Відповіді на вправи: 51.27

51.27 Побудуйте графік функції

у = x2+ 2xx – 2. ОДЗ: х ≠ 0.

1) Якщо x > 0, то |x| = x.

Маємо x2+ 2xx – 2 = x(x+2)x – 2 = х + 2 – 2 = х.

2) Якщо x < 0, то |x| = –x.

Маємо x2+ 2x-x – 2 = x(x+2)-x – 2 = –(х + 2) – 2 = –х – 2 – 2 = –x – 4.

Отже, у = х, якщо х > 0,

–х – 4, якщо х < 0.

y₁ = x; x > 0.

x	1	3
y	1	3

y₂ = –x – 4; x < 0.

x	–1	–4
y	–3	0

Домашня самостійна робота №11

1. Укажіть вираз, який є квадратним тричленом.

2х² + х – 3 = 0;

Відповідь: Б.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена

2х² – 3х – 7 = 0;

D = (–3)² – 4 • 2 • (–3) = 65.

Відповідь: Г.

3. Укажіть біквадратне рівняння.

4х⁴ + х² – 3 = 0;

Відповідь: Б.

4. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен

–2x² + Зх + 5.

–2x² + Зх + 5 = 0; 2х² – 3x– 5 = 0; D = (–3)² – 4 • 2 • (–5) = 49;

x₁ = 3+74 = 2,5; x₂ = 3-74 = 1.

–2x² + Зх + 5 = –2(x – 2,5)(x + 1).

Відповідь: А.

5. Pозв’яжіть рівняння

x2x-7= 49x-7.

x² = 49,

x ≠ 7; x = –7.

Відповідь: В.

6. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники.

x³ + 2x² – 3x = 0; х(х² + 2х – 3) = 0;

x₁ = 0 або x² + 2х – 3 = 0;

D = 2² – 4 • (–3) = 16;

x₂ = -2+42 = 1; x₃ = -2-42 = –3.

Відповідь: Г.

7. Cкоротіть дріб

x2- 5x+5x2- 9.

x² – 5x + 6 = 0; D = (–5)² – 4 • 6 = 1; x₁ = 5+12 = 3; x₂ = 5-12 = 2.

x2- 5x+6x2- 9 = x-3(x-2)x-3(x+3) = x-2x+3.

Відповідь: Б.

8. При яких значеннях х сума дробів дорівнює їх добутку?

ОДЗ: х ≠ –1; х ≠ 3.

18 – 9x + x² + x = 6x; x² – 11x + 18 = 0; D = (–11)² – 4 • 18 = 49;

x₁ = 11+72 = 9; x₂ = 11-72 = 2.

Відповідь: В.

9. З міста A в місто B, відстань між якими 360 км, одночасно

виїхали два автомобілі. Швидкість одного з них була на 10 км/год більшою за швидкість іншого, і тому він прибув до пункту призначення на 30 хв раніше. Знайдіть швидкість автомобіля,

що рухався повільніше.

Автомобіль	s, км	U, км/год	t, год
І	360	x + 10	360x+10	на 12 год менше
ІІ	360	x	360x

360x – 360x+10 = 12; 360x+3600-360xx(x+10) = 12;

x² + 10x – 7200 = 0; D = 10² – 4 • (–7200) = 28900;

x₁ = -10+1702 = 80 (км/год);

x₂ = -10-1702 < 0 – не задовольняє умову задачі.

Відповідь: Б) 80 км/год.

10. Розкладіть на множники многочлен

–14x⁴ – x³ + 3x² = –14x²(x² + 4x – 12).

x² + 4x – 12 = 0; D = 4² – 4 • (–12) = 64; x₁ = -4+82 = 2;

x₂ = -4-82 = –6.

Отже, –14x²(x² + 4x – 12) = –14x²(x – 2)(x + 6).

Відповідь: А.

11. Розв’яжіть рівняння

x³ + Зх² – 6х – 8 = 0; (x³ – 8) + (3x² – 6x) = 0:

(х – 2)(x² + 2х + 4) + 3x(x – 2) = 0; (х – 2)(x² + 2х + 4 + Зх) = 0;

(х – 2)(x² + 5х + 4) = 0;

х – 2 = 0 або х² + 5х + 4 = 0;

x₁ = 2. D= 5² – 4 • 4 = 9;

x₂ = -5+32 = –1;

x₃ = -5-32 = –4.

Відповідь: Б.

12. Відстань від пристані A до пристані B проти течії річки човен долає за 3 год. Одного разу, не дійшовши 24 км до пристані

B, човен повернув назад і прибув до пристані A через 3 год 18 хв.

Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії дорівнювала 2 км/год.

Нехай х км/год — власна швидкість човна. Тоді його швидкість проти

течії (х – 2) км/год, а відстань від А до В дорівнює 3(х – 2) км.

Човен проплив 3(x – 2) – 24 = Зх – 30 (км), та витратив проти течії

3x-30x-2 год.

За течією швидкість човна (х + 2) км/год i він витратив 3x-30x-2 год.

За умовою 3(x-10)x-2 + 3(x-10)x+0 = 31860| :3; x -10x-2 + x-10x+2 = 1110;

x2+ 2x-10x-20+ x2- 2x-10x+20x-2(x+2) = 1110; 10(2x² – 20x) = 11(x² – 4);

20x² – 200x – 11x² + 44 = 0; 9x² – 200x + 44 = 0;

D = (–200)² – 4 • 9 • 44 = 38416; D = 196;

x₁ = 200+1962 • 9 = 22 (км/год);

х₂ = 200-19618 = 418 – не підходить, бо х > 2.

Відповідь: Б.

13. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його коренем (А–Г).

1) х-7х-2 + х+4х+2 = 1;

х-7х+4+(х+4)(х-2)(х-2)(х+2) = 1;

х2-5х-14+х2+2х-8(х-2)(х+2) = 1;

2х2-3х-22(х-2)(х+2) = 1;

2х2 – 3х – 22 = (х – 2)(х + 2);

2х2 – 3х – 22 = х2 – 4;

х2 – 3х – 18 = 0;

D = (–3)² – 4 • 1 • (–18) = 81; D = 9;

х1 = 6; х2 = –3. (Б.)

2) х3 + 6х2 – 9х – 54 = 0;

(х3 + 6х2) – (9х + 54) = х2(х + 6) – 9(х + 6) = (х + 6)( х2 – 9) = (х + 6)(х – 3)(х + 3);

(х + 6)(х – 3)(х + 3) = 0;

х1 = –6; х2 = 3; х3 = –3. (Г.)

3) (х2-2)2 – 4(х2 – 2) – 21 = 0;

х2 – 2 = t; t2 – 4t – 21 = 0;

D = (–4)² – 4 • 1 • (–21) = 100; D = 10;

t1 = 7; t2 = –3.

х2 – 2 = 7;

х2 = 9; x = ±3;

х2 – 2 = –3;

х2 = –1 – немає дійсних коренів

х1 = 3; х2 = –3. (A.)

Завдання для перевірки знань §49–51

1. З даних виразів випишіть ті, що є квадратними тричленами

1) 2х² – 3х + 7; 4) –8 + 2х² – 3х — квадратні тричлени.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та визначте

кількість його коренів:

1) х² + 3х – 7; D = З² – 4 • (–7) = 37; два корені;

2) х² + х + 9; D = 1² – 4 • 9 = –35; жодного кореня.

3. Чи є біквадратним рівняння:

1), 3) Ні; 2), 4) так.

4. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) x₂ + 4x – 5.

х² + 4х – 5 = 0; D = 4² – 4 • (–5) = 36; х₁ = -4+62 = 1;

x₂ = -4-62 = –5.

х² + 4х – 5 = (х – 1)(х + 5).

2) –2x² + 5х – 2.

2x² – 5х + 2 = 0; D = (–5)² – 4 • 2 • 2 = 9;

х₁ = 5+34 = 2; х₂ = 5-34 = 12.

–2х² + 5х – 2 = –2(х – 2)(x – 12) = (х – 2)(1 – 2х).

5. Знайдіть корені рівняння:

1) x⁴ + Зх² – 4 = 0.

x² = t , де t ≥ 0, тоді x⁴ = t². Маємо t² + 3t – 4 = 0;

D = З² – 4 • (–4) = 25;

t₁ = -3+52 = 1; t₂ = -3-52 = –4 – не задовольняє умову задачі t ≥ 0.

x² = 1; x1 = 1; x₂ = –1.

2) x2x+4 = 16x+4.

x² = 16,

x ≠ –4; x = 4.

Відповідь: 1) –1; 1; 2) 4.

6. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники.

x³ – 5x² + 6x = 0; x(x² – 5x + 6) = 0; x₁ = 0 або x² – 5x + 6 = 0;

D = (–5)² – 4 • 6 = 1; x₂ = 5+12 = 3; x₃ = 5-12 = 2.

Відповідь: 0; 2; 3.

7. Скоротіть дріб:

1) x2+ 2x-8x2+ 4x.

x² + 2x – 8 = 0; D = 2² – 4 • (–8) = 36;

x₁ = -2+62 = 2; x₂ = -2-62 = –4.

x2+ 2x-8x2+ 4x = x-2(x+4)x(x+4) = x-2x.

2) x2- 42x2+ 7x-22.

2x² + 7x – 22 = 0; D = 7² – 4 • 2 •(–2) = 225;

x₁ = -7+154 = 2; x₂ = -7-154 = –5,5.

x2- 42x2+ 7x-22 = x-2(x+2)2x-2(x+5,5) = x+22x+11.

8. З одного міста в інше одночасно виїхали дві велосипедистки.

Швидкість першої була на 3 км/год більшою, ніж швидкість

другої, тому до пункту призначення вона прибула на 1 год раніше, ніж друга. Знайдіть швидкість кожної з велосипедисток, якщо відстань між містами 60 км.

Велосипедист	s, км	U, км/год	t, год
І	60	x + 3	60x+3	на 1 год менше
ІІ	60	x	60x

60x – 60x+3 = 1; 60x+180-60xx(x+3) = 1; x² + 3x – 180 = 0;

D = 3² – 4 • (–180) = 729;

x₁ = -3+272 = 242 = 12 (км/год) – ІІ; 12 + 3 = 15 (км/год) – І;

х₂ = -3-272 < 0 – не має змісту, оскільки швидкість не може набувати від’ємних значень.

Відповідь: 15 км/год; 12 км/год.

9. Розв’яжіть рівняння:

1) x + 3x – 10 = 0.

x = t, де t ≥ 0. Тоді х = (x)² = t².

