Вправи до параграфів: §.3 (3)

3. Доведіть твердження:

Довести:

1) якщо а ≥ 9, b ≥ 15, то ab ≥ 135.

a • b ≥ 9 • 15.

ab ≥ 135.

2) якщо a – b ≥ 2, a + b ≥ 142, то a² – b² ≥ 28.

(a – b)(a + b) = a² – b² ≥ 2 • 142

a² – b² ≥ 28.

3) a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

(a² + 1)(b² + 1) ≥ 4ab.

a²b² + a² + b² + 1 – 4ab ≥ 0.

a² – 2ab + b² + a²b² – 2ab + 1 ≥ 0.

(a – b)² + (ab – 1)² ≥ 0. Сума квадратів завжди невід’ємна.

Доведено.

4) (1 + a)(5 + b)(5 + c) ≥ 40abc

(5 + b + 5a + ab)(5 + c) – 40abc ≥ 0.

25 + 5c + 5b + bc + 25a + 5ab + 5ac + abc – 40abc ≥ 0.

(abc – 10abc + 25) + (25a – 10abc + bc) + (5c – 10abc + 5ab) +

+ (5ac – 10abc + 5c) ≥ 0.

Доведено.