Відповіді на вправи: 39.23

39.23 Аркуш паперу склали вчетверо так, що отримали прямокутник

зі сторонами вдвічі меншими, ніж сторони аркуша. Потім отриманий прямокутник прокололи у двох місцях, аркуш розгорнули і через кожні дві отримані точки (проколи) провели пряму. Яку найменшу і яку найбільшу кількість прямих при цьому можна отримати?

Відносно розміщення точок (проколів) можливі три випадки, зображені на рисунках. У першому випадку матимемо 28 прямих, у другому та третьому — по 18.

Відповідь: 18 прямих; 28 прямих.

Домашня самостійна робота №8

1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 7 см і 24 см. А. 527 см; Б. 31 см; В. 25 см; Г. 23 см.

с = 72+ 242 = 49+576 = 525 = 25 (см).

Відповідь: В. 25 см.

2. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а один

з його катетів – 12 см. Знайдіть другий катет трикутника.

А. 8 см; Б. 9 см; В. 10 см; Г. 369 см.

а = 152- 122 = 15-12(15+12) = 3 •27 = 81 = 9 (см).

Відповідь: Б. 9 см.

3. На малюнку 1 зображено прямокутний трикутник ABC. Знайдіть sinB. A. 1213; Б. 513; В. 125; Г. 512.

sinB = ACAB = 1213.

Відповідь: А. 1213.

4. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть сторону

ромба. A. 8 см; Б. 10 см; B. 16 см; Г. 20 см.

1) АС = 16 см; АО = АС2 = 162 = 8 (см).2) BD = 12 см; OD = BD2 = 122 = 6 (см).3) У ∆AOD (∠O = 90°): AD = AO2+ OD2 = 82+ 62 = 10 (см).

Відповідь: Б. 10 см.

5. Точка знаходиться на відстані 8 см від прямої. З неї до прямої проведено перпендикуляр і похилу, яка утворює з перпендикуляром

кут 60°. Знайдіть довжину похилої.

А. 83 см; Б. 12 см; В. 82 см; Г. 16 см.

1) ∠ABC = 90° – 60° = 30°.2) За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо AB = 2 • AC = 2 • 8 = 16 (см).Відповідь: Г. 16 см.

6. AB – гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, AC = 8 см, ∠A = 50°. Знайдіть AB з точністю до десятих.

A. 12,5 см; Б. 10,4 см; B. 12,4 см; Г. 9,5 см.

cosA = ACAB; AB = ACcosA = 8cos50° ≈ 12,4 (см).Відповідь: В. 12,4 см.

7. Знайдіть x за малюнком 2. A. 13; Б. 7; B. 6; Г. 8.

1) У ∆ADC: AC = 102- 62 = 8 (см).2) ∆АСВ: ВС = (233)2-82 = 233-64 = 169 = 13 (см).

3) х = 13 – 6 = 7 (см).

Відповідь: Б. 7 см.

8. З точки до прямої проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 1 см. Знайдіть довжину меншої похилої, якщо проекції

похилих дорівнюють 4 см і 7 см.

А. 15 см; Б. 16 см; В. 17 см; Г. 18 см.

1) BD = 4 см; DC = 7 см. BD < DC, тому AB < AC.2) Позначимо AB = х см, тоді AC = х + 1 (см).3) Маємо у ∆ABD: AD2 = х2 – 42;а у ∆АDС: AD2 = (х + 1)2 – 72.4) Тоді x2 – 16 = x2 + 2х + 1 – 49; 2х = 32; х = 16.

Відповідь: Б. 16 см.

9. У ∆ABC ∠C = 90°, AB = 20 см, tgA = 0,75. Знайдіть P_АВС.

А. 50 см; Б. 38 см; В. 52 см; Г. 48 см.

1) tgA = BCAC; BCAC = 0,75 = 34.2) Позначимо BC = Зх см; AC = 4х см.3) Тоді AB2 = BC2 + AC2; 202 = (Зх)2 + (4х)2; 400 = 25x2; x2 = 16; х = 4 (см).4) BC = 3 • 4 = 12 (см); AC = 4 • 4 = 16 (см).

5) P_ABC = 12 + 16 + 20 = 48 (см).

Відповідь: Г. 48 см.

10. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 10 см і 26 см. Знайдіть гіпотенузу.

А. 36 см; Б. 38 см; В. 39 см; Г. 52 см.

1) АК – бісектриса, тому АСАВ = СККВ.2) Оскільки АС < AB, то CK < KB. CK = 10 см;КВ = 26 см.3) Маємо АСАВ = 1026 = 513.

Можна позначити AC = 5х см; AB = 1Зх см.

4) AB² = AC² + CB²; (1Зх)² = (5х)² + 36²; 144x² = 36²; х² = 9;

х = 3 (см).

5) AB = 13 • 3 = 39 (см).

Відповідь: В. 39 см.

11. Сторони трикутника – 5 см, 29 см і 30 см. Знайдіть проекцію

меншої сторони трикутника на його більшу сторону.

А. 1,4 см; Б. 1,6 см; В. 1,8 см; Г. 2,4 см.

1) BK — висота трикутника. Позначимо AK = х см, тоді KC = 30 – х (см).2) У ∆ABK: BK2 = 52 – х2, а у ∆ВКС: BK2 = 292 – (30 – х)2.3) Маємо 25 – х2 = 841 – (900 – 60х + х2); 60х = 84; х = 1,4 (см).