Маємо t² + 3t – 10 = 0; D = 3² – 4 • (–10) = 49;

t₁ = -3+72 = 2; t₂ = -3-72 = –5 – не задовольняє умову t ≥ 0.

x = 2; х = 4.

2) (х – 3)⁴ – 7(x – 3)² – 8 = 0.

(х – З)² = t, де t ≥ 0. Тоді t² – 7t – 8 = 0; D = (–7)² – 4 • (–8) = 81;

t₁ = 7+92 = 8; t₂ = 7-92 = –1 – не задовольняє вимогу, що t ≥ 0.

(х – 3)² = 8; х – 3 = ± 22; х_1,2 = 3 ± 22.

Відповідь: 1) 4; 2) 3 ± 22.

10. Розкладіть на множники многочлен:

1) x³ – 4x² – 5х = x(x² – 4х – 5).

x² – 4х – 5 = 0; D = (–4)² – 4 • (–5) = 36;

x₁ = 4+62 = 5; x₂ = 4-62 = –1.

x(x² – 4x – 5) = х(х – 5)(х + 1).

2) –12x⁴ + Зх³ – 4x² = –12x²(x² – 6х + 8).

x² – 6x + 8 = 0; D = (–6)² – 4 • 8 = 4;

х₁ = 6+22 = 4; х₂ = 6-22 = 2.

–12x²(х² – 6х + 8) = –12 х²(х – 4)(x – 2).

11. Побудуйте графік функції

y = x3- x2- 2xx2- 2x.

ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ 2.

x3- x2- 2xx2- 2x = x(x2- x- 2)x(x- 2) = x2- x- 2x- 2.

x² – x – 2 = 0; D = (–1)² – 4 • (–2) = 9;

x₁ = 1+32 = 2; x₂ = 1-32 = –1.

Отже, x2- x- 2x- 2 = x-2(x+1)x-2 = х + 1. Маємо у = х + 1, якщо x ≠ 0;

x ≠ 2. Графіком функції у = x3- x2- 2xx2- 2x є пряма у = х + 1 з «виколотими» точками (0; 1) і (2; 3).

х	–3	3
у	–2	4

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ З АЛГЕБРИ

1. Доведіть, що при додатних значеннях a і b (a ≠ b) значення дробу a2- b2a-b більше за відповідне значення дробу a2+ b2a+b.

Розглянемо різницю:

a2- b2a-b – a2+ b2a+b = a3+ ba2- ab2- b3- a3+ ba2- ab2+ b3a-b(a+b) = 2ba2- 2ab2a-b(a+b) = 2ab(a-b)a-b(a+b) = 2aba+b .

Оскільки а > 0 i b > 0, то 2aba+b > 0. Тому a2- b2a-b > a2+ b2a+b, що й треба було довести.

2. Скоротіть дріб.

m4+ m2n2+ n4m3+ n3.

m⁴ + m²n² + mn⁴ = m⁴ + 2m²n² + n⁴ – m²n² = (m² + n²)² – m²n² = (m² + n² – mn)(m² + n² + mn).

Маємо m4+ m2n2+ n4m3+ n3 = m2+ n2- mn(m2+ n2+ mn)m+n(m2- mn+ n2) = m2+ n2+ mnm+n.

3. Спростіть вираз:

1) 1x- 1y+z1x+ 1y+z • (1 + y2+ z2- x22yz) : x-y-zxyz = x(x-y-z)2.

1. 1x- 1y+z1x+ 1y+z = y+z-xx(y+z) : y+z+xx(y+z) = y+z-xy+z+x;

2. 1 + y2+ z2- x22yz = y2+ 2yz+ z2- x22yz = (y+ z)2- x22yz;

3. y+z-xy+z-xy+z+xxyzy+z+x • 2yz(x-y-z) = (x-y-z)2x2(x-y-z) = x-y-zx2.

2) m-n2m-n- m2+ n2+ m2m2+ mn- n24n4+ 4mn2+ m2 : (2n2+ m) • (n² + n + mn + m) = n+1n-2m.

1. m-n2m-n – m2+ n2+ m2m2+ mn- n2 = 2m3+ m2n-mn2- 2m2n-mn2+ n3- (2m3+ 2mn2+ 2m2- m2n- n3- nm)2m-n(2m2+ mn- n2) = 2m3+ m2n- mn2-2m2n- mn2+n3 -2m3-2mn2-2m2+ m2n+ n3+ nm(2m- n)(2m2+ mn-n2) = 2n3-4mn2+ mn-2m2(2m- n)(2m2+ mn-n2) = 2n2n-2m+ m(n-2m)(2m- n)(2m2+ mn-n2) = (n-2m)(2n2+ m)(2m- n)(2m2+ mn-n2) = –2n2+ m2m2+ mn-n2;

2. - 2n2+ m2m2+ mn-n2(2n2+m)22n2+ m • (n(n + 1) + m(n + 1)) = –(n+1)(n+ m)2m2+ mn-n2 = (n+1)(n+ m)n2- mn-2m2.

n² – mn – 2m² = 0 – розв'яжемо відносно n.

D = (–m)² – 4 • (–2m²) = 9m²;

n₁ = m+3m2 = 2m; n₂ = m-3m2 = –m.

Маємо (n+1)(n+ m)(n-2m)(n+ m) = n+1n-2m.

3) 4x+1y+1z : 1x+1y – 4y(xyz+ x+ z) = 4.

1. 4x+ 1y+1z = 4x+ 1yz+1z = 4x+ zyz+1 = 4xyz+ x+ zyz+1 = 4(yz+1)xyz+ x+ z;

2. 4(yz+1)xyz+ x+ z : 1xy+1y = 4(yz+1)xyz+ x+ z : yxy+1 = 4(yz+1)(xy+1)y(xyz+ x+ z);

3. 4(yz+1)(xy+1)y(xyz+ x+ z) – 4y(xyz+ x+ z) = 4 • xy2z+ yz+ xy+1-1y(xyz+ x+ z) = 4 • y(xyz+ x+ z)y(xyz+ x+ z) = 4.

4) ((ab- a)^–2 – (a+ b)2-4aba2- ab)² • a4 a2b2- b4 = a- ba+ b.

1. (a+ b)2-4aba2- ab = a2+ 2ab+ b2-4aba2- ab = a2- 2ab+b2 a2- ab = (a- b)2a(a- b) = a- ba;

2. ((ab- a)^–2 – a- ba)² = ((a- b)2a2 – a- ba)² = (a- ba • (a- ba – 1))² = (a- b)2a2 • (a- b- aa)² = (a- b)2a2 • b2a2 = b2(a- b)2a4;

3. b2(a- b)2a4 • a4a2b2- b4 = b2a4(a- b)2 a4b2(a- b)(a+ b) = a- ba+ b.

5) p-6- 644+2p-1+ p-2 • p24-4p-1+p-2 – 4p2(2p+1)1-2p = 1 + 2p.

1. (p-3)2- 82 4+2p-1+ p-2 • p24-4p-1+ p-2 = (p-3 -8)(p-3 + 8)p2(4+2p-1+ p-2)(4-4p-1+ p-2) = (p-1 -2)(p-2 +2p-1+4)(p-1 +2)(p-2 -2p-1+4)p2(4+2p-1+ p-2)(p-1 -2)2 = p2(p-1 +2)(p-2 -2p-1+4)1p- 2 = pp-1 +2p2(p-2 -2p-1+4)1-2p = (1+2p)(1-2p+4p2)1-2p = 1+8p31-2p;

2. 1+8p31-2p – 4p2(2p+1)1-2p = 1+8p3-8p3-4p21-2p = 1-4p21-2p = (1-2p)(1+2p)1-2p = 1 + 2p.

6) x-1-y-1 x-3- y-3 : x2y2(x+ y)2-3xy • (x2-y2 xy)^–1 = –xy(x+ y)2.

1. x-1-y-1x-3- y-3 = 1x-1y1x3+ 1y3 = y- xxyy3+x3x3y3 = y- xx3y3xy(y3 + x3) = y- xx2y2y3+ x3;

2. x2y2(x+ y)2-3xy = x2y2x2+ 2xy+ y2-3xy = x2y2x2-xy+ y2;

3. (y- x)x2y2y3+ x3 : x2y2x2- xy+ y2 • (x2-y2xy)^–1 = (y- x)x2y2(x2 - xy+ y2)y+ xx2 - xy+ y2 • x2y2 • xy(x- y)(x+ y) = –xy(x+ y)2.

4. Доведіть тотожність:

1) (x2 -1y2)x • (y+ 1x)y-x(y2 -1x2)y • (x-1y)x-y = (x2y2-1y2)x • (xy+1x)y-x (x2y2-1x2)y • (xy-1y)x-y = (x2y2-1)xy2x • (xy+1)y-xxy-x(x2y2-1)yx2y • (xy-1)x-yxx-y = (xy-1)x(xy+1)x(xy+1)y-x • x2y • yx-y(xy-1)y(xy+1)y(xy-1)x-y • y2x • xy-x = (xy-1)x(xy+1)yx2y-(y-x)yx-y-2x(xy-1)x(xy+1)y = x^y+zy^x–y = xx+yyx+y = (xy)^x+y, що й треба було довести.

2) (1 + b2+c2 -a22bc) : ((1a + 1b+c) : (1a – 1b+ c)).

1. 1 + b2+ c2-a22bc = b2+ 2bc+c2 -a22bc = (b+ c)2-a2 2bc;

2. (1a + 1b+ c) : (1a – 1b+ c) = a+ b+ ca(b+ c) : b+ c- aa(b+ c) = a+ b+ cb+ c- a;

3. (b+ c- a)(b+ c+ a)2bc : a+ b+ cb+ c- a = (b+ c- a)(b+ c+ a)(b+ c- a)2bc(a+ b+ c) = (b+ c- a)22bc, що й треба було довести.

3) (x- y)2+ xy(x+ y)2- xy : x5+ y5+ x2y3+x3y2(x3 + y3+ x2y+ xy2)(x3 - y3) = x2 -2xy+y2+ xy x2+2xy+ y2-xy • (x2x+ y+y2x+ y)(x- y)(x2+xy+y2) x2x3+y3+ y2(x3+y3) = (x2-xy+y2)(x+ y)(x2+y2)(x- y)(x2+xy+y2) (x2+xy+ y2)(x2+y2)(x3+y3) = (x- y)(x3+y3)x3+y3 = x – y, що й треба було довести.

4) (2- yy-1 + 2(x-1)x-2) : (y(x-1)y-1 + x(2- y)x-2).

