Задачі підвищеної складності з алгебри: 37

37. Доведіть, що модуль різниці коренів рівняння 5x² – 2(5а + 3)х + 5а²+ 6а + 1 = 0 не залежить від значення а.

|x1 – x2| = (x1-x2)2 = x12-2x1x2+ x22 = (x1+x2)2-4x1x2.

За теоремою Вієта x₁ + x₂ = 2(5а+3)5; x₁x₂ = 5а2+6а+15.

Тоді |x₁ – x₂| = (25(5a+3))2-4(5a2+6a+1)5 = 425a2+30a+9-20(5a2+6a+1)25 = 100а2+120а+36-100а2-120а-2025 = 165 = 45, не залежить від а.