Відповідь: А. 1,4 см

12. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 10 см. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника (з точністю до градуса).

А. 31°; Б. 61°; В. 62°; Г. 64°.

1) У ∆ACD: tg∠DAC = 106 = 53; ∠DAC ≈ 59°2’.2) ∆AOD — рівнобедрений; AO = OD. Тоді ∠AOD = рівнобедрений; АО = OD. Тоді ∠AOD = 180° – 2 • ∠DAC ≈ 62°.Відповідь: В. 62°.

13. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 16 CM і утворює кут 30° із прямою. Проекція іншої похилої дорівнює 6 см. Установіть відповідність між відрізками (1-3) та їхніми довжинами (А-Г).

1) 16 • cos30° = 16 • 32 = 83 (см) – В.

2) 16 • sin30° = 16 • 12 = 8 (см) – Б.

3) 62+ 82 = 36+64 = 100 = 10 (см).

Завдання для перевірки знань до §36 – §39

1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 10 см і 24 см.

c = 102+ 242 = 100+576 = 676 = 26 (см).

2. За малюнком 1 назвіть: 1) перпендикуляр, проведений з точки A до прямої m; 2) похилу, проведену з точки A до прямої m; 3) проекцію цієї похилої.

1) AT; 2) AF; 3) TF.

3. За малюнком 2 знайдіть: 1) sin A; 2) cos B; 3) tgA; 4) sin B.

1) sinA = 35; 2) cosB = 35; 3) tgA = 34; 4) sinB = 45.

4. Сторона ромба дорівнює 25 см, а одна з його діагоналей – 14 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

1) AD = 25 см; BD = 14 см.2) OD = BD2 = 142 = 7 (см).3) У ∆AOD (∠O = 90°): AO = AD2- OD2 = 252- 72 = 24 (см).

4) АС = 2 • АО = 2 • 24 = 48 (см).

Відповідь: 48 см.

5. Точка знаходиться на відстані 6 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, яка утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину похилої та довжину проекції похилої на пряму.

1) За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо AB = 2 • AC = 2 • 6 = 12 (см).2) У ∆АВС: BC = АВ2- ВС2 = 122- 62 = 63 (см).

6. AB = 16 см – гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, ∠A = 35°. Розв’яжіть цей прямокутний трикутник. (Сторони трикутника знайдіть із точністю до сотих сантиметра.)

1) ∠B = 90° – 35° = 55°.2) BC = ABsinA = 16sin35° ≈ 9,18 (см).3) AC = ABcosA= 16cos35° ≈ 13,11 (см).Відповідь: ∠B = 55°; BC ≈ 9,18 см; AC ≈ 13,11 см.

7. У трикутнику ABC ∠A – тупий, BC = 20 см, AB = 15 см, BK = 12 см – висота трикутника. Знайдіть AC.

1) У ∆ABK: AK = АВ2- ВК2 = 152- 122 = 9 (см).2) У ∆ABC: KC = ВС2- ВК2 = 202- 122 = 16 (см).

3) AC = КС – КA = 16 – 9 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

8. У ∆ABC ∠C = 90°, AC = 24 см, sin А = 513. Знайдіть P_ABC.

1) sinA = BCAB; BCAB = 513. Можна позначити ВС = 5х см; AB = 13x см.2) AB2 = AC2 + BC2; (13х)2 = 242 + (5х)2; 144х2 = 242; х2 = 4; х = 2.3) BC = 5 • 2 = 10 (см); AB = 13 • 2 = 26 (см).Р = 24 + 10 + 26 = 60 (см).

Відповідь: 60 см.

9. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 6 см і 10 см. Знайдіть сторони трикутника.

1) АК – бісектриса ∆АВС. Тому АСАВ = СККВ.2) Оскільки АС < AB, то CK < KB. CK = 6 см; КВ = 10 см. СВ = 6 + 10 = 16 (см).3) АСАВ = 610 = 35. Можна позначити АС = 3х см; АВ = 5х см.4) AB2 = AC2 + CB2; (5х)2 = (3х)2 + 162; 16х2 = 162; х2 = 16; х = 4

5) Тоді AB = 5 • 4 = 20 (см); AC = 3 • 4 = 12 (см).

Відповідь: CB = 16 см; AB = 20 см; AC = 12 см.

10. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Знайдіть проекції двох менших сторін на більшу сторону.

1) BK — висота ∆ABC.2) Позначимо AK = х см, тоді KC = 15 – х (см).3) У ∆АВК: BK2 = 42 – х2, а у ∆ВКС: BK2 = 132 – (15 – х)2.4) Тоді 16 – х2 = 169 – (225 – 30х + х2); 30х = 72; х = 2,4 (см).

5) Отже, AK = 2,4 см; KC = 15 – 2,4 = 12,6 (см)

Відповідь: 2,4 см; 12,6 см.

11. Діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 12 см. Знайдіть кути ромба з точністю до мінут.

1) АО = АС2 = 122 = 6 (см); OD = BD2 = 62 = 3 (см).2) У ∆AOD (∠O = 90°): tg∠OAD = ODAO = 36 = 0,5;

∠OAD ≈ 26°34’.

3) Тоді ∠BAD = 53°8’.

4) ∠ABC = 180° – 53°8’ = 126°52’.

Відповідь: 53°8’; 126°52’.