1. 2- yy-1 + 2(x-1)x-2 = 2x- xy-4+2y+2xy-2x-2y+2(y-1)(x-2) = xy-2(y-1)(x-2);

2. y(x-1)y-1 + x(2- y)x-2 = yx2-3x+2+ x(3y-2- y2)(y-1)(x-2) = yx2-3xy+2y+3xy-2x- xy2(y-1)(x-2) = yx2+2y-2x- xy2(y-1)(x-2) = xyx- y-2(x- y)(y-1)(x-2) = (x- y)(xy-2)(y-1)(x-2);

3. xy-2(y-1)(x-2) : (x- y)(xy-2)(y-1)(x-2) = (xy-2)(y-1)(x-2)(y-1)(x-2)(x- y)(xy-2) = 1x- y, що й треба було довести.

5. Доведіть одну з тотожностей видатного математика Л. Ейлера (1707–1783):

(a(a3+2b3)a3-b3)³ – (b(2a3+ b3)a3-b3)³ = a3(a3+2b3)3-b3(2a3+b3)3(a3-b3)3 = a3a9+3a6 • 2b3+3a3 • 4b6+8b9-b3(8a9+3 • 4a6b3+3 • 2a3b6+b9(a3-b3)3 = a12+6a9b3+12a6b6+8a3b9-8b3a9-12b6a6-6a3b9-b12(a3-b3)3 = a12-b12+6a9b3-6a3b9+(8a3b9-8b3a9)(a3-b3)3 = a6-b6a6+b6+6a3b3a6-b6-8a3b3(a6-b6)(a3-b3)3 = (a6-b6)(a6+b6+6a3b3-8a3b3)(a3-b3)3 = (a3-b3)(a3+b3)(a6-2a3b3+b6)(a3-b3)3 = (a3-b3)(a3+b3)(a3-b3)2(a3-b3)3 = (a3-b3)3(a3+b3)(a3-b3)3 = a³ + b³, що треба було довести.

6. Доведіть, що значення виразу є від’ємним при будь–якому значенні a > 1.

11- a + 11+ a + 21+ a2 + 41+ a4 + 81+ a8 = 1+ a+1- a(1- a)(1+ a) + 21+ a2 + 41+ a4 + 81+a8 = 21-a2 + 21+ a2 + 41+a4 + 81+a8 = 2+2a2+2-2a21-a2(1+ a2) + 41+ a4 + 81+ a8 = 41- a4 + 41+ a4 + 81+ a8 = 4+4a4+ 4-4a41- a4(1+ a4) + 81+ a8 = 81- a8 + 81+ a8 = 8+8a8+ 8-8a81- a81+ a8 = 161- a16.

Якщо а > 1, то 1 – а¹⁶ < 0, тому 161- a16 < 0, що й треба було довести.

7. Доведіть, що коли x + у = 1, то xy3- 1 – yx3- 1 =2(y-x)x3y3+ 3.

Перетворюючи ліву частину, намагатимемося одержати суму х + у, замінивши її потім на 1.

xy3- 1 – yx3- 1 = x4- x- y4+ yy3-1(x3- 1) = x4- y4- (x-y)x3y3- x3+ y3+ 1 = x-yx+yx2+ y2- (x-y)x3y3- x+yx2-xy+ y2+ 1 = x-y(x2+ y2- 1)x3y3- (x+y)2- 3xy+ 1 = x-y((x+y)2- 2xy-1)x3y3- 1+3xy+1 = x-y • (-2xy)x3y3+ 3xy = 2xy(y-x)xy(x3y3+ 3) = 2(y-x)x3y3+ 3.

8. Доведіть, що коли для чисел х, у, z, m, n, p справджуються рівності xm + yn + zp = 1 і mx + ny + pz = 0, то для них справджується і рівність x2m2 + y2n2 + z2p2 = 1.

Піднесемо рівність xm + yn + zp = 1 до квадрата.

(xm + yn + xp)² = 1; x2m2 + y2n2 + z2p2 + 2 • (xm • yn + xm •zp + yn • zp) = 1;

x2m2 + y2n2 + z2p2 + 2 • xyp+xzn+myzmnp = 1 (*).

За умови mx + ny + pz = 0 маємо myz+nxz+xypxyp = 0;

myz + nxz + xyp = 0. Підставимо у рівність (*).

Маємо x2m2 + y2n2 + z2p2 + 2 • 0 = 1; x2m2 + y2n2 + z2p2 = 1, що й треба було довести.

9. Доведіть, що коли a + 1b = b + 1c = с + 1а, то a²b²c² = 1 або

a = b = c.

За умови a + 1b = b + 1c маємо a – b = 1c – 1b; a – b = b-cbc. Аналогічно матимемо b – c = c-aac; c – a = a-bab.

Перемножимо почленно три утворені рівності.

Маємо (a – b)(b – c)(c – a) = b-cc-a(a-b)a2b2c2;

(a – b)(b – c)(c – a)(1 – 1a2b2c2) = 0;

І можливічть. Тоді з рівності a + 1b = b + 1c маємо b + 1b = b + 1c;

1b = 1c; b = c. Отже, a = b = c.

Аналогічно розглядаємо b = c i mc = a.

ІІ можливість. 1 – 1a2b2c2 = 0; a²b²c² = 1. Отже, a = b = c або

a²b²c² = 1, що й треба було довести.

10. Розв’яжіть відносно змінної х рівняння:

1) x-2x-a = 0.

x – 2 = 0, x = 2,

x – a ≠ 0; x ≠ a.

1) Якщо а = 2, то рівняння не має розв’язків;

2) якщо а ≠ 2, то х = 2.

2) x-ax2- 1 = 0.

x – a = 0, x = a,

x² – 1 ≠ 0; x ≠ 1,

x ≠ – 1.

1) Якщо а = 1 або а = –1, рівняння не має розв’язків;

2) якщо а ≠ 1; а ≠ –1, то х = а.

3) (а – 2)х = а² – 4.

1) Якщо a = 2, маємо 0x = 0; х — будь–яке число;

2) якщо а ≠ 2, то х = a2- 4a-2; х = а + 2.

4) (а² – 1)х = а² – 2а + 1; (а – 1)(а + 1)х = (а – 1)².

1) Якщо a = 1, то 0x = 0; х — будь–яке число;

2) якщо а = –1, то 0x = 4; немає розв’язків;

3) якщо а ≠ 1; а ≠ –1, то х = (a-1)2a-1(a+1); x = a-1a+1.

Відповідь: 1) Якщо а = 2, то рівняння не має розв’язків; якщо а ≠ 2, то х = 2; 2) якщо а = 1 або а = –1, то рівняння не має розв’язків; якщо a ≠ 1, a ≠ –1, то х = a; 3) якщо а = 2, то х – будь–яке число; якщо а ≠ 2, то х = а + 2; 4) якщо а = 1, то x — будь–яке число; якщо а = –1, то рівняння не має розв’язкiв; якщо а ≠ 1; а ≠ –1, то

х = a-1a+1.

11. Розв’яжіть відносно змінної х рівняння:

1) xa – a2x = 2x+a2a – ax; 2x2- a22ax = 2x2+ ax-2a22ax.

2x² – a² = 2x² + ax – 2a², ax = a²,

2ax ≠ 0; ax ≠ 0.

Якщо а = 0, то рівняння не має змісту; якщо а ≠ 0, то маємо х = а. При цьому умова х ≠ 0 виконується.

2) 1+x1-x = ab.

Якщо b = 0, то рівняння не має змісту. Маємо 1(1 + х)b = а(1 – х),

х ≠ 1.

З першого рівняння маємо b + xb = а – ах; х(а + b) = а – b.

1) Якщо а = –b, то маємо 0x = –2b. Оскільки b ≠ 0, то рівняння не має розв’язків.

2) Якщо a ≠ –b, то маємо x = a-ba+b. Треба перевірити виконання умови x ≠ 1. a-ba+b = 1; a – b = a + b; b = 0 – умова виконується.

3) x-aa – xx-a = x+aa.

При а = 0 рівняння не має змісту.

x-aa – x+aa = xx-a; x-a-x-aa = xx-a; -2aa = xx-a; xx-a = –2.

x = –2x + 2a, 3x = a, x = 2a3,

x ≠ a; x ≠ a; x ≠ a.

Перевіримо виконання умови х ≠ а. Маємо 2a3 = a; а = 0. Умова

а ≠ 0 виконується.

4) 3x-a + 2x+a = 4x+7ax2- a2; 3x+a+ 2(x-a)x-a(x+a) = 4a+7ax-a(x+a).

3x + 3a + 2x – 2a = 4x + 7a, x = 6a,

x ≠ a, x ≠ a,

x ≠ –a, x ≠ –a.

Перевіримо виконання умов х ≠ а; х ≠ –а. Ці умови виконуються, якщо а ≠ 0.

Отже, якщо а = 0, то рівняння не має розв’язків; якщо a ≠ 0, то х = 6а.

Відповідь: 1) Якщо а ≠ 0, то маємо х = а; 2) якщо b ≠ 0 і а = –b, то рівняння не має розв’язків; якщо b ≠ 0 і а ≠ –b, то х = a-ba+b; 3) якщо

a ≠ 0, то х = 2a3; 4) якщо а = 0, то рівняння не має розв’язків; якщо

а ≠ 0, то х = 6а.

12. Порядок числа а дорівнює –3, а порядок числа b дорівнює 5. Яким може бути порядок числа:

10^–3 ≠ а < 10^–2; 10⁵ ≠ b < 10⁶.

1) с = ab. Найменше значення с 10²; найбільшого не існує с < 10⁴. Порядок числа с може бути 2 або З.

2) d = ab. Найменшого значення d не існує d > 10^–3 : 10⁶; d > 10^–9. Найбільшого значення d не існує d < 10^–2 : 10⁵; d < 10^–7. Тому порядок числа d – 8 або –9.

3) m = ba. Найменшого m не існує. m > 10⁵ : 10^–2; m > 10⁷. Найбільшого m не існує. m < 10⁶ : 10^–3; m < 10⁹. Тому порядок числа m 7 або 8.

4) n = a + b. Найменше значення n = 10^–3 + 10⁵ = 100000,001 = 1,00000001 • 10⁵. Найбільшого n не існує n < 10^–2 + 10⁶;

n < 1,00000001 • 10⁶. Порядок числа n 5 або 6.

Відповідь: 1) 2 або 3; 2) –8 або –9; 3) 7 або 8; 4) 5 або 6.

