. Числа a², b², с² нерівні й утворюють арифметичну прогресію.

Доведіть, що арифметичну прогресію утворюють і числа 1b + c, 1c + a, 1a + b.

÷ a²; b²; c². Довести: ÷ 1b + c; 1c + a; 1a + b.

Доведення: Оскільки ÷ a²; b²; c², то

b² = a2 + c222, перевіримо властивість прогресії для даної послідовності

1c + a = 12(1b + c + 1a + b); 1aa + c = a + 2b + c2(b + c)(a + b)

a² + ac + 2bc + ac + c² = 2ab = 2b² + 2ac + 2bc

a² + c² = 2b²| : 2

b² = a2 + c22 – правильно. Доведено.

911. Дано арифметичну прогресію, n–й член якої аn. Доведіть,

що: а) а₂ + а₂₃ = а₁₃ + а₁₂; б) а₂₀ – а₁₆ = а₁₀ – a₆.

а) а_n — ар. пр., а₂ + a₂₃ = a₁₃ + a₁₂.

Доведення: a₁ + d + а₁ + 22d = a₁ + 12d + а₁ + 11d

2a₁ + 23d = 2a₁ + 23d

6) a₂₀ – a₁₆ = a₁₀ – a₆.

Доведення: a₁ + 19b – a₁ – 15d = a₁ + 9d – a₁ – 5d

4d = 4d, — правильно.

912. Якась людина має багато коней, і всім їм різна ціна. Найгірший кінь коштує 4 золотих, а найкращий — 55 золотих, і ціна від одного

до другого коня весь час зростає на 3 золотих. Питаємо: скільки ж усього було коней?

Розв’язання. Оскільки, починаючи з другого коня, ціна кожного наступного коня весь час піднімається на З золотих, тобто на одне й те саме число, то маємо арифметичну прогресію, в якій a₁ = 4, a_n =

= 55, d = 3.

Оскільки а_n = а₁ + (n – 1)d, то, підставивши відомі числа, дістанемо рівняння 55 = 4 + (n – 1) • З, де n — кількість коней.

Тоді Зn + 4 – З = 55; Зn = 54; n = 54 : 3; n = 18.

Відповідь: 18 коней.

913. Знайдіть суму перших п членів арифметичної прогресії, якщо:

а) а_n — ар. пр., a₁ = 1; a₅ = 3; n = 40.

Знайти: S₄₀.

3 = 1 + d · (5 – 1). 2 = 4d; d = 0,5. S₄₀ = (2 · 1 + 0,5(40 - 1))· 402 =

= 430.

Відповідь: 430.

б) а_n — ар. пр., a₁ = –3; a₃ = 3; n = 50.

Знайти: S₅₀.

1 = –3 + d · (3 – 1). 2d = 4; d = 2. S₅₀ = (2 · (-3)+2 · 49)· 502 =

= 2300.

Відповідь: 2300.

в) а_n — ар. пр., a₂ = 5; a₄ = 6; n = 100.

Знайти: S₁₀₀.

6 = 5 + d · (4 – 2). 1 = 2d; d = 0,5, a₁ = 4,5.

S₁₀₀ = (2 · 4,5 + 0,5 · 99) · 1002 = 2925.

Відповідь: 2925.

г) a_n – ар. пр., а₁ = 100; а₃ = 3, n = 100.

Знайти: S₁₀₀.

3 = 100 + d(3 – 1). d = –48,5. S₁₀₀ = (2 · 100 - 48,5 · 99) · 1002 =

= 230075.

Відповідь: 230075.

914. Знайдіть суму всіх парних натуральних чисел, менших за 200.

a_n – ар. пр., a₁ = 2. d = 2. a_n = 198. 198 = 2 + 2(n – 1)

198 = 2 + 2n – 2; n = 99. S₉₉ = (2 + 198) · 992 = 4950.

Відповідь: 4950.

915. Знайдіть суму всіх непарних натуральних чисел, менших за 200.

a_n – ар., пр., a₁ = 1. d = 2. a_n = 199.

Знайти: S_n.

199 = 1 + 2(n – 1)

199 = 1 + 2n – 2. 2n = 200. n = 100. S₁₀₀ = (1 + 2 · 99) · 1002 = 9950.

Відповідь: 9950.

916. Знайдіть суму натуральних чисел, менших від 1000, які кратні:

Знайдемо суму натуральних чисел, менших від 1000, які:

а) кратні 3: a_n = 3n; a_n < 1000; тобто З_n < 1000; n = 333,3 ....

Оскільки n натуральне, то n = 333. Тоді маємо арифметичну прогресію, в якій а₁ = З, a₃₃₃ = З · 333 = 999. S₃₃ = a1 + a3332 · 333 =

= 3 + 9992 · 333 = 166833.

б) Кратні 5; a_n = 5n; a_n < 1000, тобто 5n < 1000; n < 200. Отже,

n = 199.

Тоді маємо арифметичну прогресію, в якій а₁ = 5, а₁₉₉ = 5 • 199 =

= 995.

S₁₉₉ = a1 + a1992 · 199 = 5 + 9952 · 199 = 99500.

в) кратні 12; a_n = 12n; a_n < 1000, тоб то 12n < 1000; n < 83,3.... Оскільки n натуральне, то n = 83. Тоді маємо арифметичну прогресію, в якій а₁ = 12, а₈₃ = 12 · 83 = 996.

S₈₃ = a1 + a832 · 83 = 12 + 9962 · 83 = 41832.

917. Знайдіть суму всіх цілих чисел, що належать проміжку:

Знайдемо суму всіх цілих чисел, що належить наведеним проміжкам.

а) Цілі числа, що належать проміжку [–30; 70], становлять арифметичну прогресію, в якій а₁ = –30, a_n = 70, d = 1. Оскільки

а_n = a₁ + (n – 1)d, то 70 = –30 + (n – 1) · 1; 70 = –31 + n; n = 101.

Отже, S₁₀₁ = -30 + 702 · 101 = 2020.

б) Цілі числа, що належать проміжку [–70; –30], становлять арифметичну прогресію, в якій а₁ = –70, a_n = –30, d = 1. Оскільки

a_n = а₁ + (n – 1)d, то –30 = –70 + (n – 1) · 1; –30 = – 71 + n; n = 41.

Отже S₄₁ = -40 - 302 · 41 = –2050.

в) Цілі числа, що належать проміжку (–70; 70), становлять арифметичну прогресію, в якій a₁ = –69, a_n = 69, d = 1, бо крайні числа не входять до проміжку.

Оскільки а₁ + а_n = –69 + 69 = 0, то S_n = a1 + an2 n = 0 · n = 0.

918. В арифметичній прогресії 10 членів. Сума членів з непарними

номерами дорівнює 10, а з парними — 25. Знайдіть її сьомий член.

a_n – ар. пр., a₁ + a₃ + a₅ + a₇ + a₉ = 10. a₂ + a₄ + a₆ + a₈ + a₁₀ = 25.

Знайти: a7 a₁ + a₁ + 2d + a₁ + 4d + a₁ + 6d + a₁ + 8d = 10.

a₁ + d + a₁ + 3d + a₁ + 7d + a₁ + 9d = 25;

5a₁ + 2d = 10, a₁ + 4d = 2,

5a₁ + 25d = 5; a₁ + 5d = 5;

d = 3. a1 + 12 = 2. a1 = –10. a7 = –10 + 3 · 6 = 8.

Відповідь: 8.

919. Тринадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 3. Знайдіть суму її перших 25 членів.

a_n – ap. пр., a₁₃ = 3.

Знайти: S₂₅ 3 = a₁ + d · 12. a₁₂ + a₁₄ = 6. S25 = 6 · 12 + 3 = 75.

Відповідm: 75.

920. Сума перших п’ятнадцяти членів арифметичної прогресії

дорівнює 20, а сума перших її дванадцяти членів на 6 менша. Знайдіть суму перших 27 членів.

a_n — ар. пр., S₁₅ = 20. S₁₂ < S₁₅ на 6.

Знайти: S₂₇. (2a1 + d(15 - 1)) · 152 = 20

(2a1 + d(12 - 1)) · 22 = 14

(a₁ + 7d) · 15 = 20 |: 5

(2a₁ + 11d) · 6 = 14| : 2

(a₁ + 7d) · 3 = 4 3a₁ + 21d = 4

(2a₁ + 11d) · 3 = 7 6a₁ + 33d = 7

3a₁ + 12d = 3|: 3

a₁ + 4d = 1. a₁ = 1 – 4d

3(1 – 4d) + 21d = 4. 3 – 12d + 21d = 4. 9d = 1. d = 19

a₁ = 1 – 49 = 59 S₂₇ = (109 + 19 · 26) · 27 2 = 54.

Відповідь: 54.

921. Знайдіть суму перших 20 членів арифметичної прогресії,

заданої формулою n–го члена:

a) a_n = 2 + 5n – ар. пр., a₁ = 7. a₂₀ = 102. S₂₀ = ?

S₂₀ = (7 + 102) · 22 = 1090.

Відповідь: 1090.

б) a_n = 2n – 1 – ар. пр.

Знайти: S₂₀.

a₁ = 1. a₂₀ = 39. S₂₀ = (1 + 39) ·202 = 400.

Відповідь: 400.

в) a_n = –3 + n – ар. пр.

Знайти: S₂₀.

a₁ = –3. a₂₀ = 17. S₂₀ = (-3 + 17) · 202 = 140.

Відповідь: 140.

922. Знайдіть п’ятий член арифметичної прогресії, якщо суму n перших її членів можна знайти за формулою:

a) S_n = n² – 6n – сума ар. пр.

Знайти: а₅.

а₁ = 1 – 6 = –5. S₂ = 4 – 24 = –20. a₂ – 5 = –20. d = –15 + 5 = –10. a₂ = –15. a₅ = –5 – 10 · 4 = –45.

Відповідь: –65.

б) S_n = 4n² – 2n – сума ар. пр.

Знайти: а₅.

a₁ = 4 – 2 = 2. S₂ = a₁ + a₂ = 16 – 4 = 12. 2 + a₂ = 12. a₂ = 10. d = 10 – 2 = 8. a₅ = 2 + 8 · 4 = 34.

Відповідь: 34.

923. Сума четвертого і шостого членів арифметичної прогресії

дорівнює 14. Знайдіть суму перших дев’яти членів прогресії.

a_n – ар. пр., а₄ + а₆ = 14.

Знайти: S₉.

a₁ + 3d + a₁ + 5d = 14. 2a₁ + 8d = 14. a₁ + 4d = 7. a₅ = 7. S₉ =

= 4 · 14 + 7 = 63.

Відповідь: 63.

924. Скільки разів проб’є годинник упродовж 12 год, якщо він відбиває щопівгодини?

25 разів.

925. При вільному падінні фізичне тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а кожну наступну — на 9,8 м більше. Знайдіть: а) глибину шахти, якщо камінець досяг її дна через 8 с після початку падіння;

б) скільки секунд падала б гайка з висоти 490 м.

Розв’язання. а) Оскільки тіло, починаючи з другої (секунди, проходить, за кожну наступну на 9,8 м більше, ніж за попередню, то маємо арифметичину прогресію з а1 = 4,9, d = 9,8, n = 8. Оскільки an = а1 + (n – 1)d, то за восьму секунду камінець пролетить а8 =

= 4,9 + (8 – 1) · 9,8 = 73,5 м. Скориставшись фopмулою суми n перших членів арифметичної прогресії. S_n = a1 + an2 n, знайдемо

глибину шахти: S₈ = 4,9 + 73,52 · 8 = 313,6 ≈ 314 м.

б) З умови задачі відомо, що за першу секунду тіло пролетить 4,9 м, а починаючи з другої секунди, пролітає за кожну наступну на 9,8 м більше, ніж за попередню, то це справедливо і для падіння гайки.

Тобто маємо арифметичну прогресію за а₁ = 4,9, d = 9,8, S_n = 490.

Підставивши у формули S_n = a1 + an2 n i a_n = a₁ + (n – 1)d відомі значення, дістанемо систему рівнянь, n — кількість секунд:

a_n = 4,9 + (n – 1) · 9,9, a_n = 9,8n – 4,9,

490 = 4,9 + an2 n; 980 = (4,9 + a_n)n : 980 = (4,9 – 9,9n – 4,9)n;

9,8n² = 980; n² = 100; n₁ = 10; n₂ = –10. Оскільки n – це кількість секунд, то n = –10 не задовольняє умову задачі. Отже, n = 10, тобто гайка падала б 10 секунд.

Відповідь: а) ≈ 314 м; б) 10 сек.

926. Міри кутів п’ятикутника утворюють арифметичну прогресію.

Доведіть, що міра одного з цих кутів дорівнює 108°. Складіть подібні задачі для трикутника і семикутника.

Розв’язання. Сума кутів многокутника дорівнює S_n = 180(n – 2), де n – кількість кутів. Тоді для п’ятикутника вона становить S_n = 180° · 3 = 540°. Оскільки міри кутів п’ятикутника утворюють арифметичну прогресію, то різниця між будь–якими сусідніми кутами становитиме сталу величину. Нехай це буде d°. Якщо найменший кут має а°, то найбільший, п’ятий, кут має а°, то найбільший, п’ятий, кут матиме

а₅ = а₄ + 4d градусів. Тоді сума кутів становить S₅ = a1 + a52 · 5 =

= a1 + a1 + 4d2 · 5 = 2a1 + 4d2 · 5 = 5(a₁ + 2d), що дорівнює 540°, тобто 5(S₁ + 2d) = 540°; a₁ + 2d = 108°. Дістали рівність, у якої зліва знаходиться третій член арифметичної прогресії мір кутів п’ятикутни–ка, а справа – кількість градусів, тобто третій за величиною кут дорівнює 108°, що й треба було довести.

Задача для трикутника.

Оскільки S₃ = a1 + a32 · 3 = a1 + (a1 + 2d)2 · 3 = 2a1 + 2d2 · 3 =

= 2(a1 + d)2 · 3 = 3(a₁ + d) i S₃ = 180°(3 – 2) = 180°, то 3(а₁ + d) =

= 180°; a₁ + d = 60°. Отже, задача для трикутника формулюється так: “Міри кутів трикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що один з них має 60°".

Задача для семикутника

S₇ = a1 + a72 · 7 = a1 + (a1 + 6d)2 · 7 = 2a1 + 6d2 · 7 =

= 2(a1 + d)2 · 7 = 7(a₁ + 3d) i S₇ = 180°(7 – 2) = 900°, тому 7(а₁ +

+ 3d) = 900°; a₁ + 3d = 128,56°, або оскільки 180° = π; 7(а₁ + 3d) =

= 5π; a₁ + 3d = 57 π. Отже, задача для семикутника формулюється так: “Міри кутів семикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що міра одного з них становить 128,57°, або 57 π".

927. Кінці відрізків, паралельних основам трапеції, лежать на її

бічних сторонах і ділять кожну з них на 8 рівних частин. Знайдіть довжини цих відрізків та їх суму, якщо основи трапеції а і b (мал. 138).

Розв’язання. Нехай у трапеції ABCD кінці відрізків с₁, с₂, ..., с₇ ділять бічні сторони на 8 рівних відрізків. Ці відрізки паралельні між собою і паралельні основам трапеції. Проведемо відрізок CN такий, що

CN ∥ AB.

Довжини всіх паралельних відрізків, розміщених між CN i AB, рівні b. AN = b, тоді ND = a – b.

Довжини паралельних відрізків, розміщених між відрізками CN i CD, дорівнюють (починаючи від нижньої основи трапеції) 78 (a – b),

68 (a – b), 58 (a – b), 48 (a – b), 38 (a – b), 28 (a – b), 18 (a – b).

Довжини відрізків с₁, с₂, ..., с₇ становлять арифметичну прогресію, яка здається формулою c_n = b + n. a - b8. Тоді:

с₁ = b + 1 · a - b8 = 7b + a8;

с₂ = b + 2 · a - b8 = 3b + a4;

с₃ = b + 3 · a - b8 = 5b + 3a8;

с₄ = b + 4 · a - b8 = b + a2;

с₅ = b + 5 · a - b8 = 3b + 5a8;

с₆ = b + 6 · a - b8 = b + 3a4;

с₇ = b + 7 · a - b8 = b + 7a8;

Суму довжин відрізків с₁, с₂, ... с₇ знайдемо як суму семи перших членів заданої арифметичної прогресії за формулою S_n = c1 + cn2 · n.

Тоді S₇ = c1 + c72 · 7 = 72(7b + a8 + b + 7a8) = 3,5 · 8a + 8b8 =

= 3,5(a + b).

928. Скоротіть дріб:

a) 3x - 92x2 - 5x - 3 = 3(x - 3)2(x - 3)(x + 12) = 32x + 1;

2x² – 5x – 3 = 0. D = 25 – 4 · 2(–3) = 49.

x₁ = 5 - 74 = –12; x₂ = 5 + 74 = 3;

б) a2 - 92a2 + 7a + 3 = (a - 3)(a + 3)2(a + 3)(a + 12) = a - 32n + 2;

2a² + 7S + 3 = 0. D = 49 – 4 · 2 · 3 = 25. a₁ = -7 -54 = –3;

a₂ = -7 + 54 = –12;

в) c2 - 8c - 20c2 - 11c + 10 = (c + 2)(c - 10)(c - 1)(c - 10) = c + 2c - 1.

929. Розв’яжіть нерівність:

a) x² – 8x < 0, x(x – 8) < 0.

x ∈ (0; 8)

б) x² + 7x < 0. x(x + 7) < 0.

x = 0 x + 7 = 0. x = –7.

x ∈ (–7; 0)

в) x² – 16 < 0. x = ± 4.

x ∈ (–4; 4)

г) x² – 3 ≤ 0. x = ± 3.

x ∈ [–3; 3]

935. Напишіть сім перших членів геометричної прогресії, в якій:

Напишемо сім перших членів геометричної прогресії, у якої:

а) b = 1; q = 3. 1; 3; 9; 27; 81; 243; 729;

б) b = 10; q = 12. 10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,31125; 0,15625;

в) b1 = –5; q = 2. –5; –10; –20; –40; –80; –160; –320;

г) b1 = 1; q = –2. 1; –2; 4; –8; 16; –32; 64.

938. Знайдіть b₄, b₇, b_n.

b_n – геом. пр., b₁ = –3. q = 2.

Знайти: b₄; b₇; b_n.

b₄ = – 3 · 2³ = –24. b₇ = – 3 • 2⁶ = –192. b_n = –3 • 2^n–1.

939. Знайдіть перший член геометричної прогресії, в якій:

a) b_n — геом. пр., b₈ = 384. q = 2.

Знайти: b₁.

384 = b₁ · 2⁷ · b₁ = 784128 = 3.

Відповідь: 3.

б) b_n — геом. пр., b₅ = 31,25. q = –2,5.

Знайти: b₁.

51,25 = b₁ • (–2,5)⁴. 51,25 = b₁ · 39,0625. b₁ = 1,312.

Відповідь: 1,312.

940. Знайдіть b₁₂ якщо:

Знайдіть b₁₂ геометричної прогресії b₁, b₂, b₃, b₄,..., якщо:

a) b₁ = 1, b₂ = 6; q = b2b1; q = 61 = 6; b₁₂ = b₁q^12–1; b₁₂ = 1 · 6¹¹ = 6¹¹ =

= 362797056;

б) b₁ = 25, b₂ = –50; q = -5025 = –2; b₁₂ = 25 · (–2)¹¹ = –25 · 2¹¹ =

= –51200;

в) b₃ = 1, b₄ = 0,5; q = b4b3 = 0,51 = 0,5; b₁ = b3q2 = 10,52 = 4; b₁₂ =

= 4 · (12)¹¹ = 1512;

г) b₂ = 2, b₄ = 4; q² = b4b2 = 2; q = 2 або q = –2; b₁ = b2q; b₁ = 22 =

= 2 або b₁ = –22 = –2; тоді b₁₂ = 2(2)¹¹ = (2)¹² = 2⁶ = 64 або b₁₂ = –2(–2)¹¹ = (–2)¹² = 2⁶ = 64. Отже, b₁₂ = 64.

941. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії, якщо:

a) b_n – геом. пр., b₃ = 3. b₄ = 6.

Знайти: b₇.

q = 63 = 2.

b₃ = b₁ · q² 3 = b₁ · 4. b₁ = 34; b₇ = 34 · 2⁶ = 48.

Відповідь: 48.

б) b_n – геом. пр., b₃ = –1,5. b₅ = –6.

Знайти: b₇.

q² = -6-1,5 = 4

q = –2. b₁ = -1,5(-2)2 = -38; b₇ = –38 · (–2)⁵ = 3 · 648 = 24

q = 2. b₁ = -1,522 = –38; b₇ = –38 · (–2)⁶ = 3 · 648 = 24.

Відповідь: 24.

в) b_n – геом. пр., b₅ = 80. b₆ = –160.

Знайти: b₇.

q = -16080 = –2; 8 = b₁ · (–2)⁴ = 12; b₇ = 12(–2)⁶ = 32.

Відповідь: 32.

г) b_n – геом. пр., b₆ = 18; b₄ = 72.

Знайти6 b₇.

q² = 1872 = 14

q = –12; b₄ = b₁ · q³ 72 = b₁(–12)³; b₁ = 72 · (–8)

b₁ = –576. b₇ = 576 · (–12)⁶; b₇ = –9. q = 12; b₄ = b₁ · q³ 72 = b₁ · (12)³ b₁ = 72 · 8. b₁ = 576. b₇ = 576 · (12)⁵; b₇ = 9.

Відповідь: –9; 9.

942. Напишіть формулу n–го члена геометричної прогресії:

а) ÷ ÷ 2; 6; 18; …

q = 62 = 3; b_n = 2 · 3^n–1;

б) ÷ ÷ 14; –12;…

q = 12 : 14 = –2; b_n = 14 · (–2)^n–1;

в) ÷ ÷ 1; 2; 2; …

q = 2; b_n = 1 · (2)^n–1;

г) ÷ ÷ 64; –32; 16; …

q = –3264 = –12; b_n = 64 · (–12)^n–1.

943. Знайдіть номер n–го члена геометричної прогресії, в якій:

a) b_n — гeoм. пр., b₁ = 4. q = 3. b_n = 324.

Знайти: n.

324 = 4 · 3^n–1 3^n–1 = 81. 33^n–1 = 3⁴; n – 1 = 4. n = 5.

Відповідь: 5.

б) b_n — гeoм. пр., b₁ = –8; q = 2. b_n = –256.

Знайти: n.

–256 = –8 • 2^n–1 2^n–1 = 32. 2^n–1 = 2⁵ n – 1 = 5. n = 6.

Відповідь: 6.

