Відповіді на вправи: 44.34

44.34 (Національна олімпіада Бразилії, 1983 р.) Доведіть, що всі точки кола можна розбити на дві множини так, що серед вершин будь–якого вписаного в коло прямокутного трикутника знайдуться точки з обох множин.

Розіб’ємо всі точки кола на пари діаметрально протилежних точок

і в кожній такій парі одну точку (будь–яку) віднесемо до першої множини, а другу — до другої.

Оскільки гіпотенуза будь–якого вписаного прямокутного трикутника

є діаметром кола, то вершини гострих кутів такого трикутника будуть належати до різних множин.

Доведено.