13. Розв’яжіть відносно змінної x рівняння:

1. x= a + 3.

1) Якщо а + 3 ≥ 0, тобто а ≥ –3, то х = (а + З)².

2) Якщо a + 3 < 0, тобто а < –3, то рівняння не має розв’язків.

2. ax = а.

1) Якщо а = 0, то ax = 0, тоді х ≥ 0.

2) Якщо а ≠ 0, то x= 1; х = 1.

3. (а + 3)x+2 = а² – 9.

1) Якщо а = –3, то 0x+2 = 0; х ≥ –2.

2) Якщо а ≠ –3, то x+2= a2- 9a+3; x+2 = а – 3.

Далі, якщо а ≥ 3, то x + 2 = (а – З)²;

х = a² – 6а + 9 – 2; х = а² – 6а + 7.

Якщо ж а < –3, то рівняння не має розв’язків.

Відповідь: 1) Якщо а < –3, то рівняння не має розв’язків; якщо

а ≥ –3, то х = (а + З)²; 2) якщо а = 0, то х ≥ 0; якщо а ≠ 0, то х = 1; 3) якщо а = –3, то х ≥ –2; якщо а < –3 або –3 < а < 3, то рівняння не має розв’язків; якщо а ≥ 3, то х = а² – 6а + 7.

14. Укажіть ціле число, що є найближчим до кореня рівняння:

1) (52 – 33)x + 4 = 0; x = –452- 33.

–452- 33 = –4(52+ 33)52- 33(52+ 23) = –4(52+ 33)23.

Оскільки 2 ≈ 1,4; 3 ≈ 1,7, то маємо х ≈ –4(5 • 1,4+3 • 1,7)23 = –2,10…; х ≈ –2.

2) (52 + 75)x = 13 + 23; x = 13+2352+ 75.

13+2352+ 75 = 13+23(52- 75)52+ 75(52- 75) = 652+ 106- 915- 141525 • 2-49 • 5 = 915+ 1415- 652- 106195.

5 ≈ 2,2; 15 ≈ 3,9; 2 ≈ 1,4; 6 ≈ 2,4.

x ≈ 91 • 2,2+14 • 3,9-65 • 1,4-10 • 2,4195 = 0,71…; x ≈ 1.

Відповідь: 1) –2; 2) 1.

15. Знайдіть значення виразу:

1) 3 - 13-43 = 3 - (23)2-2 •23+ 12 = 3-(23-1)2 = 3-|23- 1| = 3-23+ 1 = 4-23 = (3)2-23+ 12 = (3- 1)2 = |3 – 1| = 3 – 1.

2) 6- 6- 25-46 =6 - 6- (26)2- 2 • 26+ 1 =6 - 6+ (26- 1)2 = 6- 6-|26- 1| = 6-6-26+1 = 6-(6- 1)2 = 6-|6- 1| = 6- 6+ 1 = 1 = 1.

3) |303- 52| –52+303 = 52-303 – 52+303 = 52- 2 • 5 • 33+ 3 (33)2 –52+ 2 • 5 • 33+ (33)2 = (5-33)2 – (5+33)2 = |5 – 33| – |5 + 33| = 33 – 5 – 5 – 33 = –10.

16. Спростіть вираз:

1) x+2x-1 + x-2x-1 = x-1+2x-1+ 1 + x-1-2x-1+ 1 = (x-1+ 1)2+ (x-1- 1)2 = |x-1 + 1| + |x-1 – 1|.

Якщо 1 ≤ x ≤ 2, то 0 ≤ x-1 ≤ 1, а тому |x-1 – 1| = –(x-1 – 1) = 1 – x-1.

Маємо x-1 + 1 + 1 – x-1 = 2.

2) 10+ 24- 40+ 60 = 2+3+5+26+ 210+ 25 = (2+ 3+ 5)2 = |2 + 3 + 5| = 2 + 3 + 5.

17. Обчисліть:

1) 5+ 33- 5+ 355- 33- 5- 35 = 5+ 15- 15- 3355- 15+ 15- 335 = 215215 = 1.

2) (3 + 2 + 1)(3 + 2 – 1)(3 + 1 – 2)(1 + 2 – 3) = ((2 + 1) + 3)((2 + 1) – 3)(3 + (2 – 1))(3 – (2 – 1)) = ((2 + 1)² – (3)²)((3)² – (2 – 1)²) = (2 + 22 + 1 – 3)(3 – (2 – 22 + 1)) = 22 • 22 = 44 = 8.

18. Побудуйте графік функції:

1) y = 4x – x2; y = 4x – |x|.

a) Якщо х ≥ 0, то у = 4х – х; у = 3х.

х	0	1
у	0	3

б) Якщо х < 0, то y = 4x + x; y = 5x.

х	–2	–1
у	–10	–5

2) y = x2- 2x+1 – x; y = (x-1)2 – x;

y = |x – 1| – x.

а) Якщо х ≥ 1, то |x – 1| = x – 1;

y = x – 1 – x; y = –1.

б) Якщо х < 1, то |x – 1| = –(x – 1);

y = –x + 1 – x; y = –x + 1 – x; y = 1 – 2x.

x	–2	0
y	5	1

19. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

1) 32- 2332+ 23 = 32- 23 32+ 23(32+ 23)2 = 9 • 2-4 • 332+ 23 = 6(32- 23)32+ 23(32- 23) = 3 • 2 • 3- 2 • 3 • 26 = 6(3- 2)6 = 3 – 2.

2) (1+ 3)2- 77+ 3+ 1 = ((1+ 3)2- 7)(1+ 3- 7)1+ 3+ 71+ 3- 7 = ((1+ 3)2- 7)(1+ 3- 7)(1+ 3)2- (7)2 = 1 + 3 – 7.

3) 22+ 6+42 = 22+ 4+2 • 22+ (2)2 = 22+ (2+ 2)2 = 22+|2+ 2| = 22+22 = 22(1+ 2) = (2- 1)2+ 1(2- 1) = 2 – 1.

4) 2+ 36- 3+ 2- 1 = 2+ 332- 1+ 1(2- 1) = 2+ 32- 1(3+ 1) = 2+ 32+ 1(3- 1)2- 12+ 13+ 1(3- 1) = 2+ 1(23+ 3-2- 3)2-1(3-1) = 2+ 1(3+ 1)2.

20. Чи є взаємнооберненими числа:

Оскільки 5+ 25- 2 = 5+ 2(5- 2)(5- 2)2 = 5-25-210+ 2 = 37-210, то числа, задані в умові, – взаємно обернені.

21. Спростіть вираз:

1) (x+ y)2- 4yx-y : (1y+ 3x) : x+9y+6xy1y+ 1x = x+2xy+ y-4yx-y : x+ 3yxy : (x)2+ 2x • 3y+ (3y)2x+ yxy = x+2xy- 3yx-y • xyx+ 3y : (x+ 3y)2xyx+ y.

Оскільки x + 2xy – 3y = x + 3xy – xy – 3y = x(x + 3y) – y(x + 3y) = (x + 3y)(x – y), то маємо

x+ 3yx- yx+ 3y(x+ y)x-yxy • (x+ 3y)2xy = 1xy.

2) 21+ 14(1a1- a)21+ 14(1a- a)2- 12(1a- a) = 1+aa.

1. 1+ 14(1a- a)2= 1+ 14(1a- 2+a) = 14(4+ 1a- 2+a) = 1212+ 2+a = 12(1a+ a)2= 12|1a + a| = 12(1a + a).

2. 2 • 12(1a+ a)121a+ a- 12(1a- a) = 1a + aa = a(1a + a)a • a = 1+aa.

22. Спростіть вираз:

1) (x2+ xx2- y2- x2- xx2- y2)22x3y : (xy + yx – 2) = (x+ y)2x-y.

1) (x2+ xx2- y2 – x2- xx2- y2)² = x² + xx2-y2 – 2x2+ xx2- y2)(x2- xx2- y2) + x² – xx2- y2 = 2x² – 2x4- x4+ x2y2 = 2x² – 2x2y2 = 2x² – 2|x||y| = 2x² – 2xy.

2. xy + yx – 2 = xy + yx – 2 = x-2xy+ yxy = (x- y)2xy.

3. 2x2- 2xy2x3y : (x- y)2xy = 2xx-y • xy2xxy(x- y)2 = x-y(x- y)2 = x- y(x+ y)(x- y)2 = x+ yx- y = (x+ y)2x-y.

2) (b-ab+a+ b-a + b-ab2- a2+ a+b) : b2a2- 1 = 1.

1. b-ab2- a2+ a-b = b-ab-ab+a- (b-a)2 = (b-a)2b-a(b+a- b-a) = b-ab+a- b-a.

2. b-ab+a+ b-a + b-ab+a- b-a= b-a • b+a- b-a+ b+a+ b-ab+a+ b-a(b+a- b-a) = b-a • 2b+ab+a-(b-a) = 2b2- a22a = b2- a2a.

3. b2- a2a : b2- a2a2 = b2- a2a : b2- a2|a| = 1.

23. Спростіть вираз:

1) A = (a+2)2- 8aa- 2a = aa2- 4a+4a-2 = a(a-2)2a-2 = a|a-2|a-2.

1) Якщо а > 2, то |a – 2| = a – 2 i A = a(a-2)a-2 = a.

2) Якщо 0 < a < 2, то |a – 2| = –(a – 2) i A = -a(a-2)a-2 = –a.

Відповідь: –a,якщо 0 < a < 2; a, якщо a > 2.

2) A = x2+ 4x(x2- 42x)2+ 4.

(x2- 42x)2+ 4 = x4- 8x2+ 16+16x24x2 = x4+ 8x2+ 164x2 = (x2+ 4)22|x| = |x2+ 4|2|x| = x2+ 42|x|.

Тоді А = х2+ 4х • х2+ 42|x| = 2|x|x = 2, якщо x > 0,

–2, якщо x < 0.

Відповідь: –2, якщо х < 0; 2, якщо х > 0.

24. Доведіть тотожність:

1) (1 + 1- x2 + x21- x2) : (11- x2 + 11- x2).

Позначимо 1- x2 = t, тоді 1 – x² = t²; x² = 1 – t².

Маємо (1 + t + 1- t2t) : (1t2 + 1t) = t+ t2+ 1- t2t : 1+tt2 = (1+t)t2t(1+t) = t = 1- x2, що й треба було довести.

2) a- ba+ b + a2- abba- b – a+ ba- b + 4aba2- b = (a- b)2+ aa+ ba- b- (a- b)2+ 4aba+ b(a- b) = a2- 2ab+ b+ a3- ab- a3- 2ab- b+4aba2-b = a3- aba2- b = a(a2- b)a2- b = a, що й треба було довести.