944. A₁C₁ — середня лінія ∆ABC, A₂C₂ — середня лінія ∆A₁BC₁, A₃C₃ — середня лінія ∆A₂BC₂ і т. д. (мал. 140). Чи правильно, що довжини відрізків AC, A₁C₁, A₂C₂, … утворюють геометричну прогресію?

Розв’язання. Розглянемо малюнок. А₁С₁ = 12 АС; А₂С₂ = 12А₁С₁ = (12)² АС; А₃С₃ = 12 А₂С₂ = (12)³ АС; і т. д., тобто маємо послідовність АС; 12АС; (12)² АС; (12)³ АС; ..., в якій b_n = AC · (12)^n–1, тобто овжини відрізків АС, А₁С₁, А₂С₂, ... утворюють геометричну прогресію.

945. У геометричній прогресії перший член b₁, знаменник q.

Знайдіть суму її перших членів, якщо:

a) b_n – геом. пр., b₁ = –3; q = 3. n = 6.

Знайти: S₆.

S₆ = -3 ·(36 - 1) 3 - 1 = -3 · 7282 = –1092.

Відповідь: –1092.

б) b_n – геом. пр., b₁ = 2,5; q = 0,4, n = 4.

Знайти: S₄.

S₄ = 2,5 · (0,44 - 1)0,4 - 1 = 4,06.

Відповідь: 4,06.

в) b_n – геом. пр., b₁ = 4; q = –2. n = 4.

Знайти: S₁₀.

S₁₀ = 4 · ((-2)10 - 1)-3 = –1364.

Відповідь: –1364.

г) b_n – геом. пр., b₁ = 12; q = –13; n = 6.

Знайти: S₆.

S₆ = 12 · ((-13)6 - 1)-13 - 1 = 1 · 728 · 32 · 243 ·4 = 91243.

Відповідь: 91243.

946. Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії, якщо:

a) b_n – геом. пр., а₁ = 1; q = 2. n = 2.

Знайти: S₉.

S₉ = 1 · (29 - 1)2 - 1 = 511.

Відповідь: 511.

б) b_n – геом. пр., а₁ = 1. q = 12, n = 10.

Знайти: S₁₀.

S₁₀ = 1((12)10 - 1)12 - 1 = -10231024-12 = 1023 · 21024 = 1023512.

Відповідь: 1023512.

в) b_n – геом. пр., а₁ = 81. q = 13, n = 8.

Знайти: S₈.

S₈ = 81 · ((13)8-1)13 - 1 = 81 · 6560 · 327 · 2 = 227.

Відповідь: 227.

г) b_n – геом. пр., а₁ = –2; q = 2. n = 12.

Знайти: S₁₂.

S₁₂ = 02(212 - 1)2 - 1 = –8190.

Відповідь: –8190.

947. Знайдіть суму перших шести членів геометричної прогресії:

а) ÷ ÷ –2; 10; ...

Знайти: S₆.

q = 10-1 = –5; S₆ = -2((-2)6- 1)-5 - 1 = 5208.

Відповідь: 5208.

б) ÷ ÷ 5; 10; …

Знайти: S₆.

q = 105 = 2; S₆ = 5(26 - 1)2 - 1 = 315

в) ÷ ÷ 32; –16;...

Знайти: S₆.

q = -1632 = –12; S₆ = 32((-12)6 - 1)-12 - 1 = -65 · 32 · 264 · 3 = –2123

г) ÷ ÷ 3; 3; ...

Знайти: S₆.

S₆ = 3 · 6 = 18.

ґ) ÷ ÷ 5; 10; 20; 40; 80.

Знайти: S₆.

q = 105 = 2; S6 = 5(26 - 1)2 - 1 = 63 · 5 = 315.

948. Знайдіть суму п’ятнадцяти перших членів геометричної

прогресії:

Знайдемо суму 15 перших членів геометричної прогресії. При розв’язанні застосовуємо формулу S_n = b1(qn - 1)q - 1.

a) 1; 2; 4; 8; …; b₁ = 1, q = 2, n = 15;

S₁₅ = 1 · (215 - 1)2 - 1 = 2¹⁵ – 1 = 32768 – 1 = 32767;

б) 1024; 5212; 256; ... ; b₁ = 1024, q = 12, n = 15;

S₁₅ = 1024((12)15 - 1)12 - 1 = 322 · (1215 - 1)-12 = 2 · (2⁵)² · (1 – 1215) 2¹¹ – 211215 = 2¹¹ – 124 = 2048 – 116 = 2048 – 0,0625 = 2047,9375;

в) 1; –2; 4; –8; …; b₁ = 1, q = –2, n = 15; S₁₅ = 1 · ((-2)15 - 1-2 - 1 =

= -32768 - 1-3 = 10923;

г) 1024; –512; 256; …; b₁ = 1024, q = 12, n = 15;

S₁₅ = 1024((-12)15 - 1)-12 - 1 = -322 · (1215 + 1)-32 = 23 · (2⁵)² · (1 + 1215) =

= 13(2¹¹ + 211215) = 13(2¹¹ + 124) = 13(2048 + 0,0625) = 2048,06253 =

= 682,6875.

949. Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на два тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого — 2, третього — 3 і т. д., збільшуючи щоденну плату на 1 крб. Ти ж будеш подавати милостиню: першого дня 1 копійку, другого — 2, третього — 4 і т. д., збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю на це згодився, вважаючи

умови вигідними. Скільки грошей одержав багатій?

ар. пр. (aⁿ): 100; 200; 300; … геом. пр. (bⁿ); 1; 2; 4; …

Знайти: S14' – S14''

d = 200 – 100 = 100. S14' = (200 + 1000 · 13) · 142 = 10500

q = 21 = 2 S14'' = 1(214 - 1)2 - 1 = 16383

S14' – S14'' = 10500 – 16383 = –5883.

Відповідь: віддав 5883 коп.

950. Чоловік, продаючи коня, запропонував покупцеві заплатити тільки за гвіздки, якими прибито до копит того коня підкови. За перший гвіздок — 1 пфеніг, за другий — 2, за третій — 4 і т. д.: за кожний удвічі більше, ніж за попередній. За скільки він продавав

коня, якщо гвіздків було 32?

÷ ÷ 1; 2; 4; ...

Знайти: S₃₂ = 1 · (232 - 1)2 - 1

a) b_n – геом. пр., b₃ = 625. b₇ = 81.

Знайти: b₁; q. b₇ = b₃ · q⁴ q⁴ = 81625;

q₁ = -35; 625 = b₁(–35)²; 625 = b₁ · 925;

b₁ = 625 · 259 = 156259; q₂ = 35;

625 = b₁ · (35)²; 625 = b₁ · 925; b₁ = 625 · 259 = 156259.

Відповідь: b₁ = 156259; q = ± 35.

б) b_n – геом. пр., b₅ = 3; b₁₀ = –273.

Знайти: b₁; q. b₁₀ = b₅ · q⁵ – 273 = 3 · q⁵

–93 = q⁵; q⁵ – 243; q = 10243 = –1035 = –3

3 = b₁ · (–3)⁴; 3 = n₁ · 9. b₁ = 13.

Відповідь: b = 13; q = –3.

в) b_n – геом. пр., b₄ = 932, b₈ = 118.

Знайти: b₁; q. 118 = 932 q⁴.

q⁴ = 1 · 3218 · 9 = 1681; q = –23; q32 = b₁ · (23)³; b₁ = -9 · 2732 · 8 = –243256; q = 23

932 = b₁ · (23)³; b₁ = –9 · 2732 · 8 = 243256.

Відповідь: q = –23; b₁ = –243256; q = 23; b₁ = 243256.

г) b_n – геом. пр., b₄ = –6. b₈ = –1115128.

Знайти: b₁; q. –1115128 = –6 · q⁴; q⁴ = 243128 · 6 = 81256

q = –34; –6 = b₁ · (–34)³; –6 = –b1 · 2764; b₁ = 6 · 6427 = 1289; q = 34

–6 = b₁ · (34)⁴; b₁ = 6 · 64819 = 1289.

Відповідь: q = –34; b₁ = 1289; q = 34; b₁ = -1289.

952. Запишіть формулу n–го члена геометричної прогресії:

a) ÷ ÷ 3; –6; …

q = –2; b_n = 3 · (–2)^n–1;

б) ÷ ÷ –1; 1;1 –1; …

q = -16-0,1 = 10; b_n = –0,1 · 10^n–1 = –10^n–2;

в) ÷ ÷ 12 8; ...

q = 812 = 23; b_n = 12 · (23)^n–1 = 12 · (23)ⁿ · 32 = 18 · (23)ⁿ;

г) ÷ ÷ 25; 4; …

q = 4 · 52 = 10; b_n = 25 · 10^n–1 = 2 · 10n5 · 10 = 10n25.

953. Чи є число 384 членом геометричної прогресії:

a) ÷ ÷ 3; 6; …

q = 2; 384 = 3 · 2^n–1 128 = 2^n–1 2⁵ = 2^n–1 2⁶ = 2ⁿ

n = 6. b₆ = 384. Так.

б) ÷ ÷ 481; 8271; …

q = 6 · 8127 · 4 = 6; 384 = 481 · 6^{n –1}; 384 · 814 = 6^n–1; 96 · 81 = 6^n–1; 7776 =

= 6^n–1; 6⁵ = 6^n–1. n – 1 = 5. n = 6. b₆ = 386. Так.

954. Яке з чисел –27, –9, 18, 20, 27 є членом послідовності, n–й член якої:

a) b_n = 5 · 2ⁿ

–27 = 5 · 2ⁿ; 5,4 = 2ⁿ; n ∉ N, –27 не є членом послідовності;

–9 = 5 · 2⁴ – 95 = 2ⁿ; n ∉ N, –9 не є членом послідовності;

18 = 5 · 2ⁿ; 3,6 = 2ⁿ; n ∉ N, 18 не є членом послідовності;

20 = 5 · 2ⁿ; 4 = 2ⁿ; n = 2. n ∈ N, 20 є членом послідовності;

27 = 5 · 2ⁿ; 5,4 = 2ⁿ; n ∉ N, 27 не є членом послідовності;

б) xⁿ = (–3)ⁿ⁺¹

–27 = (–3)ⁿ⁺¹; (–3)³ = (–3)ⁿ⁺¹; n = 2. n ∈ N, –27 є членом послідовності;

–9 = (–3)ⁿ⁺¹; –3² = (–3)ⁿ⁺¹; n ∉ N, –9 не є членом послідовності;

18 = (–3)ⁿ⁺¹; 2 · 3² = (–3)ⁿ⁺¹; n ∉ N, 18 не є членом послідовності;

20 = (–3)ⁿ⁺¹; n ∉ N, 20 не є членом послідовності;

27 = (–3)ⁿ⁺¹; 3³ = (–3)ⁿ⁺¹; n ∉ N, 27 не є членом послідовності;

в) y_n = –36(–12)ⁿ

–27 = –36 · (–12)ⁿ |: (–3); 9 = 12 · (–12)ⁿ; 912 = (–12)ⁿ; 34 = (–12)ⁿ;

n ∉ N, –27 не є членом послідовності;

–9 = –36 · (–12)ⁿ |: (–9); 1 = 4 · (12)ⁿ; 1 = 2²(–12)ⁿ;

n ∉ N, –9 не є членом послідовності;

18 = –26 (–12)ⁿ |: 18; 1 = –2 · (–12)ⁿ; 1 = (–2)^1–n; (–2)⁰ = (–2)^1–n;

n = 1. n ∈ N, 18 є членом послідовності;

20 = –36 · (–12)ⁿ |: 4; 5 = –9(–12)ⁿ; n ∉ N, 20 не є членом послідовності;

27 = –36 · (–12)ⁿ |: 9; 3 = –4(–12)ⁿ; n ∉ N, 27 не є членом послідовності;

г) a_n = –12 · (–32)ⁿ; –27 = –12(–32)ⁿ | · (3); 9 = 4(–32)ⁿ; (32)² = (–32)ⁿ;

n ∉ N, –27 є членом послідовності;

–9 = –12(–23)ⁿ; 912 = (–32)ⁿ; 34 = (–32)ⁿ;

n ∈ N, –9 не є членом послідовності;

–18 = –12 · (–32)ⁿ; –1812 = (–32)ⁿ; –32 = (–32)ⁿ;

n = 1. n ∈ N, 18 є членом послідовності:

20 = –12(–32)ⁿ; –2012 = (–32)ⁿ; –53 = (–32)ⁿ;

n ∉ N, 20 не є членом послідовності;

27 = –12(–32)ⁿ; –2712 = (–32)ⁿ; –94 = (–32)ⁿ;

n ∉ N, 27 не є членом послідовності.

955. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії, в якій:

a) b_n – геом. пр., b₁ + b₃ = 10. b₂ + b₄ = 30.

Знайти: b₁; q

b₁ + b₁q² = 10, b₁(1 + q²) = 10,

b₁q + b₁q³ = 30; b₁q(1 + q²) = 30;

q = 3. b₁ · 10 = 10. b₁ = 1.

Відповідь: b₁ = 1; q = 3.

б) b_n – геом. пр.

b₁q⁴ – b₁ = 15, b₁(q⁴ – 1) = 15,

v₁q³ – b₁q = 6; b₁q(q² – 1) = 6;

qq2 + 1 = 615 = 25

2q² + 2 = 5q

2q² – 5q + 2 = 0. D = 25 – 16 = 9. q₁ = 5 + 34 = 2

q² = 5 - 34 = 12; q = 1. b₁ · 15 = 15. b₁ = 1. q = 12

b₁((12)⁴ – 1) = 15; b₁(-1510) = 15; b1-16 = 1; b₁ = –16.

Відповідь: q = 2; b₁ = 1; q = 12; b₁ = –16.

956. Чи є послідовність, задана формулою с_n = (–3)ⁿ⁺², геометричною прогресією? Якщо так, то знайдіть її перший член і знаменник.

c_n = (–3)ⁿ⁺²

c₁ = (–3)³ = –27; c₂ = (–3)⁴ = 81; c₃ = (–3)⁵ = –243; 81 =

= -27 · (-243) . 81 = 81 – правильно. c_n є геометричною прогресією. q = 81-27 = –3.

Відповідь: с₁ = –27; q = –3.

957. Доведіть, що задана послідовність (х_n) є геометричною

прогресією:

a) x_n = 3 · 7ⁿ

x₁ = 3 · 7¹ = 21; x₂ = 3 · 7² = 147; x₃ = 3 · 7³ = 1029.

147 = 21 · 1029 147 = 147 – правильно, послідовність є геометричною прогресією.

б) x_n = 5 · 2ⁿ⁺¹; x₁ = 5 · 2² = 20; x₂ = 5 · 2³ = 40; x₃ = 5 · 2⁴ = 80.

40 = 20 · 80 40 = 40 – правильно, послідовність є геометричною прогресією.

в) x_n = 0,4¹⁺ⁿ

x₁ = 0,4² = 0,16; x₂ = 0,4³ = 0,064; x₃ = 0,4⁴ = 0,0256. 0,064 =

= 0,16 · 0,0256 0,064 = 0,064 – правильно, послідовність є геометричною прогресією.

958. Доведіть, якщо а, b, с — геометрична прогресія, то:

(а² + b²)с = (b² + с²)а.

÷ ÷ a; b; c, то (a² + b²)c = (b² + c²)a – довести.

Оскільки дано геометричну прогресію, то b² = ac, тоді

a²c + b²c = ab² + ac² a²c = a²c = a²c + ac² – правильно.

959. Дано геометричну прогресію b₁, b₂, b₃, b₄, ... . Доведіть, що

геометричними прогресіями є також послідовності:

÷ ÷ b₁; b₂; b₃; b₄.

Оскільки дано геометричну прогресію, то b22 = b₁ · b₃ b32 = b₂ · b₄

b22 · b32 = b₁ · b₂ · b₃ · b₄

a) b₁ · b₂; b₂b₃; b₃b₄;…

b22 · b32 = b₁ · b₂ · b₃ · b₄ – правильно, послідовність є геометричною прогресією;

б) b₁ + b₂; b₂ + b₃; b₃ + b₄;…

(b₂ + b₃)² = (b₁ + b₂)(b₃ + b₄)

b22 + 2b₂b₃ + b32 = b₁b₃ + b₁b₄ + b₂b₃ + b₂b₄

b22 + b₂b₃ + b32 = b₁b₃ + b₁b₄ + b₂b₃

b₁b₃ + b₂b₃ + b₂b₄ = b₁b₃ + b₁b₄ + b₂b₄

b₂b₃ = b₁b₄

b₁q · b₁q² = b₁ · b₁q³

b12q³ = b12q³ – правильно; послідовність є геометричною прогресією;

в) b₁ – b₂; b₂ – b₃; b₃ – b₄.

(b₂ – b₃)² = (b₁ – b₂)(b₃ – b₄)

b22 – 2b₂b₃ + b32 = b₁b₃ – b₁b₄ – b₂b₃ + b₂b₄

b22 + b32 = b₁b₃ – b₁b₄ + b₂b₃ + b₂b₄

0 = b₂b₃ – b₁b₄.

0 = b₁q · b₁q² – b₁ · b₁q²

0 = b12q³ – b12q³

0 = 0 – правильно; послідовність є геометричною прогресією.

960. П’ятий член геометричної прогресії дорівнює 1. Чому дорівнює добуток дев’яти її перших членів?

1 · 9 = 9

961. Шостий член геометричної прогресії дорівнює –2. Чому дорівнює добуток одинадцяти її перших членів?

–2 · 11 = –22.

962. Знайдіть три числа, які становлять геометричну прогресію,

знаючи, що їх сума дорівнює 21, а добуток — 216.

÷ ÷ b₁; b₂; b₃. S₃ = 21; b₁ · b₂ · b₃ = 216.

Знайти: b₁; b₂; b₃.

b₁ + b₁q + b₁q² = 21. b₁ · b₁q + b₁q² = 216. b13q³ = 216

b₁q = 6. b₁ + 6 + b₁q² = 21. b₁ + b₁q² = 15. b₁ + 6q = 15

b₁ = 15 – 6q b₁q = 6

(15 – 6q)q – 6 = 0. –6q² + 15q – 6 = 0 |: (–3)

2q² – 5q + 2 = 0. D = 25 – 16 = 9. q₁ = 5 - 34 = 12; q₂ = 5 + 34 = 2

q = 12; b₁q = 6. b₁ = 12. b₂ = 6. b₃ = 3. q = 2. b₁q = 6. b₁ = 3. b₂ = 6. b₃ = 12.

Відповідь: ÷ ÷ 12; 6; 3; ÷ ÷ 3; 6; 12.

964. Після кожного руху поршня розріджувального насоса з

посудини забирається 5 % наявного в ній повітря. Визначте тиск повітря всередині посудини після десяти рухів поршня, якщо початковий тиск був 760 мм рт. ст.

Розв’язання. Якщо після кожного руху поршня забирається 5% повітря, то залишається 95 % того повітря, яке було перед цим, тобто тиск, що залишиться, дорівнює попередньому тиску, помноженому на 0,95. Отже, маємо геометричну прогресію з р₁ =

= 650 • 0,95 і q = 0,95, тобто тиск після будь–якого руху поршня

можна знайти за формулою n–го члена геометричної прогресії р_n =

= р₁q^n–1, звідси р_n = 760 · 0,95 · 0,95^n–1 = 760 • 0,95ⁿ, де n — число рухів поршня. Отже, після десятого руху поршня.

Отже, після десятого руху поршня тиск всередині посудини становитиме р₁₀ = 760 · 0,95¹⁰ ≈ 455 мм рт. ст.

965. Чи можуть довжини сторін прямокутного трикутника

утворювати геометричну прогресію?

Припустімо, довжини сторін прямокутного трикутника утворюють геометричну прогресію.

÷ ÷ b₁; b₁q; b₁q², тоді за теоремою Піфагора

b12q⁴ = b12 + b12q²

b12q⁴ = b12(1 + q²) |: b12

q⁴ = 1 + q². q⁴ – q² – 1 = 0. D = 1 + 4 = 5. q12 = 1 - 52 – не задовольняє умову.

22 = 1 ± 52; q = 1 + 52; q = 1 + 52– не задовольняє умову. Так, можуть.

967. Напишіть кілька перших членів послідовності з такими

властивостями: b₁ = 1, b_n = 3b_n–1. Напишіть формулу її n–го члена Знайдіть S₅ і S₁₀.

b₁ = 1; b_n = 3b_n–1.

Знайти: формулу n–го члена, b₅; S₁₀₀.

b₁ = 1. b₂ = 3. q = 3. b₃ = 3. b₅ = 1;

S₁₀ = 1(310-1)3 - 1 = 29524.

Відповідь: b₅ = 81; S₁₀ = 29524.

968. Між числами 4012 і 513 вставте такі чотири числа, які разом з даними числами утворюють геометричну прогресію. Знайдіть її суму двома способами.

b_n – геом. пр., b₁ = 4012, b₆ = 513.

Знайти: b₂; b₃; b₄; b₅; S₅.

513 = 4012 · q⁵

q⁵ = 16 · 23 · 81 = 32243; q = 23;

b₂ = 4012 · 23 = 81 · 22 · 3 = 27; b₃ = 27 · 23 = 18;

b₄ = 18 · 23 = 12; b₅ = 12 · 23 = 8;

S_n = b1(qn - 1)q - 1; S₅ = 4012((23)5 - 1)23 - 1 = 81 · 2 · 11 · 32 · 2 · 13 · 3 = 11056;

S_n = bnq - b1q - 1; S₅ = 512 · 23 - 401223 - 1 = 16 · 23 · 3 - 812-13 =

= (64 - 729) · 318 = 11056.

Відповідь: 27; 18; 12; 8; 11056.

969. Знайдіть кількість членів геометричної прогресії, в якій:

a) b_n – геом. пр., b₁ = 3. b_n = 96. S_n = 189.

Знайти: n.

96 = 3 · 3 · q^n–1 32 = q^n–1 qⁿ = 32q

S_n = 3(qn - 1)q - 1 = 189; 3(32q - 1)q - 1 = 189

32q – 1 = 63(q – 1)

32q – 1 = 63q – 63. –31q = –62. q = 2. 96 = 3 · 2^n–1. 32 = 2^n–1 · 2⁵ =

= 2^n–1. n – 1 = 5. n = 6.

Відповідь: 6.

б) b_n – геом. пр., b₁ = 1; b_n = –512. S_n = –341.

Знайти: n.

–512 = 1 · q^n–1. q^n–1 = –512. qⁿ = –512q

–341 = 1(qn - 1)q - 1; –341 = -512q - 1q - 1

–512q – 1 = –341q + 341. –171q = 942. q = –2. (–2)ⁿ = –512(–2)

(–2)ⁿ = 1024; (–2)ⁿ = (–2)¹⁰; n = 10.

