Відповіді на вправи: 31.24

31.24 Доведіть, що число 2 є ірраціональним.

1) Припустимо, що 2 є числом раціональним, тоді 2 = mn, де mn – нескоротний дріб. Тоді 2n = m і 2n² = m².

2) Ліва частина – кратна 2, тоді й права частина – кратна 2. Отже,

m = 2k (k ∈ z) – парне число.

3) Тоді 2n² = 4k²; n² = 2k². Тому n – парне число, а отже mn – скоротний дріб. Це суперечить нашому припущенню.

4) Наше припущення неправильне. Отже, 2 – ірраціональне число.