25. Відомо, що 3-x + 5+x = 3. Незнаходячи значення х, знайдіть значення виразу 3-x(5+x).

Піднесемо ліву і праву частини рівності 3-x + 5+x = 3 до квадрата. Маємо 3 – x + 23-x(5+x) + 5 + x = 9; 23-x(5+x) = 1; 3-x(5+x) = 12.

Відповідь: 12.

26. Відомо, що 24- x2 – 12- x2 = 2. Незнаходячи значення х, знайдіть значення виразу 24- x2 + 12- x2.

Нехай 24- x2 + 12- x2 = y.

Маємо: 24- x2 – 12- x2 = 2,

24- x2 + 12- x2 = y,

Почленно перемножимо рівності

(24- x2)² – (12- x2)² = 2y; 24 – x² – (12 – x²) = 2y;

12 = 2y; y = 6.

Відповідь: 6.

27. Відомо, що x + y = 5, х у = 9. Не знаходячи значень х і у, знайдіть:

За умовою x + y = 5; xy = 9.

1) x + y = (x + y)² – 2xy = 5² – 2 • 9 = 25 – 6 = 19.

2) xx + yy = (x)³ + (y)³ = (x + y)(x – xy + y) = 5(19 – 9) = 5(19 – 3) = 80.

3) x² + y² = (x + y)² – 2xy = 19² – 2 • 9 = 343.

28. Для якого значення а має лише один корінь рівняння:

1) (a + 4)x² – (a + 5)x + 1 = 0.

а) Якщо a = –4, то маємо – x + 1 = 0; x = 1 — єдиний корінь, a = –4 — задовольняє умову,

б) Якщо а ≠ –4, то необхідно вимагати: D = 0. D = (а + 5)² – 4(а + 1) = а² + 10a + 25 – 4а – 16 = а² + 6а + 9 = (а + З)². D = 0, якщо а = –3.

2) (а – 4)x² + (2а – 8)х + 15 = 0.

а) Якщо a = 4, то маємо 0x = –15; немає розв’язків, а = 4 — не задовольняє умову.

б) Якщо а ≠ 4, то D = (2(а – 4))² – 60(а – 4) = (а – 4)(4(а – 4) – 60) = (а – 4)(4а – 76). Враховуючи, що a ≠ 4, виконання умови D = 0

задовольняє лише а = 19.

Відповідь: 1) –4; –3; 2) 19.

29. Розв’яжіть рівняння:

1) 2(a – 1)x² + (а + 1)x + 1 = 0.

1) Якщо а = 1, то маємо 2х + 1 = 0; 2х = –1; х = –12.

2) Якщо а ≠ 1, то D = (а + 1)² – 4 • 2(a – 1) = а² + 2а + 1 – 8а + 8 = а² – 6а + 9 = (а – З)².

x₁ = -a+1+ (a-3)4(a-1) = –44(a-1) = 11-a;

x₂ = -a+1- (a-3)4(a-1) = -2a+24(a-1) = -2(a-1)4(a-1) = –12.

2) (a + 1)x² – (a – 1)x – 2a = 0.

1) Якщо а = –1, то маємо 2х + 2 = 0; х = –1.

2) Якщо а ≠ –1, то D = (а – 1)² – 4 • (–2а) • (а + 1) = а² – 2а + 1 + 8а² + 8а = 9а² + 6а + 1 = (За + 1)².

x₁ = a-1+ 3a+12(a+1) = 42(a+1) = 2aa+1;

x₂ = a-1- (3a+1)2(a+1) = -2a-22(a+1) = -2(a+1)2(a+1) = –1.

Відповідь: 1) Якщо а = 1, то х = –12; якщо а ≠ 1, то х₁ = 11-a;

х₂ = –12; 2) якщо а = 1, то х = –1; якщо а ≠ –1, то х₁ = 2aa+1;

х₂ = –1.

30. Знайдіть корені рівняння:

1) x2+ x + x2- 2x-3 = 0.

Оскільки x2+ x ≥ 0 і x2- 2x-3 ≥ 0, то рівняння рівносильне симтемі х² + х = 0,

х² – 2х – 3 = 0.

З х² + х = 0 маємо х(х + 1) = 0; х₁ = 0; х₂ = –1. Лише другий корінь задовольняє умову х² – 2х – 3 = 0. А тому х = –1 — єдиний корінь початкового рівняння.

2) х² – 4х + 4 + |х² + 2х – 8| = 0; (х – 2)² + |х² + 2х – 8| =0.

Оскільки (х – 2)² ≥ 0 і |х² + 2х – 8| ≥ 0, то рівняння рівносильне системі (х – 2)² = 0,

х² + 2х – 8 = 0.

Корінь рівняння (х – 2)² = 0 є число 2, яке задовольняє умову

х² + 2х – 8 = 0. Отже, х = 2 — єдиний корінь початкового рівняння.

3) |х – х – 6| + х2- 4х = 0.

Рівняння рівносильне системі х – х – 6 = 0,

х² – 4х = 0.

З другого рівняння маємо х(х – 4) = 0; х₁ = 0; х₂ = 4. Проте жоден із цих коренів не задовольняє умову х – х – 6 = 0. Отже, початкове рівняння не має розв’язків.

Відповідь: 1) –1; 2) 2; 3) рівняння не має розв’язків.

31. Доведіть, що число 3 не може бути дискримінантом квадратного рівняння ах² + bх + с = 0, якими б не були цілі числа а, b, с.

1) ах² + bх + с = 0; D = b² – 4ас; а, b, с — цілі числа.

2) Припустимо, що b² – 4ас = 3. Тоді b² = 4ас + 3. Оскільки а і с — цілі числа, то 4ас + 3 — непарне число. Тому b² — непарне число, а тому b = 2k + 1, де k ∈ Z. Маємо (2k + 1)² = 4ас + 3; 4k² + 4k + 1 = 4ас + 3; 4k² + 4k – 4ас = 2; 2(k² + k – ас) = 1.

Оскільки k, а, с — цілі числа, то остання рівність неможлива.

3) Наше припущення неправильне. Отже, D ≠ 3, що й треба було довести.

32. Для якого значення а сума квадратів коренів рівняння x² – (а + 2)х + а – 3 = 0 буде найменшою?

x² – (a + 2)x + a – 3 = 0.

Нехай x₁ і x₂ — корені рівняння, тоді за теоремою Вієта x₁ + x₂ = а + 2; x₁x₂ = а – 3.

Маємо x12 + x22 = (x₁ + х₂)² – 2x₁x₂ = (а + 2)² – 2(a – 3) = а² + 4а + 4 – 2а + 6 = а² + 2а + 10 = а² + 2а + 1 + 9 = (а + 1)² + 9.

При а = –1 вираз (а + 1)² + 9 набуває найменшого значення.

Відповідь: –1.

33. Для якого значення b сума квадратів коренів рівняння x² + (b + 1)х + b² – 1,5 = 0 буде найбільшою?

х² + (b + 1)х + b² – 1,5 = 0.

Нехай x₁ і х₂ — корені рівняння, тоді за теоремою Вієта x₁ + х₂ = –(b + 1); x₁x₂ = b² – 1,5.

Маємо x12 + x22 = (x₁ + х₂)² – 2x₁x₂ = (b + 1)² – 2(b² – 1,5) = b² + 2b + 1 – 2b² + 3 = –b² + 2b + 4 = –(b² – 2b + 1 – 1 – 4) = –((b – 1)² – 5) = 5 – (b – 1)². При b = 1 вираз 5 – (b – 1)² набуває найбільшого значення.

Відповідь: 1.

34. Корені x₁ і x₂ рівняння x² + a-4 • x – 5 = 0 задовольняють умову 1x12 + 1x22 = 1825. Знайдіть а.

x² + a-4 • x – 5 = 0.

Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння. Тоді за тьеоремою Вієта х₁ + х₂ = –а-4; х₁х₂ = –5.

Маємо 1х12 + 1х22 = х12+ х22(х1х2)2 = (x1+ x2)2- 2x1x2(x1x2)2 = а-4-2 • (-5)(-5)2 = а-4+1025 = а+625.

За умовою а+625 = 1825; а = 12.

Відповідь: 12.

35. Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння 2х² + 7x – 1 = 0. Складіть

квадратне рівняння, коренями якого є числа:

Оскільки х₁ і х₂ – корені рівняння 2х² + 7х – 1 = 0, то за теоремою Вієта х₁ + х₂ = –72; х₁х₂ = –12.

1) Нехай у₁ = 1x1 і у₂ = 1x2 – корені рівняння x² + px + q = 0.

Тоді р = –(у₁ + у₂) = –(1x1 + 1x2) = x1+ x2x1x2 = –-72-12 = –7;

q = y₁y₂ = 1x1 • 1x2 = 1x1x2 = 1-12 = –2.

x² – 7x – 2 = 0 – шукане рівняння.

2) Нехай у₁ = x1x2 – 3 і у₂ = x2x1 – 3 – корені рівняння х² + рх + q = 0.

Тоді p = –(y₁ + y₂) = (x1x2 – 3 + x2x1 – 3) – (x12+x22x1x2 – 6) = 6 – (x1+ x2)2-2x1x2x1x2 = 6 + 2 • 1314 = 3212.

q = y₁y₂ = (x1x2 – 3)( x2x1 – 3) = 1 – 3 • (x1x2 + x2x1) + 9 = 10 – 3 • (x1+ x2)2-2x1x2x1x2 = 10 – 3 • (-72)2-2 • (-12) -12 = 10 + 6 • 1314 = 8912.

x² + 32,5x + 89,5 = 0; 2x² + 65x + 179 = 0 – шукане рівняння.

3) Нехай y₁ = x₁х23 і y₂ = х₂х13 – корені рівняння x² + рх + q = 0.

Тоді p + –(y₁ + y₂) = –(x₁x23+ x₂x13) = –x₁x₂(x12 + x22) = –x₁x₂((x₁ + x₂)² – 2x₁x₂) = –(–12)((– 72)² – 2 • (–12)) = 12 • 1314 = 658;

q = y₁y₂ = x₁x23 • x₂x13 = (x₁x₂)⁴ = (–12)⁴ = 116.

x² + 658x + 116 = 0; 16x² + 106x + 1 = 0 – шукане рівняння.

Відповідь: 1) x² – 7x – 2 = 0; 2) 2x² + 65x + 179 = 0;

3) 16x² + 106x + 1 = 0.