Відповідь: 10.

в) b_n – геом. пр., q = –13; b_n = 14; S_n = 2013.

Знайти: n.

b₁ · (–13)^n–1 = 13; b₁(–13)ⁿ · (–3) = 19

b₁(–13)ⁿ – – 19; b1((-13)n - 1)-13 - 1 = 2013; b1· (-13)n - b1-43 = 2013

–19 – b₁ = –61 · 43 · 3; –19 – b₁ = -2449; –b₁ = -2439; b₁ = 27. 27(–13)ⁿ = –19

(–13)ⁿ = –1213; (–13)ⁿ = (–13)⁵; n = 5.

Відповідь: 5.

г) b_n – геом. пр., q = 3, b_n = 183, S_n = 263 + 24.

Знайти: n.

b₁(3)^n–1 = 183; b₁(3)ⁿ = 183 · 3; b₁(3)ⁿ = 54

b1((3)n - 1)3 - 1 = 263 + 24; b1(3)n - b13 - 1 = 263 + 24

54 – b₁ = (263 + 24)(3 – 1)

54 – b₁ = 78 – 263 + 243 – 24

–b₁ = 23; b₁ = 23; 23 · (3)ⁿ = 54; (3)ⁿ⁺¹ = 27; (3)ⁿ⁺¹ = (3)⁶; n + 1 = 6. n = 5.

Відповідь: 5.

970. Знайдіть чотири числа, з яких три перших є послідовними

членами геометричної прогресії, а три останніх — членами арифметичної прогресії, якщо сума крайніх чисел дорівнює 21, а сума середніх — 18.

b₁; b₂; b₃ – послідовність;

÷ ÷ b₁; b₂; b₃. ÷ b₂; b₃; b₄.

b₁ + b₄ = 21

b₂ + b₃ = 18

Знайти: b₁; b₂; b₃; b₄.

b22 = b₁ · b₃,

2b₃ = b₂ + b₄.

971. Знайдіть такі числа х, у, z, t, щоб послідовність х, у, –2, z, –8, t була геометричною прогресією.

÷ ÷ x; y; –2; z; –8; t.

Знайти: x; y; z; t

z = –4, t = –16. q = 2. y = –1. x = –12;

z = 4, t = 16. q = –2. y = 1. x = –12.

Відповідь: ÷ ÷ –12; –1; –2; –8; –16. ÷ ÷ –12; 1; –2; 4; –8; 16.

972. Починаючи з якого номера члена геометричної прогресії.

a) b_n – геом. пр., ÷ ÷ 729; 243; b_n < 0,01.

Знайти: n.

q = 243729 = 13; 729 · (13)^n–1 0,01; 3⁶ · 3^1–n

3^7–n < 0,01. 3⁷ · 3^–n < 0,01. 3^–n < 0,01.

в) b_n – геом. пр., ÷ ÷ 13; 13, b_n > 5.

Знайти: n.

q = 13 : 13 = 3; 13(3)^n–1 > 5; (3)^n–3 > 5.

973. Виведіть формулу для обчислення добутку n перших членів геометричної прогресії.

Виедемо формулу для обчислення добутку n перших членів геометричної прогресії.

Р_n = b₁ · b₁q · b₁q² · … · b_nq^(n–1) = b1n(q¹ · q² · q³ · … · q^(n–1)) =

= b1n · q^{(1+2+2+…+(n–1))}.

1 + 2 + 3 + … + (n – 1) – сума членів послідовності, в якій кожний наведений член на одиницю більший від попереднього, тобто сума (n – 1) членів арифметичної прогресії, в якій a₁ = 1, d = 1.

Отже, 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) = 1 + (n - 1)2 (n – 1) = 12n(n – 1).

Тоді P_n = b1n q12n(n-1) – формула для обчислення добутку n перших членів геометричної прогресії.

974. Було це майже сто років тому. Селянин продавав 20 овець за 200 крб. Коли один з покупців почав надто довго торгуватись, селянин запропонував: «Дай за першу вівцю 1 к., за другу — 2 к., за третю — 4 к. і далі за кожну вівцю вдвічі більше копійок, ніж за попередню». Покупець погодився. Скільки він заплатив за тих 20 овець?

Розв’язання. Покупець дав за першу вівіцю – 1 к., за другу – 2 к., за третю – 4 к., за четверту – 8 к. і т. д., тобто за кожну наведену вдвічі більше, ніж за попередню. Отже, маємо геометричну прогресію, в якій b₁ = 1, q = 2. Сума її двадцяти перших членів становить

S₂₀ = 1 · (220 - 1)2 - 1 = 2²⁰ – 1 = 1048575, тобто покупець заплатив 1048575 к., або 10485,75 крб.

Відповідь: понад 10000 крб.

975. Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20–ї хвилини

ділиться на дві, кожна з них до кінця 20–ї хвилини знов ділиться на дві і т. д. Скільки бактерій в організмі буде за добу?

Розв’язання. З умови задачі випливає, що кількість бактерій збільшується з геометричною прогресією, у якої b₁ = 1 i q = 2. Оскільки доба має 24 години, або 24 · 60 = 1440 хв, то за добу відбудеться 144020 = 72 ділення, тобто разом з b₁ в прогресії буде 73 члени. Отже, n = 73, тобто після останнього ділення кількості бактерій становитиме b₇₃ = 1 · 2⁷² = 2⁷².

Відповідь: 2⁷².

976. Уявімо, що на початку нашої ери жінка M народила дві дочки, кожна з них до 30 років так само народила дві дочки і т. д. Чи можливо це? Скільки б за таких умов нащадків M жило в наш час?

Розв’язання. 2002 : 30 – 662230, тобто, крім дочок, могло б бути ще 66 поколінь. Оскільки на початку ери у М уже було дві дочки і до 2002 року ще могло б народитися мінімум 66 поколінь, то у М могло б бути 67 поколінь нащадків. Отже, виходячи з умови задачі, маємо геометричну прогресію, в якій b₁ = 2, q = 2, n = 67.

Звідси, в останньому поколінні було б b_n = 2 · 2⁶⁶ = 2⁶⁷ жінок, тобто їх кількість набагато перевищувала б нинішнє населення Землі. Отже, це неможливо.

Якщо урахувати передостаннє покоління, яке народилося б до 1950 року, то у наш час жило б 2⁶⁶ + 2⁶⁷ = 2⁶⁶(1 + 2) = 3 · 2⁶⁶, або 1,5 · 2⁶⁷ жінок.

984. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

а) ÷ ÷ 1; 23; 49; 49; 8271;...

Знайти: S.

q = 23 : 1 = 23; S = 11 - 23 = 113 = 3;

б) ÷ ÷ 12; 14; 18; 116; ...

Знайти: S.

q = 14 : 12 = 12; S = 121 - 12 = 1

в) ÷ ÷ 9; –31; –13; 19; …

Знайти: S.

q = -39 = –13; S = 91 + 13 = 943 = 274 = 634;

г) ÷ ÷ –8; 4; –2; 1; –12;...

Знайти: S.

q = 4-8 = –12; S = -81 + 12 = -832 = -163 = –513.

985. Знайдіть суму, доданками якої є послідовні члени геометричної

прогресії:

a) 1 + 13 + 19 + 117 + …

q = 13; S = 11 - 13 = 123 = 112;

б) 2 – 25 + 225 – 2125 + …

q = –15; S = 21 + 15 = 265 = 106 = 53 = 123;

в) 16 – 8 + 4 – 2 + …

q = –12; S = 161 + 12 = 16 · 23 = 323 = 1023;

г) –1 – 34 – 916 …

q = 34; S = -11 - 34 = -114 = –4.

986. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

Розв’яжемо задачу Архімеда – знайдемо суму нескінченої геометричеої прогресії 1 + 14 + (14)² + (14)³ + ...

b₁ = 1, q = 14; |q| < 1; S_n = b11 - q = 11 - 14 = 134 = 43 = 113.

987. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

Знайдемо суму нескінченної геометричної прогресії.

а) 3 + 310 + 3100 + 31000 + …;

b₁ = 3, q = 110; |q| < 1; S_n = 31 - 110 = 3910 = 3 · 109 = 103 = 313;

б) 6 + 610 + 6100 + 61000 + …; користуючись розв’язком прикладу а), маємо

6 + 610 + 6100 + 61000 + ... = 2(3 + 310 + 3100 + 31000 + ...) = 2 · 313 =

= 623.

988. Подайте у вигляді звичайного дробу нескінченні періодичні

десяткові дроби:

а) 0,3333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + …

b₁ = 0,3; q = 0,1. S = 0,31 - 0,1 = 0,30,9 = 13; 0,333… = 13;

б) 0,666 = 0,6 + 0,06 + 0,006 + …

b₁ = 0,6; q = 0,1; S = 0,61 - 0,1 = 0,60,9 = 69 = 23; 0,6666… = 23;

в) 0,111111 = 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + …

b₁ = 0; q = 0,1; S = 0,11 - 0,1 = 0,11 - 0,1 = 0,10,9 = 19; 0,111111… = 19.

989. Запишіть нескінченний періодичний дріб у вигляді

звичайного дробу:

a) 0,(4) = 0,4 + 0,04 + 0,004 + …

b₁ = 0,4; q = 0,1 S = 0,41 - 0,1 = 0,40,9 = 49; 0,(4) = 49;

б) 0,(5) = 0,5 + 0,05 + 0,005 + …

b₁ = 0,5; q = 0,1 S = 0,51 - 0,1 = 59; 0,(5) = 59;

в) 0,(12) = 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + …

b₁ = 0,12; q = 0,01 S = 0,121 - 0,01 = 0,120,99 = 1299 = 433; 0,(12) = 433;

г) 0,(25) = 0,25 + 0,0025 + 0,000025 + …

b₁ = 0,25; q = 0,01 S = 0,251 - 0,01 = 0,250,99 = 2599; 0,(25) = 2599.

990. Дано рівносторонній трикутник зі стороною 1 см. Середини

його сторін — вершини другого трикутника, середини сторін другого — вершини третього трикутника і т. д. (мал. 144). Знайдіть суму периметрів усіх цих трикутників.

Розв’язання. Довжина сторони кожного наведеного трикутника дорівнює половині довжини сторони попереднього, оскільки є його середньою лінією (див. мал.). Отже, довжини сторін трикутників утворюють геометричну прогресію з b₁ = 1, q = 12. Оскільки периметр рівностороннього трикутника втричі більший від довжини його сторони, то сума периметрів цих трикутників дорівнює потрійній сумі їх сторін.

Звідси |q| < 1, 3S_n = 3 · b11 - q = 3 · 11 - 12 = 6 см.

Відповідь: 6 см.

991. Сформулюйте і розв’яжіть задачу про квадрати, подібну до задачі 990.

Задача 1. Дано квадрат зі стороною 1 см. Середини його сторін є вершинами другого квадрата, середини сторін другого – вершинами третього квадрата і т. д. Знайдіть суму периметрів усіх квадратів.

Розв’язання. Скориставшись формулою сторони квадрата, вписаного в квадрат зі стороною А, а = А 12, дістанемо, що сторони квадратів, вписаних один в одного, починаючи з найбільшої, становлять послідовність 1; 12; 12; 122; ... . Тоді периметри цих квадратів утворюють геометричну прогресію 4; 42; 42; 422; ... .

Отже, b₁ = 4, q = 12; 2 > 1; |q| < 1, тоді сума периметрів цих квадратів P_n = 41 - 12 = 42 - 12 = 422 - 1 = 42(2 + 1)2 - 1 = 8 +

+ 42 см.

Відповідь: 8 + 42 см.

Задача 2. У коло радіуса r вписано квадрат, у квадрата вписано друге коло, у яке знову вписано квадрат, і т. д. Знайдіть суму периметрів усіх квадратів і суму довжин усіх кіл.

Розв’язання. Скориставшись формулою сторони квадрата, вписаного в коло радіуса R, a = R2 і формулою радіуса кола, вписаного в квадрат зі стороною а, r = a2, дістанемо, що сторона першого квадрата – r2, радіус другого кола – r22 = r2, сторона другого квадрата – r2 2 = r, радіус третього кола – r2, сторона третього квадрата – r2 2 = r2 і т. д. Отже, маємо дві послідовності: радіусів – r; r2; r2; … і сторін квадратів – r2; r; r2; … Тоді довжини кіл становлять послідовність 2πr; 2πr2; 2πr2; …, а периметри квадратів – 42r; 4r; 42r; … . Перша є геометричною прогресією з b₁ = 2πr i q =

= 12 (2 > 1; |q| < 1), тобто сума усіх кіл дорівнює

S_n = b11 - q = 2πr1 - 12 = 22πr2 - 1 = 22πr(2 +1)(2 - 1)(2 + 1) =

= πr(4 + 22)2 - 1 = 2πr(2 + 2). Послідовність периметрів квадратів – геометрична прогресія із b₁ = 42r i q = 12 (2 > 1; |q| < 1), тобто сума периметрів усіх квадратів дорівнює P_n = b11 - q = 42r1 - 12 =

= 42r2(2 - 1)(2 + 1)= 8r(2 + 1)2 - 1 = 8r(2 + 1).

Відповідь: 8r(2 + 1) i 2πr(2 + 2).

992. Доведіть, що:

b₁ = 12; c₁ = 38; q = 12 q = 12

S₁ = 121 - 12 = 1 S₂ = 381 - 12 = 3 · 28 = 34

S = 1 + 34 = 134 = 74, отже, 12 + 38 + 14 + 316 + 18 + 332 + … = 74.

993. Знайдіть суму членів нескінченної геометричної прогресії:

Знайдемо суми членів даних нескінченних геометричних прогресій.

а) 1; 12, 12, …; b₁ = 1; q = 12; оскільки 2 > 1, то |12| < 1;

S_n = 11 - 12 = 12 - 12 = 22 - 1 = 2(2 + 1)(2 - 1)(2 + 1) = 2 + 22 - 1 =

= 2 + 2;

б) 5; 5, 1, …; b₁ = 5, q = 15; |15| < 1;

S_n = 51 - 15 = 55 - 15 = 55(5 +1)(5 - 1)(5 + 1) = 5(5 + 5)5 - 1 =

= 1,25(5 + 5);

в) 1, π – 3, (π – 3)², …; b₁ = 1, q = π – 3, |π – 3| = |3,14 – 3| =

= |0,14| < 1;

S_n = 11 - (π - 3) = 11 - π + 3 = 14 - π;

г) 12 - 2, 12, 2 - 122, …; b₁ = 12 - 2, q = 12 : 12 - 2 = 2 - 22 =

= 2 - 12; 2 – 1 < 2; |2 - 12| < 1; S_n = 12 -2 1 - 2 - 12 =

= 1(2 - 2)(2 - 2 + 12) = 22 - 2.

994. У коло радіуса r вписано правильний трикутник, у трикутник

вписано друге коло, в яке знову вписано правильний трикутник, і т. д. Знайдіть суму периметрів усіх трикутників і суму довжин усіх кіл.

Розв’язання. Скориставшись формулою довжини сторони – правильного трикутника, вписаного в коло радіуса R, a = R3 і формулою радіуса кола, вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною а, r = a23, дістанемо, що сторона першого трикутника – r3, радіус другого кола – r323 = r2, сторона другого трикутника – r2 3, радіус третього кола – r32 · 23 = r4, сторона третього трикутника r4 3 і т. д.

Отже, маємо дві послідовності: радіусів – r; r2; r4; … і сторін рівносторонніх трикутників – r3; r2 3; r4 3; … . Тоді довжини кіл становлять послідовність 2πr; πr; πr2; …, а периметри трикутників – 33r; 332 r; 334 r; … Перша є геометричною прогресією з b₁ = 2πr і q = 12 (|q| < 1), тобто сума довжини усіх кіл дорівнює S_n = b11 - q =

= 2πr1 - 12 = 2πr12 = 4πr. Послідовність периметрів трикутників – геометрична прогресія з b₁ = 33r i q = 12 (|q| < 1), тобто сума периметрів усіх трикутників дорівнює

P_n = b11 - q = 33r1 - 12 = 33r12 = 63r.

Відповідь: 63r i 4πr.

995. Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний періодичний

десятковий дріб:

a) 10,(4) = 10 + 0,4 + 0,04 + 0,004 + …

q₁ = 0,1 S = 0,41 - 0,1 = 0,41 - 0,1 = 0,40,9 = 49; 10,(4) = 1049;

б) 3,0(6) = 3 + 0,06 + 0,006 + 0,0006 +

q = 0,1 S = 0,061 - 0,1 = 0,060,9 = 690 = 230 = 115; 3,0(6) = 3115;

в) 0,(24) = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 + …

q = 0,01 S = 0,241 - 0,01 = 2499 43; 0,(24) = 2499;

г) 1,4(7) = 1,4 + 0,07 + 0,007 + …

q = 0,1 S = 0,071 - 0,1 = 790; 14(7) = 1410 + 790 = 14390.

996. Запишіть у вигляді звичайного дробу число:

a) 3,(5) = 3,5 + 0,05 + 0,005 + …

q = 0,1 S = 0,51 - 0,1 = 59; 3,(5) = 359.

б) 21,(21) = 21 + 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + …

q = 0,01; S = 0,211 - 0,01 = 2199 = 733; 21,(21) = 21733.

в) 1,1(6) = 1,1 + 0,06 + 0,006 + …

q = 0,1 S = 0,061 - 0,1 = 690 = 115; 1,1(6) = 1110 + 115 = 1530 = 116

г) 10,00(52) = 1 + 0,0052 + 0,000052 + …

q = 0,01 S = 0,00521 - 0,01 = 0,00520,99 = 529900 = 132475; 10,00(52) = 10132475.

997. Відомо, що |а| < 1, |х| < 1. Спростіть нескінченні суми:

a) 1 + a + a² + a³ + …

q = a; S = 11 - a; 1 + a + a² + a³ + … = 11 - a;

б) 1 – x + x² – x³ + …

q = –x; S = 11 + x; 1 – x + x² – x³ + … = 11 + x.

998. Знайдіть суму нескінченного числа доданків:

кожний з яких удвічі менший від попереднього.

(8 + 42) + (4 + 22) + (2 + 2) + …

q = 12; S = 8 + 421 - 12 = 8 + 4212 = 16 + 82.

999. Запишіть таку нескінченно спадну геометричну прогресію

перший член якої дорівнює 3, а сума членів становить 4.

b_n – геом. пр., b₁ = 3; S = 4.

Знайти: прогресію.

4 = 31 - q; 4 – 4q = 3. 4q = 1. q = 14

÷ ÷ 3; 34; 38; 332; …

1000. Перший член нескінченно спадної геометричної прогресії

на 8 більший, ніж другий, а її сума дорівнює 18. Знайдіть четвертий член цієї прогресії.

b_n – геом. пр., b₁ > b₂ на 8. S = 18.

Знайти: b_n.

÷ b₁; b₁ – 8. q = b1 - 8b1;

b11 - b1 - 8b1 = 18; b12 = 18 · 8; b1' = –12; b₂ = –20. b1'' = 12

b₂ = 4. q’ = -28-20 = 75 q’’ = 12 - 812 = 13; b₄ = –12(75)³ = –508125 b₄ =

= 1227 = 49.

Відповідь: –508125; 49.

1001. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії

дорівнює 1,5, а сума їх квадратів — 1,125. Знайдіть перший член і знаменник цієї прогресії.

b_n – геом. пр., b_n спадна неск. геом. пр., S = 1,5. сума квадратів 1,125. Знайти: b₁, q.

b11 - q = 1,5,

b121 - q2 = 1,125; b1(1 =q2) (1 - q)b1 = 1,51,125; 1 + qb1 = 113; b11 - q · 1 + qb1 –

– 32 · 43; b11 - 13 = 32; 1 + q1 - q = 2; b123 = 32; 1 + q = 2 – 2qb₁ = 1. q = 13.

Відповідь: b₁ = 1; q = 13.

1002. Знайдіть суму ста перших доданків:

а) Об’єднаємо в пари два сусідніх доданки: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100 = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (88 – 100) = –1 · 50 =

= –50.

(Сума кожної пари дорівнює –1, таких пар усього 50).

б) 1 – 2² + 3² + 4² + ... + 99² – 100² = 1 + (3² – 2²) + (5² – 4²) + ... +

+ (99² – 98²) – 100² = 1 – 100² + (2 + 3) + (4 + 5) + (6 + 7) + ... +

+ 98 + 99 = 1 – 100² + 2 + 992 · 98 = 1 – 100000 + 4949 = –5050.

1003. Знайдіть суму перших сорока членів послідовності:

Знайдемо суми перших сорока членів даних послідовностей:

а) 411 · 2, 412 · 3, 413 · 4, 414 · 5, …, 41n(n + 1), …;

41 · 11 · 2 = 41 · (1 – 12); 12 · 3 = 12 – 13; …; 1n(n + 1) = 1n – 1n + 1;

S₄₀ = 411 · 2 + 412 · 3 + … + 4140 · 41 = (1 – 12 + 12 – 13 + 13 – 14 + … + 139 –

– 140 + 140 – 141) · 41 = (1 – 141) · 41 = 4041 = 40.

Відповідь: 40.

б) 31 · 4; 34 · 7; 37 · 10; 310 · 13; … ; 3(3n - 2)(3n + 1);

31 · 4 = 1 – 14; 34 · 7 = 14 – 17; …; 3(40 · 3 - 2) · (40 · 3 + 1) = 3118 · 121 =

= 1118 – 1121;

S₄₀ = 31 · 4 + 34 · 7 + … + 3(3n - 2)(3n + 1) = 1 – 14 + 14 – 17 + … +

+ 1118 – 1121 = 1 – 1121 = 120121.

Відповідь: 120121.

1007. Розв’яжіть рівняння, в лівій частині якого — сума членів

геометричної прогресії.

1x + x + x² + … + x⁴ + … = 72; |x| < 1

1x + x1 - x = 72; 1 - x + x2x(1 - x) = 72

2 – 2x + 2x² = 7x – 7x². 9x² – 9x + 2 = 0. D = 81 – 4 · 9 · 2 = 9.

x₁ = 9 - 318 = 13 x₂ = 9 + 318 = 1218 = 23.

Відповідь: 13; 23.

1008. Доведіть тотожність.

1 + 2x + x² – x³ – x⁴ – x⁵ + …. = 136 |x| < 1

1 + 2x + x21 + x = 136; 1 + 2x + x + 2x2 + x21 + x = 136; 3x2 + 3x + 11 + x = 136

18x² + 18x + 6 = 13 + 13x

18x² + 5x – 7 = 0. D = 25 + 504 = 529.

x₁ = -5 - 2330 = -2836 = –79; x₂ = -5 + 2336 = 12.