36. Доведіть, що коли a, b і с – сторони трикутника, то рівняння

b²x² + (b² + с² – а²)х + с² = 0 не має коренів.

b²x² + (b² + c² – а²)x + c² = 0.

D = (b² + c² – а²)² – 4b²c² = (b² + c² – а²)² – (2bc)² = (b² + c² – а² – 2bc)(b² + c² – а² + 2bc) = ((b – c)² – а²)((b + c)² – а)² = (b – c – а)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a).

Оскільки a, b, c – сторони трикутника, то b < с + а, а тому

b – с – а < 0; а + b > c, тому b – c + a > 0 і b + c > a, а тому

b + c – a > 0. Зрозуміло, що b + c + a > 0.

Отже, D < 0, рівняння немає розв'язків, що й треба було довести.

37. Доведіть, що модуль різниці коренів рівняння 5x² – 2(5а + 3)х + 5а²+ 6а + 1 = 0 не залежить від значення а.

|x1 – x2| = (x1-x2)2 = x12-2x1x2+ x22 = (x1+x2)2-4x1x2.

За теоремою Вієта x₁ + x₂ = 2(5а+3)5; x₁x₂ = 5а2+6а+15.

Тоді |x₁ – x₂| = (25(5a+3))2-4(5a2+6a+1)5 = 425a2+30a+9-20(5a2+6a+1)25 = 100а2+120а+36-100а2-120а-2025 = 165 = 45, не залежить від а.

38. Розв'яжіть рівняння:

1) x³ – 7x + 6 = 0; x³ – x – 6x + 6 = 0; х(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0; (x – 1)(x² + x – 6) = 0; x – 1 = 0 або x² + x – 6 = 0;

x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = –3.

2) x³ – 6x² + 5 = 0; x³ – x² – 5x² + 5 = 0; x²(x – 1) – 5(x – 1)(x + 1) = 0; (x – 1)(x² – 5x – 5) = 0; x – 1 = 0 або x² – 5x – 5 = 0;

x₁ = 1; x_2,3 = 5± 352.

3) x³ – 5x² + 6 = 0; x³ + x² – 6x² + 6 = 0; x²(x + 1) – 6(x – 1)(x + 1) = 0; (x + 1)(x² – 6x + 6) = 0; x + 1 = 0 або x² – 6x + 6 = 0;

x₁ = –1. x_2,3 = 6± 232 = 3 ± 3;

4) x4 – 2x³ – 3x² – 4x + 1 = 0; (x⁴ – 2x³ + x²) – (4x² + 4x + 1 = 0;

(x² – x)² – (2x + 1)² = 0; (x² – x + 2x + 1)(x² – x – 2x – 1) = 0;

(x² + x + 1)(x² – 3х – 1) = 0;

x² + x + 1 = 0 або x² – 3х – 1 = 0;

D = 1² – 4 < 0; D = (–3)² – 4 • (–1) = 13;

немає розв'язків. x_1,2 = 3± 132.

Відповідь: 1) 1; 2; –3; 2) 1; 5± 352; 3) –1; 3 ± 3; 4) 3± 132.

39. Розв’яжіть відносно х рівняння:

1) (а² + а – 2)x = a – 1.

а) а² + а – 2 = 0; а₁ = 1; а₂ = –2.

Якщо а = 1, то маємо 0x = 0; x – будь–яке число.

Якщо а = –2, то маємо 0x = –3; немає розв'язків.

б) а² + а – 2 ≠ 0; а ≠ 1; а ≠ –2.

х = а-1а2+ а-2; х = а-1(а-1)(а+2); х = 1а+2.

2) x2-5x+4x-а = 0.

x² – 5x + 4 = 0,

x ≠ a. Розв'язками першого рівняння є x = 1; x = 4.

а) Якщо а = 1, то x = 4.

б) Якщо а = 4, то x = 1.

в) Якщо а ≠ 1, а ≠ 4, то x₁ = 1; x₂ = 4.

Відповідь: Якщо а = 1, то x = 4; якщо а = 4, то x = 1; якщо а ≠ 1,

а ≠ 4, то x₁ = 1, x₂ = 4.

3) x-аx2-4x+3 = 0.

x – а = 0, x = a,

x² – 4x + 3 ≠ 0; x ≠ 1,

x ≠ 3.

Якщо а = 1 або a = 3, рівняння не має розв'язків, якщо а ≠ 1, а ≠ 3, то x = a.

Відповідь: Якщо а = 1 або a = 3, рівняння немає розв'язків, якщо

а ≠ 1, а ≠ 3, то x = a.

4) x2-3а+4x+12аx-3 = 0.

x² – (3a + 4)x + 12а = 0,

x ≠ 3.

D = (3a + 4)² – 4 • 12а = 9а² + 24a + 16 – 48а = 9а² – 24а + 16 = (3a – 4)²;

х₁ = 3а+4+3а-42 = 3а; х₂ = 3а+4-(3а-4)2 = 4.

Якщо 3a = 3, тобто а = 1, то x = 4; якщо а ≠ 1, то x₁ = 3а; x₂ = 4.

Відповідь: Якщо а = 1, то x = 4; якщо а ≠ 1, то x₁ = 3а; x₂ = 4.

5) а(x-а)x+7 = 0.

Якщо а = 0, то маємо 0xx+7 = 0; x – будь–яке число, крім –7.

Якщо а ≠ 0, то x = a, проте якщо а = –7, то рівняння немає розв'язків.

Відповідь: Якщо а = 0, то x – будь–яке число, крім –7; якщо а = –7, то рівняння немає розв'язків; якщо а ≠ 0, а ≠ –7, то x = a.

6) а2-1аx-1 = xа; а2-1аx-1 – xа = 0; а3-а-аx2+xа(аx-1) = 0.

ax² – x – (a³ – a) = 0,

Рівняння рівносильне системі a ≠ 0,

х ≠ 1а.

Перше рівняння для всіх значень а є квадратним.

D = 1 + 4a(a³ – а) = 4a⁴ – 4а² + 1 = (2a² – 1)²,

x₁ = 1+(2a2-1)2a = a; x₂ = 1-(2a2-1)2a = 2(1-a2)2a = 1-a2a.

Проте повинна виконуватися умова x ≠ 1а.

а) х₁ = 1a, тобто а = 1а. Це виконується, якщо а = ±1, тоді маємо лише x = 1-a2a; x = 0.

б) х₂ = 1a; 1-а2a = 1a. Це рівняння коренів немає.

Відповідь: Якщо а = 1 або a = –1, то x = 1-a2a; якщо а ≠ 1; а ≠ –1;

а ≠ 0, то x₁ = а або x₂ = 1-a2a.

40. Для яких значень а рівняння x2+аx+9x+1 = 0 має лише один корінь?

x2+ax+9x+1 = 0.

Дане рівняння має один корінь в одному з наступних випадків.

1) Рівняння x² + ах + 9 = 0 має єдиний корінь, який не дорівнює числу –1.

2) Рівняння x² + ах + 9 = 0 має два корені, проте один з них дорівнює числу –1.

Розглянемо ці випадки.

1) D = а² – 36; D = 0; a = ±6. Tоді рівняння x² + ax + 9 = 0 має корінь 3 або –3. Значення а = 6; а = –6 задовольняють умови задачі.

2) x = –1 – корінь рівняння x² + ах + 9 = 0, тобто 1 – a + 9 = 0;

а = 10.

Маємо рівняння x² + 10x + 9 = 0, другий корінь якого x₂ = –9 задовольняє початкове рівняння, a = 10 – задовольняє умову.

Відповідь: 6; –6; 10.

41. Розв'яжіть рівняння:

38x4-x2+20x-100 + x+10x2-x+10 = x+10x2+x-10.

Маємо x⁴ – x² + 20x – 100 = x⁴ – (x² – 20x + 100) = x⁴ – (x – 10)² = (x² – (x – 10))(x² + (x – 10)) = (x² – x + 10)(x² + x – 10).

38(x2-x+10)(x2+x-10) + x+10x2-x+10 = x+10x2+x-10 = 0.

38 + (x + 10)(x² + x – 10) – (x + 10)(x² – x + 10) = 0;

38 + (x + 10)(x² + x – 10 – x² + x – 10) = 0; 38 + (x + 10)(2x – 20) = 0;

38 + 2(x² – 100) = 0; 38 + 2x² – 200 = 0; 2x² = 162;

x² = 81; x₁ = 9; x₂ = –9.

Відповідь: x₁ = 9; x₂ = –9.

42. Для яких значень а і b тричлен 4х² + 36х + (а + b) є повним квадратом, якщо відомо, що а – b = 3?

4x² + 36x + (a + b) = (2x)² + 2 • 2x • 9 + (a + b).

Необхідно, щоб а + b = 81, тоді матимемо 4x² + 36x + 81 = (2x + 9)².

а – b = 3, +

а + b = 81;

2a = 84; а = 42; b = 39.

Відповідь: а = 42; b = 39.

43. Спростіть вираз:

1) (1x2+3x+2 + 2xx2+4x+3 + 1x2+5x+6)² • (x-3)2+12x2 = (1(x+1)(x+2) + 2x(x+1)(x+3) + 1(x+2)(x+3))² • x2-6x+9+12x2 = (x+3+2xx+2+x+1(x+1)(x+2)(x+3))² • x2+6x+92 = (2x2+6x+4(x+1)(x+2)(x+3))² • (x+3)22 = (2(x2+3x+2)(x+1)(x+2)(x+3))² • (x+3)22 = 4 • (x+3)2(x+3)2 • 2 = 2.

2) 3а2+2ab-b2a2+4ab+3b2 – 2 + 10(ab-3b2)a2-9b2 = (3a- b)(a+ b)(a+ b)(a+3b) – 2 + 10b(a-3b)(a-3b)(a+3b) = 3a- ba+3b – 2 + 10ba+3b = 3a- b-2a+3b+10ba+3b = 3a- b-2a-6b+10ba+3b = a+3ba+3b = 1.

44. Розв’яжіть відносно x рівняння:

1) x2+1a2x-2a – 12- ax = xa; x2+1a(ax-2) + 1ax-2 – xa = 0;

x2+1+ a- x(ax-2)a(ax-2) = 0; x2+1+ a- ax2+2xa(ax-2) = 0;

x21- a+2x+(1+ a)a(ax-2) = 0.

x²(1 – а) + 2x + (1 + а) = 0,

Рівняння рівносильне системі a ≠ 0,

а ≠ 2а.