Відповідь: –79; 12.

1011. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на

координатній прямій.

a) 5x < 15; x < 3.	б) 0,6 ≥ 3. x ≥ 3 : 0,6. x ≥ 5.
Відповідь: х ∈ (–∞; 3).	Відповідь: х ∈ [5; +∞).
в) –4x < 1; x > –14.	г) 7 + 1 < 15; 7x < 14; x < 2.
Відповідь: х ∈ (–14; +∞).	Відповідь: х ∈ (–∞; 2).
ґ) 9x – 5 ≤ 13; 9x ≤ 18; x ≤ 2.	д) 7 – 4 > 15; –4 > 8; x < –2.
Відповідб: х ∈ (–∞; 2].	Відповідь: х ∈ (–∞; –2).

1012. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на

координатній прямій.

а) Зx – 5 < x + 7; 3x – x < 7 + 5;

2х < 12; х < 6.

Відповідь: x ∈ (–∞; 6).

б) x + 15 ≥ 5x + 3; x – 5x ≥ 3 – 1,5; –4x ≥ –12; x ≤ 3.

Відповідь: х ∈ (–∞; З].

в) 0,3у + 1 > 3 – 0,2у

0,3у + 0,2у > 3 – 1. 0,5y > 2. у > 2 : 0,5. у > 4.

Відповідь: у ∈ (4; +∞).

г) 1,5z – 2 < z + 8; 1,5z – z < 8 + 2;

0,5z < 10; z < 20.

Відповідь: z ∈ (–∞; 20).

1013. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на

координатній прямій.

a) 2x – 35(x – 1) > 4

2x – 35x + 35 > 4; 1,4x > 3,4; x > 3,41,4; x > 177; x > 237.

Відповідь: x ∈ (237; +∞).

б) 5 ≤ 3x – 25(x – 1); 5 ≤ 3x – 23x + 23; 213x ≥ 413; x ≥ 13 · 33 · 7; x ≥ 167.

Відповідь: x ∈ [167; +∞).

в) 1 + 2x + 13 < 11 - 3x4 | · 12

12 + 4(2x + 1) < 3(11 – 3x)

12 + 8x + 4 < 33 – 9x

17x < 33 – 16. 17x < 17. x < 1.

Відповідь: x ∈ (–∞; 1).

г) 7z - 165 – 4z + 56 < 11| · 30

6(7z – 16) – 5(4z + 5) < 330

42z – 96 – 20z – 25 < 330

22z < 451; z < 20,5

Відповідь: z ∈ (–∞; 20,5).

1014. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на

координатній прямій.

а) 5x – 1 – 2(3x – 2) > Зx – 4(2х – 7)

5x – 5 – 6x + 4 – Зx + 8x – 28 > 0

4x > –29. x > –7,25.

Відповідь: х ∈ (– 7,25; +∞).

б) 4(3 – 7y) – 3(4y + 5) < 5y + 3(y – 4)

12 – 8y – 12у – 15 < 5y + Зy – 12

–20у – 8y < З – 12. –28у < –9. у > 928.

Відповідь: у ∈ (928; +∞).

1015. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на

координатній прямій.

a) 0,5 – 1,2(3 – x) ≤ 4,5(2 – 4x) – 5x

0,5 – 3,6 + 1,2x ≤ 9 – 18x – 5x; x ≤ 12.

Відповідь: x ∈ (–∞; 12].

б) 1,z – 0,6(5 – 3,7) ≥ 2,3(2 – 5z) – 4z

1,2z – 3 + 1,8z ≥ 4,6 – 11,5z – 4z

17,5z ≥ 7,6; z ≥ 7,617,5; z ≥ 76175.

Відповідь: x ∈ [76175; +∞).

1016. При яких значеннях змінної має зміст вираз:

a) 5x - 7

5x · 7 ≥ 0; 5x ≥ 7; x ≥ 75; x ≥ 125.

Відповідь: x ∈ [125; +∞).

б) 1 - 2x; 1 – 2x ≥ 0; –2x ≥ –1; x ≤ 12.

Відповідь: x ∈ (–∞; 12].

в) 1x + 3x - 1

x ≠ 0, x ≠ 0, x ≠ 0,

3x – 1 ≥ 0; 3x ≥ 1; x ≥ 13.

Відповідь: x ∈ [13; +∞).

1017. Знайдіть область визначення функції:

a) y = -2x; –2x ≥ 0; x ≤ 0.

Відповідь: x ∈ (–∞; 0].

б) y = 3 - 7x; 3 – 7x ≥ 0; –7x ≥ –3; x ≤ 37.

Відповідь: x ∈ (–∞; 37].

в) y = x2 + 3; x² + 3 ≥ 0; x² ≥ –3.

Відповідь: x ∈ (–∞; +∞).

г) y = -x2 - 1; –x² – 1 ≥ 0; –x² ≥ 1; x² ≤ –1.

Відповідь: x ∈ ∅.

ґ) y = 1x + x; x ≠ 0,

x ≥ 0.

Відповідь: x ∈ (0; +∞).

д) y = 2x – 1 - x; x ≠ 0, x ≠ 0, x ≠ 0,

1 – x ≥ 0; –x ≥ –1; x ≤ 1;

Відповідь: x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 1].

1018. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) 5x + 1 > 6x – 18, 5x – 6x > –1 – 18, –x > –19, x < 19,

3x – x > 5x – 13; 3x – 5x > 7 – 13; –2x > –4, x< 2.

Відповідь: x ∈ (–∞; 2).

б) 7y + 3 > 8y – 17, 7y – 8y > –y – 17, –y > –20, y < 20,

3y – 2 < 6y – 12; 3y – 6y < 2 – 12; –3y < –10; y > 313.

Відповідь: y ∈ (313; 20).

1019. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) 4x + 5 < 9x – 5, 4x – 9x < –5 – 5, –5x < –10, x >2,

8x – 7 ≥ 5x + 4; 8x – 5x ≥ 7 + 4; 3x ≥ 11; x ≥ 323;

Відповідь: x ∈ [323; +∞).

б) 5 + 3z ≤ 9z – 4, 3z – 9z ≤ –5 – 4, –6z ≤ –9, z ≥ 96, z ≥ 112,

8z – 6 > 7z + 3; 8z – 7z > 6 + 3; z > 9; z > 9; z > 9.

Відповідь: z ∈ (9; +∞).

1020. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) 3(2x – 1) + 2,5x < 4, 6x – 3 + 2,5x < 4 8x < 7, x < 78,

0,5(x – 3) – 4,5 < x; 0,5x – 1,5 – 4,5 < x –0,5x < 6; x > –12.

Відповідь: x ∈ (–12; 78).

б) 1,5(2x – 3) + 2,7x < 2, 3x – 4,5 + 2,7x < 2, 5,7x < 6,5,

3x – 2,5(4 – 0,5x) > 0; 3x – 10 + 1,25x > 0; 4,25x > 10;

x < 6,55,7, x < 1857, x < 1857,

x > 104,25; x > 1000425; x > 2616.

Відповідь: x ∈ ∅.

1021. Розв’яжіть систему нерівностей.

a) 1 + 2x > 9x - 24 |· 4, 4 + 8x > 9x – 2, 8x – 9x > –4 – 2,

7 + 2x > 3x – 1; 2x – 3x > –7 – 1; –x > –8;

–x > –6, x < 6,

x < 8; x < 8;

Відповідь: x ∈ (–∞; 6).

б) 2 - 6x5 ≥ 3x + 13| · 5, 2 – 6x ≥ 15x + 65, –6x – 15x ≥ 65 – 2,

5x – 8 ≤ 3x + 24| · 4; 20x – 32 ≤ 3x + 2; 20x – 3x ≤ 32 + 2;

–21x ≥ 63, x ≤ –3,

17x ≤ 34; x ≤ 2.

Відповідь: x ∈ (–∞; –3].

1022. Розв’яжіть подвійну нерівність.

a) 9 < 2x + 3 < 17. 2x + 3 > 9, 2x > 9 – 3, 3x > 6, x > 3,

2x + 3 < 17; 2x < 17 – 3; 2x < 14; x < 7.

Відповідь: x ∈ (3; 7).

б) –8 < 3x – 2 < 25. 3x – 2 > –8, 3x > 2 – 8, x > –2,

3x – 2 < 25; 3x > 25 + 2; x > 9.

Відповідь: x ∈ (9; +∞).

в) 0 ≤ 1 – x ≤ 1; 1 – x ≥ 0, –x ≥ –1, x ≤ 1,

1 – x ≤ 0; –x ≤ 0; x ≥ 0.

Відповідь: x ∈ [0; 1].

г) 0 ≤ 1 – x ≤ 2; 2 – x ≥ 0, –x ≥ –1, x ≤ 2,

2 – x ≤ 2; –x ≤ 2 – 2; x ≥ 0.

Відповідь: x ∈ [0; 2].

ґ) –8 ≤ 3 – 11z < 58;

3 – 11z ≥ –8, –11z ≥ –3 – 8, –11z ≥ –11, z ≤ 1,

3 – 11z < 58; –11z < 58 – 3; –11x < 55; x > –5.

Відповідь: z ∈ (–5; 1].

д) –1,5 < 16(1 – 2y) ≤ –0,5;

16(1 – 2y) > –1,5| · 6, 1 – 2y > –9, –2y > –10, y < 5,

15(1 – 2y) ≤ –0,5| · 6; 1 – 2y ≤ –3; –2y ≤ –4; y ≥ 2.

Відповідь: y ∈ [2; 5).

1023. Розв’яжіть нерівність.

a) (x + 3)(x – 5) < 0;

x + 3 < 0, x < –3, або x + 3 > 0, x > –3,

x – 5 > 0; x > 5. x – 5 < 0; x < 5.

Відповідь: x ∈ (–3; 5).

б) (x + 7)(x + 4) < 0;

x + 7 < 0, x < –7, або x + 7 > 0, x > –7,

x + 4 > 0; x > –4; x + 4 < 0; x < –4.

Відповідь: x ∈ (–7; –4).

в) (y – 2)(8 – y) > 0;

y – 2 > 0, y > 2, y > 2, або y – 2 < 0, y < 2, y < 2,

8 – y > 0. –y > –8; y < 8. 8 – y < 0; –y < –8; y > 8.

Відповідь: y ∈ (2; 8).

г) (z – 5)(6 – z) < 0;

z – 5 < 0, z < 5, z < 5, z ∈ (–∞; 5) або

6 – z > 0; –z > –6; z < 6.

z – 5 > 0, z > 5, z > 5,

6 – z < 0; –z < –b; z < 6. z ∈ (5; 6).

1024. Розв’яжіть нерівність.

a) (x² + 3)(x – 5) < 0

x² + 3 < 0, x ∈ ∅ або x² + 3 > 0 x ∈ (–∞; +∞).

x – 5 > 0; x – 5 < 0

Відповідь: x ∈ (–∞; 5).

б) (y + 2)(2 + y²) > 0;

y + 2 > 0, y > –2, або y + 2 < 0,

2 + y² > 0; y ∈ (–∞; +∞). 2 + y² < 0; y ∈ ∅.

Відповідь: y ∈ (–∞; +∞).

в) (3x – 2)(5 – 2x) > 0;

3x – 2 > 0, 3x > 2, x > 23, або 3x – 2 < 0, 3x < 2, x < 23,

5 – 2x > 0; –2x > –5; x < 2,5. 5 – 2x < 0; –2x < –5; x > 2,5.

Відповідь: x ∈ (23; 2,5).

г) 4(2y – 3)(7 – 3y) < 0;

2y – 3 > 0, 2y > 3, y > 1,5, або 2y – 3 < 0, 2y < 3, y < 1,5,

7 – 3y < 0; –3y < –7; y > 213; 7 – 3y > 0; –3y > –7; y < 213.

Відповідь: y ∈ (–∞; 1,5) ∪ (213; +∞).

1025. Розв’яжіть нерівність.

a) 12x + 3 > 0

x + 3 > 0. x > –3.

Відповідь: x ∈ (–3; +∞).

б) 182z + 1 < 0; 2z + 1 < 0; 2z < –1; z < –12.

Відповідь: z ∈ (–∞; –12).

в) 132 - 3x > 0; 2 – 3x > 0; 23x > –2; x < 23.

Відповідь: x ∈ (–∞; 23).

г) x + 53 - 2x > 0;

x + 5 > 0, x > –5, x > –5, або x + 5 < 0, x < –5, x < –5,

3 – 2x > 0; –2x > –3; x < 1,5. 3 – 2x < 0; –2x < –3; x > 1,5.

Відповідь: x ∈ (–5; 1,5).

ґ) x - 72 - 4x < 0;

x – 7 < 0, x < 7, x < 7, або x – 7 > 0, x > 7, x > 7,

2 – 4x > 0; –4x > –2; x < 12. 2 – 4x < 0; –4x < –2; x > 12.

Відповідь: x ∈ (–∞; 12) ∪ (7; +∞).

д) c - 35 - 2c < 0;

c – 3 < 0, c < 3, c < 3, або c – 3 > 0, c > 3, c > 3,

5 – 2c > 0; –2c > –5; c < 2,5. 5 – 2c < 0; –2c < –5; c > 2,5.

Відповідь: c ∈ (–∞; 2,5) ∪ (3; +∞).

1026. Знайдіть f(–2); f(–1); f(0); f(1); f(2), якщо функцію задано

формулою:

a) f(x) = 2x2 + 3;f(–2) = 2 · (–2)2 + 3 = 11;f(–1) = 2 · (–1)2 + 3 = 5;f(0) = 2 · 0 + 3 = 3;f(1) = 2 · 12 + 3 = 5;f(2) = 2 · 22 + 3 = 11;	б) f(x) = 3x3 – 2;f(–2) = 3 · (–2)3 – 2 = –26;f(–1) = 3 · (–1)3 – 2 = –5;f(0) = 3 · 02 – 2 = –2;f(1) = 3 · 12 – 2 = 1;f(2) = 3 · 22 – 2 = 22;
в) f(x) = x2 + 1;f(–2) = (-2)2 + 1 = 5;f(–1) = (-1)2 + 1 = 2;f(0) = 02 + 1 = 1; f(2) = 22 + 1 = 5.

1027. Функцію задано формулою у = 6x1 + x на множині натуральних чисел першого десятка. Задайте її у вигляді таблиці.

y = 6x1 + x

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	3	4	4,5	445	5	517	514	539	5,4	5511

1028. Функцію задано формулою у = 2x + 5 на області визначення D = {–4; –2,75; –1; 1,25; 4; 11}. Задайте її у вигляді таблиці і графіка.

y = 2x + 5

x	–4	–2,75	–1	1,25	4	11
y	2	3	4	5	6	8

1029. Побудуйте графік функції у = х² – 4, якщо D = {–1; 0; 1; 2; 3}. Знайдіть її область значень.

y = x² – 4

D = {–1; 0; 1; 2; 3}

f(–1) = –3.

f(0) = –4. f(1) = –3.

f(2) = 0. f(3) = 5.

E(y) ∈ [–4; 5].

1030. Знайдіть область визначення функції:

a) y = 5x – 1; D(y) ∈ [–∞; +∞);

б) y = x + 1; x + 1 ≥ 0; x ≥ 1; D(y) ∈ [–1; +∞);

в) y = 4 – x; 4 – x ≥ 0; –x ≥ –4; x ≤ 4; D(y) ∈ (–∞; 4];

г) y = 1x2 - 1; x² – 1 ≠ 0; x² ≠ 1; x ≠ ±1; D(y) ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 1) ∪ (1; +∞);

ґ) y = 3xx + 3; x + 3 ≠ 0. x ≠ –3. D(y) ∈ (–∞; –3) ∪ (–3; +∞);

д) y = x2 - 1x2 + 1; D(y) ∈ (–∞; +∞).

1031. При яких значеннях х дана функція має найменше значення:

a) y = x² – 6x + 9. x_в = –b2a; x_в = 62 = 3; x = 3.

Відповідь: 3.

б) y = x² + 4x + 7. x_в = -b2a; х_в = -42 = –2; x = –2.

Відповідь: –2.

в) y = 4x² – 12x – 3. x_в = -b2a; х_в = 128 = 1,5; x = 1,5.

Відповідь: 1,5.

г) y = 4x² – 4x + 1. х_в = 48 = 12; x = 12.

Відповідь: 12.

1032. Знайдіть найбільше значення функції:

a) y = 3 – (x – 2)²; x_в = 2. x = 2.

Відповідь: 2.

б) y = –0,25(x + 5)²; x_в = –5. x = –5.

Відповідь: –5.

в) y = 6x – x² – 10; x_в = 62 = 3; x = 3.

Відповідь: 3.

г) y = –5x² + 4x + 1. x_в = -4-10 = 0,4; x = 0,4.

Відповідь: 0,4.

1033. Знайдіть точки перетину графіка функції з віссю х:

a) y = x² + 10x – 11; з NX: y = 0. x² + 10x – 11 = 0.

x₁ + x₂ = –10,

x₁ · x₂ = –11; x₁ = –11. x₂ = 1.

Відповідь: (–11; 0); (1; 0).

б) y = x² + 18; x + 81. з NX: y = 0. x² + 18x + 81 = 0. (x + 9)² = 0.

x = –9.

Відповідь: (–9; 0).

в) y = 6x² – 5x – 1. з NX: y = 0. 6x² – 5x – 1 = 0. D = 25 – 4 · 6(–1) =

= 49.

x₁ = 5 - 712 = -212 = –16; x₂ = 5 + 712 = 1.

Відповідь: (–16; 0) (1; 0).

г) y = 2x² + 3x – 9. з NX: y = 0. 2x² + 3x – 9 = 0. D = 9 – 4 · 2(–9) =

= 81.

x₁ = - 3 - 94 = –3; x₂ = -3 + 94 = 1,5.

Відповідь: (–3; 0) (1,5; 0).

ґ) y = –2x² + 7x – 3. з NX: y = 0. –2x² + 7x – 3 = 0. D = 49 – 4 ·

· (–2)(–3) = 25.

x₁ = - 7 - 5-4 = 3; x₂ = -7 + 5-4 = 12.

Відповідь: (3; 0)(12; 0).

д) y = 5 – 2x – 7x². з NX: y = 0. –7x² – 2x + 5 = 0| · (–)

7x² + 2x – 5 = 0. D = 4 – 4 · 7(–5) = 144.

x₁ = -2 - 1214 = –1; x₂ = -2 + 1214 = 1014 = 57.

Відповідь: (1; 0)(57; 0).

е) y = 6x² – x; з NX: y = 0. 6x² – x = 0. x(6x – 1) = 0. x = 0. 6x – 1 = 0. x = 16.

Відповідь: (0; 0)(16; 0).

є) y = –2x(x + 3); з NX: y = 0. –2x(x + 3) = 0. –2x = 0. x = 0. (0; 0)

x + 3 = 0. x = –3.

Відповідь: (–3; 0).

1034. Способом виділення квадрата двочлена побудуйте параболу:

a) y = x2 + 4x + 5.y = x2 + 4x + 4 + 1. y = (x + 2)2 + 1.	б) y = x2 – 6x + 5.y = x2 – 6x + 9 – 0 + 5.y = (x – 3)2 – 4.
Вершина: (–2; 1).	Вершина: (3; –4).
в) y = x2 – 2x – 1.y = x2 – 2x + 1 – 1 – 1.y = (x – 1)2 – 2.	г) y = 1 + 4x – x2. y = –(x2 – 4x – 1)y = –(x2 – 4x + 4 – 4 – 1)y = –((x – 2)2 – 5)y = –(x – 2)2 + 5.
Вершина: (1; –2).	Вершина: (2; 5).
д) y = 5x2 + 10x + 4. y = 5(x2 + 2x + 45)y = 5(x2 + 2x + 1 – 1 + 45)y = 5((x + 1)2 – 0,2)y = 5(x + 1)2 – 1.
Вершина: (–1; 1). x = 0; y = 4.

1035. Побудуйте графік функції.

a) y = (x + 2)2 – 3	б) y = (x – 1)2 + 3
Вершина: (–2; –3).	Вершина: (1; 3).
в) y = –(x – 3)2 + 1	г) y = 2(x + 1)2 – 2
Вершина: (3; 1).	Вершина: (–1; –2) f(0) = 0
ґ) y = 0,5(x – 2)2 – 2	д) y = 5 – (x – 0,5)2
Вершина: (2; –2) f(0) = 0	Вершина: (0,5; 5).

1036. Побудуйте графік функції.

a) y = x(x – 2)

y = x² – 2x – парабола, вітки вгору;

х_в = 22 = 1 у_в = –1 (1; –1) – вершина;

з NX: y = 0, x(x – 2) = 0.

x = 0, x – 2 = 0. x = 2. (0; 0) (2; 0);

з NY: x = 0. y = 0 (0; 0).

б) y = x(5 – x)

y = –x² + 5x – парбола, вітки вниз;

х_в = -5-2 = 2,5,

у_в = –6,25 + 12,5 = 6,25;

(2,5; 6,25) – вершина;

з NX: y = 0, x(5 – x) = 0.

x = 0, x = 5. (0; 0) (5; 0);

з NY: (0; 0).

в) y = x² – 6x – парабола, вітки вгору;

х_в = 62 = 3, у_в = –9;

(3; –9) – вершина;

з NX: y = 0. x² – 6x = 0.

x(x – 6) = 0.

x = 0, x = 6.

(0; 0) (6; 0);

з NY: (0; 0).

г) y = 2x – x² – парабола, вітки вниз;

х_в = -2-2 = 1, у_в = 1 вершина (1; 1);

з NX: y = 0, 2x – x² = 0.

x(2 – x) = 0. x = 0 x = 2.

(0; 0) (2; 0);

х NY: (0; 0).

ґ) y = 3x² + 12 – парабола, вітки вгору;

х_в = 0;

у_в = 12;

з NY: (0; 12).

д) y = x – 2x² – парабола, вітки вниз;

х_в = -1-4 = 14; у_в = 14 – 18 = 18; (14; 18) – вершина;

з NX: y = 0, x – 2x² = 0.

x(1 – 2x) = 0.x = 0 x = 12

(0; 0) (12; 0); з NY: (0; 0).

1037. Побудуйте графік функції.

a) y = 3x² + 3x – 1 – парабола, вітки вгору.

х_в = -36 = –12; у_в = 34 – 32 – 1 = -34 – 1 = –134;

(–12; –134) – вершина;

з NX: 3x² + 3x – 1 = 0. D = 9 – 4 · 3(–1) = 21.

x₁ = - 3 - 216 ≈ –1,3; x₂ = -3 + 216 ≈ 0,3

(-3 - 216; 0) (-3 + 216; 0); (0; 0) (2; 0);

з NY: x = 0. y = –1 (0; –1).

б) 2x² – 4x + 5 – парабола, вітки вгору;

х_в = 44 = 1, у_в = 2 – 4 + 5 = 3;

(1; 3) – вершина;

з NX: y = 0; 2x² – 4x + 5 = 0.

D = 16 – 4 · 2 · 5 = –24.

З NX не перетинається;

з NY: x = 0, y = 5 (0; 5).

в) y = –3x² + 6x – 1 – парабола, вітки вниз;

х_в = -6-6 = 1 у_в = –3 + 6 – 1 = 2; (1; 2) – вершина;

з NX: y = 0; –3x² + 6x – 1 = 0| · (–1)

3x² + 6x + 1 = 0. D = 36 – 4 · 3 · 1 = 24.

x₁ = 6 - 266 = 3 - 63 ≈ 0,2, x₂ = 6 + 366 = 3 + 63 ≈ 1,8;

з NY: x = 0, y = –1 (0; –1).

г) y = –x² + x – 3. парабола, вітки вниз;

х_в = -1-2 = 12, у_в = –14 + 12 – 3 = –234;

(12; –234) – вершина;

з NX: y = 0; –x² + x – 3 = 0| · (–1)

x² – x + 3 = 0. D = 1 – 12 – 11 < 0.

з NX: не перетинається;

з NY: x = 0. y = –3 (0; –3).

д) y = 5x² + 3x – 2 – парабола, вітки вгору;

х_в = -310 = –0,3; у_в = 5(–0,3)² + 3(–0,3) – 2 = –2,45;

(–0,3; –2,45) – вершина;

з NX: y = 0; 5x² + 3x – 2 = 0. D = 9 – 4 · 5 · (–2) = 49.

x₁ = -3 - 710 = –1; x₂ = -3 + 710 = 0,4

(–1; 0) (0,4; 0);

з NY: x = 0; y = –2. (0; –2).

1038. Розв’яжіть квадратну нерівність.

a) x² + 2x > 0. x(x + 2) > 0;

x(x + 2) = 0. x = 0 x = –2.

x ∈ (–∞; –2) ∪ (0; +∞).

б) x² – x ≥ 0

x² – x = 0. x(x – 1) = 0.

x = 0 x = 1.

x ∈ (–∞; 0] ∪ [1; +∞).

в) 2x² + 5x ≤ 0

2x² + 5x = 0. x(2x + 5) = 0.

x = 0. 2x + 5 = 0. 2x = –5. x = –2,5.

x ∈ [–2,5; 0].

г) 3x² – x < 0. 3x² – x = 0. x(3x – 1) = 0.

x = 0, 3x – 1 = 0. x = 13

x ∈ (0; 13).

1039. Розв’яжіть квадратну нерівність.

a) x² – 3x + 2 > 0

x² – 3x + 2 = 0. x₁ + x₂ = 3,

x₁ · x₂ = 2;

x₁ = 1. x₂ = 2.

x ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞)

б) x² + 5x + 9 < 0. x² + 5x + 6 = 0. x₁ + x₂ = –5,

x₁ · x₂ = 6;

x₁ = –2. x₂ = –3.

x ∈ (–3; –2).

в) x² – x – 2 ≤ 0. x² – x – 2 = 0. x₁ + x₂ = 1,

x₁ · x₂ = –2;

x₁ = –1, x₂ = 2.

x ∈ [–1; 2]

г) x² + 2x – 15 ≥ 0

x² + 2x – 15 = 0. x₁ + x₂ = –2,

x₁ · x₂ = –15;

x₁ = –5; x₂ = 3.

x ∈ (–∞; –5] ∪ [3; +∞)

1040. Розв’яжіть квадратну нерівність.

a) 3x² – x – 4 ≥ 0;

3x² – x – 4 = 0. D = 1 – 4 · 3(–4) = 49.

x₁ = 1 - 76 = –1; x₂ = 1 + 66 = 113.

x ∈ (–∞; –1] ∪ [112; +∞).

б) 5x² – 2x – 3 > 0. 5x² – 2x – 3 = 0.

D = 4 – 4 · 5(–3) = 64.

x₁ = 2 - 810 = –0,6; x₂ = 2 + 810 = 1;

x ∈ (–∞; –0,6) ∪ (1; +∞).

в) 6x² + 5x + 1 < 0. 6x² + 5x + 1 = 0. D = 25 – 24 = 1.

x₁ = -5 - 112 = –12; x₂ = -5 + 112 = –13;

x ∈ (–12; –13).

г) 10x² – 9x + 2 ≤ 0; 10x² – 9x + 2 = 0;

D = 81 – 4 · 10 · 2 = 1;

x₁ = 9 - 120 = 820 = 25; x₂ = 9 + 120 = 12.

x ∈ [25; 12].

1041. Розв’яжіть квадратну нерівність.

a) –x² + 2x – 1 < 0| · (–1)

x² – 2x + 1 > 0. (x – 1)² > 0.

(x – 1)² = 0. x = 1.

x ∈ (–∞; 1) ∪ (1; +∞)

б) –x² – 2x – 5 > 0| · (–1);

x² + 2x + 5 < 0

D = 4 – 20 = –16 – немає коренів.

х ∈ ∅.

в) 6x – 9 – x² ≥ 0| · (–1);

x² – 6x + 9 ≥ 0, (x – 3)² ≤ 0;

x – 3 = 0. x = 3.

x = 3.

г) 3x – 7x² – 5 ≤ 0| · (–1); 7x² – 3x + 5 ≥ 0.

7x² – 3x + 5 = 0.

D = 9 – 4 · 7 · 5 = –131 – немає коренів.

х ∈ (–∞; +∞)

1042. Розв’яжіть квадратну нерівність.

a) (x – 3)(x + 5) > 0

x – 3 = 0 x + 5 = 0. x = 3; x = –5.

x ∈ (–∞; 5) ∪ (3; +∞)

б) (x + 2)(x + 7) < 0

x + 2 = 0 x + 7 = 0. x = –2; x = –7.

x ∈ (–7; –2)

в) (X + 7)(x – 1) ≥ 0

x + 7 = 0; x – 1 = 0. x = –7; x = 1.

x ∈ (–∞; –7] ∪ [1; +∞)

г) (x – 3)(x – 5) ≤ 0

x – 3 = 0; x – 5 = 0. x = 3; x = 5.

x ∈ [3; 5].

1043. Розв’яжіть квадратну нерівність.

a) (2x + 1)(x + 1) > 0

2x + 1 = 0; x + 1 = 0. x = –12; x = –1.

x ∈ (–∞; –1) ∪ (–12; +∞)

б) (3x – 2)(2x + 3) ≥ 0

3x – 2 = 0; 2x + 3 = 0. x = 23; x = –1,5

x ∈ (–∞; –1,5] ∪ [23; +∞)

в) (x – 7)(3x + 1) < 0

x – 7 = 0; 3x + 1 = 0. x = 7; x = –14

x ∈ (–13; 7)

г) (2x – 5)(3x – 6) > 0

2x – 5 = 0; 3x – 6 = 0. x = 2,5; x = 2.

x ∈ (–∞; 2) ∪ (2,5; +∞).

1044. Розв’яжіть квадратну нерівність.

a) (x – 1)(2 – x) > 0

x – 1 = 0; 2 – x = 0. x = 1; x = 2.

x ∈ (1; 2)

б) (3 + x)(x + 7) < 0.

3 + x = 0; x + 7 = 0. x = –3; x = –7.

x ∈ (–7; –3)

в) (3 – x)(5 + x) ≤ 0

3 – x = 0; 5 + x = 0, x = 3; x = –5.

x ∈ (–∞; –5] ∪ [3; +∞)

г) (5 – x)(1 – x) ≥ 0

5 – x = 0; 1 – x = 0. x = 5; x = 1.

x ∈ (–∞; 1] ∪ [5; +∞).

1045. Розв’яжіть нерівність:

a) x + 3x - 7 > 0

x + 3 = 0; x – 7 ≠ 0. x = –3; x ≠ 0.

x ∈ (–∞; –3) ∪ (7; +∞);

б) xx + 2 > 0

x = 0. x + 2 ≠ 0. x ≠ –2.

x ∈ (–∞; –2) ∪ (0; +∞);

в) 2 + xx + 3 < 0

2 + x = 0. x = –2. x + 3 ≠ 0. x ≠ –3.

x ∈ (–3; –2);

г) 3 - xx < 0

3 – x = 0. x = 3. x ≠ 0.

x ∈ (0; 3).

1046. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

a) x – y = 3, x = y + 3, x = y + 3,

x² + y² = 9; (y + 3)² + y² – 9 = 0; y² + 6y + 9 + y² – 9 = 0;

x² = y + 3, 2y(y + 3) = 0 y₁ = 0 y + 3 = 0 y₂ = –3

2y² + 6y = 0; x₁ = 3 x₂ = 0.

Відповідь: (3; 0)(0; –3).

б) x – y = 3, x = y + 3, x = y + 3,

xy = 4; (y + 3)y = 4; y² + 3y – 4 = 0;

y² + 3y – 4 = 0 y₁ + y₂ = –3,

y₁ · y₂ = –4;

y₁ = –4, y₂ = 1, x₁ = –1, x₂ = 4.

Відповідь: (–1; –4)(4; 1).

в) xy – 2y = 4, (y + 2)y – 2y – 4 = 0,

y = x – 2; x = y + 2;

y² + 2y – 2y – 4 = 0;

y² = 4; y = ±2

y₁ = –2, x₁ = 0

y₂ = 2, x₂ = 4

Відповідь: (0; 2)(2; 4).

г) 3x + 4y = 9,

xy = 1;

4y = 8 – 3x, y = 2 – 34x, x(2 – 34x) – 1 = 0, –34x² + 2x – 1 = 0| · (–4),

3x² – 8x + 4 = 0; D = 64 – 4 · 3 · 4 = 16

x₁ = 8 - 46 = 23, x₂ = 8 + 46 = 2; y₁ = 2 – 3 · 24 · 3 = 112, y₂ = 2 – 3 · 24 =

= 0,5.

Відповідь: (23; 112)(2; 12).

1047. Розв’яжіть систему рівнянь способом алгебраїчного

додавання:

a) x + y – xy = –23,

x – y + xy = 49;

2x = 23, x = 13; 13 + y – 13y = –23; –12y = –36, y = 3.

Відповідь: (13; 3),

б) x² + y = 15,

y² + xy = 10;

x² + 2xy + y² = 25; (x + y)² = 25

x + y = 5, x + y = –5, y = 5 – x,

x² + xy = 15; або x² + xy = 15; x² + x(5 – x) = 15;

x² + 5x – x² = 15, x = 3; y = 2

y = –x – 5; x² + x(–x – 5) – 15 = 0; x² – x² – 5x – 15 = 0

–5x = 15, x = –3, y = –2.

Відповідь: (3; 2) (–3; –2).

в) x² + y² = 10, x² + y² = 10,

(x – y)(x + y) = 8; x² – y² = 8;

2x² = 18, x² = 0, x₁ = –3

9 – y² = 8, y² = 1

y₁ = –1, y₂ = 1, x₂ = 3

9 – y² = 8

y² = 1, y₁ = –1, y₂ = 1.

Відповідь: (–3; –1) (–3; 1) (3; –1) (3; 1).

г) x³ + y³ = 19, (x + y)(x² + xy + y²) = 19,

x²y + xy² = –6; xy(x + y) = –6;

(x + y)(x2 - xy + y2)xy(x + y) = –196;

–6x² + 6xy – 6y² = 19xy; –6x² + 6xy – 6y² – 19xy = 0

–6x² – 13xy – 6y² = 0| · (–y²)

6x2y2 + 13xy + 6 = 0 y ≠ 0.

Заміна: xy = t; 6t² + 13y + 6 = 0

D = 169 – 4 · 6 · 6 = 25,

t₁ = -13 - 512 = -1812 = –32; t₂ = -13 + 512 = 812 = 23; xy = –32; x = –1,5y

3,375y³ + y³ = 19

xy = 23.

1048. Розв’яжіть систему рівнянь способом заміни змінних:

a) 5(x + y) + 2xy = –19,

x + y + 3xy = –35; Заміна: x + y = u xy = v

5u + 2v = –19, 5u + 2v = –19,

u + 3v = –35| · (–5); –5u – 15v = 175;

–13v = 156; v = –12; 5u – 24 = –19; 5u = 5; u = 1

x + y = 1, x = 1 – y,

xy = –12; (1 – y)y = –12;

–y² + y – 12 = 0; y² – y – 12 = 0

y₁ + y₂ = 1,

y₁ · y₂ = –12;

y₁ = –3, y₂ = 4; x₁ = 4, x₂ = 3.

Відповідь: (–3; 4), (4; –3).

б) xy + x + y = –11, xy + x + y = –11,

x²y + y²x = 30; xy(x + y) = 30;

Заміна: x + y = u; xy = v

u + v = –1,

u · v = 30;

u = –v – 11; (v – 11)v = 30; –v² – 11v – 30 = 0| · (–1)

v² = 11v + 30 = 0

v₁ + v₂ = –11,

v₁ · v₂ = 30;

v₁ = –b, v₂ = –5, u₁ = –5, u₂ = –6

x + y = –5, x = –y – 5,

xy = –6; (–y – 5)y = –6;

–y² – 5y + 6 = 0; y² + 5y – 6 = 0

y₁ = –6; y₂ = 1; x₁ = 1; x₂ = –6

x + y = –5, x = –y – 6,

xy = –5; (–y – b)y = –5;

–y² – 6y + 5 = 0; y² + 6y – 5 = 0

y₁ + y₂ = –6,

y₁ · y₂ = –5;

D = 36 + 20 = 56

y₁ = -6 - 562 = -62142 = -3 - 142

y₂ = -6 + 562 = -3 + 142

x₁ = 3 + 14 - 62 = 14 - 92

x₂ = -3 - 14 - 62 = -14 - 92.

Відповідь: (1; –6) (–6; 1) (14 - 92; -3 - 142) (-4 - 92; -3 + 142).

г) 2xy – 3xy = 15

xy + xy = 15

Заміна: xy = u; 2u – 3v = 15 2u – 3v = 15

xy = v 4 + v = 15| · (–2) –2u – 2v = –30

–5v = –15, v = 3, y + 3 = 15, u = 12

xy = 12, xy = 12,

xy = 3; x = 3y;

3y² = 12, y² = 4

y₁ = –2; y₂ = 2

x₁ = –6; x₂ = 6.

Відповідь: (–6; –2) (6; 2).

1049. На двох токах разом є 990 т пшениці. Скільки центнерів

пшениці на кожному з них, якщо на першому на 20 % більше, ніж на другому?

Нехай на 2 току х т, а на 1 (х + 0,2х) т. На двох (х + х + 0,2х), що за умовою 990 т. Рівняння: х + х + 0,2х = 990, 2,2х = 990, х = 450 т.

На 2 току було 450 т, а на 1 – 540 т.

Відповідь: 540 т; 450 т.

1050. У магазин привезли крупи двох сортів, усього 1800 кг. Після того як продали 60 % 1–го сорту і 70 % 2–го сорту, в магазині залишилось 640 кг крупи. Скільки крупи 1–го і 2–го сорту окремо привезли в магазин?

Нехай круп 1–го сорту привезли х кг, тоді 2–го сорту (1800 – х) кг, круп 1–го сорту продали 0,6 кг, а круп 2–го сорту продали 0,7(1800 –

– х) кг.

Залишилось 1800 – 0,6х – 0,7(1800 – х) кг, що за умовою 640 кг.

Рівняння: 1800 – 0,6х – 0,7(1800 – х) = 640

–0,6х + 0,7х = 640 – 1800 + 1260, 0,1х = 100, х = 1000,

Отже, круп 1–го сорту привезли 1000 кг, а 2–го сорту 800 кг.

Відповідь: 1000 кг, 800 кг.

1051. На вступному іспиті з математики 15 % абітурієнтів не розв’язали жодної задачі, 144 абітурієнти розв’язали задачі з помилками, а число тих, хто розв’язав усі задачі правильно, відноситься до числа тих, хто не розв’язав жодної, як 5 : 3. Скільки абітурієнтів складали іспит з математики?

Нехай іспит складали х учнів, тоді 0,15х студентів не розв’язали жодної задачі. Усі задачі правильно розв’язали х – 0,15х – 144 =

= 0,85х – 144.

Відношення кількості студентів, які розв’язали усі задачі правильно, до числа тих, что не розв’язав жодної: 0,85х - 1440,15х, що за умовою дорівнює 53. Рівняння: 0,85х - 1440,15х = 53.

3 · 0,85х – 3 · 144 = 5 · 0,15х

2,55х – 432 = 0,75х

1,8х = 432, х = 240.

Відповідь: 240.

1052. Відстань 400 км швидкий поїзд проїхав на годину швидше,

ніж товарний. Яка швидкість кожного поїзда, якщо швидкість товарного на 20 км/год менша, ніж швидкого?

Нехай швидкість товарного потягу х км/год, тоді швидкість швидкого потягу х + 20 км/год. Час руху швидкого 400х + 20 год. Час руху товарного 400х год. За умовою час руху товарного на 1 год. більше, ніж час руху швидкого.

400x – 400x + 20 = 1

400x + 800 - 400x - x2 - 20xx(x + 20) = 0

ОДЗ: x ≠ 0, x + 20 ≠ 0, x ≠ –20

x² + 20x – 8000 = 0

D = 400 – 4 · (–8000) = 32400

x₁ = -20 - 1802 = –100 – не задовольняє умову;

х₂ = -20 + 1802 = 80, Швидкість товарного 80 км/год, а швидкого 100 км/год.

Відповідь: 80; 100.

1053. Турист, проїхавши 1200 км, підрахував, що коли б він був у дорозі на 6 днів більше, то проїжджав би щодня на 10 км менше. Яку відстань проїжджав турист щодня?

Нехай турист був у дорозі х днів, тоді він би проїжджав 1200x км за день, а коли б він був у дорозі х + 6, то він проїжджав би 1200х + 6 км за день, що на 10 км менше.

Півняння: 1200х – 1200х + 6 = 10|: 10

120x – 120x + 6 = 1; 120x + 720 - 120x - x2 - 6xx(x + 6) = 0.

ОДЗ: x ≠ 0. x + 6 ≠ 0

x ≠ –6; x² + 6x – 720 = 0

D = 36 + 4 · 720 = 2916

x₁ = -6 - 542 = –36 – не задовольняє умову;

х₂ = -6 + 542 = 24, 120024 = 50 (км) проїжджав турист щодня.

Відповідь: 50 км.

1054. Басейн наповнюється двома трубами за 6 год. Одна труба

може наповнити весь басейн на 5 год швидше, ніж друга. За який час може наповнити весь басейн кожна труба окремо?

Візьмемо всю роботу за 1. Нехай 1 труба наповнить басейн за х год, тоді 2 труба за х + 5 год. За 1 год. 1 труба наповнить 1х басейну, а 2 труба за 1 год. наповнить 1х + 5 басейну. За 6 год. 1 труба наповнить 6х басейну, а 2 труба 6х + 5 басейну. Удвох за 6 год. вони наповнять весь басейн. Рівняння: 6х + 6х + 5 = 1

6х + 30 + 6х - х2 - 5хх(х + 5) = 0

–x² + 7x + 30 = 0| · (–1)

x² – 7x – 30 = 0

D = 49 + 120 = 169

x₁ = 7 - 132 = –3 – не задовольняє умову;

х₂ = 7 + 132 = 10.

Отже, 1 труба наповнить басейн за 10 год, а 2 труба – за 15 год.

Відповідь: 10; 15.

1055. Дві ткалі, працюючи разом, можуть виконати замовлення

за 12 днів. За скільки днів виконала б цю саму роботу кожна ткаля окремо, коли відомо, що продуктивність однієї з них у 1,5 раза вища від продуктивності другої?

Нехай продуктивність першої ткалі х р/день, тоді продуктивність другої – 1,5 х р/день.

І ткаля за 1 день виконає 1х роботи, а ІІ – 11,5х роботи. За 12 днів І ткаля виконає 12х роботи, а ІІ ткаля за 12 днів виконає 121,5х = 8х роботи. Удвох за 12 днів виконають усю роботу: 12х + 8х = 1

20х = 1; х = 20. Отже, перша виконає роботу за 30 днів, а друга – за 20 днів.

Відповідь: 30; 20.

1056. Поїзд за певний час мав пройти відстань 250 км. Але через

2 год після початку руху він затримався на 20 хв і, щоб прибути вчасно до місця призначення, йому довелось збільшити швидкість на 25 км/год. Якою була швидкість поїзда за розкладом?

Нехай швидкість поїзда за розкладом х км/год, а після зупинки х +

+ 25 км/год. Тоді час руху після зупинки 250 - 2хх + 5 год, весь час

руху (2 + 13 + 250 - 2хх + 25) год, що за умовою 250х год. Рівняння 250 - 2хх + 25 + 213 = 250х

250 - 2хх + 25 – 250х + 213 = 0

750х - 6х2 - 750х - 18750 + 7х2 + 125х3х(х + 25) = 0

ОДЗ: х ≠ 0, x ≠ –725

x² + 175x – 18750 = 0

D = 30625 + 75000 = 105625 = 325²

x₁ = -175 - 3252 = –250 – не задовольняє умову,

х₂ = -175 + 3252 = 75.

Відповідь: 75 км/год.

1057. У яблуках «Антонівка» цукор становить 10,7 % маси. Скільки цукру містить 50 кг таких яблук?

кг %

50 кг 100%

х кг 10,7 %

х = 50 · 10,7100 = = 5,35 кг.

Відповідь: 5,35 кг.

1058. Банк обслужив 45 клієнтів, що становить 15 % від усіх клієнтів. Скільки клієнтів має банк?

Клієнти %

45 15%

х 100%

х = 45 · 10015 = 300.

Відповідь: 300 клієнтів.

1059. Ціну на товар знизили спочатку на 10 %, а потім ще на 5 %, і в результаті він став коштувати 34,2 грн. Якою була початкова ціна товару?

Нехай початкова ціна товару х грн. Після першої знижки товар коштує х – 0,1х = 0,9х грн. Після другої знижки товар коштує

0,9х – 0,9х · 0,05 = 0,855 х грн., що за умовою 34,2 грн.

Рівняння: 0,855х = 34,2, х = 40.

Відповідь: 40 грн.

1060. У двох бочках води було порівну. Кількість води в першій бочці спочатку зменшилась на 10 %, а потім збільшилась на 10 %. Кількість води у другій бочці спочатку збільшилась на 10 %, а потім зменшилась на 10 %. В якій бочці води стало більше?

Нехай спочатку в кожній бочці було х л води. У першій бочці кількість після зменшення на 10 % стала 0,9х, а після наступного збільшення на 10 % стало 1,1 • 0,9х = 0,99 x.