а) а = 1. Маємо 2x + 2 = 0,

x ≠ 2; x = –1.

б) a ≠ 1, а ≠ 0. Тоді D = 4 – 4(1 – а)(1 + а) = 4 – 4(1 – а²) = 4a²;

x₁ = -2+2a2(1- a) = -2(1- a)2(1- a) = –1; x₂ = -2-2a2(1- a) = -2(1+ a)2(1- a) = a+1a-1.

Необхідна перевірка умови x ≠ 2а.

Якщо а = –2, то x₁ = –1 – не є коренем рівняння; x₂ = -2+1-2-1 = 13.

a+1a-1 = 2a; а² + а = 2а – 2; а² – а + 2 = 0; немає розв'язків.

Відповідь: Якщо а = 1, то x = –1; якщо а = –2, то x = 13; якщо а ≠ 1; а ≠ –2; а ≠ 0, то x₁ = –1; x₂ = a+1a-1.

2) x+23x-a + 3-x3x2+2ax-a2 = 3x+2x+a; 3x² + 2ax – а² = 3x² + 3ax – ах – a² = 3х(x + a) – а(х + a) = (3х – а)(x + a).

x+23x-a + 3-x(3x-a)(x+a) = 3x+2x+a = 0. Рівняння рівносильне системі:

(x + 2)(x + а) + 3 – x – (3x + 2)(3х – а) = 0,

x ≠ –a

х ≠ a3.

x² + 2x + ах + 2a + 3 – x – 9x² – 6x + 3xa + 2a = 0;

–8x² + (4а – 5)x + (4а + 3) = 0| : (–1);

8x² – (4a – 5)x – (4a + 3) = 0;

D = (4a – 5)² – 4 • 8 • (–(4a + 3)) = 16а² – 40a + 25 + 128a + 96 = 16а² + 88a + 121 = (4a + 11)²;

x₁ = 4a-5+(4a+11)16 = 8a+616 = 2(4a+3)16 = 4a+38;

x₂ = 4a-5-(4a+11)16 = –1.

Необхідно перевірити виконання умов x ≠ –a; x ≠ –2; а ≠ a3.

а) 4a+38 = –а; 4а + 3 = –8а; 12а = –3; а = –14.

Тоді x = –1 – єдиний корінь.

б) 4a+38 = a3; 12а + 9 = 8а; 4а = –9; а = –94.

Тоді x = –1 – єдиний корінь.

в) –1 = –a; а = 1. Тоді x = 4a+38 = 78 – єдиний корінь.

г) –1 = a3; a = –3. Тоді x = 4a+38 = -12+38 = –98 – єдиний корінь.

Відповідь: Якщо а = –14 або а = –94, то x = –1; якщо а = 1, то x = 78; якщо а = –3, то x = –98; якщо а ≠ –3; а ≠ –94; а ≠ –14; a ≠ 1, то

x₁ = 4a+38; x₂ = –1.

45. Розв’яжіть рівняння:

1) x-3x-1 + x+3x+1 = x+6x+2 + x-6x-2.

x2- 3x+x-3+ x2+ 3x-x-3x-1(x+1) = x2+ 6x-2x-12+ x2+ 2x-6x-12x+2(x-2);

2x2- 6x2- 1 = 2x2- 24x2- 4; x2- 3x2- 1 = x2- 12x2- 4.

x⁴ – 3x² – 4x² + 12 = x⁴ – x² – 12x² + 12, 6x² = 0,

x ≠ ± 1, x ≠ ± 1, x = 0.

x ≠ ± 2; x ≠ ± 2;

2) x-2x-1 + x+2x+1 + 2815 = x-4x-3 + x+4x+3.

x-1-1x-1 + x+1+1x+1 + 2815 = x-3-1x-3 + x+3+1x+3;

1 – 1x-1 + 1 + 1x+1 + 2815 = 1 – 1x-3 + 1 + 1x+3;

1x+1 – 1x-1 + 2815 = 1x+3 – 1x-3; -2x2- 1 + 2815 = -6x2- 9.

Нехай х² – 5 = t. Тоді 1t+4 – 3t-4 – 1415 = 0;

7t² + 15t + 8 = 0, t₁ = –1; t₂ = –87.

t ≠ ± 4;

1) x² – 5 = –1; x² = 4; x_1,2 = ±2.

2) x² – 5 = –87; x² = 277; x_3,4 = ±277 = ±3217.

Відповідь: 1) 0; 2) ±2; ±3217.

46. Розв’яжіть рівняння:

1) x-5 = х – 11.

Позначимо x-5 = t, де t ≥ 0. Тоді х – 5 = t² і х = t²+ 5.

Маємо t = t² + 5 – 11; t² – t – 6 = 0. Враховуючи, що t ≥ 0, маємо

t = 3. Тоді x-5; х – 5 = 9; х = 14.

2) x2+ 20 = 22 – х².

Позначимо x2+ 20 = t, де t ≥ 0. Тоді х² + 20 = t² і х² = t² – 20.

Маємо t = 22 – (t² – 20); t = 22 – t² + 20; t² + t – 42 = 0. Враховуючи t ≥ 0, маємо t = 6. Тоді x2+ 20 = 6;

x² + 20 = 36; x² = 16; x₁ = 4; х₂ = –4.

Відповідь: 1) 14; 2) –4; 4.

47. Розв’яжіть рівняння:

1) |2x² + 4х – 5| = |x² + x|.

Звідси отримаємо 2x² + 4х – 5 = х² + х або 2х² + 4х – 5 = –(х² + х). Розглянемо ці можливості по черзі.

а) 2x² + 4х – 5 = х² + х; х² + 3х – 5 = 0; х_1,2 = -3 ±292;

б) 2x² + 4х – 5 = –x² – х; Зх² + 5х – 5 = 0; X_3,4 = -5 ±852;

2) 3x² – 4= 5 |х – 1|.

1) Якщо х – 1 ≥ 0, тобто х ≥ 1, то |x – 1| = х – 1. Маємо

Зх² – 4 = 5(х – 1); Зх² – 5х + 1 = 0;

x₁ = 5+136 – задовольняє умову х ≥ 1;

x₂ = 5+136 — не задовольняє умову х ≥ 1, тому не є коренем рівняння.

2) Якщо х – 1 < 0, тобто х < 1, то |х – 1| = –(х – 1). Маємо

Зх2 – 4 = Зх² + 5х – 9 = 0;

x₁ = -5+136 — не задовольняє зимову х < 1, тому не є коренем рівняння.

x₂ = -5-136 — задовольняє умову х < 1.

Відповідь: 1) -3 ±292; -5±132; 2) 5+136; -5-136.

48. Побудуйте графік рівняння

x² – 5xy + 6y² = 0 — розв’яжемо відносно х.

D = (–5y)² – 4 • 6у² = у²; x₁ = 5y+y2 = 3у; х₂ = 5y+y2 = 2y.

Отже, маємо (х – 3y)(x – 2у) = 0. Графіком є пара прямих х – Зу = 0 та х – 2у = 0.

y = x3.

x	0	3
y	0	1

y = x2.

x	0	4
y	0	2

49. Розв’яжіть рівняння:

1. (2x+13x-4)² + (3x-42x+1)² = 2.

Нехай (2x+13x-4)² = t, тоді (3x-42x+1)² = 1t. Маємо t + 1t – 2 = 0;

t2- 2t+1t = 0; t = 1. Тоді (2x+13x-4)² = 1; 2x+13x-4 = 1 або 2x+13x-4 = –1.

1) 2x + 1 = 3x – 4,

x ≠ 43; x = 5.

2) 2x + 1 = –(3x – 4),

x ≠ 43; x = 0,6.

2. (5x-62-7x)² + (7x-25x-6)² = 4,25.

Нехай (5x-62-7)² = t, тоді (7x-25x-6)² = (2-7x5x-6)² = 1t.

Маємо t + 1t = 4,25; t₁ = 4; t₂ = 14.

1) (5x-62-7x)² = 4; 5x-62-7x = 2 або 5x-62-7x = –2.

a) 5x – 6 = 4 – 14x,

x ≠ 27; x = 1019.

б) 5x – 6 = 4 – 14x,

x ≠ 27; x = –29.

2) (5x-62-7x)² = 14; 5x-62-7x = 12 або 5x-62-7x = –12.

a) 2(5x – 6) = 2 – 7x,

x ≠ 27; x = 1417.

б) –2(5x – 6) = 2 – 7x,

x ≠ 27; x = 103; x = 313.

3. 7(x + 1x) – 2(x² + 1x2) = 9.

Нехай t = x + 1x, тоді t² = x² + 2 + 1x2 i x² + 1x2 = t² – 2.

Маємо 7t – 2(t² – 2) = 9; 2t² – 7t + 5 = 0; t₁ = 1; t₂ = 2,5.

1) t = 1; x + 1x = 1; x2- x+1x = 0 ; немає розв’язків;

2) t = 2,5; x + 1x = 2,5; x₁ = 2; x₂ = 12.

4. 3(4x2 + x29) + 4(x3 + 2x) – 8 = 0.

Позначимо x3 – 2x = t, тоді t² = x29 – 2 • x3 • 2x + 4x2; x29 + 4x2 = t² + 43.

Маємо 3(t² + 43) + 4t – 8 = 0; 3t² + 4 + 4t – 8 = 0; 3t² + 4t – 4 = 0;

t₁ = 23; t₂ = –2.

1) x3– 2x = 23; x² – 2x – 6 = 0; x_1,2 = 1 ± 7.

2) x3 – 2x = –2; x² + 6x – 6 = 0; x_3,4 = –3 ± 15.

Відповідь: 1)5; 0,6; 2) 1019; –29; 1417; 313; 3) 2; 12; 4) 1 ±7; –3 ±15.

50. У супермаркет привезли яблука першого сорту на суму 2280 грн і другого сорту на суму 1800 грн. Якщо продати всі яблука оптом по одній ціні – на 9 грн. нижчій від ціни кілограма першого сорту, то виручка складе заплановану суму. Скільки кілограмів яблук привезли в маркет, якщо яблук другого сорту було на 5 кг більше, ніж яблук першого сорту?

Нехай у маркет завезли х кг яблук першого сорту, тоді другого сорту — (х + 5) кг. 1 кг яблук першого сорту коштує 2280x грн., а другого 1800x грн. Загальна маса яблук (2х + 5) кг, і всі яблука продавали за ціною (2280x – 9) грн за кілограм. Виручка склала (2280x – 9)(2х + 5), що за умовою дорівнює 2280 + 1800 = 4080 (грн).