У другій бочці кількість води спочатку збільшилась на 10 % і стала 1,1 х, а потім зменшилась на 10 % і стала 90 % від 1,1 х : 0,9 ·

· 1,1х = 0,99х.

Таким чином, в обох бочках води знову стало порівну.

Відповідь: стало порівну.

1061. На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його довжину збільшити на 20 %, а ширину — на 10 %?

Нехай довжина х м, а ширина у м. Площа ху м². Довжина збільшилась на 20 % і стала х + 0,2х = 1,2 х м, а ширига збільшилась на 10 % і стала у + 0,1у = 1,1 у м. Площа стала 1,2х · 1,1у = 1,32 ху м².

Площа збільшилась 1,32 ху – у = 0,32 ху, що становить 32 %.

Відповідь: 32 %.

1062. Ціну на товар було знижено на 20 %. На скільки відсотків її потрібно підвищити, щоб одержати попередню ціну?

Нехай ціна товару х грн., після знижки ціна стала 0,8 х грн. Тоді попередня ціна від нової становить х : 0,8х • 100 % = 25 %. Тобто нову ціну треба підвищити на 25 %.

Відповідь: 25 %.

1063. Витрати на виготовлення виробу становлять 1250 грн., а його ціна — 1750 грн. Обчисліть націнку на товар у відсотках.

Націнка у грн. становить 1750 – 1250 = 500 грн.

Націнка у % становить 500 : 1750 · 100 = 40%.

Відповідь: 40%.

1064. Торговельна організація купила два предмети за 2500 грн. і після їх продажу одержала 40 % прибутку. Скільки заплатила організація за кожний предмет, якщо перший приніс прибутку 25 %, а другий — 50 %.

Нехай 1 предмет коштує х грн., тоді ІІ – (2500 – х) грн. Прибуток з І 0,25х грн., а прибуток з ІІ 0,5(2500 – х) грн., весь прибуток становить 0,25х + 0,5(2500 – х) грн., що за умовою 2500 · 0,4 =

= 1000 грн.

Рівняння: 0,25х + 0,5(2500 – х) = 1000

0,25х + 1250 – 0,5х = 1000, –0,25х = –250, х = 1000.

Перший предмет коштує 1000 грн., а другий – 2500 – 1000 =

= 1500 грн.

Відповідь: 1000 грн., 1500 грн.

1065. Шматок сплаву міді з оловом масою 12 кг містить 45 % міді. Скільки кілограмів чистого олова потрібно додати до цього сплаву, щоб одержати новий сплав, що містить 40 % міді?

12 кг – 100%

х кг – 45%

х = 12 · 100%100 = 5,4 (кг) міді у сплаві;

5,4 кг – 40%

у кг – 100%

у = 5,4 · 10040

у = 13,5 (кг) – маса нового сплаву.

13,5 – 12 = 1,5 (кг) олова треба додати.

Відповідь: 1,5 кг.

1066. З класу, в якому навчаються 22 учні, навмання вибирається

один. Яка ймовірність того, що це буде хлопець, якщо у класі 10 хлопців?

Р(А) = 1022 = 511.

1067. В ящику 7 білих і 13 чорних куль. З нього навмання беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що вона буде білого кольору?

Р(А) = 720.

1068. У торбині а білих і b чорних куль. З неї виймають одну

кульку білого кольору і відкладають убік. Після цього з ящика беруть ще одну кульку. Яка ймовірність того, що вона теж біла?

Імовірність того, що кулька білого кольору: Р(А) = aa + b.

Ймовірність того, що наступна кулька біла: Р(В) = a - 1a + b - 1.

1069. З натуральних чисел від 1 до 20 учень навмання називає

одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?

P(A) = 730.

1070. На семи однакових картках пишуть по одній літері, з яких можна викласти слово АЛГЕБРА. Потім їх перевертають, перемішують і навмання вибирають. Яка ймовірність того, що з вибраних карток точно можна буде скласти слово ГРАБ?

P(A) = 4!7! = 15 · 6 · 7 = 1210.

1071. Дерев’яний паралелепіпед розмірами 3x4x5 пофарбували

з усіх боків, а потім розрізали на 60 рівних кубиків і кинули їх у торбину. Яка ймовірність того, що вийнятий навмання з торбини кубик матиме пофарбованих: а) 3 грані; б) 2 грані; в) 1 грань;

г) 0 граней?

a) P(A) = 460 = 115; б) P(B) = 2460 = 25;

в) P(C) = 2660 = 1360; г) P(D) = 660 = 110.

1072. Яка ймовірність того, що навмання вибране трицифрове число виявиться: а) кратним 5; б) більшим за 100; в) меншим за 200?

a) P(A) = 180900 = 15; б) P(B) = 899900; в) P(C) = 100900 = 19.

1073. Знайдіть моду, медіану і середнє значення вибірки:

а) мода 4; медіана: m = 6;

сер. знач. = 3 + 4 + 4 + 4 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 911 = 6.

б) мода 5. 11; 11; 12; 13; 13; 14; 15; 15; 15; 16; 16; 17;

медіана: m = 14 + 152 = 14,5;

сер. знач. = 11 · 2 + 12 + 13 · 2 + 14 + 15 · 3 + 16 · 2 + 1712 = 14.

1074. Знайдіть центральні тенденції вибірки:

a) мода 3,0; медіана m = 3,0;

сер. знач. = 1,2 + 2,1 + 2,4 + 2,7 + 2,8 + 3,0 · 4 + 3,1 · 2 + 3,4 + 3,613 =

= 2,8

б) мода 0,97

0,96; 0,97; 0,97; 0,97; 0,97; 0,98; 0,99; 1,01; 1,02; 1,03; 1;03; 1,05; 1,06.

медіана m = 0,98 + 0,992 = 0,985; сер. знач. = 13,982 = 6,99.

1075. За результатами тестування 48 студентів склали таблицю

кількості допущених помилок.

Частотна таблиця

Помилка	0	1	2	3	4	5
Кількість	5	9	14	13	4	1

0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5

мода 2; медіана m = 2 + 22 = 2;

сер. знач. = 0 · 5 + 1 · 9 + 2 · 14 + 3 · 13 + 4 · 4 + 5 · 148 = 9748 =

= 2148.

1076. Результати вимірювання діаметра 200 деталей після

шліфування занесено до таблиці.

За даними таблиці: а) побудуйте гістограму; б) визначте

відносну частоту кожного значення.

а) Кількість деталей

d, см

б) 6,67 – 6,69: 5 : 200 · 100 = 2,6%;

6,69 – 6,71: 17 : 200 · 100 = 8,5%;

6,71 – 6,73: 24 : 200 · 100 = 12%;

6,73 – 6,75: 54 : 200 · 100 = 27%;

6,75 – 6,77: 52 : 200 · 100 = 26%;

6,77 – 6,79: 23 : 200 β 100 = 11,5%;

6,79 – 6,81: 18 : 200 · 100 = 9%;

6,81 – 6,83: 7 : 200 · 100 = 3,5%.

1077. За результатами хімічного аналізу 3050 відливків чавуну

складена таблиця вмісту в них вуглецю (у відсотках).

За даними таблиці: а) визначте відносну частоту кожного

значення; б) знайдіть центральні тенденції вибірки.

a) 1,8: 52 : 3050 · 100 ≈ 1,7%;

1,9: 120 : 3050 · 100 ≈ 3,9%;

2,0: 180 : 3050 · 100 ≈ 5,9%;

2,1: 305 : 3050 · 100 ≈ 6,7%;

2,2: 407 : 3050 · 100 ≈ 13,3%;

2,4: 621 : 3050 · 100 ≈ 20,4%;

2,5: 413 : 3050 · 100 ≈ 16,8%;

2,6: 320 : 3050 · 100 ≈ 10,5%;

2,7: 225 : 3050 · 100 ≈ 7,4%;

б) мода 2,4; медіана m = 2,2 + 2,32 = 2,25;

сер. знач. = 5,2 · 1,8 + 120,9 + 180 · 2,0 + 205 · 2,1 + 407 · 2,73050 +

+ 507 · 2,3 + 621 · 2,4 + 413 · 2,5 + 320 · 2,6 + 225 · 2,73050 =

= 93,6 + 228 + 360 + 430,5 + 865,4 + 116,613050 +

+ 1490,4 + 1032,5 + 832 + 607,53050 ≈ 2

1078. Напишіть п’ять перших членів послідовності, n–й член

якої задається формулою:

a) an = 2(n + 1);a1 = 2 · (1 + 1) = 4;a2 = 2 · (2 + 1) = 6;a3 = 2 · (3 + 1) = 8;a4 = 2 · (4 + 1) = 10;a5 = 2 · (5 + 1) = 12.	б) xn = 6 : n;x1 = 6 : 1 = 6;x2 = 6 : 2 = 3;x3 = 6 : 3 = 2;x4 = 6 : 4 = 112;x5 = 6 : 5 = 115.
в) yn = n3 + 3n – (–1)n;y1 = 1 + 3 – (–1)1 = 5;y2 = 23 + 3 · 2 – (–1)2 = 13;y3 = 33 + 3 · 3 – (–1)3 = 36;y4 = 43 + 3 · 4 – (–1)4 =75;y5 = 52 + 3 · 5 – (–1)5 = 141.	г) bn = 1 + n2;b1 = 1 + 12 = 2;b2 = 1 + 22 = 5;b3 = 1 + 32 = 10;b4 = 1 + 42 = 17;b5 = 1 + 52 = 26.
ґ) cn = 2n · n2;c1 = 2 · 1 · 12 = 2;c2 = 2 · 2 · 22 = 16;c3 = 2 · 3 · 32 = 54;c4 = 2 · 4 · 42 = 128;c5 = 2 · 5 · 52 = 250;	д) zn = 1 + (–1)n;z1 = 1 + (–1)1 = 0;z2 = 1 + (–1)2 = 2;z3 = 1 + (–1)3 = 0;z4 = 1 + (–1)4 = 2;z5 = 1 + (–1)5 = 0.

1079. Знайдіть:

an = 2n2 + 3;a) a3 = 2 · 32 + 3 = 21;в) a15 = 2 · 152 + 3 = 453;

б) a6 = 2 · 62 + 3 = 75;г) a100 = 2 · 1002 + 3 = 20003.

1080. Знайдіть сьомий, десятий і двадцять п’ятий члени

послідовності, n–й член якої задається формулою:

a) cn – (1 – n)2;c7 = (1 – 7)2 = 36;c10 = (1 – 10)2 = 81;c25 = (1 – 25)2 = 576;	б) cn = 350 + n;c7 = 350 + 7 = 357;c10 = 350 + 10 = 360;c25 = 350 + 25 = 375;
в) cn = 2n – (–1)n;c7 = 2 · 7 – (–1)7 = 15;c10 = 2 · 10 – (–1)10 = 19;c25 = 2 · 25 – (–1)25 = 50 + 1 = 51.

1081. Напишіть п’ять перших членів арифметичної прогресії, у якої:

a) a₁ = 17; d = 2

a₂ = 19; a₃ = 21; a₄ = 23; a₅ = 25;

б) a₁ = 0,5; d = 10

a₂ = 10,5; a₃ = 11; a₄ = 11,5; a₅ = 12;

в) a₁ = –14; d = 14; a₂ = –14 + 14 = 0; a₃ = –0 + 14 = 14; a₄ = 14 + 14 = 12;

a₅ = 12 + 14 = 34;

г) a₁ = 6; d = 0; a₂ = a₃ = a₄ = a₅ = 6.

1082. В арифметичній прогресії перший член a₁ і різниця d.

Знайдіть суму S_n її перших n членів, якщо:

a) a_n – ар. пр., а₁ = 5, d = 3, n = 31.

S₃₁ = (10 + 3 · 30) · 312 = 1550.

Відповідь: 1550.

б) a_n – ар. пр., а₁ = 14,5, d = 0,7, n = 36.

Знайти: S₂₆.

S₂₆ = (2 · 14,5 + 0,7 ·25)262 = (29 + 17,5) · 13 = 604,5.

Відповідь: 604,5.

в) a_n – ар. пр., а₁ = –32, d = 12, n = 35.

Знайти: S₃₅.

S₃₅ = (2 · (-23) + 12 · 34) · 352 = (–3 + 17) · 17,5 = 245.

Відповідь: 245.

г) a_n – ар. пр., а₁ = 111, d = –25, n = 56.

Знайти: S₅₆.

S₅₆ = (2 · 111 - 25 · 55) · 562 = 5600.

Відповідь: 5600.

1083. Знайдіть суму перших ста членів арифметичної прогресії:

a) a_n – ар. пр., а₁ = –35, d = 6.

Знайти: S₁₀₀.

S₁₀₀ = (2 (-35) + 6 · 99) · 1002 = 26200.

Відповідь: 26200.

б) a_n – ар. пр., а₁ = 66, d = –8.

Знайти: S₁₀₀.

S₁₀₀ = (2 · 66 -8 · 99) · 502 = 16500.

Відповідь: 16500.

в) a_n – ар. пр., а₁ = –2,5, d = 3.

Знайти: S₁₀₀.

S₁₀₀ = (2 · (-2,5) + 3 · 99) · 1002 = 14600.

Відповідь: 14600.

г) a_n – ар. пр., а₁ = –20, d = 1,4.

Знайти: S₁₀₀.

S₁₀₀ = (2 · (-20) + 1,4 · 99) · 1002 = 4930.

Відповідь: 4930.

1084. Сума чотирьох перших членів арифметичної прогресії

дорівнює 56, а сума чотирьох останніх — 112. Знайдіть кількість членів прогресії, якщо перший її член дорівнює 11.

a_n – ар. пр., S_1–4 = 56, S_n–3–n = 112, a₁ = 11.

Знайти: n.

(2 · 11 + d · 3) · 43 = 56

3d + 22 = 28, 3d = 6, d = 2

a_n–3 = a₁ + d(n – 4)

a_n–2 = a₁ + d(n – 3)

a_n–1 = a₁ + d(n – 2)

a_n = a₁ + d(n – 1)

a_n–3 = 11 + 2(n – 4) = 2n + 3

a_n–2 = 11 + 2(n – 3) = 2n + 5

a_n–1 = 11 + 2(n – 1) = 2n + 7

a_n = 11 + 2(n – 1) = 2n + 9

4 · 2n + 3 + 5 + 7 + 9 = 112

8n + 24 = 112, 8n = 88, n = 11.

Відповідь: 11.

1085. Сума першого і п’ятого членів зростаючої арифметичної

прогресії дорівнює 14, добуток другого її члена на четвертий дорівнює 45. Скільки членів прогресії потрібно взяти, щоб в сумі одержати 24?

a_n – ар. пр., а₁ + а₅ = 14, а₂ · a₁ = 45, S_n = 24.

Знайти: n.

a₅ = a₁ + 4d = 14, 2a₁ + 4d = 14|: 2,

(a₁ + d)(a₁ + 3d) = 45; (a₁ + d)(a₁ + 3d) = 45;

a₁ + 2d = 7, a₃ = 7, a₁ = 7 – 2d

(7 – 2d + d)(7 – 2d + 3d) = 45

(7 – d)(7 + d) = 45

49 – d² = 45, d² = 4.

d₁ = 2 d₂ = –2 – не задовольняє умову.

a₂ = a₃ – d

a₂ = 7 – 2 = 5

a₁ = 5 – 2 = 3.

(2 · 3 + 2(n - 1)) · n2 = 24

(3 + n – 1) · n = 24

n² + 2n – 24 = 0

n₁ + n₂ = –2,

n₁ · n₂ = –24;

n₁ = –6 – не задовольняє умову,

n₂ = 4.

Відповідь: 4.

1086. Дано дві арифметичні прогресії. Перший і п’ятий члени першої прогресії дорівнюють відповідно 7 і –5. У другій прогресії перший член дорівнює 0, а останній — 3,5. Знайдіть суму членів другої прогресії, якщо відомо, що треті члени обох прогресій рівні між собою.

a_n – ар. пр., b_n – ар. пр., а₁ = 7, a₅ = –5, b₁ = 0, b_n = 3,5, a₃ = b₃.

Знайти: S_n для b_n.

a₅ = a₁ + 4d₁

–5 = 7 + 4d₁

4d₁ = –12. d₁ = –3

a₃ = 7 – 3 · 2 = 1

b₃ = 1

2b₂ = b₁ + b₃

2b₂ = 0 + 1

b₂ = 0,5

d₂ = 0,5 – 0 = 0,5

3,5 = 0 + 0,5(n – 1)

3,5 = 0,5n – 0,5

0,5n = 4, n = 8.

S₈ (0 + 3,5) · 82 = 14.

Відповідь: 14.

1087. Знайдіть b₁, q, b₅.

b_n – геом. пр., b₇ = 80. b₈ = 160.

Знайти: b₁; q; b₅.

q = -16080 = –20

b₁ · (–2)⁶ = 80

b₁ = 8014; b₁ = 1,25

b₅ = 1,25 · (–2)⁴ = 20.

Відповідь: b₁ = 1,25; q = –2; b₅ = 20.

1088. Знайдіть b₁, q.

b_n – геом. пр., b₆ = 18, b₄ = 72.

Знайти: b₁; q

18 = 72 · q², q² = 1872 = 14, q = –12; q = 12

72 = b₁ · (–12)³, 72 = –b18, b₁ = –576, 72 = b₁ · (12)³, b₁ = 576.

Відповідь: q = –12; b₁ = –576; q = 12; b₁ = 576.

1089. Запишіть геометричну прогресію, яка складається з шести членів, якщо сума трьох перших її членів дорівнює 168, а сума трьох останніх — 21.

b_n – геом. пр., S_1–3 = 168, S_4–6 = 21.

Знайти: геом. пр.

b₁ + b₁q + b₁q² = 168, b₁(1 + q + q²) = 168,

b₁q³ + b₁q⁴ ·b₁q⁵ = 21; b₁q³(1 + q + q²) = 21;

q³ = 2168; q = 12

b₁(1 + 12 + 14) = 168; b₁(1 + 34) = 168; b₁ = 168 : 134; b₁ = 168 · 47; b₁ = 96; b₂ = 48; b₃ = 24; b₄ = 12; b₅ = 6; b₆ = 3.

Відповідь: ÷ ÷ 96; 48; 24; 12; 6; 3.

1090. У зростаючій геометричній прогресії сума першого і

останнього членів дорівнює 66, добуток другого і передостаннього членів — 128, а сума всіх членів становить 126. Скільки членів у прогресії?

b_n – геом. пр., q > 0, b₁ + b_n = 66,

b₂ – b_n–1 = 128, S_n = 126.

Знайти: n.

b₁ + b₁q^n–1 = 66, b₁ + b₁q^n–1 = 66,

b₁q · b₁q^n–2 = 128, b12 · q^n–1 = 128,

b1(qn - 1)q - 1 = 126; b1(qn - 1)q - 1 = 126;

b₁ · q^n–1 = 128b1; b₁ + 128b1 = 66; b12 – 66b₁ + 128 = 0

D = 4356 – 512 = 62²

b1' = 66 - 622 = 2

2 + 2 · q^n–1 = 66

2(1 + q^n–1) = 66

1 + q^n–1 = 33

q^n–1 = 32; q^n–1 = 2⁵; q = 2

n – 1 = 5; n = 6

b1'' = 66 + 622 = 64; b₁ = 64

64(1 + q^n–1) = 66

1 + q^n–1 = 6664; 1 + q^n–1 = 3332;

q^n–1 = 3332 – 1; q^n–1 = 132; q^n–1 = (12)⁴

n – 1 = 5, n = 6

q = 12 – не задовольняє умову.

Відповідь: 6.

1091. У саду перший зірвав один гранат, другий — два, а кожний наступний — на один гранат більше. Потім усі, хто рвали гранати, розділили їх між собою порівну і кожний одержав по 6 гранатів. Скільки людей рвали гранати?

a_n – ар. пр., a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 1, d = 1, S_n = 6n.

Знайти: n.

(2 · 1 + 1 · (n - 1)) · n2 = 6n|: n.

2 + n – 1 = 12, n = 11.

Відповідь: 11.

1092. Подорожній у перший день проходить дві одиниці шляху, а кожного наступного дня на три одиниці більше, ніж у попередній. Інший подорожній проходить у перший день три одиниці шляху,

а в кожний наступний — на дві одиниці більше. Коли перший наздожене другого, якщо вони вийшли одночасно з одного місця і в одному напрямку?

a_n – aр. пр., a₁ = 2, d = 3, b_n – aр. пр., b₁ = 3, d = 2.

Знайти: n.

2 + 3(n – 1) = a_n

3 + 2(n – 1) = b_n

3n – 1 – a_n

2n + 1 = 6n

3n – 1 = 2n + 1

3n – 2n = 2, n = 2

Відповідь: на II день.

1093. Чи буде геометричною прогресією послідовність:

÷ ÷ b₁; b₂; b₃; b₄

a) чи буде геом. пр. 5b₁; 5b₂; 5b₃; 5b₄; …

Оскільки для геом. пр. виконується властивість, то b22 = b₁ · b₃

25b22 = 5b₁ · 5b₃; 25b22 = 25b₁ · b₃|: 25

b22 = b₁ · b₃, правильно; буде геометричною прогресією;

б) чи буде геом. пр. b₁ + 5; b₂ + 5; b₃ + 5; b₄ + 5; …

(b₂ + 5)² = (b₁ + 5)(b₃ + 5)

b22 + 10b₂ + 25 = b₁b₃ + 5b₁ + 5b₃ + 25

b22 + 10b₂ = b₁ · b₃ + 5b₁ + 5b₂ не правильно, не буде геом. пр.

в) чи буде геом. пр. b15; b25; b35; b45; …

(b25)² = b15 · b25; (b22)⁵ – (b₁ · b₂)⁵; b22 = b₁ · b₂, правильно; буде геом. пр.

г) чи буде геом. пр. 5b1; 5b2; 5b3; 5b4; …

25b22 – 5b1 · 5b2; 25b22 = 25b1 ·b3, правильно; буде геом. пр.

1094. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

a) b_n неск. геом. пр., b₁ = 27, q = 13.

Знайти: S.

S = 271 - 13 = 2723 = 27 · 32 = 40,5.

Відповідь: 40,5.

б) b_n – неск. геом. пр., b₁ = 2, q = –12.

Знайти: S.

S = 21 + 12 = 232 = 43 = 113.

Відповідь: 113.

в) b_n – неск. геом. пр., b₁ = 23; q = 23.

Знайти: S.

S = 231 - 23 = 2313 = 2 · 33 · 1 = 2.

Відповідь: 2.

г) b_n неск. геом. пр., b₁ = –12, q = –12.

Знайти: S.

S = -121 + 12 = -1232 = 1 · 22 · 3 = 13.

Відповідь: –13.

1095. Перевірте, що знаменник q даної геометричної прогресії

задовольняє умову |q| < 1, і знайдіть суму цієї прогресії:

a) 1; 23; …

q = 23 : 1 = 23; S = 11 - 23 = 113 = 3;

б) 0,1; –0,001; …

q = –0,1 |q| < 1; S = 0,11 + 0,1 = 0,11,1 = 111;

в) 1,8; 0,36 …

q = 0,361,80 = 15 < 1; S = 1,81 - 15 = 1,80,8 = 188 = 4,5.

1096. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

a) 7 + 710 + 7100 + …;

q = 0,1, S – 71 - 0,1 = 70,9 = 709 = 779;

б) 30 – 310 + 31000 – …;

q = –0,01, S = 301 + 0,01 = 301,01 = 3000101 = 2971101.

1098. Сума нескінченної геометричнбї прогресії дорівнює 4, а сума кубів її членів — 192. Знайдіть перший член і знаменник прогресії.

b_n неск. геом. пр., S = 4, b13 + b23 + b33 + … = 192.

Знайти: b₁; q.

b11 - q = 4 b₁ = 4 – 4q

b1b + b13q³ + b13q⁶ + … = 192; b131 -q3 = 192, b11 - q = 4

b13(1 - q)(1 + q +q2 = 192; b1(1 - q)(1 + q + q2)(1 - q)b13 = 4192

1 + q + q2(4 - 4q)2 = 148; 1 + q + q2(1 - q)2 = 13; 1 + q + q21 - 2q + q2 = 13

3 + 3q + 3q² = 1 – 2q + q²

2q² + 5q + 2 = 0

D = 25 – 4 · 2 · 2 = 9,

q₁ = -5 - 32 = –2; не задовольняє умову;

q₂ = - 5 + 34 = 12; b₁ = 4 – 4 · 12 = 2.

Відповідь: b₁ = 2; q = 12.

1099. Сума нескінченної геометричної прогресії становить 87 суми перших шести її членів. Знайдіть знаменник прогресії.

b_n – неск. геом. пр., S = 87 S₆.

Знайти: q.

b11 - q = 8b1(1 - q6)7 · 1 - q; 1 = 8(1 - q6)7; 1 – q⁶ = 78; q⁶ = 18; q² = 12

q = –12; q = 12.

Відповідь: ± 12.

1100. Знайдіть суму, доданки якої є членами геометричної

прогресії (|b| < 1):

a) b₁ = b² + b³ + …; S = b11 - b б) b – b² + b³ + …; S = b11 + b;

в) b² + b⁴ + b⁶ + …; S = b1 - b2; г) b – b³ – b⁵ – …; S = b11 + b2.

1101. Що більше: 14 + 6 чи 23 + 7?

З’ясуємо, що більше: 14 + 6 чи 23 + 7?

Розв’язання. (14 + 6) – (23 + 7) = 2 · 7 + 6 – 2 · 2 · 3 – 7 =

= (2 · 7 – 7) – (2 · 6 – 6) = 7(2 – 1) – 6(2 – 1) =

= (7 – 6)(2 – 1).

Оскільки 7 > 6 і 2 > 1, то 7 – 6 > 0 і 2 – 1 > 0.

Отже, добуток (7 – 6)(2 – 1) > 0, тобто (14 + 6) – (23 +

+ 7) > 0, звідси 14 + 6 > 23 + 7.

Відповідь: 14 + 6.

1102. Доведіть нерівність.

Доведемо нерівність 4 < 9 + 45 + 9 - 45 < 5.

Доведення. Оскільки всі три нерівності додатні, то можна кожну частину піднести до квадрата, не порушуючи знаків мвж ними.

4² < (9 + 45 + 9 - 45)² < 5².

(9 + 45 + 9 - 45)² = 9 + 45 + 29 + 45 · 9 - 45 + 9 –

– 45 = 18 + 2(9+45)(9 - 45) = 18 + 292 - 16 · 5 = 18 + 281 - 80 = 18 + 21 = 20, тобто 4² < 20 < 5² або 16 < 20 < 25. Отже, 4² < (9+45 + 9 - 45)² < 5² – правильна нерівність, тобто нерівність 4 < 9+45 + 9-45 < 5 – теж правильна, що й треба було довести.

1103. Доведіть, що при будь–яких значеннях а, b, с:

Доведемо, що при будь–яких значеннях a, b, c дані нерівності правильні.

a) 2a² + b² + c² ≥ 2a(b + c);

2a² + b² + c² ≥ 2ab + 2ac; a² – 2ab + b² + a² – 2ac + c² ≥ 0;

(a – b)² + (a – c)² ≥ 0. Оскільки (a – b)² ≥ 0 і (a – c)² ≥ 0 при будь–яких a, b, c, то (a – b)² + (a – c)² ≥ 0 – правильна нерівність. Тоді 2a² + b² + c² ≥ 2a(b + c) – теж правильна, що й треба було довести.

б) a² + b² + c² ≥ 2(a + 2b + 3 + c – 7); a² + b² + c² – 2a – 4b – 6c +

+ 14 ≥ 0; a² – 2a + b² – 4b + c² – 6c + 14 = (a² – 2a + 1) + (b² – 4b +

+ 4)(c² – 6c + 9) = (a – 1)² + (b – 2)² + (c – 3)². Оскільки (a – 1)² ≥ 0, (b – 2)² ≥ 0, (c – 3)² ≥ 0 при будь–яких a; b, c, то (a – 1)² + (b – 2)² +

+ (c – 3)² ≥ 0 – правильна нерівність. Тоді a² + b² + c² ≥ 2(a + 2b +

+ 3c – 7) – теж правильна, що й треба було довести.

1104. Доведіть, що при будь–яких значеннях х, у:

Доведемо, що нерівності правильні при будь–яких значеннях х, у:

a) x⁴ + y⁴ ≥ x³y + xy³; x⁴ – x³y + y⁴ – xy³ ≥ 0;

x⁴ – x³y + y⁴ – xy³ = x³(x – y) + y³(y – x) = x³(x – y) – y³(x – y) =

= (x³ – y³)(x – y).

Оскільки будь–яке число і його куб мають однакові знаки, то (х³ – у³) і (х – у) теж мають однакові знаки, а добуток чисел з однаковими знаками – додатне число. Отже, (х³ – у³)(х – у) – додатне при будь–яких значеннях х і у і дорівнюєнулю при х = у, тобто (х³ – у³)(х – у) ≥ 0. Тоді х⁴ + у⁴ ≥ х³у + ху³ – правильна, що й треба було довести.

б) 2x² + 5y² – 4xy – 2x – 4y + 5 > 0;

2x² + 5y² – 4xy – 2x – 4y + 5 = x² + x² + 4y² + y² – 4xy – 2x – 4y + 1 +

+ 4 = (x² – 4xy + 4y²) + (x² – 2x + 1) + (y² – 4y + 4) = (x – 2y)² + (x –

– 1)² + (y – 2)².

Оскільки квадрат будь–якого числа – невід’ємне число, то (х – 2у)² +

+ (х – 1)² + (у – 2)² ≥ 0. Але всідоданки отриманної суми квадратів одночасно не можуть дорівнювати нулю, бо при х = 1 і у = 2: х – 1 =

= 0, у – 2 = 0, а х – 2у ≠ 0, тобто (х – 2у)² + (х – 1)² + (у – 2)² > 0.

Отже, нерівність 2х² + 5у² – 4ху – 2х – 4у + 5 > 0 правильна, що й треба було довести.

1105. Доведіть, що при будь–якому значенні а:

Доведемо, що при будь–якому значенні а дані нерівності правильні.

a) a⁴ – 2a³ – a² + 2a + 1 ≥ 0;

a⁴ – 2a³ + a² – 2a² + 2a + 1 = (a² – a)² – 2(a³ – a) + 1 = (a² – a – 1)².

Квадрат будь–якого числа – невід’ємне число, тобто (a³ – a – 1)² ≥ 0. Отже, нерівність a⁴ – 2a³ – a² + 2a + 1 ≥ 0 правильна, що й треба було довести.

б) a⁴ – 3a² – 2a + 5 > 0;

a⁴ – 3a² – 2a + 5 = (a⁴ – 4a² + 4) + (a² – 2a + 1) = (a² – 2)² + (a – 1)².

Сума квадратів чисел, які одночасно не дорівнюють нулю, є додатним числом, тобто (a² – 2)² + (a – 1)² > 0. Отже, a⁴ – 3a² – 2a +

+ 5 > 0 при будь–яких а, що й треба було довести.

1106. Доведіть, що при будь–яких значеннях a, b, с, d:

Доведемо, що при будь–яких значеннях a, b, c, d:

a) (a² + b²)(c² + d²) ≥ 4abcd; (a² + b²)(c² + d²) – 4abcd ≥ 0;

(a² + b²)(c² + d²) – 4abcd = a²c² + a²d² + b²c² + b²d² – 2abcd – 2abcd = (a²c² – 2abcd + b²d²) + (a²d² – 2abcd + b²c²) = (ac – bd)² + (ad –

– bc)². Оскільки квадрат будь–якого числа – завжди невід’ємне число, тобто (ac – bd)² ≥ 0, (ad – bc)² ≥ 0 при будь–яких a, b, c, d, то справедлива нерівність (ac – bd)² + (ad – bc)² ≥ 0. Отже,

(a² + b²)(c² + d²) ≥ 4abcd.

б) a² + b² + c² + d² ≥ (a + b)(c + d);

2(a² + b² + c² + d²) ≥ 2(a + b)(c + d); 2(a² + b² + c² + d²) – 2(a +

+ b)(c + d) ≥ 0; 2(a² + b² + c² + d²) – 2(a + b)(c + d) = 2a² + 2b² +

+ 2c² + 2d² – 2ac – 2ad – 2bc – 2bd = (a² – 2ac + c²) + (a² – 2ad +

+ d²) + (b² – 2bc + c²) + (b² – 2bd + d²) = (a – b)² + (a – c)² + (b –

– c)² + (b – d)².

Сума квадратів чисел є невід’ємним числом, бо квадрат будь–якого числа – невід’ємне число. Отже, (a – b)² + (a + c)² + (b – c)² + (b –

– d)² ≥ 0, тобто нерівність a² + b² + c² + d² ≥ (a + b)(c + d) правильна при будб–яких значеннях a, b, c, d, що й треба було довести.

1107. Доведіть, що:

Доведемо, що x² + y² ≥ 12, якщо x + y = 1; x² + y² ≥ 15, якщо х + 2у =

= 1.

а) Доведемо, що х² + у² ≥ 12 при х + у = 1.

Оскільки х + у = 1, то у = 1 – х. Тоді нерівність х² + у² ≥ 12 набуває вигляду х² + (1 – х)² ≥ 12; х² + 1 – 2х + х² – 12 ≥ 0; 2х² – 2 + 12 ≥ 0; 2(х² – х + 14) ≥ 0; (х – 12)² ≥ 0. Отримана нерівність рівносильна нерівності х² + у² ≥ 12 при х + у = 1. Оскільки врна правильна при будь–яких значеннях х, то нерівнність х² + у² ≥ 12 правильна при х +

+ у = 1, що й треба було довести.

б) Доведемо, що х² + у² ≥ 15 при х + 2у = 1.

Оскільки х + 2у = 1, то х = 1 – 2у. Тоді нерівність х² + у² ≥ 15 набуває вигляду (1 – 2у)² + у² ≥ 15; 1 – 4у + 4у² + у² – 15 ≥ 0; 5у² – 4у + 45 ≥ 0; 25у² – 20у + 4 ≥ 0, (5у – 2)² ≥ 0. Отримана нерівність рівносильна нерівності х² + у² ≥ 15 при х + 2у = 1. Оскільки вона правильна при будь–яких значеннях у, то нерівність х² + у² ≥ 15 правильна при х + 2у = 1, що й треба було довести.

1108. Розв’яжіть нерівність.

Розв’яжемо нерівності:

а) x2 + 4x - 4 < x; x2 + 4x - 4 – x < 0; x2 + 4 - x(x - 4)x - 4 < 0; x2 + 4 - x2 + 4xx - 4 < 0; 4x + 4x - 4 < 0; x + 1x - 4 < 0.

Значення дробу від’ємне, коли його члени мають протилежні знаки, тобто отримана нерівність рівносильна двом системам нерівностей:

1) x + 1 < 0, x < –1,

x – 4 > 0; x > 4; система не має розв’язків;

2) x + 1 > 0, x > –1,

x – 4 < 0; x < 4; x ∈ (–1; 4).

Відповідь: (–1; 4).

б) x2 + x + 13x2 + 4x - 4 < 1; x2 + x + 13x2 + 4x - 4 – 1 < 0; x2 + x + 1 - 3x2 - 4x + 43x2 + 4x - 4 < 0; -2x2 - 3x + 53x2 + 4x - 4 < 0; 2x2 + 3x - 53x2 + 4x - 4 > 0.

Значення дробу додатне, коли його члени мають однакові знаки, тобто отримана нерівність рівносильна двом системам нерівностей:

2x² + 3x – 5 > 0, і 2x² + 3x – 5 < 0,

3x² + 4x – 4 > 0; 3x² + 4x – 4 < 0.

Обидві системи легко одночасно розв’язати за допомогою графіків функцій y = 2x² + 3x – 5 і y = 3x² + 4x – 4, що є лівими частинами нерівностей.

Вітки параболи у = 2х² + 3х – 5 направлені вгору і перетинають вісь х у точках, де 2х² + 3х – 5 = 0. Звідси D = 9 + 40 = 49;

x₁ = -3 +49 4 = 1; x₂ = - 3 - 494 = –2,5.

Через ці точки схематично будуємо графік. Вітки параболи y = 3x² +

+ 4y – 4 – направлені вгору і перетинають вісь х у точках, де 3х² +

+ 4х – 4 = 0. Звідси D = 16 + 48 = 64;

x₁ = -4 + 646 = 23; x₂ = -4 - 646 = –2.

Через ці точки також схематично будуємо графік.

На малюнку видно, що функції одночасно вибувають від’ємних значень на проміжку (–2; 23) і додатних – коли х ∈ (–∞; –2,5) ∪ (1; ∞). Отже, об’єднання цих проміжків буде розв’язком нерівності.

Відповідь: х ∈ (–∞; 2,5) ∪ (–2; 23) ∪ (1; ∞).

1109. Розв’яжіть нерівність.

а) 4x3 - x < x – 1; 4x3 - x – (x – 1) < 0; 4x - (3 - x)(x - 1)3 - x < 0;

4x - 3x + 3 + x2 - x3 - x < 0; x2 + 33 - x < 0.

Значення дробу від’ємне, коли його члени мають протилежні знаки. Оскільки х² + 3 > 0 при будь–якому значенні х, то нерівність виконується, якщо 3 – x < 0, тобто при x > 3.

Відповідь: x > 3.

б) x + 4x + 1 > 2 – x; x + 4x + 1 – (2 – x) > 0; x + 4 - (2 - x)(x + 1)x + 1 > 0;

x + 4 - 2x - 2 + x2 + xx + 1 > 0; x2 +2 x + 1 > 0.

Значення дробу додатне, коли його члени мають однакові знаки. Оскільки х² + 2 > 0 при будь–якому значенні х, нерівність виконується, якщо x + 1 > 0, тобто при x > –1.

Відповідь: x > –1.

1110. Розв’яжіть нерівність.

a) (x + 3)²(x + 5)(x – 2) < 0. Оскільки (x + 3)² ≥ 0 за будь–яких х, то треба розв’язати нерівність (x + 5)(x – 2) < 0, якщо х ≠ –3 (бо якщо х = –3, то (x + 3)² = 0 і (x + 3)²(x + 5)(x – 2) = 0).

(x + 5)(x – 2) < 0 – добуток від’ємний, коло його члени мають протилежні знаки. Отже, дана нерівність рівносильна двом системам нерівностей:

x + 5 < 0, x + 5 > 0,

x – 2 > 0, і x – 2 <0,

x ≠ 3; x ≠ 3.

1) x + 5 < 0, x > –5,

x – 2 > 0, x < 2, –5 < x < 2.

x ≠ 3; x ≠ 3;

2) x + 5 > 0, x < –5,

x – 2 < 0, x > 2, розв’язків немає.

х ≠ 3. х ≠ 3;

Відповідь: х ∈ (–5; 2).

б) (8 – х)⁵(х + 8)²(х + 4) ≤ 0, Оскільки (х + 8)² ≥ 0 за будь–яких х, то треба розв’язати нерівність (8 – х)⁵(х + 4) ≤ 0. Добуток недодатний, коли його члени мають протилежні знаки, або коли хоч один із них дорівнює 0. Отже, дана нерівність рівносильна двом системам нерівносией:

(8 – x)⁵ ≤ 0, (8 – x)⁵ ≥ 0,

x + 4 ≥ 0; x + 4 ≤ 0.

1) (8 – x)⁵ ≤ 0, 8 – x ≤ 0, x ≥ 8,

x + 4 ≥ 0; x + 4 ≥ 0; x ≥ 4; x ≥ 8.

2) (8 – x)⁵ ≥ 0, 8 – x ≥ 0, x ≤ 8,

x + 4 ≤ 0. x + 4 ≤ 0; x ≤ –4; x ≤ –4.

Відповідь: х ∈ (–∞; –4] ∪ [8; ∞)

1111. Покажіть, що нерівності мають однакові множини розв’язків.

Покажемо, що нерівності x - 6 + x - 1 > 1 і x - 6 + x - 1 > 2 мають однакові множини розв’язків.

Розв’язання. Під знаком повинно бути невід’ємне число, тому, щоб дані нерівності мали зміст, треба, щоб значення х задовольняло систему нерівностей х – 6 ≥ 0, Звідки х ≥ 6, х ≥ 6.

х – 1 ≥ 0. х ≥ 1; Отже, для обох нерівностей повинна виконуватись умова х ∈ [6; +∞).

Значення арифметичного квадратичного кореня невід’ємне, тому при збільшенні значення х збільшується значення суми x - 6 +

+ x - 1, тобто, якщо найменше значення х із проміжку [6; +∞) задовольняє обидві нерівності, то дана множина є їх розв’язком. Отже, якщо х = 6, то x - 6 + x - 1 = 6 - 6 + 6 - 1 = 5. 5 > 1 і 5 > 2, тобто проміжок [6; +∞) є розв’язком обох нерівностей, що й треба було довести.

1112. Побудуйте графік функції.

a) y = 3 – |x|.

|x| ≥ 0, тому дана функція рівносильна двом функціям:

y = 3 – (–x), якщо х ≤ 0;

у = 3 – х, якщо х ≥ 0.

Звідки у = 3 + х, якщо х ≤ 0;

у = 3 – х, якщо х ≥ 0.

Побудувавши в одній системі координат графіки отриманих функцій, дістанемо графік функції у = 3 – |x|.

б) y = 1|x|.

x ≠ 0, тобто |x| > 0, тому дана функція рівносильна двом функціям:

у = –1x, якщо x < 0;

y = 1x, якщо x > 0.

Побудувавши в одній системі координат графіки отриманих функцій, дістанемо графік функції y = 1|x|.

д) y = x|x|.

x ≠ 0, тобто |x| > 0, тому функція рівносильна двом функціям:

y = –xx, якщо x < 0;

y = xx, якщо x > 0.

Звідки y = –1, якщо x < 0;

х = 1, якщо x > 0.

Побудувавши в одній системі координат графіки отриманих функцій, дістанемо графік функції y = x|x|.

1113. Побудуйте графік функції.

б) y = x|x|.

|x| ≥ 0, тому дана функція рівносильна двом функціям:

y = –x², якщо x ≤ 0;

y = x², якщо x ≥ 0.

Побудувавши в одній системі координат графіки отриманих функцій, дістанемо графік функції y = x|x|.

1114. Побудуйте графік рівняння:

Побудуємо графіки рівнянь.

а) х² + ху = 0. ху = –х²; у = –х.

Графік отриманої функції буде графіком даного рівняння.

б) (x + 1)(y – 3) = 0.

y – 3 = 0. Якщо у = 3, то будь–яке дійсне значення х задовольняє дане рівняння, тому множина точок прямої у = 3 буде його розв’язком.

х + 1 = 0. Якщо х = –1, то будь–яке дійсне значення у задовольняє дане рівняння, тому множина точок прямої х = –1 теж буде його розв’язком.

Побудувавши в одній системі координат обидві прямі, дістанемо графік рівняння (х + 1)у – 3) = 0;

в) (ху – 6)(у – 3) = 0.

у – 3 = 0. Якщо у = 3, то будь–яке дійсне значення х задовольняє дане рівняння, тому множина точок прямої у = 3 буде його розв’язком.

ху – 6 = 0; ху = 6; у = 6x.

Множина точок отриманої функції буде множиною розв’язків цього рівняння.

Побудувавши в одній системі координат пряму у = 3 і графік функції у = 6x, дістанемо графік рівняння (ху – 6)(у – 3) = 0.

Таблиця для графіка функції у = 6x.

x	–6	–3	–2	–1	1	2	3	6
y	–1	–2	–3	–6	6	3	2	1

1115. Запишіть простішою формулою функцію:

Запишемо функцію

y = x2 + 22x + 2 + x2 - 22x + 2 простішою формулою. Побудуємо її графік.

y = x2 + 2x + 2 + x2 - 22 + 2 = (x + 2)2 +

+ (x - 2)2 = |x + 2| + |x – 2|.

Отже, простіша формула – y = |x + 2| + |x – 2|.

Оскільки |x + 2| ≥ 0 і |x – 2| ≥ 0, то маємо 4 випадки:

y = |x + 2| + |x – 2|

1) |x + 2| = x + 2, якщо х + 2 ≥ 0, тобто при х ≥ –2.

|x – 2| = x – 2, якщо х – 2 ≥ 0, тобто при х ≥ 2.

Тоді y = |x + 2| + |x – 2| = x + 2 + x – 2 = 2x. Отже, у = 2х, якщо х ≥ 2

2) |x + 2| = x + 2, якщо x + 2 ≥ 0, тобто при х ≥ –2,

|x – 2| = –(x – 2), якщо х – 2 ≤ 0, тобто при х ≤ 2.

Тоді y = |x + 2| + |x – 2| = x + 2 + 2 – x = 22. Отже, у = 22, якщо х ∈ [–2; 2].

3) |x + 2| = –(x + 2) = –x – 2, якщо x+ 2 ≤0, тобто при х ≤ –2,

|x – 2| = –(x – 2) = 2 – x, якщо x – 2 ≤ 0, тобто при х ≤ 2.

Тоді y = |x + 2| + |x – 2| = –x – 2 + 2 – x = –2x.