Маємо (2280x – 9)(2x + 5) = 4080; 4560 – 18x + 11400x – 45 = 4080;

11400x – 18x + 435 = 0; 18x² – 435x – 11400 = 0.

D = (–435)² – 4 • 18 • (–11400) = 1010025;

x₁ = 40 (кг); х₂ < 0 — не задовольняє умову.

Отже, всього привезли до магазину 2 • 40 + 5 = 85 (кг).

Відповідь: 85 кг.

51. Загадали ціле додатне число. До нього праворуч дописали

цифру 7 і від отриманого числа в ідняли квадрат числа, що загадали. Різницю зменшили на 75 % і одержали загадане число. Яке число загадали?

Нехай задумано число х. Після приєднання до його запису праворуч

числа 7 дістанемо 10x + 7. Після віднімання дістанемо 10x + 7 – х².

Після зменшення на 75 % матимемо 25100(10x + 7 – x²) = 10x+7- x24.

Тоді 10x+7- x24 – х = 0; x² – 6х – 7 = 0.

Враховуючи x > 0, маємо x = 7.

Відповідь: 7.

52. З міста A в місто B, відстань між якими 164 км, зі швидкістю 20 км/год виїхав велосипедист. Через 2 год у тому самому напрямі виїхав мотоцикліст, який, обігнавши велосипедиста, прибув у місто B і одразу повернув назад. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо він зустрів велосипедиста через 2 год 45 хв після того, як його обігнав.

Нехай мотоцикліст наздогнав велосипедиста в

х км від А, а швидкість мотоцикліста у км/год.

Тоді велосипедист був у дорозі x20 год,

а мотоцикліст – xy год.

За умовою x20 – xy = 2; x(120 – 1y) = 2 (*).

З моменту, як мотоцикліст наздогнав велосипедиста до їх другої зустрічі пройшло 2,75 год, і разом вони подолали 2(164 – x) км. Тому 2,75у + 55 = 328 – 2х; х = 136,5 – 1,375y. Підставимо замість х вираз 136,5 – 1,375у в рівняння (*).

(136,5 – 1,375y)(120 – 1y) = 2;

(136,5 – 1,375у)(у – 20) = 40у;

136,5у – 2730 – 1,375у² + 27,5y – 40y = 0;

1,375y² – 124у + 2730 = 0; y₁ = 52 (км/год); у₂ = 38211 (км/год).

Відповідь: 52 км/год або 38211 км/год.

53. З міста M у місто N зі швидкістю 12 км/год виїхав велосипедист. Через 1 год у тому самому напрямі зі швидкістю 15 км/год виїхав другий велосипедист. Ще через 1 год з міста M у тому самому напрямі виїхав ще й мотоцикліст, який обігнав одного з велосипедистів через 10 хв після того, як обігнав іншого. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо вона більша за 50 км/год.

Нехай швидкість мотоцикліста х км/год.

1) Розглянемо випадок, коли спочатку мотоцикліст наздогнав другого велосипедиста і це відбулося через t год після старту другого велосипедиста.

Учасникруху	Мотоцикліст наздогнав ІІ вел.	Мотоцикліст наздогнав І вел.
	U, км/год	t, год	s, км	U, км/год	t, год	s, км
ІІ вел.				12	t + 116	12(t + 116)
I вел.	15	t	15t
Мотоц.	х	t – 1	x(t – 1)	x	t – 56	x(t – 56)
Рівняння	15t = x(t – 1)	12(t + 116) = x(t – 56)

З першого рівняння маємо х = 15tt-1, підставимо у друге 12(t + 116) = 15tt-1(t – 56); (12t + 14)(t – 1) = 15t² – 12,5t; 12t² + 14t – 12t – 14 = 15t² – 12,5t; 3t² – 14,5t + 14 = 0. t₁ = 3,5; t₂ = 113.

x₁ = 15 • 3,53,5-1 = 21 (км/год) – не задовольняє умову задачі (бо за умовою, х > 50 км/год);

x₂ = 15 • 113113- 1 = 60 (км/год).

2) Розглянемо випадок, коли спочатку мотоцикліст наздогнав першого велосипедиста і це відбулося через t год після старту першого велосипедиста.

Учасникруху	Мотоцикліст наздогнав І вел.	Мотоцикліст наздогнав ІI вел.
	U, км/год	t, год	s, км	U, км/год	t, год	s, км
ІІ вел.	12	t	12t
I вел.				15	t – 56	15(t – 56)
Мотоц.	х	t – 2	x(t – 2)	x	t – 156	x(t – 156)
Рівняння	12t = x(t – 2)	15(t + 56) = x(t – 156)

З першого рівняння маємо х = 12tt-2, підставимо у друге

15t – 12,5 = 12t(t-156)t-2; (15t – 12,5)(t – 2) = 12t² – 22t;

15t² + 12,5t – 30t + 25 = 12t² – 22t; 3t² – 20,5t + 25= 0.

D = 20,5² – 4 • 3 • 25 = 120,25

t₁ = 20,5+ 120,253; тоді х = 12tt-2 < 50 – не задовольняє умову задачі

t₂ = 20,5- 120,253 < 2 – не задовольняє умову задачі.

Відповідь: 60 км/год.

54. З містечка A до містечка B і з B до A одночасно вийшли два пішоходи. Перший прибув до B через 0,8 год після їх зустрічі, а другий прибув до A через 1,25 год після їх зустрічі. Скільки годин був у дорозі кожний з пішоходів?

Нехай швидкість першого пішохода х км/год, другого —у км/год, а відстань від А до В — s км. Шукаємо величини t₁ = sy (год) і t₂ = sy (год). Перший пішоход після зустрічі пройшов 0,8x км, а другий — 1,25у км. Тому 0,8x + 1,25y = s; 0,8xs + 1,25ys = 1; 0,8sx + 1,25sy = 1; 0,8t1 + 1,25t2 = 1 (*).

На весь шлях перший пішохід витратив t₁ год, а другий — t₂ год.

До зустрічі пішоходи були у дорозі один і той самий час, а тому t₂ – t₁ = 1,25 – 0,8, звідки t₂ = 0,45 + t₁. Підставимо у рівняння (*).

0,8t1 + 1,250,45+ t1 = 1; 0,36+0,8t1+ 1,25t1t1(0,45+ t1) = 1.

t12 + 0,45t₁ = 0,36 + 2,05t₁; t12 – 1,6t₁ – 0,36 = 0.

Враховуючи, що t₁ > 0, маємо t₁ = 1,8 (год). Тоді t₂ = 0,45 + 1,8;

t₂ = 2,25 (год).

Відповідь: 1,8 год; 2,25 год.

55. По двох взаємно перпендикулярних дорогах рухаються в напрямі перехрестя пішохід і велосипедист. У деякий момент часу пішохід знаходиться на відстані 2 км, а велосипедист – на відстані 3,75 км від перехрестя доріг. Через який час відстань між ними дорівнюватиме 1,25 км, якщо швидкість пішохода 5 км/год, а велосипедиста – 15 км/год?

1) Нехай умова буде виконана через t год. mТоді AA₁ = 5t (км);

A₁C = 2 – 5t (км); BB₁ = 15t (км); CB₁ = 3,75 – 15t (км).

2) Маємо A₁B₁² = A₁C² + CB₁²; 1,25² = (2 – 5t)² + (3,75 – 15t)²;

1,5625 = 4 – 20t + 25t² + 14,0625 – 112,5t + 225t²;

250t² – 132,5t + 16,5 = 0; t₁ = 0,2 (год); t₂ = 0,33 (год).

Відповідь: 0,2 год або 0,33 год.

56. Іра та Олег мали разом набрати текст до певного терміну. Після того як було набрано половину тексту, Олег захворів, і тому Іра закінчила роботу на 2 дні пізніше, ніж передбачалося. За скільки днів міг би набрати текст кожний з них самостійно, якщо Іра на це було б потрібно на 5 днів менше, ніж Олегу?

Нехай Олегу для виконання завдання, працюючи окремо, треба

х днів, тоді Ірі — (х – 5) днів. За один день Олег набирає 1x частину рукопису, а Іра — 1x-5 частину. Працюючи разом, за один день вони набрали 1x + 1x-5 = 2x-5x(x-5) частину тексту, витративши на всю роботу 1 : 2x-5x(x-5) = x(x-5)2x-5 (дн.). На половину роботи, працюючи разом, набірники витратили x(x-5)2(2x-5) (дн.), а на іншу половину Іра витратила x-52 (дн.).

За умовою задачі x(x-5)2(x2-5) + x-52 = x(x-5)2x-5 + 2.

Маємо x2- 5x2(2x-5) + x-52 – x2- 5x2x-5 – 2 = 0.

x2- 5x+x-52x-5- 2x2- 5x- 4(2x-5)2(2x-5) = 0;

x² – 5x + 2х² – 10x – 5х + 25 – 2х² + 10x – 8х + 20 = 0;

x² – 18x + 45 = 0;

x₁ = 15 (дн.); x₂ = З (дн.) — не задовольняє умову задачі.

Отже, Олег виконує роботу за 15 днів, Іра — за 10 днів.

Відповідь: Олег — за 15 днів, Іра — за 10 днів.

57. Через перший кран можна наповнити резервуар водою 2 на 24 хв швидше, ніж через другий. Якщо спочатку 23 резервуара заповнять через перший кран, а потім частину, що залишилася, – через другий, то витрачений на це час буде на 33 хв більшим, ніж час наповнення резервуара одночасно через обидва крани. За який час можна наповнити резервуар через кожний кран окремо?

Нехай перший кран заповнює резервуар за х хв., тоді другий —

за (х + 24) хв. Тоді за одну хвилину перший заповнює 1x частину резервуару, а другий 1x+24 частину. Працюючи разом, вони за хвилину заповнять 1x + 1x+24 = 2x+24x(x+24) частину резервуара, витративши на це 1: 2x+24x(x+24)= x(x+24)2x+24 (хв). 23 резервуара перший кран заповнить за 23х хв, а 13 резервуара, що залишиться, другий – за 13(х + 24) хв.

За умовою задачі 23х + 13(х + 24) – 33 = x(x+24)2x+24;

23х + 13х + 8 – 33 = x2+ 24x2x+24; х – 25 = x2+ 24x2x+24;

2x² – 50х + 24х – 600 = x² + 24х;

x² – 50х – 600 = 0;

x₁ = 60 (хв); x₂ = –10 — не має змісту.

І кран — за 60 хв., II кран — за 84 хв.

Відповідь: 60 хв; 84 хв.