Отже, у = –2х, якщо х ≤ –2. 4) |x + 2| = –(x + 2) = –x – 2, якщо x + 2 ≤ 0, тобто при х ≤-2,

|x – 2| = x – 2, якщо х – 2 ≥ 0, тобто при х ≥ 2.

Дані умови для х не мають змісту. Отже, побудувалт в одній системі координат графіки функцій у = 2х, якщо х ≥ 2; у = 22, якщо х ∈ [–2; 2]; y = –2x, якщо x ≤ –2; дістанемо графік функції у = |x +

+ 2| + |x – 2|.

1116. Побудуйте графік функції.

Побудуємо графік функції.

а) y = |2x – 3|.

y = |2x – 3| = 2|x – 1,5|; y = 2|x – 1,5|. Взявши графік функції у =

= 2|x| (y = 2x при x ≥ 0 і y = –2x при x < 0) і перенісши його на 1,5 одиниці у напрямі осі х, дістанемо графік функції y = |2x – 3|.

б) y = 2|x| – 3.

Взявши графік функції y = 2|x| (y = 2x при x ≥ 0 і y = –2x при x ≤ 0) і перенісши його на 3 одиниці у напрямі, протилежному напряму осі у, дістанемо графік функції y = 2|x| – 3.

1117. Побудуйте графік функції.

a) y = 2|x – 3|.

Взявши графік функції y = 2|x| (y = 2x при х ≥ 0 і y = –2x при x ≤ 0) і перенісши його на 3 одиниці у напрямі осі х, дістанемо графік функції y = 2|x – 3|.

б) y = |x² – 6x + 5|.

Побудуємо графік функції у = х – 6х + 5 – параболу, вітки якої направлені вгору. Точки перетину з віссю х: у = 0, тобто

x² – 6x + 5 = 0; D = 36 – 20 = 16;

x₁ = 6 + 42 = 5; x₂ = 6 - 42 = 1.

Вершина: х = –b2a = –-62 = 3;

y = 3² – 6 · 3 + 5 = –4.

Оскільки y = |x² – 6x + 5| рівносильна двом функціям:

y = x² – 6x + 5, якщо x² – 6x + 5 ≥ 0,

y = –(x² – 6x + 5), якщо х² – 6х + 5 ≤ 0, тому віддзеркаливши відносно осі х частину побудованої параболи, яка лежить нижче від осі, дістанемо графік функції y = |x² – 6x + 5|.

1118. Побудуйте графік функції.

a) y = x² – 6|x| + 5.

1) Якщо х ≥ 0, то дана функція має вигляд х = х² – 6х + 5. Її графік – парабола, вітки якої направлені вгору. Точки перетину з віссю х:

у = 0, тобто

x² – 6x + 5 = 0; D = 36 – 20 = 16;

x₁ = 6 + 42 = 5; x₂ = 6 - 42 = 1.

Вершина: х = –b2a = –-62 = 3;

y = 3² – 6 · 3 + 5 = –4.

2) Якщо х ≤ 0, то дана функція має вигляд у = х² + 6х + 5. Її графік – парабола, вітки якої направлені вгору. Точки перетину з віссю х: у = 0, тобто

x² + 6x + 5 = 0; D = 36 – 20 = 16;

x₁ = -6 + 42 = –1; x₂ = -6 - 42 = –5

Вершина: x = –b2a = –62 = –3; y = (–3)² – 6 · 3 + 5 = –4.

Побудувавши обидва графіки в одній системі координат, дістанемо графік функції y = x² – 6|x| + 5.

б) y = |x² – 6x| + 5.

Побудуємо графік функції y = |x² – 6x|. Для цього спочатку побудуємо графік функції y = x² – 6x – параболу, вітки якої направлені вгору. Точки перетину з віссю х: у = 0, тобто х² – 6х =

= 0; х(х – 6) = 0; х₁ = 0; х₂ = 6. Вершина лежить на осі параболи, тому її абсциса х = 0 + 62 = 3, а ордината у = 3² – 6 · 3 = –9.

Функція y = |x² – 6x| рівносильна двом:

y = x² – 6x, якщо х² – 6х ≥ 0,

у = –(х² – 6х), якщо х² – 6х + 5 ≤ 0,

тому, віддзеркаливши відносно осі х частину побудованої параболи, яка лежить нижче від цієї осі, дістанемо графік функції y = |x² – 6x|.

Перенісши отриманий графік на 5 одиниць у напрямі осі у, дістанемо графік фукції y = |x² – 6x| + 5.

1119. Скільки розв’язків має рівняння |х² – 6х + 5| = а, якщо

а дорівнює: –2, 0, 2, 4, 6?

З’ясуємо, скільки розв’язків має рівняння |x² – 6x + 5| = a, коли а дорівнює –2; 0; 2; 4; 6.

Візьмемо графік функції y = |x² – 6x + 5|, побудований у №1116 (б), і в цій же системі координат побудуємо прямі y = –2; y = 0; y = 2;

y = 4; y = 6.

Кількість точок перетину кожної прямої дорівнює кількості коренів рівняння з відповідним а.

Отже, у = –2, а = –2 – жодного;

y = 0, a = 0 – два;

у = 2, а = 2 – чотири;

у = 4, а = 4 – три;

у = 6, а = 6 – два.

1120. Розв’яжіть нерівність:

Розв’яжемо дані нерівності.

a) |x – 1| + |x – 5| ≥ 6.

Оскільки |x – 1| ≥ 0 і |x – 5| ≥ 0, тому:

якщо х ≥ 5, то |x – 1| + |x – 5| = x – 1 + x – 5 = 2x – 6; 2x – 6 ≥ 6;

2x ≥ 12; x ≥ 6.

Якщо х ∈ [1; 5], то |x – 1| + |x – 5| = x – 1 – (x – 5) = x – 1 – x – 5 = 4;

4 ≥ 6 – не має змісту.

Якщо х ≤ 1, то |x – 1| + |x – 5| – (x – 1) – (x – 5) = –x + 1 – x + 5 = –2x + 6; –2x + 6 ≥ 6; –2x ≥ 0; x ≤ 0.

Відповідь: х ∈ (–∞; 0] ∪ [6; ∞).

б) |x – 1| + |x – 5| < 3.

Оскільки |x – 1| ≥ 0 і |x – 5| ≥ 0, тому:

якщо x ≥ 5, то |x – 1| + |x – 5| = x – 1 + x – 5 = 2x – 6;

2x – 6 < 3; 2x < 9; x < 4,5. x ≥ 5 і x < 4,5 – не має змісту;

якщо х ∈ [1; 5], то |x – 1| + |x – 5| = x – 1 – (x – 5) + x – 1 – x + 5 = 4,

4 < 3 – не має змісту;

|x – 1| + |x – 5| = –(x – 1) – (x – 5) = –x + 1 – x + 5 = –2x + 6;

–2x + 6 < 3; –2x < –6; x > 3. x ≤ 1 і y > 3 – не має змісту.

Відповідь: немає розв’язків.

1121. Доведіть, що в арифметичній прогресії з парним числом членів сума членів однієї половини більша від суми решти членів на число, кратне квадрату половини числа членів.

Розв’язання. Візьмемо арифметичну прогресію з 2n членів, різницею d, першим членом а. Тоді її перша половина закінчується n–им членом a_n = a + (n – 1)d, а друга половина починається (n + 1) – им членом a_n+1 = a + (n + 1 – 1)d = a + nd і закінчується 2n–им членом a_2n = a + (2n – 1)d. Суми половин дорівнюють відповідно.

S₁ = a +an2n = a + a +8 (n - 1)d2n і S₂ = an+1 + a2n2n =

= a + nd + a + (2n - 1)d2 n.

Отже, S₂ – S₁ = a + nd + a + (2n - 1)d2n – a + a + (n - 1)d2n =

= n2(2a + nd + 2nd – d – 2a – nd + d) = n2 · 2nd = n²d.

Отже, S₂ – S₁ = n²d, де n – половина числа членів, що й треба було довести.

1122. Служивому воїну дано винагороду: за першу рану 1 к., за другу — 2 к., за третю — 4 к. і т. д., а всього 655 крб. 35 к. Скільки ран мав той воїн?

Розв’язання. Кожна наступна винагорода є членом геометричної прогресії з q = 2 b₁ = 1, сума якої становить 655 крб 35 к., або

65535 к. Скориставшись формулою n перших членів геометричної прогресії S_n = b1(qn - 1)q - 1, дістанемо рівняння, в якому n – кількість ран:

1(2n - 1)2 - 1 65535; 2ⁿ – 1 = 35535; 2ⁿ = 65536; n = 16.

Відповідь: 16 ран.

1123. Рисак і шкапа біжать від Чаньаня до князівства Ці, що за 3000 лі від Чаньаня. За перший день рисак пробігає 193 лі, а кожного

наступного дня на 13 лі більше від попереднього. Шкапа за перший день пробігає 97 лі, а за кожний інший на половину лі менше, ніж за попередній. Рисак, добігши до Ці, повернув назад. Через скільки

днів він зустрів шкапу?

Розв’язання. Оскільки відстань, що пробігає рисак кожного наступного дня, на одну й ту саму величину відрізняється від відстані, подоланої попереднього дня, то його щоденні пробіги утворюють арифметичну прогресію з першим членом 193 і різницею 13. Це стосується і клячі, але арифметична прогресія, утворена її щоденними пробігами, матиме перший член 97 і різницю – 0,5. Отже, позначивши кількість днів, що минуть до зустрічі, через n, і застосувавши формули n–го члена a_n = a₁ + (n – 1)d та суми її n перших членів S_n = a1 + an2n, знайдемо, що в день зустрічі рисак подолає (193 + (n – 1) · 130 лі, а кляча – (97 + (n – 1) · (–0,5)) лі; рисак усього пробіжить 193 + 193 + 13(n - 1)2n лі, а кляча – 97 + 97 - 0,5(n - 1)2n лі. Оскільки рисак спочатку сам подолає відстань між Чаньанем і Ці, а потім побіжить назад до зустрічі з клячею, то це означає, що разом вони пробіжать подвійну відстань, тобто 6000 лі. Отже, складемо рівняння:

193 + 193 + 13(n - 1)2n + 97 + 97 - 0,5(n - 1)2n = 6000;

0,5n(386 + 13n – 13 + 194 – 0,5n + 0,5) = 6000;

n(567,5 + 12,5n) = 12000; 12,5n² + 567,5n – 12000 = 0;

n² + 45,4n – 960 = 0; D = 45,4² + 960 · 4 = 2061,16 + 3840 =

= 5901,16;

D = 76,8. x₁ = -45,4 + 76,82 = 15,7; x₂ = -45,4 - 76,82 = –61,1, що не задовольняє умову задачі. Отже, рисак зустрів клячу приблизно через 16 днів.

Відповідь: приблизно через 16 днів.

1124. На незнайомій вулиці ви шукаєте будинок 46, а бачите будинок 38. У який бік вам треба іти?

Розв’язання. Номери на будинках розташовані так, що рухаючись у бік збільшення номерів будб–яким боком вулиці, ми спочатку підходимо до рогу будинку, на якому знаходиться номер. Тому, щоб знайти будинок 46, йти треба ліворуч.

Відповідь: ліворуч.

1125. Довжини сторін прямокутного трикутника — послідовні члени арифметичної прогресії. Знайдіть відношення катетів цього трикутника.

Розв’язання. Візьмемо прямокутний трикутник, у якого а – менший катет, b – більший катет, с – гіпотенуза. Тоді за теоремою Піфагора

c² = a² + b². Оскільки a, b, c – послідовні члени арифметичної прогресії, то b = a + c2. Маємо систему

b = a + c2, 2b = a + c, 2b – a = c,

c² = a² + b²; c² = a² + b²; c² = a² + b²;

(2b – a)² = a² + b²; 4b² – 4ba + a² – a² – b² = 0; 3b² = 4ba; 3b = 4a;

ab = 34.

Отже, дістали відношення катетів.

Відповідь: 3 : 4.

1126. Знайдіть числа x, y i z такі, щоб послідовність 2, х, у, z, 9 була

арифметичною прогресією.

Розв’язання. a₅ = a₁ + 4n; a₅ = 9; a₁ = 2; отже, 9 = 2 + 4n; звідки

n = 74. Тоді x = a₂ = 2 + 74 = 154; y = x + 74 = 154 + 74 = 224; z = y + 74 =

= 224 + 74 = 294.

Відповідь: х = 154; y = 224; z = 294.

1127. Знайдіть суму натуральних чисел, менших від 1000, які:

а) діляться на 7; б) взаємно прості з числом 7; в) діляться на 3 і не діляться на 6.

Знайдемо суму натуральних чисел, меншх від 1000, які:

а) Діляться на 7.

Числа, що діляться на 7, становлять арифметичну прогресію з першим членом а₁ = 7 і різницею d = 7. Отже, a_n = a₁ + (n – 1) ·

· 7 = 7 + 7(n – 1).

a_n < 1000, 7 + 7(n – 1) < 1000; 7n < 1000; n < 142,86. Оскільки n – ціле, то n = 142. Тоді an = 7 + 7 · 141 = 994;

S₁₄₂ = a1 + a1422 · 142 = 7 + 9942 · 142 = 71071.

б) Взаємно прості з числом 7.

Взаємно прості з числом 7 – це числа, що не діляться на 7 і на які не ділиться 7, тобто всі числа, менші від 1000, окрім тих, що діляться на 7.

Оскільки сума останніх відома з прикеладу а), то знайшовши суму усіх чисел від 1 до 999 і віднявши від неї суму чисел, що діляться на 7, дістанемо суму чисел, взаємно простих з 7.

S = S₉₉₉ – S₁₄₂ = 999 + 12 · 999 – 71071 = 428429.

в) Діляться на 3 і не діляться на 6.

a₁ = 3; d = 6; a_n = 3 + (n – 1) · 6 = 6n – 6 < 1000; 6n < 1006;

n < 167,67.

Оскільки n – ціле, то n = 167. Тоді a_n = 3 + 6 · 166 = 999;

S₁₆₇ = a1 + a1672 · 167 = 3 + 9992 · 167 = 83667.

1128. а₁, а₂, а₃, ... , a_n – перші n членів геометричної прогресії зі знаменником q. Знайдіть суму:

а₁, а₂, а₃, ..., a_n – перші n членів геометричної прогресії зі знаменником q. Знайдіть суму a1n + a2n + a3n + … + ann.

Розв’язання. a_n = a₁q^n–1;

a1n + a2n + a3n + … + ann = a1n + a1nqn + a1nq²ⁿ + … + a1nq^(n–1)n, що є сумою n перших членів геометричної прогресії з першим членом a1n і знаменником qⁿ. Отже, за формулою суми n перших членів геометричної прогресії

a1n + a1nqⁿ + a1nq²ⁿ + … + a1nq^(n–1)n = S = a1n((qn)n - 1)qn - 1 = a1n(qn2- 1)qn - 1.

1129. q, q², q³, q⁴, … — нескінченна геометрична прогресія.

Знайдіть суму q + 2q² + 3q³ + 4q⁴ + … .

Розв’язання. Під час обчислення застосуємо формулу S = b11 - q

q + 2q² + 3q³ + 4q⁴ + … = q + q² + q² + q³ + q³ + q³ + q⁴ + q⁴ + q⁴ +

+ q⁴ + … = (q + q² + q³ + q⁴ + …) + (q² + q³ + q⁴ + …) + (q³ + q⁴ +

+ …) + … = q1 - q + q21 - q + q31 - q + … = 11 - q(q + q² + q³ +

+ q⁴ + …) = 11 - q · q1 - q = q(1 - q)2.

1130. Знайдіть нескінченну геометричну прогресію, якщо сума її членів дорівнює 4, а сума кубів її членів становить 192.

Розв’язання. Нехай b₁, b₂, b₃, … – нескінченна спадна геометрична прогресія зі знаменником q. Тоді її можна записати у вигляді b₁, b₁q, b₁q², … , а куби її членів становлять послідовність b13, b13q³, b13q⁶, …, яка є теж спадною геометричною прогресією із першим членом b13 і знаменником q³. Отже, застосувавши формулу суми спадної геометричної прогресії S = b11 - q, складемо систему рівнянь:

b11 - q = 4, b₁ = 4(1 – q),

b131 - q3 = 192; b131 - q3 = 192;

43(1 - q)31 - q3 = 192; (1 – q)3 = 192(1 - q3)43;

(1 – q)³ = 3(1 – q)(1 + q + q²); (1 – q)² = 3 + 3q + 3q²;

1 – 2q + q² – 3 – 3q – 3q² = 0; –2q² – 5q – 2 = 0; 2q² + 5q + 2 = 0;

D = 25 – 16 = 9; q₁ = -5 + 94 = –12; q₂ = -5 - 94 = –2.

Оскільки прогресія спадна, то |q| < 1, тому q₂ не задовольняє умову задачі. Отже, q = –12, a b₁ = 4(1 – (–12)) = 4 · 32 = 6. Тоді шукана нескінченна спадна геометрична прогресія 6; –3; 32; –34, ... .

Відповідь: 6; –3; 32; –34, ... .

1131. Другий, перший і третій члени арифметичної прогресії є

послідовними членами геометричної прогресії. Знайдіть її знаменник.

Розв’язання. Нехай а₁, а₂, а₃ – три члени арифметичної прогресії, тоді a₂ = a1 + a32. За умовою задачі а₂, а₁, а₃ – послідовні члени геометричної прогресії, тоді a₁ = a₂q, a₂ = a₂q². Отже, а₂ = a1 +a3 2 =

= a2q + a2q22, тобто а₂ = a2q + a2q22; 2a₂ = a₂q + a₂q²; q² + q – 2 =

= 0; за теоремою Вієта q₁ = 1, q₂ = –2.

Відповідь: 1 або –2.

1132. а, b, с — послідовні члени арифметичної прогресії. Доведіть,

що числа а² + ab + b², а² + ас + с², b² + Ьс + с² також є послідовними членами арифметичної прогресії.

a, b, c – послідовні члени арифметичної прогресії. Доведіть, що числа a² + ab + b², a² + ac + c², b² + bc + c² теж послідовні члени арифметичної прогресії.

Доведення. Оскільки a, b, c – послідовні члени арифметичної, то

b = a + c2. Якщо a² + ab + b², a² + ac + c², b² + ba + c² – послідовні члени арифчетичної прогресії, то

a² + ac + c² = (a2 + ab + b2) + (b2 + bc + c2)2.

(a2 + ab + b2) + (b2 + bc + c2)2 = 12(2b² + b(a + c) + a² + c²); підставимо b = a + c2, 12(2b² + b(a + c) + a² + c²) = 12(2(a + c2)² +

+ a + c2(a + c) + a² + c²) = 12(2 · a2 + 2ac + c24 + a2 + 2ac + c22 +

+ a² + c²) = 12 (a² + 2ac + c² + a² + c²) = 12 (2a² + 2ac + 2c²) = a² +

+ 2ac + c², що й треба було довести.

1133. Підберіть формулу n–го члена для послідовності:

a) 1, 2, 1, 2, 1, 2, … .Оскільки 1 + 22 = 1,5, тобто 1 = 1,5 – 0,5, а 2 = 1,5 + 0,5, то a_n = 1,5 + 0,5(–1)ⁿ.

б) –1; 2; –3; 4; –5, … Очевидно, що a_n = n(–1)ⁿ.

1134. Знайдіть суму:

a) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + … + n(n + 1);

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + … + n(n + 1) = 1 · 1 + 1 + 2 · 2 + 2 + 3 · 3 + … + n · n + n = 1² + 1 + 2² + 2 + 3² + 3 + … + n² + n = (1 + 2 + 3 + … + n) + (1² + 2² + 3² + … + n²) = 1 + n2n + n6(n + 1)(2n + 1) =

= n6(n + 1)(3 + 2n + 1) = n6(n + 1)(2n + 4) = n6(n + 1)(n + 2) · 2 =

= n3(n + 1)(n + 2).

1 + 2 + 3 + … + n = 1 +8 n2n, оскільки 1 + 2 + 3 + ... + n – арифметична прогресія з a₁ = 1, d = 1, a_n = n; 1² + 2² + 3² + … +

+ n² = n6(n + 1)(2n + 1);

б) 1 · 2 + 2 · 5 + 3 · 8 + ... + n(3n – 1).

1 · 2 + 2 · 5 + 3 · 8 + … + n(3n – 1) = 3 · 1² – 1 + 3 · 2² – 2 + 3 · 3² –

– 3 + … + 3n² – n = 3(1² + 2² + 3² + … + n²) – (1 + 2 + 3 + … + n) =

= 3n6(n + 1)(2n + 1) – n + 12n = n + 12n (2n + 1 – 1) = n²(n + 1).

1 + 2 + 3 + … + n = 1 + n2n і 1² + 2² + 3² + … + n² = n6(n + 1)(2n + 1) – формули з прикладу а).

1136. В якій арифметичній прогресії сума перших n членів дорівнює 2n² + n?

Знайдемо арифметичну прогресію, у якої сума перших n членів дорівнює 2n² + n.

Розв’язання. S_n = a1 + an2n; a1 + an2n = 2n² + n.

Нехай n = 1, тоді а1 + а12 · 1 = 2 · 1² + 1; а1 = 3.

Нехай n = 2, тоді 3 + a22 · 2 = 2 · 2² + 2; 3 + a₂ = 10; a₂ = 7.

d = a₂ – a₁ = 7 – 3 = 4. Отже, арифметична прогресія – 3, 7, 11, 15, ....

1137. Один комерсант щорічно збільшував на третину свій капітал, зменшений на 100 фунтів, які щороку він витрачав на сім’ю. Через три роки його капітал подвоївся. Скільки грошей він мав спочатку?

Розв’язання. Нехай початковий капітал становив х фунтів. Збільшення на третину еквівалентне множенню на 43, тому, виходячи з умови задачі, комерсант кожного року зменшував свій капітал на 100 футів і збільшував його в 43 рази. Отже, через три роки капітал становив

(((x – 100) · 43 – 100) · 43 – 100) · 43 = ((x – 100) · 43 – 100) · (43)² –

– 43 · 100 = (x – 100) · (43)³ – (43)² · 100 = (43)³ x – (43)² · 100 – (43)² ·

· 100 – 43 · 100 = 6427x – 100(6427 + 169 + 43) = 6427x – 100 ·

· 64 + 48 + 3627 = 6427x – 1480027.

З іншого боку, через три роки капітал збільшився вдвічі, тобто становив 2х, тобто маємо рівняння

6427х – 1480027 = 2х; 64x – 14800 = 54x; 64x – 54x = 14800; 10x = 14800; x = 1480. Отже, комерсант мав 1480 фунтів.

Відповідь: 1480 фунтів.